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高一数学竞赛试题及答案详解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 12:05
tags:高中数学联赛试题

高中数学题不会解-高中数学必修2高端备课》这门课_你认为此备课的方式的好处是什么?

2020年9月22日发(作者:史钧杰)


2006年苍南县高一数学竞赛试题
一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)
1.已知函数f(x)满足f(
2
)=log
2
x|x|
, 则f(x)的解析式是( )
x?|x|

?x
x C. ?log
2
x
?2

2.已知f(x)=1-
1?x
(-1≤x≤0), 函数y=f(x+1)与y=f(3-x)的图象关于直线l 对称,
则直线l的方程为( )
=2 =1 =
2
1
=0
2
3.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f(
取值范围是( )
>2或
1
)=0, f(log
4
x)>0, 那么x的
2
111
<x<1 >2 C.<x<1 D.<x<2
222
4.已知定义域为R的函数y
=
f
(
x
)在(0, 4)上是减函数, 又
y
=
f
(
x
+4)是偶函数, 则
( )
A.
f
(5)<
f
(2)<
f
(7) B.
f
(2)<
f
(5)<
f
(7)
C.
f
(7)<
f
(2)<
f
(5) D.
f
(7)<
f
(5)<
f
(2)
5.若不等式2x
2
+ax+2≥0对一切x∈(0,
1
]成立, 则a的最小值为( )
2
B. ?4 C.?5 D. ?6
6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)= -f(x+2), 且当x>1时, f(x)单调递增.
如果x
1
+x
2
<2, 且(x
1
-1)(x
2
-1)<0, 则f(x
1
)+f(x
2
)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负
7.若函数f(x)=25
?|x+5|
-4×5
?|x+5|
+m的图象与x轴有交点, 则实数m的取值范围是( )
>0 ≤4 <m≤4 <m≤3
8.对定义在区间[a, b]上的函数f(x), 若存在常数c, 对于任意的x
1
∈[a, b]有唯一的x
2
∈[a, b], 使得
f(x
1
)?f(x
2
)
=c成立, 则称函数f(x)在区间[a, b]上的“均值”为c. 那么,
2
函数f(x)=lgx在[10, 100]上的“均值”为( )
A.
133
C. D.
42
10


二、填空题(每小题5分, 共30分)
9.已知集合A={x | 4?2k<x<2k?8}, B={x | ?k<x<k},
?
B, 则实数k的取值范围是____________________ 若A

10.若函数y=log
a
(2x
2
+ax+2)没有最小值, 则a的所有值的集合是_________________
11.集合P={x|x=2
n
?2
k
, 其中n, k∈N, 且n>k}, Q={x|1912≤x≤2006, 且x∈N},
那么, 集合P∩Q中所有元素的和等于_________
?
log
81
x?lo g
64
y?4
?
x?x
1
?
x?x
212.已知方程组
?
的解为
?

?
,
y? y
log81?log64?1
y?y
2
?
y
1
?
?
x
则log
18
(x
1
x
2
y
1
y
2
)=________
13.若关于x的方程4
x
+2
x
m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,
则实数m的取值范围是_________________
14.设card(P)表示有限集合P的元素的个数. 设a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B),
且满足a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2
a
+2
b
=2
a+b?
c
+2
c
, 则max{a, b}的最小值是______
三、解答题(每题10分, 共30分)
15.设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|.
(1)当a=2时, 求f(x)的最小值;
(2)若f(-1)=f(1), f(-
11
)=f()(a∈R, 且a≠1), 求a的值
aa
16.设函数f(x)的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x, y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.
已知f(2)=1, 且x>1时, f(x)>0.
(1)求f(
1
)的值; (2)判断y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明;
2
1
)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a的取值范围.
2
(3)解不等式f(x
2
)>f(8x?6) ?1.
17.已知函数f(x)=log
a
(ax
2
?x+
(洪一平命题, 后附参考答案)


参考答案

9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞)
12. 12 13.
[?
21
,?25]

4
?
?
?3x?2, x??1
?
1
?
15.(1)当a=2时, f(x)=|x+1|+|2x+1|=
?
?x, ?1?x??

2
?
1
?
3x?2, x??
?
2
?
111
时, f(x)递减, 故f(x)>f(?)=,
222
1111
当x≥?时, f(x)递增, 故f(x)≥f(?)=, 因此, f(x)的最小值为
2222
∴当x≤?1时, f(x)递减, 故f(x)≥f(?1)=1, 当?1<x<?
(2)由f(?1)=f(1)得 2+|a+1|=|1?a| (*), 两边平方后整理得|a+1|= ?(a+1)
∴ a≤?1 ①
同理, 由f(-

1111
)=f()得2+|+1|=|1?|, 对比(*)式可得
aaaa
1
≤?1 ∴ ?1≤a<0 ②
a
由①②得a= ?1
111
, 得f(1)=f(2)+f(), 故f()= ?1
222
xx
(2)设0<x
1
<x
2
, 则f(x
1
) +f(
2
)=f(x
2
) 即f(x
2
) ?f(x
1
)=f(
2
),
x
1
x
1
xx

2
>1, 故f(
2
)>0, 即f(x
2
)>f(x
1
) 故f(x)在(0, +∞)上为增函数
x
1
x
1
11
(3)由f(x
2
)>f(8x?6) ?1得f(x
2
)>f(8x?6) +f()=f [(8x
?
6)],
22
3
故得x
2
>4x?3且8x?6>0, 解得解集为{x|<x<1或x>3}
4
1
17.题设条件等价于(1) 当a>1时, ax
2
?x+>1对x∈[1, 2]恒成立; (2)当0<a<1时,
2
1
0<ax
2
?x+<1对x∈[1, 2]恒成立.
2
11111
3
2
由(1)得a>对x∈[1, 2]恒成立, 故得a>.
??(?1)?
2
x2x2
2
2x
111< br>?
2
a?(?1)?
?
15
?
2x2
由(2 )得
?
对x∈[1, 2]恒成立, 故得<a<.
28
?
a? ?
1
(
1
?1)
2
?
1
?
2x2
?
16.(1)令x=y=1, 则可得f(1)=0, 再令x=2, y=


因此, a的取值范围是a>
315
或<a<
228

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