2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.已知函数
f
?
x
?
?ln
答案：
2

提示：
?
?
1
?
则
f
?
l

n a
?
?f
?
ln
1?a
2
x
2
? ax?1
?
a?0
?
，
?
?
．
a
??
?
f
?
x
?
?f
?
?x
?
?ln

是
．
答案：
?
1,??
?

?
1?a
2x
2
?ax?ln
?
?
1?a
2
x
2
?ax?2?ln
?
1?a
2
x
2
?a
2
x
2
?
?2?2.
2
?
2
2.设
A
、
B
两点分别在抛物线
y
2
?6x
和圆
C:
?
x?2
?
?y?1
上，则
AB
的取值范围< br>提示：由于
AB?AC?1
，则只需要考虑
AC
的范围．而
AC?
?
x?2
?
?y
2
?
?
x?2?
?6x
?x?2x?4?
?
x?1
?
?3,
2
2
2
22

又
x?0
，故
AC
min
?2
，故
AB
的取值范围为
?
1,??
?< br>.

3.若
tan
?
?3tan
?
?
0?
?
?
?
?
答案：
?
?
?
?
?
，则
?
?
?
的最大值为 ．
2
?
?
．
6
tan
?
?tan
?
2tan
?
?
1?tan
?
tan
?
1 ?3tan
2
?
2
?
1

?3tan
?
tan
?
提示：
tan
?
?
?
?
?
?
3
?
?tan.
36
?
?
因为
0?
?
?
?
?
，所以
0 ?
?
?
?
?.

22
?
?
所以< br>?
?
?
?
，即
?
?
?
的最大值为< br>.

66
4.已知△
ABC
为等腰直角三角形，其中
?C
为直角，
AC?BC?1
，过点
B
作平面
ABC
的垂线
DB
，使得
DB?1
，在
DA
、
DC上分别取点
E
、
F
，则△
BEF
周长的最小
?
1

值为 ．
答案；
2?2
．
提示：由题意可知，
?CDB?
侧面
?
4
,
且< br>?BDA
与
?CDA
之和为
?
.
如图，将侧面
BDA
和
2

CDB
分别折起至面
B
1
DA
和
B
2
DC
，且与侧面
ADC
位于同一个平面 上．则△
BEF
周长的
最小值即面
AB
1
DB
2< br>C
上两点
B
1
、
B
2
之间的线段长．
由前面的分析可知，
?B
1
DB
2
??B
1DA??ADC??CDB
2
3
?
???.
244
由余 弦定理可得，
??

B
1
B
2
?B
1< br>D
2
?B
2
D
2
?2B
1
D?B< br>2
D?cos?B
1
DB
2
?
2
?
?1?1?2?
?
?
?
2
?
?
?2?2.
??
所以，△
BEF
周长的最小值为
2?2.

x
3
5.已知函数
f
?
x
?
?x?3x
，对任意的< br>m?
?
?2,2
?
,
f
?
mx?8
?
?f2?0
恒成立，

??
则正实数
x
的取值范围为 ．
答案：
0?x?2.

x
3
提示：由于
f
?
x
?
?x?3x
为奇函数且为增函数，所以
f
?
mx?8
?
?f2?0
等价于
??
2

f
?
mx?8
?
??f
?
2
x
?
?f
?
?2
x
?
，即
mx?8??2
x< br>.

即
mx?2?8?0
对任意
m?
?
?2,2
?
恒成立．
x
x
?
?
0?x?2,< br>?
2x?2?8?0,
即
?
所以即
0?x?2.
< br>?
x
0?x?4,
?
?
?
?2x?2?8?0,???
???????
*
a?2c?b
6.已知向量
a
、且
b?
b
、
c
满足
a:b:c?2:k:3
?< br>k?N
?
，
??
?
，若
?
为
a、
?
c
的夹角，则
cos
?
的值为 ．
答案：
?.

?
1
?
2
?
??? ?
提示：由
b?a?2c?b
得
b?a?c
，所以
33< br>?
2
1
?
2
4
?
2
4
??
b?a?c?a?c.

999
???
又
a:b:c?2:k:3
，所以
1
6
??
k
2
?
4024
?
1664
?< br>?cos
?
?
?
,
?
.

99?
99
?
1
6
*
又
k?N
，所以k?2
，所以
cos
?
的值为
?.

7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值
为 ．
答案：
4?26.

提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第 2层3个，第3层6个，即每一条
棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加 上2倍的球心到四面
体顶点的距离到棱长上射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所 成角的
余弦值为
6
6
?4?26.
，故容器棱长的最小值为
4?2?3?
3
3
8.将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一 个小球开始向右数小球．无
论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ．
答案：
.

提示：方法一 如果只有2个小球（1黑1白），那么黑球的个数 总不少于白球个数的概
1
6
11
；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球 的个数总不少于白球个数的概率为；
23
1
如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球 的个数总数不少于白球个数的概率为；以此类
4
率为
推，可知将10个小球（5黑5白 ）排成一行，从左边一个小球开始向右数小球，无论数几
3

个小球，黑球的个数不少于白球个数的概率为
.

