高中数学cd-高中数学必背公式大全及解释
第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图
最新考纲 1.认识柱、锥、
台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特
征描述现实生活中简单物体的结构;2.能画出简单
空间图形(长方体、球、圆柱、
圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模
型,会
用斜二测画法画出它们的直观图;3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视
图与直
观图,了解空间图形的不同表示形式.
知 识 梳 理
1.简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等且平行的多边形;
(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形;
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形.
2.旋转体的形成
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、
正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求:长对正,高平齐,宽相等.
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
②在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.
4.直观图 <
br>空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、
z轴两两垂直
,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、
y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和
z轴的线段
在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为
原来的一半.
[常用结论与微点提醒]
1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一
点.
2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.
3.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的正视图和侧视图
分别均为全等的等腰三角形、
等腰梯形、矩形.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)用斜二测画
法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且
∠A=90°,则在直观图中,∠A=
45°.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( )
解析
(1)反例:由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不是棱
柱.
(2)反例:如图所示图形不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,把x,y轴
画成相交成
45°或135°,平行于x轴的线还平行于x轴,平行于y轴的线还
平行于y轴,所以∠A也可能为135°.
(4)正方体和球的三视图均相同,而圆锥的正视图和侧视图相同,且为等腰三角
形,
其俯视图为圆心和圆.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修2P1
0T1改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中被截
去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的
几何体是( )
A.棱台
C.五棱柱
B.四棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.
答案 C
3.(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为
( )
解析 先根据正视图和俯视图还原出几何体,再作其侧视图.由几何体的正视图
和俯视图可知该
几何体为图①,故其侧视图为图②.
答案 B
4.(一题多解)
(2017·全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长
为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几
何体由一平
面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π
C.42π
解析 法一
(割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆
柱被截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,
1
该几何体的体积等于下
部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的
2
,所以该几何体
1
的体积V=π×3
2
×4+π×3
2
×6×
2
=63π.
1
法二 (估值法)由题意知,
2
V
圆柱
,又V
圆柱
=π×3
2
×10=90π
,∴
45π
<90π.观察选项可知只有63π符合.
答案 B
5.正△AOB的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积
是___
_____.
B.63π
D.36π
解析 画
出坐标系x′O′y′,作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′
11
为O′A′的
中点.易知D′B′=
2
DB(D为OA的中点),∴S
△
O
′A
′
B
′
=
2
×
223
2
6
2
S×a=
△
OAB
=
24416
a.
6
2
答案
16
a
考点一
空间几何体的结构特征
【例1】 (1)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0
(2)以下命题:
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B.1 C.2 D.3
解析
(1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时
,其余两边旋转形成的面
所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的
几何
体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长
线交于一点,但是侧棱长不一
定相等.
(2)由圆台的定义可知①错误,②正确.对于命题③,只有平行于圆锥底面的平面
截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,③不正确.
答案 (1)A (2)B
规律方法
1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概
念,要善于通过举反例对概念进行辨
析,即要说明一个命题是错误的,只需举一
个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中
在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中
各元素的关系.
3.既然棱(圆)台
是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台
为锥”的解题策略.
【训练1】 给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③存在每个面都是直角三角形的四面体;
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
解析 ①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧
面都是平行
四边形,但不一定全等;②正确,因为两个过相对侧棱的截面
的交线平行于侧棱,又
垂直于底面;③正确,如图,正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中的三棱锥C
1
-ABC,四个面都是直角三角形;
④正确,由棱台的概念可知.
答案 ②③④
考点二
空间几何体的三视图(多维探究)
命题角度1 由空间几何体的直观图判断三视图
【例2-1】 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体
积的过程中构造的一个和谐优
美的几何体.它由完全相同的四个
曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣
合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为
体现其直观性所作的辅助线.当
其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能
是( )
解析 由直观图知,俯
视图应为正方形,又上半部分相邻两曲面的交线为可见线,
在俯视图中应为实线,因此,选项B可以是几
何体的俯视图.
答案 B
命题角度2 由三视图判断几何体
【例2-2】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)如图,网格纸的各小格都是
正方形,粗实线画出
的是一个几何体的三视图,则这个几何
体是( )
A.三棱锥
C.四棱锥
B.三棱柱
D.四棱柱
(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为
(
)
A.32 B.23 C.22 D.2
解析
(1)由题知,该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形,经分析可知
该几何体为三棱柱.
(2)由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部,四棱锥为D
-BCC
1
B
1
,最长棱为DB
1
,且DB
1
=
=4+4+4=23.
DC
2
+BC
2
+BB
2
1
答案 (1)B (2)B
规律方法 1.由直观图确定三视图,一要根据三视图的含义及画
法和摆放规则确
认.二要熟悉常见几何体的三视图.
2.由三视图还原到直观图的思路
(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据正视图或侧视图确定几何体
的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对
应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
【训练2】 (1)(2018·惠州模拟)如图,在底面
边长为1,高为2的正四棱柱ABCD
-A
1
B
1
C
1D
1
中,点P是平面A
1
B
1
C
1
D
1
内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧
视图的面积之和为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2017·浙江卷)某几何体的三视
图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单
位:cm
3
)是( )
π
A.
2
+1
π
B.
2
+3
3π
C.
2
+1
3π
D.
2
+3
解析 (1)设点P在平面A
1
ADD
1
的射影为P′,在平面C
1
CDD
1
的射影为P″
,如图所示.
∴三棱锥P-BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与
△P″CD, 因此所求面积S=S
△
P
′
AD
+S
△
P″
CD
11
=
2
×1×2+
2
×1×2=2. <
br>(2)由三视图可知,该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体,半圆锥的底面
1
半径
为1,高为3,三棱锥的底面积为
2
×2×1=1,高为3.
