函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

.


●高考明方向
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和
值域.
★备考知考情
定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选
择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一 小
问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，
值域的考查往往与最值联系在一起， 三种题型都有，难度
中等.


一、知识梳理《名师一号》P13
知识点一 常见基本初等函数的定义域
注意：
1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！
2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)y＝a
x
(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R
(5)y＝log
a
x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
(6)函数f(x)＝x
0
的定义域为{x|x≠0}
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.
(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意
义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
（补充）
三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为

{x|x?R,x?
?
k?,k?

Z}
2
如果函数是由几个部分的数学式子构成的，
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

知识点二 基本初等函数的值域
注意：
值域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的值域是：
4ac－b
2
当a＞0时，值域为{y|y≥}；
4a
4ac－b
2
当a＜0时，值域为{y|y≤}
4a
k
(3)y＝
x
(k≠0)的值域是{y|y≠0}
(4)y＝a
x
(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}
(5)y＝log
a
x(a＞0且a≠1)的值域是R.
（补充）三角函数中
正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为
?< br>?1,1
?

正切函数y＝tanx值域为
R

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?

.
《名师一号》P15
知识点二 函数的最值

注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3
函数最值与函数值域有何关系？
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元
素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但 其最
值不一定存在．

1、温故知新P11 知识辨析1（2）
1??
1
x
??
函数
y?
的值域为
?
? ?,
??
,??
?
（ ）
2
??
2
2x?1
??


答案：正确
2、温故知新P11 第4题

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.
x?1
?
?
2?2,x?
?
? ?,2
?
函数
y?
?
1?x
的值域为（ ）
?
?
2?2,x?
?
??,2
?
3
??
3
??
A.
?
?,??
?

B.
?
??,0
?

C.
?
??,?
?

D.
?
?2,0
?

2
?
?
2
?
?


答案：D
注意：牢记基本函数的值域

3、温故知新P11 第6题
函数
y?f
?
x
?
的值域是
?
1,3
?
，则函 数
F
?
x
?
?1?2f
?
x?3
?
的值域是（ ）
A.
?
?5,?1
?

B.
?
?2,0
?

C.
?
?6,?2
?

D.
?
1,3
?



答案：A
注意：图像左右平移没有改变函数的值域

二、例题分析：
（一)函数的定义域
1．据解析式求定义域
例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1

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.
(2014·山东) 函数
f
?
x
?
?
1
?
log
2
x
?
2
的定义域
?1
为( )
?
1
?
A.
?
0，
2
?
B．(2，＋∞)
??
?
1
??
1
?
C.
?
0，
2
?
∪(2，＋∞) D.
?
0，
2
?
∪[2，＋∞)
????




解析 要使函数有意义，应有(log
2
x)
2
>1，且x>0，
即log
2
x>1或log
2
x<－1，
1
解得x>2或02
?
1
?
所以函数f (x)的定义域为
?
0，
2
?
∪(2，＋∞)．
??
例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）
1
函数f(x)＝1－2
x
＋的定义域为( )
x＋3
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]



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.
x
?
1－2
≥0，
解析：由题意得?
解得－3x＋3>0，
?


注意：
《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1）
求函数的定义域，其实质就是 以函数解析式所含运算有意
义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
函数的定义域一定要用集合或区间表示

例2. (补充)
若函数
f(x)?lg(ax?2x?1)
的定义域为
R

则实数
a
的取值范围是 ；




答案：
?
1,??
?

变式：
f(x)?lg(ax?2ax?1)
?


练习：(补充)
2
2
kx?7
若函数
f(x)?
的定义域为
R

2
kx?4kx?3
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.
则实数
k
的取值范围是 ；


答案：
?
0,
?
3
?
?

?
4
?

2．求复合函数的定义域
例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）
(2015·北京模拟)已知 函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则
函数y＝f(2x)－ln(x－1)的定义域为( )
A．[1,2] B．(1,2] C．[1,8] D．(1,8]




解析：由已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]．
则使函数y＝f(2x)－ln(x－1)有意义，需
?
0≤2x≤4，
?
解得1?
x－1>0，

例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2
1
已知函数f(x)＝，则函数f(f(x))的定义域是( )
x＋1
A．{x|x≠－1} B．{x|x≠－2}
C．{x|x≠－1且x≠－2} D．{x|x≠－1或x≠－2}

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?
x≠－1，
?
解析
?
1
＋1≠0，
?
?
x＋1

解得x≠－1且x≠－2.

