一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解

一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解

知识梳理
10 min.
1、一次函数的概念
若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k、 b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x
为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时， 称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图象
①一次函数y=kx+b的图象是一条经过（0,b）（- b k，0）的直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，
0）的一条直线。
②
在一次函数
y?kx?b
中

当
k?0
时，
y
随
x
的增大而增大，
当
b?0
时，直线交
y
轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当
b?0
时，直线交
y
轴于负半轴，必过一、三、四象限．
当
k?0
时，
y
随
x
的增大而减小，
当
b?0
时，直线交
y
轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当
b?0
时，直线交
y
轴于负半轴，必过二、三、四象限.
意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了
k
、
b< br>的正
负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用< br>做好铺垫.


典例精讲
27 min.
例1 .已知函数
y?2x?1
的图象如图所示，请根据图象回答下列问题：

（1）当
x?0
时，
y
的值是多少？
（2）当
y?0
时，
x
的值是多少？
（3）当
x
为何值时，
y?0
？
?1

y
Ｏ

1

2
x
（4）当
x
为何值时，
y?0
？

答案：解：（ 1）当
x?0
时，
y??1
；（2）当
y?0
时，
x?
（3）当
x?
1
；
2
11
时，
y? 0
；（4）当
x?
时，
y?0
．
22
对应的函数表达式是（） 例2、如图，直线




答案：A


例3、(2008 江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A地沿 同一条路到B地,已知乙比甲先出发,
他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关 系如图所示,给出下列说法:
【 】

(1)他们都骑行了20km;
(2)乙在途中停留了0.5h;
(3)甲、乙两人同时到达目的地;
(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度.
根据图象信息,以上说法正确的有
A.1个
答案：B

例4.某产品的生产流水线每小时可生产100件 产品．生产前没有产品积压，生产3h后安排
工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量< br>(y)
是时间
(t)
的函数，那么这
个函数大致图象只能是（ ）




Ｏ





答案：Ａ



例5.如图所示，是某企业职工养老保险个人月缴 费
y
（元）随个人月工资
x
（元）变化的图
象．请你根据图象回答下 列问题：
（1）张总工程师五月份工资是3 000元，这个月他应缴个人养老保险费 元；
A．
B.2个 C.3个 D.4个
y
yyy
t

Ｏ

B．
t

Ｏ

Ｃ．
t

Ｏ

Ｄ．
t

（2）小王五月份工资为500元，他这个月应缴纳个人养老保险费 元．
（3）当月工资在600～2 800元之间，其个人养老保险费
y
（元）与月工资< br>x
（元）之间的
函数关系式为 ．








答案：（1）200


例6 .已知
A、B
两市相距80km．甲乙两人骑自行车沿同一公路各自从
A
市、
B
市出发，相
向而行，如图所示，线段
EF、CD
分别表示甲、乙两 人离
B
市距离
s
(km)
和所用去时间
t
(h)之间的函数关系，观察图象回答问题：
（1）乙在甲出发后几小时才从
B
市出发？
（2）相遇时乙走了多少小时？
（3）试求出各自的
s
与
t
的关系式．
（4）两人的骑车速度各是多少？
（5）两人哪一个先到达目的地？







s(km)
100
80
E
甲
60
40
20
（2）40 （3）
y?
40
x(元)
2800
月工资
200
y(元)保险费
440
x?

5511
Ｏ

350
600
Ｄ

乙
Ｆ

Ｃ

1 2
2
7
3 4 t(s)
9
Ｏ

答案：解：（1）乙在甲出发后1h，才从
B
市发出；
（2）
2< br>7
77
?1?1
(h)，即相遇时，乙走了
1
h；
9
99
（3）设甲的函数关系式为
S
甲
?k
1
t? b
1
，
72
?
b
1
?80，
?
??
k
1
??，
?
7
?
将
(0，
解得
?
80)
?
2，40
?
代入得
?
25
5

9
k
1
?b
1
?40.
??
??
?
9
?
b
1
?80.
?
甲的 函数关系式为
s
甲
??
72
t?80
．
5
设乙的函数关系式为
s
乙
?k
2
t?b
2
． < br>45
?
k?，
?
0?k
2
?b
2
，
?
?
2
2
?
?
7
?
将
( 1
，解得
?

