很简单的高中数学题目-高中数学 选修 理科
2008年河北省高中数学竞赛试题
(时间:5月18日上午8:30~11:30)
一、 选择题
(本大题共6小题,每小题6分,满分36分)
1.函数y?f(x?2)
的图像过点(-1,3),则函数
f(x)
的图像关于
y
轴对称的图形一定
过点( ).
A (1,-3) B
(-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
2.把2008表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有( )种.
A
4 B 6 C 8 D 16
3.若函数y?log
a
?
x
2
?ax?1
?
有最小值,
则a的取值范围是( ).
A
0?a?1
B
0?a?2,a?1
C
1?a?2
D
a?2
a
2
?b
2
4.已知
a?b,a
b?1,
则的最小值是( ).
a?b
A
22
B
2
C 2 D 1
5.已知
cos
x?cosy?1
,则
sinx?siny
的取值范围是( ).
???
A
?
?1,1
?
B
?
?2,2
?
C
?
?
0,3
?
D
?
?3,3
?
6.函数
f(x)
是
(0
,??)
上的单调递增函数,当
n?N
*
时,
f(n)?N
*
,且
f[f(n)]?3n
,
则
f(1)
的值等于(
).
A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题
(本大题共6小题,每小题9分,满分54分)
7.设集合S?
?
1,,2?,1
?
5
,
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
是S的子集,且
?<
br>a
1
,a,a
3
?
满足:
2
,
a<
br>3
?a
2
?6
,那么满足条件的子集的个数为
.
1?a
1
2
3
?15
8.已
知数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,
a
n?1
?
a
n
?
1
?
21
?
a
n
(n
?
1,2,
?
)
,则
a
n
=___ .
9.已知坐标平面上三点
A
?
0,3
?
,B?3,0,C
???
3,0
,
P
是坐标平面上的点
,且
?
PA?PB?PC
,则
P
点的轨迹方程为
.
10. 在三棱锥
S?ABC
中,
SA?4
,
SB?7
,
SC?9
,
AB?5
,
BC?6
,
AC
?8
.则
第 1 页 共 12 页
三棱锥
S?ABC
体积的最大值为
.
11. 从m个男生,n个女生(
10?m?n?4
)中任选2个人当组长,假设
事件A表示
选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概
率相等,则(m,n)的可能值为 .
??
????
12.
O,A,B
是平面上不共线三点,向量
OA?a
,
OB?b
,设P为线段AB垂直平分线
?
?
上任意一点,向量
OP?p
.若
|a?|
?
??
?
,
|b|?3<
br>,则
p?(a?b)
的值是
5
____
____.
三、解答题
(本大题共5小题,每题的解答均要求有推理过程,13小题10分,
17小题14分,其余
每小题12分,满分60分)
a,b
是两个不相等的
正数,13.且满足
a
3
?b
3
?a
2
?b
2
,求所有可能的整数c,使得
c?9ab
.
14.如图,斜三棱柱<
br>ABC?A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为
a<
br>,侧面
B
1
C
1
CB?
底面
ABC
,且
AC
1
?BC
.
(1)
求异面直线
AA
1
与
B
1
C
1
间的距离;
(2) 求侧面
A
1
B
1
BA
与底面
AB
C
所成二面角的度数.
A
1
C
1
B
1
A
B
B
C
15.设向量
i,j
为直角坐标平面内x轴,y
轴正方向上的单位向量.若向量
a?(x?2)i?yj
,
第 2 页 共
12 页
?
?
b?(x?2)i?yj
,且
?a?
??b???
.
(1)求满足上述条件的点
P(x,y)
的轨迹方程; <
br>(2)设
A(?1,0),F(2,0)
,问是否存在常数
?
(
?
?0)
,使得
?PFA?
?
?PAF
恒成
立?
证明你的结论.
16.在数列
?
a
n
?
中,
a
1
,
a
2
是给定的非零整数,
a
n?2
?a
n?1
?
a
n
.
(1)若
a
15
?2
,
a
16
??1
,求
a
2008
;
(2)证明:从
?
a
n
?
中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
17.
设定义在[0,2]上的函数
f(x)
满足下列条件:
①对于
x?[0,2
]
,总有
f(2?x)?f(x)
,且
f(x)?1
,
f(
1)?3
;
②对于
x,y?[1,2]
,若
x?y?3
,
则
f(x)?f(y)?f(x?y?2)?1
.