111
π2
故原几何体体积为:V=
2
×π×1×3×
3
+1×3×3
=
2
+1.
答案 (1)B (2)A
考点三
空间几何体的直观图
【例3】 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的
斜二测直观
图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD
=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为_
_______.
解析 如图1,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
2
在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=
2
.
又四边形AECD为矩形,AD=EC=1.
2
∴BC=BE+EC=
2
+1.
由此还原为原图形如图2所示,是直角梯形A′B′C′D′.
2
在梯形A′B′C
′D′中,A′D′=1,B′C′=
2
+1,A′B′=2.
1
∴这块菜地的面积S=
2
(A′D′+B′C′)·A′B′
1
?
2
2
?
=
2
×
?
1+1+?
×2=2+
2
.
2
??
2
答案
2+
2
规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”
(两坐
标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴
和z轴
的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向,一是已知原图形求直观图
的相关
量,二是已知直观图求原图形中的相关量.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原
图形的面积的关系:S
2
=
直观图
4
S
原图形
.<
br>
【训练3】 已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为
________
.
解析 如图所示,作出等腰梯形ABCD的直观图.
因为OE=
12
(2)
2
-1=1,所以O′E′=
2
,E′F=
4
.
1+3
22
则直观图A′B′C′D′的面积S′=
2
×4
=
2
.
2
答案
2
基础巩固题组
(建议用时:25分钟)
一、选择题
1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.四面体 D.三棱柱
解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图
为三角形,
而圆柱的正视图不可能为三角形.
答案 A
2.(20
18·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示,则该
几何体的侧视图为(
)
解析 易知侧视图的投影面为矩形,又AF的投影线为虚线,即为左下角到右
上
角的对角线,∴该几何体的侧视图为选项D.
答案 D
3.(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.60 B.30 C.20 D.10
解析 由三视图知可把三棱锥放在一
个长方体内部,即三棱锥A
1
-BCD,V
A
1
-
11=××3×5×4=10.
BCD
32
答案 D
4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,该几何体的侧视图为( )
解析 由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面PAD,且EC
投影在面PAD上且为实线,点E的投影点为PA的中点,故B正确.
答案 B
5.下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
解析
如图1知,A不正确.如图2,两个平行平面与底面不平行时,截得的几何
体不是旋转体,则B不正确.
若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正
六边
形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,C错误.由母线的概念知,选项D
正确.
答案 D
6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形,则在下图的四
个图中可以作
为该几何体的俯视图的是( )
A.①③
C.②④
B.①④
D.①②③④
解析
由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,
故①③正确.
答案
A
7.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分
的三视图如右
图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
1
A.
8
1
C.
6
1
B.
7
1
D.
5
解析 由
已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大
角”后剩余的部分,如图所示,截去部分是一个三
棱锥.设正方体的棱
111
长为1,则三棱锥的体积为V
1
=
3×
2
×1×1×1=
6
.
15V
1
1
剩余部分的体积V
2
=1
3
-
6
=
6
,
因此,
V
=
5
.
2
答案 D
8.(2018·
泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示,其侧视图为直角三角形,则该三
棱锥最长的棱长等于( )
A.42
C.41
B.34
D.52
解析 根据几何体的三视图,知该几何体是底面为直角三角形,
两侧面垂直于底
面,高为5的三棱锥P-ABC(如图所示).
棱锥最长的棱长PA=25+16=41.
答案 C
二、填空题 9.(2018·龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测
画法画出它的直观图O′
A′B′C′如图所示,此直观图恰好是一个
边长为1的正方形,则原平面四边形OABC面积为___
_____.
2
解析 因为直观图的面积是原图形面积的
4
倍,且直观图的
面积为1,所以原图形的面积为22.
答案 22
10.已知正方体的棱长为1,
其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面
积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于__
______.
解析
由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的,正视图的面积与侧视图的面
积相等为2.
答案
2
11.(2018·兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图
和侧视
图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________.
解析 由题意知,正视
图就是如图所示的截面PEF,其中E,
F分别是AD,BC的中点,连接AO,易得AO=2,又PA
=3,
于是解得PO=1,所以PE=2,故其正视图的周长为2+22.
答案 2+22
1
12.(2017·山东卷)由一个长方体和两个
4
圆柱构成的几何体的三
视图如图,则该几
何体的体积为________.
解析 该几何体由一个长、宽
、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1,高
1
为1的
4
圆柱体构成.
π
1
2
所以V=2×1×1+2×
4
×π×1×1=2+<
br>2
.
π
答案 2+
2
能力提升题组
(建议用时:10分钟)
13.(2018·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图
所示,则该三棱锥的侧
视图可能为( )
解析 由题
图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面
ACD⊥平面BCD.所以该三棱锥的侧视图可能为选
项D.
答案 D
14.如图是一个体积为10的空间几何体的三视图,则图中x的值为(
)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 根据给定的三视图可知
,该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的
1
组合体,所以几何体的体积V=3×2×1
+
3
×3×2×x=10,解之得x=2.
答案 A
15.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.
解析 由题中三视图可知,三棱锥的直观图如图所示,其中
PA⊥平
面ABC,M为AC的中点,且BM⊥AC.故该三棱锥的
最长棱为PC.在Rt△PAC中,PC=<
br>22.
答案 22
16.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为________. <
br>PA
2
+AC
2
=2
2
+2
2
=<
br>
解析 由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,
将该几何体还原到长方
体中,如图所示,该几何体为四棱柱
ABCD-A′B′C′D′.
故该四棱柱的体积
13
V=Sh=
2
×(1+2)×1×1=
2
.
3
答案
2