高中数学期末试卷 答案-2017教师资格证考试高中数学
数论部分
2018A四、(本题满分50分)数列
?<
br>a
n
?
定义如下:
a
1
是任意正整数,对整数
n?1
,
a
n?1
与
素,且不等于
a
1
,a
2
,
?
,.a
n
的最小正整数,证明:每个正整数均在
数列
?
a
n
?
中出现。
★证明:显然
a
1
?1
或者
a
2
?1
.下面考虑整数
m?1
,设
m
有
k
个不同的素因子,我们对
k
归纳证明
?
a
i?1
n
i
互
m
在
?
an
?
中出现.记
S
n
?a
1
?a
2<
br>???a
n
,
n?1
.
k?1
时,
m是素数方幂,记
m?p
?
,其中
?
?0
,
p<
br>是素数.假设
m
不在
?
a
n
?
中出现.由于
?
a
n
?
各
项互不相同,因此存在正整数
N
,当
n?N
时,都有
a
n
?p
?
.若对某个n?N
,
p
?
|S
n
,那么
p
?与
S
n
互素,又
a
1
,a
2
,
?
,.a
n
中无一项是
p
?
,故有数列定义知
a
n?1
?p
?
,但是
a
n?1
?p
?,矛盾!
因此对每个
n?N
,都有
p|S
n
.又p|S
n?1
,可得
p|a
n?1
,从而
a
n
?1
与
S
n
不互素,这与
a
n?1
的定义
矛盾!
?
??
假设
k?2
,且结论对
k?1
成立
.设
m
的标准分解为
m?p
1
1
p
2
2<
br>?
p
k
k
.假设
m
不在
?
a
n
?
中出现,于
是存在正整数
N
,当
n?N
时,
都有
a
n
?m
.取充分大的正整数
?
2
k?1max
M?p
1
?
1
p
2
?
p
k
?
?1
?
1?n?N
a
n
.
?
1
,
?
2
,?
?
k?1
,使
得
我们证明,对
n?N
,有
a
n?1
?M
. 对于任意
n?N
,若
S
n
与
p
1
p<
br>2
?p
k
互素,则
m
与
S
n
互素,
又
m
在
a
1
,a
2
,
?
,.a<
br>n
中均未出现,而
a
n?1
?m
,这与数列
的定义矛盾,因此我们得到:对于任意
n?N
,
S
n
与p
1
p
2
?p
k
不互素
?
,
⑴若存在
i
(
1?i?k?1
),使得
p
i
|S
n
,则
?
a
n?1
,S
n
?
?1
,故
p
i
?
从而
a
n?1
?M
(
因为
p
i
|M
)。
|a
n?1
,
⑵若对
每个
i
(
1?i?k?1
),均有
p
i
?
|S
n
,则由
?
知,必有
p
k
|S
n.于是
p
k
?
|a
n?1
,进而
,使得
p
i
0
|S
n?1
,再由
S
n?1
?S
n
?a
n
p
k
?
|S
n
?an?1
,即
p
k
?
|S
n?1
.故由
?
知:存在
i
0
(
1?i
0
?k?1
)<
br>及前面的假设
p
i
?
|S
n
,可知
p
i
0
?
|a
n?1
,故
a
n?1
?M<
br>。
k?1
max
因此,对
n?N
?1
,均有
a
n
?M
,而
M?p
1
1p
2
2
?
p
k?
a
n
?
中出
1
?
1?n?N
a
n
,故
M
不在
?
??
?
现,这与假设矛盾!因此,若
m
有
k个不同的素因子,则
m
一定在数列
?
a
n
?
中
出现.
由数学归纳法知,所以正整数均在数列
?
a
n
?
中出现。
2018B四、(本题满分50分)给定整数
a?2
。证明:对
任意正整数
n
,存在正整数
k
,使得连续
n
个数
a
?1
,
a
k
?2,?,
a?n
均是合数。
★证明
:设
i
1
?i
2
???i
r
是
1,2,?
,n
中与
a
互素的全体整数,则
1?i?n
,
i
?
?
i
1
,i
2
,
?
,i
r
?
,无论
正整数
k
如何取值,
a?i
均与
a不互素且大于
a
,故
a?i
为合数。
对任意
j?1,
2,?,r
,因
a?i
j
?1
,故
a?i
j
有素因子
p
j
.