证明:(1)
f(
12
*
)??1
n?N
();(2)
x?[1,
2]
时,
1?f(x)?13?6x
.
nn
33
2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准
(时间:5月18日上午8:30~11:30)
一、
选择题
(本大题共6小题,每小题6分,满分36分)
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12 页
1.函数
y?f(x?2)
的图像过点(-1,3),则函
数
f(x)
的图像关于
y
轴对称的图形一定
过点( ).
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D
(-3,3)
答案:B.
2.把2008表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有( )种.
A
4 B 6 C 8 D 16
答案:C.
解: 设
x
2
?y
2
?2008
,即
(x
?y)(x?y)?2008
.2008有8个正因数,分别为1,2,4,
8,251,50
2,1004,2008.而且
(x?y)
与
(x?y)
只能同为偶数,因此
对应的方程组为
?2?4?502?1
?
x?y?
?
x
?y??1004?502?4?2100450242
?
故
?
x,y
?
共有8组不同的值:
(503,501),(?503,?501),(?503,501
),(503,?501)
;
(253,249),(?253,?249),(?253,2
49),(253,?249)
.
3.若函数
y?log
a
?x
2
?ax?1
?
有最小值,则a的取值范围是( ).
A
0?a?1
B
0?a?2,a?1
C
1?a?2
D
a?2
答案:C.
2
解:当
0?a?1
时,
y?log
a
x
是递减函数,由于
t?x?ax?1
没有最大值,所以
2
y?log
a
?x
2
?ax?1
?
没有最小值;当
a?1
时,
y?log
?
有最小值等价于
a
?
x?ax?1
t?x2
?ax?1
有大于0的最小值.这等价于
??a
2
?4?0<
br>,因此
1?a?2
.
a
2
?b
2
4.已知
a?b,ab?1,
则的最小值是( ).
a?b
A
22
B
答案:A.
2
C 2
D 1
a
2
?b
2
解:记
a?b?t
,则<
br>t?0
,
a?b
t?2,即a?
t
2
?22
??t??22
,(当且仅当
tt
6?26?2
,b?
时取等号).
故选A.
22
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5.已知
cosx?cosy?1
,则
sinx?siny
的取值范围是( ).
???
A
?
?1,1
?
B
?
?2,2
?
C
?
?
0,3
?
D
?
?3,3
?
答案:D.
t
2
?1t
2
?1
解:设
sinx?siny?t
,易得
cosxco
sy?sinxsiny?
,即
cos
?
x?y
?
?
.由于
22
t
2
?1
?1
,解得
?3?t?3
.
?1?cos
?
x?y
?
?1<
br>,所以
?1?
2
6.函数
f(x)
是
(0,??)<
br>上的单调递增函数,当
n?N
*
时,
f(n)?N
*
,且
f[f(n)]?3n
,
则
f(1)
的值等于( ).
A 1 B 2 C 3 D 4
答案:B
解:(用排除法)令
n?1
,则得
f[f(1)]?3
.
若
f(1)?1
,则
f[f(1)]?f(1)?3
,与
f(1)?
1
矛盾;
若
f(1)?3
,则
f[f(1)]?f(3)?3,与“
f(x)
在
(0,??)
上单调递增”矛盾;
若
f(1)?4
,则
f[f(1)]?f(4)?3
,也与“
f(x)
在
(0,??)
上单调递增”矛盾.
故选B.
二、填空题
(本大题共6小题,每小题9分,满分54分)
7.设集合S?
?
1,,2?,1
?
5
,
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
是S的子集,且
?<
br>a
1
,a,a
3
?
满足:
2
,
a<
br>3
?a
2
?6
,那么满足条件的子集的个数为
.
1?a
1
2
3
?15
答案:
371.
解:当
2?a
2
?9
时,
?
a
1
,a
2
?
有
C
9
2
种选择方法, a
3
有6种选择方法,所以
?
a
1
,a
2,a
3
?
共
2
有
6?C
9
当
10?a
2
?14
时,一旦
a
2
取定,
a
1
有
a
2
?1
种选择方法,
a
3
有
?216
种选择方法;
15?a
2
种选择方法,所以选择
?
a
1
,a
2
,a
3
?
的方法有
a<
br>2
?10
?
?
a
14
2
?1
??<
br>15?a
2
?
