高中数学八大能力-高中数学中ar
2019-2020年高中数学竞赛模拟试题一
一、填空题
1、已知函数<
br>f(x)?ln(1?a
2
x
2
?ax)?1
(a?0)
,则
f(a)l?f(n
1
)l?
____________.
n
a
2、
A
,
B
两点分别在抛物线
y?6x
和
⊙C:(x?2)?y?1
上,则
AB
的取值范围是
______
______.
3、若
tan
?
?3tanβ
?
0?
?
??
?
222
?
?
?
?
?
,则
?
?
?
的最大值为____________.
2
?
4、已知△
ABC
等腰直角三角形,其中∠
C
为直角,
AC
=
BC
=1,过点
B
作平面
ABC
的垂线
DB
,
使得
DB<
br>=1,在
DA
、
DC
上分别取点
E
、
F,则△
BEF
周长的最小值为____________.
3x
5、已知函
数
f(x)?x?3x
,对任意的
m?
?
?2,2
?
,
f(mx?8)?f(2)?0
恒成立,则正
.
实数
..
x
的取值范围为____________.
6、已知向量
a,b,c
满足
|a|:|b|:|c|?2:k:3(k?N
*
)
,且
b?a?2(c?b)
,若
?
为
a,c
的夹
角,则
cos
?
的值为____________.
7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封
闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为
____________.
8、将10个小球(5个黑球和5个
白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无
论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的
概率为____________.
二、解答题
9.(本小题满分14分)在△
ABC
中,内角A
,
B
,
C
对边的边长分别是
a
,
b
,
c
,向量
p?
?
sinA?sinC,sinB
?
,向量
q?(a?c,b?a)
,且满足
p?q
.
(Ⅰ)求△
ABC
的内角
C
的值;
(Ⅱ)若
c<
br>=2,2sin2
A
+sin(2
B
+
C
)=sin
C
,求△
ABC
的面积.
2
10.(本小题满分14分)已知数列
?
a
n
?
满足:a
1
?2,a
n?1
?a
n
?2a
n
.
(1)求证:数列
?
lg(a
n
?1)
?
是等
比数列,并求
?
a
n
?
的通项公式;
(2)若
b
n
?
11.(本小题满分14分)设
f(x)?e?ax?a
.(e是自然对数的底数)
(Ⅰ)若
f(x)?0
对一切
x??1
恒成立,求
a
的取值范围;
1
?
2015
1008
)?e
2
. (Ⅱ)求证:
(
2016
x
11
?
,且数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
,求证:
Sn
?1
.
a
n
a
n
?2
12.(本小
题满分15分)设正数
x
,
y
满足
x?y?x?y
,求使<
br>x?λy?1
恒成立的实数
?
的
最大值.
3322
x
21
?y
2
?1
及点
P(1,)
,过点
P
作直线
l
与椭圆
C
交13.(本小题满分15分)已知椭圆
C:<
br>2
2
于
A
、
B
两点,过
A
、
B
两点分别作
C
的切线交于点
Q
.
(1)求点
Q
的轨迹方程;
(2)求△
ABQ
的面积的最小值.
数学竞赛模拟试卷(1)答案
1.【解析】
f(x)?f(?x)?ln(1?a
2
x
2
?ax)?ln(1?a
2
x
2
?
ax)?2?ln(1?a
2
x
2
?a
2
x
2)?2?2
.
2.【解析】由于
AB?AC?1
,则只需要考虑
AC
的范围.
,??
?
. 故
AB
的取值范围为
?
1
3
.【解析】
tan
?
α?
?
?
?
AC?(x?2)
2
?y
2
?(x?2)
2
?6x?x
2
?
2x?4?(x?1)
2
?3,又x?0,故AC
min
?2,
2<
br>tan
?
?tan
?
2tan
?
??
1?t
an
?
tan
?
1?3tan
2
?
2
1<
br>?3tan
?
tan
?
?
3
?
?tan
36
ππ
?
?
0
?β?α?,?
0
?α?
?
?
.?α?β?
.
226
4.【解析】由题意可知,
?CDB?
之和为
?
4
,且∠
BDA
与∠
CDA
?