，、0)
?
2，40
?
代入 得
?
25
45
9
40?k?b.
??
22
?
b??.
?
9
?
?
2
?2
?
乙 的函数关系式为
s
乙
?
4545
t?
；
22（4）
v
甲
?14.4
kmh，
v
乙
?22. 5
kmh；
（5）在
s
甲
??
7272
t?80
中，当
s
甲
?0
时，
0??t?80
．
55
50
，
9
4545454541
t?
中，当
s
乙
?80
时，即
80?t?，t?
在
s
乙
?
．
22229
5041
??
，
99
?t?
?
乙先到达目的地．


例7、已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
(1)在同一坐标系内做出它们的图像；
(2)求出它们的交点A坐标；

(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析 (1)这两个都是一次函数，所以它们的图像是直线，通过列表，取两点，即可画出
这两条直线．
(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．
(4 )先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值
范围．
解 (1)


8
?
x?,
?
?
3
?
?
y
1
?2x?3,
?
y?
7.
?
?
y?5?x.
3
(2)
?
2
解得
?
?
87
?
?
,
?
所以两条直线的交 点坐标A为
?
33
?
．
3
(3)当y1＝0时，x＝2
所以直线y1＝2x-3与x轴的
3
交点坐标为B(
2
，0) ，当y2＝0时，x＝5，所以直
线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x 轴于点E，则
S
?ABC
?
117749
BC?AE????
222312
．
?
2k?1?5x?4y,
?
k?2x?3y.
(4)两个解析式组成的方程组为
?

2k?3
?
x?,< br>?
?
7
?
?
y?
k?2
.
?
7
解这个关于x、y的方程组，得
?

由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
?
2k?3
? 0,
?
3
?
7
即
?
解得
??k?2
．
2
?
k?2
?0.
?
?
7

例8：旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，
就要按超重的 千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携
带的行李质量x（千克）的一次函数 为
y?
客最多可以免费携带多少千克的行李？
分析求旅客最多可以免费携带多少千克 的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只
需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时， x＝30．由此可知这个函数的自
变量的取值范围是x≥30．
解函数
y?
1
x?5
．画出这个函数的图像，并求旅
6
1
x?5
(x≥ 30)图像为：
6

当y＝0时，x＝30.
所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.

例9：今年入夏以来，全国大部分地 区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节
约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费 y（元）是用水量x（吨）
的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0 .9．
(1)画出函数的图像；
(2)观察图像，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.
分析画函数图像时，应 就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图像，当0≤x≤5时，是正比例
函数，当x＞5是一次函数，所 以这个函数的图像是一条折线.

解(1)函数的图像是：

(2) 自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨
以上时，每吨0. 90元


例10.如图所示的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车 者9点离开家，15点
回家，根据这个曲线图，请你回答下列问题：
（1）到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？
（3）第一次休息时，离家多远？
（4）11:00到12:00他骑了多少千米？
（5）他在9:00～10:00和10:00～10:30的平均速度各是多少？
（6）他在何时至何时停止前进并休息午餐？
（7）他在停止前进后返回，骑了多少千米？
（8）返回时的平均速度是多少？
（9）11:30和13:30时，分别离家多远？
（10）何时离家22km？







35
30
25
20
C
距离
(km)
E
Ｆ

D
15
B
10
5
G
A
9
10 11 12 13 14 15
时间

答案：解：（1）到达离家最远地方的时间是12点到13点，离家30km．
（2）10点半开始第一次休息，休息了半小时．
（3）第一次休息时离家17km．
（4）11:00到12:00，他骑了13km．
（5）9:00～10:00的平均速度 是10kmh；10:00～10:30的平均速度是14kmh.
（6）从12点到13点间停止前进，并休息午餐较为符合实际情形．
（7）返回骑了30km．
（8）返回30km共用了2h，故返回时的平均速度是15kmh．
（9）设直线
DE
所在直线的解析式为：
s?kt?b
．
将
D(1117)，、E(12，30)
的坐标代入，得
?
11k ?b?17，
?
k?13，
解得
?
所以
s?13t?126
．
?
12k?b?30.b??126.
??
当
t?11 .5
时，
s?23.5
，故
11:30
时，离家23.5km．（在 用样的方法求出
13:30，离家22.5km之后，你是否能想出更简便的方法？）
（1 0）由（9）的解答可知，直线
DE
的解析式为
s?13t?126
， 将
S?22
代入得
t?11.3
，即11点18分时离家22km，在< br>FG
上同样应有一点离家22km，
下面可以这样考虑：13点至15点的速度为15k mh，从
F
点到22km处走了8km，故需
h（即32min），故在13点32分 时间同样离家22km．