?9?5?10?4?11?3?12?2?13?1?155<
br>种.
第 5 页 共 12 页
综上,满足条件的子集共有371个.
8.已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,
a
n?1
?
a
n
?
1
?
21
?
a
n
(n
?
1,2,
?
)
,则
a
n
=___ .
答案:
a
n
?n
2
?1
.
解:由已知得
a
n?1
?1?a
n
?1?21?a
n
?1?(a
n
?1?1)
2
,且
a
n
?1?0
. <
br>所以
a
n?1
?1?a
n
?1?1
,即{
a
n
?1
}是首项、公差均为1的等差数列,所以
a
n
?1<
br>=n,即有
a
n
?n
2
?1
.
9.已知坐
标平面上三点
A
?
0,3
?
,B?3,0,C
???
3,0
,
P
是坐标平面上的点,且
?
PA?PB?PC
,
则
P
点的轨迹方程为 . 答案:
x
2
?
?
y?1
?
?4
2?
y?0
?
.
A
解:如图,作正三角形
PCD,由于
?ABC
也是正三角形,所以
可证得
?ACP
≌
?BCD
,所以
BD?AP
.
又因为
BD?PB?PC?PB?PD
,所以点
B,P,D
共线.
?CBP??PAC
,所以P点在
?ABC
的外接圆上,又因为
B
P
C
PA?PB,PA?PC
,所以所求的轨迹方程为
D <
br>x
2
?
?
y?1
?
?4
2
?
y?0
?
.
10. 在三棱锥
S?ABC
中,
SA?4
,
SB?7
,
SC?9
,
AB?5
,
BC
?6
,
AC?8
.则
三棱锥
S?ABC
体积的最大值为
.
答案:
86
.
SA
2
?AB
2
?S
B
2
4
2
?5
2
?7
2
1
???
, 解:设
?SAB?
?
,根据余弦定理有
cos
?
?
2?SA?AB2?4?55
故
sin
?
?1?cos
2
?
?
1
26
,
S
?SAB
??SA?A
Bsin
?
?46
.由于棱锥的高不超过它的
2
5
1
侧棱长,所以
V
C?SAB
?S
?SAB
?BC?86
.
事实上,取
SB?7
,
BC?6
且
CB?平面SAB
时,<
br>3
可以验证满足已知条件,此时
V
SABC
?86
,棱锥的体
积可以达到最大.
第 6 页 共 12 页
11. 从m个男生
,n个女生(
10?m?n?4
)中任选2个人当组长,假设事件A表示
选出的2个人
性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概
率相等,则(m,n)的可能值为
.
答案:(10,6).
2211
C
m
?C
n
C
m
C
n
2211
解:
P
?
A
?
?
,由于,所以
,PB?
C?C?CC
n
,整理得
PA?PB
??
????
mnm
22
C
m?n
C<
br>m?n
?
m?n
?
2
?m?n
.即
m?n<
br>是完全平方数,且
9?m?n?19
,因此
?
m?n?9
?
m?n?16
?
m?6
?
m?10
?
,
?
,解得
?
(不合条件),
?
.
?
m?n?3
?
m?n?4
?
n?3
?
n
?6
所以
?
m,n
?
?
?
10,6
?.
??
?
???
12.
O,A,B
是平面上不共线三
点,向量
OA?a
,
OB?b
,设P为线段AB垂直平分线
?
?
|
上任意一点,向量
OP?p
.若
|a?
?
?
?
?
5
,
|b|?3
,则
p?(a?b)
的值是
____ ____.
答案:8.
????????
????
解:如图,
QP
是线段AB的垂直平分线,
OP?OQ?QP
,
????
1
?
?
????????
OQ?a?b,
QP?BA
,
2
??
?
?
???????
?????????????????????
p?(a?b)?(OQ?QP)?BA?OQ?BA?
QP?BA
P
A
??
Q
O B
?
?
1
????
1
?
?
?(a?b)?(a?b)??a?
??b??8
.
22
??
三、解答题
(本大题共5小题,每题的解
答均要求有推理过程,13小题10分,17小题14分,其余
每小题12分,满分60分)
a,b
是两个不相等的正数,13.且满足
a
3
?b
3?a
2
?b
2
,求所有可能的整数c,使得c?9ab.
解:
由
a
3
?b
3
?a
2
?b
2
得<
br>a
2
?ab?b
2
?a?b
,所以
ab?(a?b)
2
?(a?b)?0
,
由此得到
a?b?1
.