方法二 直接从10个小球入手分类讨论．
二、解答题（第9、10、11、12题各14分，第13、14题各15分）
9.在△ABC
中，内角
A
、
B
、
C
对边的边长分别是
a
、
b
、
c
，向量
1
6
???
p?
?
sinA?sinC,sinB
?
,q?
?
a?c,b?a
?
，
???
且满足
p?q
．
（1）求△
ABC
的内角
C
的值；
（2）若
c? 2,2sin2A?sin
?
2B?C
?
?sinC
，求△
ABC
的面积．
???
解 （1）由题意
p?q
，所以
?
a?c
??
sinA?sinC
?
?
?
b?a< br>?
sinB?0.

由正弦定理，可得
?
a?c
??
a?c
?
?
?
b?a
?
b?0.

整理得
a?c?b?ab
．
222
?
a
2
?b
2
?c
2
1
?,
又
C?
?
0,
?
?
，所以
C?.
由余弦定理可得，
cosC?
3
2ab2
(2)由
2sin 2A?sin
?
2B?C
?
?sinC
可得，
4sinA cosA?sin
?
B?
?
?A
?
?sin
?B?A
?
.

整理得，
4sinAcosA?sin
?
B?A
?
?sin
?
B?A
?
?2sinBcos A.

当
cosA?0
时，
A?
?
2
，此 时，
b?2cot
?
3
?
23
，所以△
ABC的面积
3
123
S
?ABC
?bc?.

23
当
cosA?0
时，上式即为
sinB?2sinA
，由正弦定理可 得
b?2a,
又
a?b?ab?4
，
22
解之得，
a?
123
2343
.

,b?.
所以△
ABC< br>的面积
S
?ABC
?absinC?
23
33
综上所 述，△
ABC
的面积
123
S
?ABC
?absinC?.

23
4

10.已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?2,a
n?1
?a
2
n
?2an
.

（1）求证：数列
?
lg
?
a
n
?1
?
?
是等比数列，并求
?
a
n
?< br>的通项公式；
（2）若
b
11
n
?
a
?< br>，且数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
，求证：
S
n
?1.
n
a
n
? 2

证 （1）由已知得
a
2
2a
2
n?1
?a
n
?
n
,a
n?1
?1?
?
an
?1
?
.

因为
a
1
?2
，所以
a
n
?1?1
，两边取对数得
lg
?
1?a
n?1
?
?2lg
?
1?a
n
?
,
即
lg
?
1?a
n?1
?
lg
?
1? a
?2
，故
?
lg
?
a
n
?1
?
?
为以
lg3
为首项，
2
为公比的等比数列，即
n
?
lg
?
a
n
?1
?
?2
n? 1
lg3,
即
a
n?1
n
?3
2
?1.< br>
（2）方法一 由
a
2
n?1
?a
n
? 2a
11
?
11
?
n
，两边取倒数得
a
?
?
?
2
?
，所以
n?1
2
?
a< br>n
a
n
?
?
1
a
?
1
?< br>2
，即
b
n
?2
?
?
1
?
?
1
?
?
，故
S
?
11
?
n?2
?
?
n
?2a
n
a
n?2
an
a
n?1
?
?
2
3
2
n
? 1
?
?
,
故
S
n
?1.

方法二 由于
b
2?3
2
n?1
n
?
1
?
1
3
2
n?1
?1
3
2
n?1
?1
?
3
2
n
?1

?2
?
?
11
?
?
3
2
n?1
?1
?
3< br>2
n?1
?1
?
?
,
则
S
?11
?
n
?2
?
?
2
?
3
2
n
?1
?
?
?1.

11.设
f
?
x
?
?e
x
?ax?a.

（1）若
f
?
x
?
?0
对一切
x??1
恒成立，求
a
的取值范围；
1008
（2）求证：
?
?
2015
?
?
2016
?
?
?e
?
1
2
.

（1）由
f
?
x
?
?0
得
?
x?1
?
a?e
x
，即
a?
e
x解
x?1
?
x??1
?
．

5

xe
x
e
x
.
令
h
?< br>x
?
?
，则
h
?
?
x
?
?
2
x?1
?
x?1
?
由
h
?
?< br>x
?
?
xe
x
?
x?1
?
2
?0
得
x?0.

所以
h
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递增，
h
?
x
?
在
?
?1,0
?
单调递减．
所以
h
?< br>x
?
?h
?
0
?
?1
?
x??1< br>?
,
由此得
a?1.

又
x??1
时，?
x?1
?
a?e
x
即为
0?a?e
，此时< br>a
取任意值都成立．
?1
综上可得
a?1.

?< br>2015
?
（2）
??
?
2016
?
100 8
11
1015
1
?e
2015
等价于
1??e< br>2016
.

?e
等价于
2016
2016
?
1
2
x
由（1）知，当
a?1
时
f
?< br>x
?
?0
对一切
x??1
恒成立，即
e?x?1（
x?0
时取等号）．
1
1
1
?e
2016
.
取
x??
，得
1?
2016
2016
?
2015
?
即证得 ：
??
?
2016
?
1008
?e.

