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2019-2020年高中数学联赛（陕西预赛）试题 含答案
一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
10
}
，
A
是
M
的子集，且
A
中各元素的和为
8
，则满足条件的子1、已知集合
M={1,2,3，，
集
A
共有（
）
A.
8
个 B.
7
个
C.
6
个 D.
5
个
?
3x?y?
0
?
?
2、在平面直角坐标系中，不等式组
?
x?3y?2?0表示的平面区域的面积是（ ）
?
y?0
?
?
A.
3
B.
2
3
C.
2
D.
23
3、设
a,b
,c
是同一平面内的三个单位向量，且
a?b
，则
(c?a)?(c?b)<
br>的最大值是（ ）
A.
1?2
B.
1?2
C.
2?1
D.
1
,2,
4、从
1
A.
,20
这20
个数中，任取
3
个不同的数，则这
3
个数构成等差数列的概
率为（ ）
1
13
1
B.
C. D.
5
1019
38
2
5、<
br>A,B
是抛物线
y?3?x
上关于直线
x?y?0
对称的相异
两点，则
|AB|
等于（ ）
A.
3
B.
4
C.
32
D.
42
6、如图，在棱长为1的正四面体
ABCD
中，
G<
br>为
?BCD
的重心，
M
是线段
AG
的中点，
则三棱锥
M?BCD
的外接球的表面积为（ ）
3
66
?
D.
?
A.
?
B.
?
C.
48
2
7、设函数
f(x)?x?ax?bx?c
（
a,b,c
均为非
零整数）.
若
f(a)?a
，
f(b)?b
，则
c
的值是（
）
A.
?16
B.
3
3
A
M
B
G
C
D
32
?4
C.
4
D.
16
ab?bc?ca<
br>的最小值为8、设非负实数
a,b,c
满足
ab?bc?ca?a?b?c?0
，则
（ ）
A.
2
B.
3
C.
3
D.
22
二、填空题（每小题8分，共32分）
9、在数列
{an
}
中，
a
4
?1,a
11
?9
，且
任意连续三项的和都是
15
，则
a
2016
?
______
_________.
10、设
m,n
均为正整数，且满足
24m?n
，则
m
的最小值是_______________.
11、设
f(x)、g(x)
分别是定义在
R
上的奇函数和偶函数，且
f(x
)+g(x)?2
，若对
x?[1,2]
，
不等式
af(x)+g(
2x)?0
恒成立，则实数
a
的取值范围是___________.
12
、设
x?R
，则函数
f(x)?|2x?1|?|3x?2|?|4x?3|?|5x
?4|
的最小值为_________.
x
4
第二试
xsin<
br>一、（本题满分20分）设
x,y
均为非零实数，且满足
?
55
?tan
9
?
．
??
20
xcos?ysin
55
?ycos
?
（1）求
yy
的值；（2）在
?ABC
中，若
tanC?
，求
sin2A?2cosB
的最大值．
xx
222
二、（本题满分20分）
已知直线
l:y?3x?4
，动圆
O:x?y?r(1?r?2)
，菱形ABCD
的一个内角为
60
0
，顶点
A,B
在直线l
上，顶点
C,D
在圆
O
上，当
r
变化时，求
菱形
ABCD
的面积
S
的取值范围．
三、（本题满分20分）如图，圆<
br>O
1
与圆
O
2
相交于
P,Q
两点，圆
O
1
的弦
PA
与圆
O
2
相切，圆
O2
的弦
PB
与圆
O
1
相切，直线
PQ
与
?PAB
的外接圆
O
交于另一点
R
．求证：
PQ
?QR
．
P
O
1
?
A
?
O
2
Q
?
O
B
R
四、（本题满分30分）设函数
f(x)?lnx?a(?1),a?R
，且
f(x)
的最小值为
0
，
（1）求
a
的值； （2）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?f(a
n
)?2(n?N
?
)
，设
1
x
S
n
?
?
a
1
?
?
?
a
2
?
?
?
a
3
?
?
?
?
a
n
?
，其中
[m]<
br>表示不超过
m
的最大整数．求
S
n
．
五、（本题满
分30分）设
a,b,c
为正实数，且满足
abc?1
，对任意整数
n?2
，证明：
a
?
n
b?c
n
b
?
c?a
n
c3
?
n
． <
br>a?b2
< /p>