我们有
p
j
,a?1
(否则,因
p
j
是素数,故
p
j
|a
,但
p
j
|a?i
j
,从而
p
j
|
i
j
,即
a
与
i
j
不互素,
与
i
j
的取法矛盾).因此,由费马小定理知,
a
p?1
?1
?
m
odp
i
?
现取
k?
?
p
1
?
1
??
p
2
?1
?
?
?
p
r?1
?
?1
,对任意
j?1,2,?,r
,注意到
k?
1modp
j
?1
,故有
kk
kk
??
??
a
k
?i
j
?a?i
j
?0
?
modp
j
?
.又
a
k
?i
j
?a?i
j
?p
j
,故
a
k
?i
j
为合数。
综上所述,当
k?
?
p
1
?1
??
p
2
?1
?
?
?
p
r
?1
?
?1时,
a?1
,
a
k
?2,?,
a?n
均是合数
。
kk
2017A
4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过
1
,则称其为“平稳数”,则平稳数的个数
是
◆答案:
75
★解析:考虑平稳数
abc
。
①若
b?0
,则
a
?1
,
c?
?
0,1
?
,有
2
个平稳数;
1,2
?
,
c?
?
0,1,2
?
,有2?3?6
个平稳数; ②若
b?1
,则
a?
?
③若<
br>b?
?
2,8
?
,则
a
,
c?
?<
br>b?1,b,b?1
?
,有
7?3?3?63
个平稳数;
8,9
?
,有
2?2?4
个平稳数;
④若
b?9
,则
a,c?
?
综上可知,平稳数的个数为
2?6?63?4?75
。
2017B 8、若正整数
a,b,c
满足
2017?10a?100b?1
000c
,则数组
(a,b,c)
的个数为
◆答案:
574
★解析:由条件知
c?[
2017
]?2
,当
c?1
时,有
10?b?20
,对于每个这样的正整数
b
,由
1000
10b?a?201
知,相应的
a
的个数为
202?10b
,从而这样的正整数组的个数为
b?10
?
(202?10b)?
20
(102?2)?11
?572
,
2
20172017
]
,知,
b?20
,进而
200?
a?[]?201
,
10010
当
c?2
时,由
20?b
?[
故
a?200,201
,此时共有2组
(a,b,c)
.
综上所述,满足条件的正整数组的个数为
572?2?574
.
2016A 8、设
a
1
,a
2
,a
3
,
a
4
是
1,2,3,?,100
中的
4
个互不相同的数,满
足
?
a
2
1
22222
?a
2
?a
3
a
2
?a
3
?a
4
?(a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
3
a
4)
2
,则这样的有序数组
(a
1
,a
2
,a<
br>3
,a
4
)
的个数
???
为
◆答案:40
122222
★解析:由柯西不等式知,
(a
1?a
2
?a
3
)(a
2
?a
3
?a<
br>4
)?(a
1
a
2
?a
2
a
3?a
3
a
4
)
2
,等号成立的充
分必要条件是
a
1
a
2
a
3
,即
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列.于是问题等价于计算满足
??
a
2
a
3
a
4
设等比数列的公比q?1
,且
q
为
{a
1
,a
2
,a<
br>3
,a
4
}?{1,2,3,
…
,100}
的等比数
列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的个
数.
有理数.记
q?
n
,其中
m,n
为互素的正整数,且<
br>m?n
.
m
先考虑
n?m
的情况.
a
1
n
3
a
1
n
3
33
l?
此时a
4
?a
1
()?
,注意到互素,故为正整数. 相应地,a
1
,a
2
,a
3
,a
4
分别
m,n
m
m
3
m
3
3223
等于
ml,
mnl,mnl,nl
,它们均为正整数.这表明,对任意给定的
q?
n
?1
,满足条件并以
q
为
m
公比的等比数列<
br>a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的个数,
即为满足不等式
nl?100
的正整数
l
的个数,即
[
3<
br>由于
5?100
,故仅需考虑
q?2,3,
3
100
]
.
n
3
34
,4,
这些情况,相应的等比数列的个数为
23
100
[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20
.
827276464
当
n?m
时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比
数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
.
综上可知,共有40个满足条件的有序数组
(a
1
,a
2
,
a
3
,a
4
)
.
2016A四、(本题满分5
0分)设
p
与
p?2
均是素数,
p?3
,数列
?<
br>a
n
?
定义为
a
1
?2
,
?
pa
?
a
n
?a
n?1
?