14
又因为
(a?b)
2
?ab?(a?b)
2
?(a?b
)
,故
1?a?b?
.
………………………4分
43
第 7 页 共 12 页
4
又因为
ab?(a?b)
2
?(a?b)
, 令
t?a?b?(1,)
则
ab?t
2
?t
.
……………6分
3
当
t?1
时,
t
2
?t
关于t单调递增,所以
0?
ab?
4
,
0?9ab?4
.
9
因此
c
可以取1,2,3.
…………………………………………………………………
10分
14.如图,斜三
棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为
a
,侧面
B
1
C
1
CB?
底面
ABC<
br>,且
AC
1
?BC
.
(1)
求异面直线
AA
1
与
B
1
C
1
间的距离;
(2) 求侧面
A
1
B
1
BA
与底面
AB
C
所成二面角的度数.
解:(1)如图,取
BC
中点D,连
AD
,C
1
D
.
A
1
C
1
B
1
A
B
B
C
1
C
AD?BC
?
?
?BC?平面ADC1
?C
1
D?BC
.
AC
1
?BC
?
A
1
?
平面B
1
C
1
CB?底面ABC
,
∴
C
1
D?平面ABC
.
由
AD?BC知AD?
平面BB
1
C
1
C
.
……………
4分
A
B
1
C
D
B
O
3
a
.
……………
6分
2
AA
1
∥
CC
1
?AA
1
∥
平面
BB
1
C
1
C
.
所以异面直线
AA
1
与
B
1
C
1
间的距离等于
AD?
E
(2)如图,
过B
1
作BO?BC,交BC于O,则BO?底面ABC
.
11
过O作OE?AB,交AB于E,连B
1
E.
<
br>则?B
1
EO与所求二面角的平面角互补.
………………………………..……
8
分
3
a
B
1
O
3a3
2
B1
O?C
1
D?a,OB?,OE??B
1
EO???2.
224OE
3
a
4
?B
1
EO?arcta
n2.所以二面角的度数为
?
?arctan2
.
……………………
12分
15.设向量
i,j
为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量.若向
量
第 8 页 共 12 页
?
?
a?(x?2)
i?yj
,
b?(x?2)i?yj
,且
?a???b???
.
(1)求满足上述条件的点
P(x,y)
的轨迹方程;
(2)设
A
(?1,0),F(2,0)
,问是否存在常数
?
(
?
?0)
,使得
?PFA?
?
?PAF
恒成
立?证明你的结论.
?
?
解:(1)由条件
?a???b???
可知:
(
x?2)
2
?y
2
?(x?2)
2
?y
2
?2
.
y
2
?1(x?0)
.
…………………
4分 由双曲线定义
,得点P的轨迹方程:
x?
3
2
?
(2)在第一象限内作
P
F?x轴,P点坐标为(2,3)
,此时
?PFA?90
?
,
?PAF?45.
?
?2
.
…………………………………
….………………….……
6分
以下证明当PF与x轴不垂直且P在第一象限时,
?PFA?2?PAF
恒成立. <
br>k
PA
?
y
1
y2k
PA
2(x
1
?1)y
1
,k
PF
?
1
,
则tan2?
PAF??.
222
x
1
?1x
1
?21?(k
PA
)(x
1
?1)?y
1
y
2
?1,得
y
1
2
?3(x
1
2
?1)?3(x1
?1)(x
1
?1)
. 由
x?
3
2
代入上式并化简得
tan2?PAF??
y
1
y
,tan?PFA
??k
PF
??
1
.
……
10分
x
1<
br>?2x
1
?2
即tan2?PAF?tan?PFA,所以?PFA?2?PA
F.
由对称性知,当P在第四象限时,同样成立.
故存在常数
?
?2
,使得
?PFA?2?PAF
恒成立.
………………….………
12分
16.在数列
?
a
n
?
中,
a
1
,
a
2
是给定的非零整数,
a
n?2
?
a
n?1
?a
n
.
(1)若
a
15
?2
,
a
16
??1
,求
a
2008
; (2)证明:从
?
a
n
?
中一定可以选取无穷多项组成两个不同
的常数数列.
解:(1)∵
a
15
?2
,
a
16
??1
,
a
17
?3
,
a
18
?