.如图,将侧面
BDA
和侧面
CDB
分别折起至面
B
1
DA
2
和
B
2
DC
,且与侧面
ADC
位于同一个平面上.则△
BEF
周长的
最小值即面
AB
1
DB
2
C
上两点
B
1
,B
2
之间的线段长.
由前面的分析可知,
?B
1
DB
2
??B
1
DA??ADC??CDB
2
?
ππ
3
π
??
,
244
?
2
?
2
?
由余弦定理可得,
BB?BD
2
?BD
2
?2BD?BD?cos?BDB?1?1?2?
?
??
?
2?2.
?
12121212
??
所以,△
BEF
周长的最小值为
2?2
.
5.【解析】
f(x)?x?3
x
为奇函数且为增函数
f(mx?8)?f(2)?0
等价于
3x
f
(mx?8)??f(2
x
)?f(?2
x
)
即
mx?8?
?2
x
即
mx?2
x
?8?0
对任意的
m?
?
?2,2
?
成
x
?
?
0?x?2
?<
br>2x?2?8?0
立即
?
,所以
?
,即0<
x
<2
x
0?x?4
?
?
?
?2x?2?8?0
2
121
2
4
2
4
6.【解析】由
b?a?2(c
?b)
得
b?a?c
所以
b?a?c?a?c
,
3399
9
40241664
2
又
|a|:|b|:|c|?2:k:3
,所
以
k??cos
?
?[,]
,又
k?N
*
,所以<
br>k
=2,所以
9999
1
cosα
的值为
?
.
6
7.【解析】这10个小球成棱锥形来放,第一层1个,第2层3个,第3层6个,即每
一条
棱是3个小球,于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面
体顶点的距离到棱长上的射影的长度,又球心到顶点的距离为3,正四面体的高和棱所成角
的余弦值为<
br>6
6
?4?26
. ,故容器棱长的最小值为
4?2?3?
3
3
8.【解析】法1:如果只有2个小球(1黑1白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率
为
11
;如果只有4个小球(2黑2白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为;如果只<
br>23
1
有6个小球(3黑3白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为;以此类推,
可知将
4
10个小球(5个黑球和5个白球)排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球.无
论数几
个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为
1
;
6
法2:直接从10个小球入手分类讨论.
9.【解析】(Ⅰ)由题意
p?
q
,所以,
?
a?c
??
sinA?sinC
?
?
?
b?a
?
sinB?0
.
由正弦定理,可得
?
a?c
??
a?c
?
?
?
b?a
?
b?0
.整理得
a?c?b?ab
.
222
a
2
?b
2
?c
2
1
π
?
,又
C?
?
0
,?
?
,所以,
C?
……6分 由余弦定理可得,
cosC?
2ab2
3
(Ⅱ)由
2sin2A?sin
?<
br>2B?C
?
?sinC
可得,
4sinAcosA?sin
?
B?π?A
?
?sin
?
B?A
?
.
整
理得,
4sinAcosA?sin
?
B?A
?
?sin
?
B?A
?
?2sinBcosA
.
当
cosA?0
时,
A?
π
23
π
,此时,
b?2cot?
.所
以△
ABC
的面积为
33
2
123
bc?
当
cosA?0
时,上式即为
sinB?2sinA
,有正弦定理可得
b=2
a
,又
23
2343
a
2
?b
2
?ab?4
,解之得,
a?
,
b?
,所以△
ABC
的面积为
33
123
S
△ABC
?absinC?
.
23
123
综上所述,△
ABC
的面积为
S
△
ABC
?absinC?
. ……14分
23
2
2
10.
【解析】(1)由已知得
a
n?1
?a
n
?2a
n
,
a
n?1
?1?
?
a
n
?1
?
,
因为
a
1
?2
,所以
a
n
?1?1<
br>,两边取对数得
lg
?
1?a
n?1
?
?2lg?
1?a
n
?
,
S
△ABC
?
即
lg
?
1?a
n?1
?
?2
,故?
lg
?
a
n
?1
??
为以lg3为首项,2
为公比的等比数列,
lg
?
1?a
n
?
n?1
n
?1
即
lg
?
a
n
?1
?