例11..假定甲、乙两人一次赛跑中，路 程
s
(m)与时间
t
(s)的关系如图所示，那么可以知道：
（1）这是一次 米赛跑；
8
15

y(m)
（2）甲、乙两人中先到达终点的是 ；
（3）乙在这次赛跑中的速度为 ．










答案：（1）100



例12.某空军加油飞机接 到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油
过程中，设运输飞机的油箱余油量为< br>Q
1
吨，加油飞机的加油油箱余油量
Q
2
吨，加油
时 间为
t
分钟，
Q
1
、Q
2
与
t
之 间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？
（ 2）全加油过程中，求运输飞机的余油量
Q
1
(t)与时间
t
(mi n)的函数关系式．
（3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10h到达目的地，油料是否够用？ 说明理
由．






40
30
Q(t)
69
（2）甲 （3）8ms
100
50
甲
乙
12 12.5
t(s)
y(m)
Ｏ

Q
1
Q
2

10
t(min)
O

10

答案：解：（1）由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30t油．
全部加给运输飞机需10min．
（2）设
Q
1
?kt?b
，把
(0，40)
和
(10，69)
代入，

?
40?b，
?
k?2.9，
解得
??
?
69?10k?b.
?
b?40.
?Q
1
?2.9t?40(0≤ t≤10)
；
（3）由图象可知运输飞机的耗油量为0.1tmin．




例13：.某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成 人按规定剂量服用，那
么服药后2h时血液中含药量最高，达6ugml（1ug
?10
mg），接着逐渐衰减，10h
时的血液中含药量为每毫升3ug，每毫升血液中含药量
y< br>(ug)随时间
t
(h)的变化如
图．当成人按规定剂量服药后：
（ 1）分别求出
x≤2
和
x≥2
时，
y
与
x
之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4ug或4ug以上时在治疗疾病时是有效的，那么
这个有效时间多长？







6
3
x
O
2 10
(h)
x(ugml)
?3
?
10h耗油量为：
10×60×0.1?60t?69t
．
故油料够用．

答案：解：当
x≤2
时，设
y?k
1
x
，由题意，得
6?2k
1
，


?k
1
?3，?y?3x.

当
x≥2
时，设
y?k
2
x?b

3?
k??，
2
?
?
6?2k
2
?b，
?
8
由题意得
?
解得
?

?
3?10k< br>2
?b.
?
b?
27
.
?
?4
32 7
?y??x?
；
84
4
；
3
32722
≥4，x≤
． 当
x≥2
时，
y≥4
，即
?x?
843
224
?
有效治疗时间为：
?? 6
．
33
（2）当
x≤2
时，
y≥4
，即
3x≥4，x≥



例14：.两个物体
A、B
所受的 压强分别为
P
A
，P
B
（都为常数）它们所受压力
F
与受力面积
即这个有效治疗时间为6h．
S
的函数关系图象分别是射线
l
A
，l
B
如图所示，则（ ）
Ａ．
P
A
?P
B

Ｃ．
P
A
?P
B








答案：Ａ




Ｂ．
P
A
?P
B

Ｄ．
P
A
≤P
B

Ｆ

l
B

l
A

Ｓ

Ｏ

例15.如图是某固体物质在受热熔解过程中物质温度
T
(℃)与时间
t
(s)的关系图，其中
A
阶
段物质为固态，
B
阶段为固液共存，
C
阶段为液态．
（1）物质温度上升温度最快的是 阶段，最慢的是 阶段；
（2）物质的温度是60℃，那么时间
t
的变化范围是 ．