?
n?1?
,
n?2,3,?
,这里
?
x
?
表示不小于
实数
x
的最小整数。
?
n
?
证明:对
n?3,4
,?,p?1
,均有
n|(pa
n?1
?1)
成立。
★证
明:首先注意到,数列
?
a
n
?
是整数数列。对
n
用数学归纳法。
当
n?3
时,由条件知
a
2
?2?p,故
pa
2
?1?
?
p?1
?
,又
p
与
p?2
均是素数,且
p?3
,故
2
必须
3|p?1
,因此
3|pa
2
?1
,即
n?3
时,
结论成立。
对
3?n?p?1
,设
k?3,4,?,n?1
时结论成立,即
k|pa
k?1
?1
,此时
?
?
pa
k?1
?
pa
k?1
?1
,
?
?<
br>k
?
k
?
k?2k?2
故
pa
k?1
?1?p
?
?
a
k?2
?
?
k?1
?<
br>?
?
?1?p
?
a
k?2
?
k?1
?
?1?
??
?
??
?
?
?
pa
?
?
?
pa
?
?
pa
k?2
?1
??
p?k?1
?
k?1
故对
3?n?p?1
时,有
pa
n?1
?
1?
?
p?n?1
?
?
pa
n?1
n?2
?1
?
?
?
p?n?1
??
p?n?2
?
?
pa
n?1n?2
2
n?3
?
1
?
?<
br>?
?
?
?
p?n?1
??
p?n?2?
?
?
p?3
?
?
pa
n?1n?23
?1
?
?
2n(p?1)
n
C
p?n
,
(p?n)(p?2)
显然
n|(p?n)(p?2)(pa
n?1
?1)
,★
因为
n?p
,
p
是素数,故
(n,n?p)
?(n,p)?1
,又
p?2
是大于
n
的自然数,故
(n,
p?2)?1
,
从而
n
与
(n?p)(p
?2)
互素,故由★可知
n|(pa
n?1
?1)
。
由数
学归纳法知,对
n?3,4,?,p?1
,均有
n|(pa
n?1
?
1)
成立。
2016B 8、设正整数
n
满足
n?20
16
,且
??
?
??
?
??
?
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
?<
br>?3
.这样的
n
的个数
24612
????????
为 .这里
?
x
?
?x?
?
x
?<
br>,其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数.
◆答案:
168
?
n
??
n
??
n
??
n
?
13511
★解析:由于对任意整数
n
,有
??
?
??
?
??
?
??
????
?3,
?
2
??
4
??
6
??
12
?
24612
等号成立的充分必要条件是
n??1
?
m
od12
?
,结合
1?n?2016
知,满足条件的所有正整数为
n
?12k?1
?
k?1,2,,168,
168
个.
?
共
有
?
x
??
y
?
★解析:首先注意到,若
m
为正整数,则对任意整数
x,y
,若
x?y
?
modm
?
,则
??
?
??
.
这是因
?
m
?
?
m
?
为,当
x?y
?
modm
?
时,<
br>x?y?mt
,这里
t
是一个整数,故
y
?
y?
y
??
y
??
x
?
x
?
x
?
y?mt
?
y?mt
?
y
?
?
?
??t?t?
??
??
??
?
?
m
?<
br>m
?
?
m
?
?
m
?
?
?<
br>m
?
.
mmmmm
????????????
因此
,当整数
n
1
,n
2
满足
n
1
?n
2
?
mod12
?
时,
?
n
1
??<
br>n
1
??
n
1
??
n
1
??
n
2
??
n
2
??
n
2
??
n
2
?
??
?
??
?
??
?
??<
br>?
??
?
??
?
??
?
??
.
?
2
??
4
??
6
??
12
??
2
??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
容
易验证,当正整数满足
1?n?12
时,只有当
n?11
时,等式
?
?
?
??
?
??
?
??
?3
才成
?
2
??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
立.而
2016?12?168
,故当
1?n?2016
时,满足
???
??
?
??
?
??
?3
正整数
n<
br>的个数为
168.
?
2
??
4
??
6
??
12
?
2016B一、(本题满分40分)非负实数x
1
,x
2
,?,x
2016
和实数
y
1
,y
2
,?,y
2016
满足:
22
(1)
x
k
?y
k
?1
,
k?1,2,?,2016;
(2)
y
1
?y
2
???y
2016是奇数.
求
x
1
?x
2
???x
2016<
br>的最小值.