4
,
a
19
?1
,
a
20
?3
,
a
21
?2
,
a
22
?1
,
a<
br>23
?1
,
a
24
?0
,
a
25<
br>?1
,
a
26
?1
,
a
27
?0<
br>,……
∴自第22项起,每三个相邻的项周期地取值1,1,0,故a
2008
=1.
……
4分
第 9 页 共 12 页
(
2)首先证明数列
?
a
n
?
必在有限项后出现零项.假设
?
a
n
?
中没有零项,
由于
a
n?2
?a
n?1
?a
n
,所以.
n?3
时,都有
a
n
?1
.
……………………
6分
当
a
n?1?a
n
时,
a
n?2
?a
n?1
?a
n
?a
n?1
?1
(
n?3
);
当
a<
br>n?1
?a
n
时,
a
n?2
?a
n
?a
n?1
?a
n
?1
(
n?3
),
即
a
n?2
的值要么比
a
n?1
至少小1,要么比
a
n
至少小1.
…………………
8分
?
a (a2n?1
?a
2n?2
)
令
b
n
?
?
2n?1
,
n?1,2,...
,则
0?b
n?1
?b
n
?1
.
a (a?a)
2n?12n?2
?
2n+2
由于
b
1
是确定的正整数,这样下去,必然存在某项
b
k
?0
,这与
b
k
?0
矛盾,从而
?
a
n
?
中必有零项.
………………………………………………………
.……
10分
若第一次出现的零项为
a
n
,记
a
n?1
?M (
M?0)
,则自第
n
项开始,每三个相邻的
?
a
n?3k<
br>?0
?
项周期地取值
0,M,M
,即
?
a
n
?3k?1
?M
,
k?0,1,2...
?
a
?
n?3k?2
?M
所以数列
?
a
n
?
中一
定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
……
12分
17.
设定义在[0,2]上的函数
f(x)
满足下列条件:
①对于
x?[0,2
]
,总有
f(2?x)?f(x)
,且
f(x)?1
,
f(
1)?3
;
②对于
x,y?[1,2]
,若
x?y?3
,
则
f(x)?f(y)?f(x?y?2)?1
.
证明:(1)
f(
12
)??1
(
n?N
*
);(2)
x?[1,2]时,
1?f(x)?13?6x
.
nn
33
证明:由
f(2?x)?f(x)
知,函数
f(x)
图像关于直线
x?1
对称
,则根据②可知:对
于
x,y?[0,1]
,若
x?y?1
,则f(x?y)?f(x)?f(y)?1
.
……………
2分
设
x
1
,x
2
?[0,1]
,且
x
1
?x<
br>2
,则
x
2
?x
1
?[0,1]
.
∵
f(x
2
)?f(x
1
)?f[x
1
?(x<
br>2
?x
1
)]?f(x
1
)?f(x
1
)?
f(x
2
?x
1
)?1?f(x
1
)
?f(x
2
?x
1
)?1?0
,
∴
f(
x)
在[0,1]上是不减函数.
………………………………………………
4分
第 10 页 共 12 页
(1)∵
f(
111
11111
)?f(??)?f(?)?f()?1?3f()?2
,
3
n
?1
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n
∴
f(
1
3
n?1
2
)?f()??f()???...?f()??...?
3
3
n?1
3
3
2
3
n?2
3
3
n<
br>3
2
3
3
n
3
n?n
3
n
??1?
12
??1
.
…………………………………………………………8分
nn
33
11
?x?
.
3
n
3
n?1
(2)对于任意
x?(0,1]
,则必存在正整数
n
,使得
因为
f(x)
在(0,1)上是不减函数,所以
f(
11<
br>)?f(x)?f()
,
nn?1
33
由(1)知
f(121
)??1?6?1?6x?1
.
n?1n?1n
333
由①可得
f(2)?1
,在②中,令
x?y?2
,得
f(2)?1
,∴
f(2)?1
.
而
f(2)?f(0)
,∴
f(0)?1
,又
f(
11
)?f(0)f()?1
, ,∴
3
n
3
n
∴
x?[0,1]
时,
1?f(x)?
6x?1
..
………………………………………
12分
2?x?[0,1]
,∵
x?[1,2]
时,且
f(x)?f(2?x)
,∴
1
?f(2?x)?6(2?x)?1?13?6x
,
因此,
x?[1,2]
时,
1?f(x)?13?6x
.
…………………….………….14分
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