答案：（1）
Ｃ Ｂ
（2）
20≤t≤50



例16.某图书出租店，有一种图书的租金
y
（元）与出租天数
x
（天）之间的关系如图所示，
则两天后，每过一天，累计租金增加 元．








2
1
O
1 2
x(天)
y(元)
O
120
60
B
A
20 50 60
t(s)
C
T（℃）

答案：0.5

例17甲、乙两辆汽车同时从相 距280km的
A、B
两地相向而行，
s
(km)表示汽车与
A地的
距离，
t
(min)表示汽车行驶的时间，如图所示，
l
1
、l
2
分别表示两辆汽车的
s
与
t
的
关系 ．
（1）
l
1
表示哪辆汽车到
A
地的距离与行驶时间的关系；
（2）汽车乙的速度是多少？
（3）1h后，甲、乙两辆汽车相距多少千米？
（4）行驶多长时间，甲、乙两辆汽车相遇？

280
s
200
60








l
2

l
1

t
O
60
120 180
240
答案：解：（1）
l
1< br>表示汽车乙到
A
地的距离与时间之间的关系；
（2）汽车乙的速度是80kmh；
（3）1h后，甲、乙两辆汽车相距140km；
（4）
280÷(60?80)?2
，即行驶2h，甲、乙两辆汽车相遇．



例18：.水库的库容通常是用水位的高低来预测的．下表是某市一水库在某段水 位范围内的
库容与水位高低的相关水文资料，请根据表格提供的信息回答问题．
水位高低
x
（单位：米）
10 20 30 40
?

库容
y
（单位：万立方米）

3000 3600 4200 4800
y(万立方米)
?

（１）将上表中的各对数据作为坐标
(x，y)
，在
5000
给出的坐标系中用点表示出来：
（２）用线段将（１）中所画的点从左到右顺次
4000
连接．若用此图象来模拟库容
y
与水位高低
x
的函数
3000
关系．根据图象的变化趋势，猜想
y
与
x
间的函数关
2000
系，求出函数关系式并加以验证；
（３）由于邻近市区连降暴雨，河水暴涨，抗洪
1000
0
10 20 30 40 50
x(米)
形势十分严峻，上级要求该水库为其承担部分分洪任
务约800万立方米．若该水库当前水位为65米，且最
高水位不能超过79米．请根据上述信息预测：该水库
能否承担这项任务？并说明理由．

















（第25题）

答案：（１）描点如图所示．
（２）连线如图所示．
猜想：
y
与
x
具有一次函数关系．
设其函数解析式为
y?kx?b(k?0)
．
把
(10，3000)、(20，3600)
代入得：
?
?
3000?10k?b，
?
3600?20k?b.

解得：
?
?
k?60，
?
b?2400.

?y?60x?2400

将
(30，4200)、(40，4800)分别代入上式，
得：
4200?60?30?2400，

4800?60?40?2400.

所以
(30，4200)、(40，4800)
均在
y?60x?2400
的图象上．
（３）能承担．
?
当
x?79
时，

y
1
?79?60?2400
．
当
x?65
时，

y
2
?65?60?2400
．
y
1
?y
2
?60(79?65)?60?14?840
．
?840?800
．
?
该水库能接受这项任务．

y
5000
4000
3000
2000
1000
0
10 20 30 40 50

例19：.种植草莓大 户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给
零售商，二是在本地市场零售， 经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所
获纯利润见下表：
每日销量
销售渠道
（吨）
省城批发
本地零售

４
１
利润（元）
1200
2000
每吨所获纯
受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出．
（１）若一部 分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓
所获纯利润
y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量
x
（吨）之间的函数关系式；
（１） 怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．


答案：
解：（1）所求函数关系式为
y?1200x?2000(22?x)

即
y??800x?44000

（2）由于草莓必须在10天内售完
则有
x
?22?x≤10

4
解之，得
x≥16

在函数
y??800x?44000
中，
??800?0

?y
随
x
的增大而减小
?
当
x?16
时，
y
有最大值31200（元）
22?16?6
，
16?4?4
，
6?1?6

答：用4天时间运往省城批发，6天时间在本地零售．（回答销量也可）才使获利
润最大，最大利润为31200元．

例20.已知一次 函数
y?ax?b
（
a
、
b
是常数），
x
与
y
的部分对应值如下表：
x

y

?
2
6
?
1
4
0
2
1
0
2 3
?
2
?
4
那么方程
ax?b?0
的解是 ；不等式
ax?b?0
的解集是 ．



答案：
x?1
；
x?1
．