?2lg3,即
a
n
?3
2
?1
. ……5分
11
?
11
?
?
,
?
?
???
a
n?1
2
?
a
n
a
n
?2
?
?
1
112
1
?
?
??
所
以,即
b
n
?2
?
……10分
?
??
,
a
n
?2a
n
a
n?1
aa
n?1
??
n
1
??
1
故
S
n
?2
?
?
2
n
……14分
?
,故
S
n
?1
.
?
2
3?1
?
n?1
112?3
2
11
1
??
1?
2
n
?
2
n
?2(
2
n?1
?
2
n
)
,则
S
n
?2
?
?<
br>2
n
法2:
b
n
?
2
n
?
?1
.
2
3?13?13?13?13?1
3?1
??
e
x
?
x??1
?
, 11.【解析】(Ⅰ)
f(x)?0?
?
x?1
?
a?e?a?
x?1
xe
x
x
e
x
e
x
?0
得
x
>0. 令
h(x)?
,则
h
?
(x)?
,由
h
?
(x)?22
(x?1)(x?1)
x?1
??
?
上单调递增,
h
(
x
)在(-1,0)单调递减.所以
h(x)?h(0)?1
?
x??1
?
,由所以
h
(
x
)在
?
0,
x
?1
此得:
a?1
.又
x
=-1时,?
x?1
?
a?e
即为
0?a?e
,此时
a<
br>取任意值都成立.
综上得:
a?1
. ……8分
11
1<
br>??
?
2015
1008
20151
20162016
2
)?e??e?1??e
(Ⅱ)
(
.
2
x
由
(Ⅰ)知,当
a
=1时
f(x)?0
对一切
x??1
恒成立
,即
e?x?1
(
x
=0时取等号).
2
(2)法1:由
a
n?1
?a
n
?2a
n
两边取倒数得
1
?
?
12015
1008
1
2016
?e)?e<
br>2
. 取
x??
,得
1?
.即证得:
(
20
162016
2016
x
33
12【解析】由正数
x
,y
满足
x?y?x?y
,知
x?y?0
.令
t??1<
br>.
y
1
……14分
不
2
等式
x?λy?
1
22
等价于
x
3
?y
3
x
?
λ
y
?
x?y
22
,等价于
x
3
?y
3
x
2
y?y
3
x
2
y?y
3
2
λy
??x?
,等价于
λ
?
?
x?y
?
y
2
x?yx?y
x
2
?y
2
t
2
?1
t
2
?122
?
等价于
λ
?
.因为
f(t)??2?(t?1)??2?2(t?1)??2?22
,
2
xy?yt?1
t?1t?1t?1
2
等号仅当t?1?
,即
t?1?2
时成立,
t?1
所以,实数
?
的最大值为
2?22
. ……15分
13.【解析】(1)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),Q(x
0
,y
0
)
, <
br>xx
xxxx
则
QA:
1
?y
1
y?1过
Q
,有
10
?y
1
y
0
?1
;……①
QB:
2
?y
2
y?1
,有
222x
2
x
0
xx
1
?y
2
y
0
?1
,……②故直线
AB:
0
?y
0
y?1
过点
P(1,)
,则有
222
x
0
y
0
……5分
??1
?x
0
?y
0
?2
……③故
Q
的轨迹方程为
x
+
y
=2.
22
22
),B(1,?),Q(2,0)
(2)对直线
AB,当斜率不存在时,即为
x
=1,此时
A(1,
22
12
S
△ABQ
??2?1?
22
11
斜率存在
时,设直线
AB:y??k(x?1)?y?kx??k
.
22
?
x
2
?2y
2
?2
3
?
222
联立,消掉
y
得
(2k?1)x?2k(1?2k)x?(2k?2k?)?0
. ?
1
2
?
y?kx??k
2
?
2k(2k?1
)
?
x?x?
?
12
2k
2
?1
?
于是有
?
3
2
2k?2k?
?
2
?<
br>x
1
x
2
?
2
2k?1
?
x
4k2
又①-②,得到
0
?ky
0
?0
与③式联立,可解
得
Q(
……10分
,)
.
22k?11?2k