?
1
2
12. 已知：如图，两圆交于
A
、
B两点，
CD
为一条外公切线，切点分别为
C
、
D
．过< br>A
任意作一条直线分别交两圆于
E
、
F
，
EC
交
FD
于点
P
．
求证：
PB
平分
?EBF.


证 如图，连结< br>BA
、
BC
、
BD,
延长
CD
．由
A
、
B
、
E
、
C
共圆有
?1??CBA< br>，同理，
?2??DBA.

6

又
?1??2??EPF?180
，所以
?
?CBD??CPD??1??2??EPF?180.

?
故< br>P
、
C
、
B
、
D
四点共圆．
则
?CBP??3??4??DBF
（弦切角等于圆周角）．
同理
?CBE??5??DBP.

所以
?EBP??EBC??PBC??DBP??FBD??FBP,

此即为
PB
平分
?EBF.

13.设正数
x、
y
满足
x?y?x?y
，求使
x?
?
y?1
恒成立的实数
?
的最大值．
33
解 由正数
x
、
y
满足
x?y?x?y
，知
x?y?0.

3322
令
t?
x
?1.

y
22
22
x
3
?y
3
不等式
x?
?
y?1< br>等价于
x?
?
y?,
x?y

x
3
?y
3
x
2
y?y
3
2
等价于
?
y??x?,

x?yx?y
2
x
2
y?y
3等价于
?
?,

2
x?yy
??
x
2
?y
2
t
2
?1
等价于
?
??.

2
xy?yt?1
7

因为
t
2
?12
f
?
t
?
??2?
?
t?1?
?
t?1t?1
2
?2?2
?
t?1
??

t?1
?2?22,
等号仅当
t?1?
2
，即
t?1?2
时成立，所以实数
?
的最大值为
2?22.

t?1
x
2
?
1
?
14.已知椭圆
C:? y
2
?1
及点
P
?
1,
?
，过点
P
作直线
l
与椭圆
C
交于
A
、
B
两点，
2
?
2
?
过
A
、
B
两点分 别作
C
的切线交于
Q
．
（1）求
Q
的轨迹方程：
（2）求△
ABQ
的面积的最小值．
解 （1）设
A
?
x
1
,y
1
?
、
B
?
x2
,y
2
?
、
Q
?
x
0
,y
0
?
，则
QA:
x
1
x
?y
1< br>y?1
过
Q
，有
2
x
1
x
0?y
1
y
0
?1
； ① < br>2
xx
QB:
2
?y
2
y?1
过
Q
，有
2
x
2
x
0
?y
2
y0
?1
， ②
2
故直线
AB
为
xy
x
0
x
?
1
?
?y
0
y?1
，由于直线
AB
过点
P
?
1,
?
，则有
0
?
0
?1
，即
22
2
?
2
?
x
0
?y
0
?2.
③
故
Q
的轨迹方程为
x?y?2.

（2）当直线
AB
斜率不存在时，即直线
AB
的方程为
x?1
，此时A
?
1,
?
?
?
?
2
?
2< br>?
B1,?
、、
???
??
?
2
?
2
?
?
C
?
2,0
?
.
所以
12
S
?ABQ
??2?1?.

22
当直线AB
的斜率存在时，设直线
AB:y?
1
?k
?
x?1
?
，即
2
8

y?kx?
1
?k.

2
?
x2
?2y
2
?2,
?
联立
?
消去
y< br>得
1
?
y?kx??k,
?2
?
2k
2< br>3
??
?1
?
x
2
?2k
?
1?2 k
?
x?
?
2k
2
?2k?
?
?0.
2
??
于是有
2k
?
2k?1
?
?
,
?
x
1
?x
2
?
2
2k?1
?
?
3

2
2k?2k?
?
2
.
?
x
1
x
2
?
2k
2
?1
?
又①
?
②，得到
x
0
2
??
4k?ky
0
?0
与③联立，可解得
Q
?
,
?，则
2
?
2k?11?2k
?
S
?AQB
?
1
ABd
2
1
1?k
2
x
1
?x
2
?
2
2
?
4k
2
?21
??k
2k?12
1?k
3
2
2

2
?
4k?4k?3
?
??,
4
?
2k
2
?1
?
2k?1
可得
S
?AQB
?
2
1
?.

2
2< br>2
8
?
2k?1
?
?
2k?1
?
2
?
4k
2
?4k?3
?
3
2
3
令
f
?
k
?
?
?
4k
?
2k
2
?4k?3
?
2
?1
?
?
2k?1
?
2
，则
f
?
?
k
?
?
?8?
4k
2
?4k?3
?
?
k?1
?
?
8k
2
?4k?3
?
?
2k
2
?1
?
?
2k?1
?
3
3
,

故
f
?
k
?
在区间
?
??,?1
?
上单调递减 ，
?
?1,
?
上单调递增，
?
?
?
1?
2
?
?
1
?
,??
?
上单调递减， 又
?
2
?
k???
limf
?
k
?
?4,
所以
9

1
f
?
k< br>?
min
?f
?
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面积的最小值为
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