★解析:由已知条件(1)可得:
x
k
?1,y
k
?1,k?1,2,,2016,
于是(注意
x
i
?0
)
2016
k?1
?
x
k
?
?
x
k
2
?
?
1?y
k
2
?2
016?
?
y
k
2
?2016?
?
y
k<
br>.
①
k?1k?1k?1k?1
20162016
??
20162016
不妨设
y
1
,
m
,y
m
?0,y
m?1
,,y
2016
?0,0?m?2016,
则
?
y
k
?m,?
k?1
2016
k?m?1m2016
k?m?1
?
y
k
?2016?m.
若
?
y
k
?m?1
,并且
?
k
?1
?
y
k
?2015?m,
令
2016k?1
?
y
k?1
m2016
k
?m?1?a,?m2016
k?m?1
?
y
k
?2015?m?b,
则
0?a,b?1,
于是
?
y?
?
y
k
k
?1
k
?
k?m?1
?
y
k
?m?1?a?
?
2015?m?b
?
?2m?2016?a?b,
由条件(2
)知,
?
y
k
是奇数,所以
a?b
是奇数,这与
0
?a,b?1
矛盾.
k?1
2016
因此必有
?
y
k
?m?1
,或者
?
k?1
m2016
k?m?1
?
y
k
?2015?m,
则
?
y
k
?<
br>?
y
k
?
k?1k?1
2016m2016
k?m?
1
?
y
k
?2015.
于是结合①得
?
x
k
?1.
k?1
20
16
又当
x
1
?x
2
??x
2015
?0
,x
2016
?1,y
1
?y
2
??y
2015<
br>?1,y
2016
?0
时满足题设条件,且使得不等式
等号成立,所以
x
1
?x
2
??x
2016
的最小值为1.
2016B二、(本题满分40分)设
n,k
是正整数,且
n是奇数.已知
2n
的不超过
k
的正约数的个数为
奇数,证明:<
br>2n
有一个约数
d
,满足
k?d?2k
证明:记<
br>A?
?
d|d|2n
,
d
是奇数,
0?d?k ?
,
A?
?
d|d|2n
,
d
是偶数,
0?d?k
?
,则
A?B?
?
,
2n
的不超过
k
的正约数的集合是
A?B
★证明:记
A?
?<
br>d|d|2n,0?d?k,d是奇数
?
,
B?
?
d|d|2
n,0?d?k,d是偶数
?
,则
A
的不超过
k
的正约数的
集合是
A
B??,2n
B.
若结论不成立,我们证明
A?B.
对
d?A
,因为
d
是奇数,故
2d|2n
,又
2d?2k
,而
2n
没有在区间
?
k,2k
?
中的约数,故
2d?k
,
即
2d?B
,故
A?B.
反过来,对
d?B
,
设
d?2d
?
,则
d
?
|n
,
d
?
是奇数,又
d
?
?
k
?k
,故
d
?
?A,
从而
B?A.
2
所以
A?B.
故
2n
的不超过
k
的正约数的个数为偶数,与已知矛盾.从而结论成立.
∴
AM?5?4?1
,
BM?5?4
?9
,
CN?5?3?8DN?5?3?2
.
若设
q?2
,则同法可得
u?3
,
v?4
,与
u?v
矛盾,舍去.
又证:在得出
p,q
互质且其中必有一为偶数之后.
由于
p
m
,q
n
?1
,故必存在互质的正整数
a,b
(
a?b
),使
a
2
?b
2
?q
n
,
2ab?p
m
,
??
a
2
?b
2
?r<
br>.或
a
2
?b
2
?p
m
,
2ab?
q
n
,
a
2
?b
2
?r
.
若<
br>2ab?p
m
,得
p?2
,
a|2
m
,b|2
m
,故
a?2
,
b?2
,由
a,b互质,得
?
?0
,∴
b?1
,
??
a?2m?1
.
q
n
?2
2m?2
?1?2
m?1<
br>?12
m?1
?1
.故
2
m?1
?1?q
?
,
2
m?1
?1?q
?
,(
?
?
?
?n
,且
????
?
?
?
).
∴ <
br>2?q
?
?q
?
?q
?
q
?
??
?1
.由
q
为奇数,得
?
?0
,
2
?q
n
?1
,
q
n
?3
,
从而
q?3,n?1,a
2
?4,a?2,m?2
.仍得上解.
??