注意：
《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2）
（P13 问题探究 问题1 类型二）
已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，
是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，
而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．

2
例4．(补充)已知
f(x?1)
的定义域是
0,1
，求
f(x)

??
的定义域。



答案：
1,2

??
注意： 《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三
若已知
f
?
?
g
?
x
?
?
?
的定义域为
a,b
，求
f(x)
的
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??

.
定义域 相当于当
x?a,b
时，求
g
?
x
?
的值域
（即
f(x)
的定义域）

练习：(补充)
2
已知
f(x)
的定义域是
0,1
，求函数
g(x)?f(x)
的定
??
??
义域。
2
已知
g(x)?f(x)
的定义域是
?1,1
，求函数
f(x)
的
??
定义域。

如:
f(x)?x
?
1?x
?
的定义域是?
0,1
?
,
g(x)?f(x
2
)?x
2
?
1?x
2
?
的定义域
?
?1,1
?

练习：(补充)
1?x
，
1?x
?
x
??
1
?
求函数
g(x)?f
??
?f
? ?
的定义域。
?
2
??
x
?
1、设函数
f(x)?ln

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.
x
?
?1??1
?
?
2
答案：
?
得
?
?2, ?1
??
1,2
?

?
?1?
1
?1?
x
?
2
2、设函数
f(x?2x?3)
的定义域为< br>?
0,3
?
，求函数
f
?
x
?
的定义域。
答案：
x?0,3
得
x?2x?3?
?
?4,0
?

2
??


3．实际问题中函数定义域的确定
注意：
实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义
外，还应考虑使实际问题有意义


（二）求函数值域
注意：求函数的值域先求定义域！
(1)确定函数值域的原则
①当函数y＝f(x)用表格给出时，
函数的值域是指表格中y的值的集合．
②当函数y＝f(x)的图象给出时，
函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的
值的集合．
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.
③当函数y＝f(x)用解析式给出时，
函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．
④当函数由实际问题给出时，
函数的值域应结合问题的实际意义确定．
(2)基本初等函数的值域
(3)求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法
和模式．常用的方法有：
《名师一号》P14 问题探究 问题2
怎样求解函数的值域？
求函数值域的基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．
(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．
(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋ d(a、b、c、d均为常数，
且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx
2
的函数用三角函数代换求值域．
cx＋d
(4)分离常数法：形如y＝(a≠0) 的函数可用此法求值
ax＋b
域．
(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值 域的依据，
根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．
(6)数形结合法：画出函 数的图象，找出坐标的范围或分
析条件的几何意义，在图上找其变化范围．
《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、（4）
基本不等式、导数法

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例1. 《名师一号》P14 高频考点 例2（1）
求函数
y?4?3?2x?x
的值域


答案:
2,4

2
??
小结: 求函数值域的基本方法
1．配方法： 《名师一号》P14 问题探究 问题（2）
——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形
如F(x)＝af
2
(x)＋b f(x)＋c的函数的值域问题，均可使用
配方法，要特别注意自变量的范围；

二次函数在给定区间上的最值有两类：
（1）求闭区间
m,n
上的最值；
??
（2）求区间定（动），对称轴动（定）的最值
----二次函数专题


例2. （1）(补充)
求函数
y?
?
l og
2
x
?
?log
2
x?5,


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2
?
11
?
x?
?
,
?
的值域
?
42
?

.

答案:
7,11

??

例2. （2）《名师一号》P14 高频考点 例2（2）
求函数y＝2x－1－2x的值域


1－t
2
方法1：令 1－2x＝t(t≥0)，则x＝.
2
?< br>1
?
2
5
2
∴y＝1－t－t＝－
?
t＋< br>2
?
＋.
??4
1
∵二次函数对称轴为t＝－，
2
?
1
?
5
∴在[0，＋∞)上，y＝－
?
t＋< br>2
?
2
＋是减函数．
??4
?
1
?
5
故y
max
＝－
?
0＋
2
?
2
＋＝1，
??4
故函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．
方法2 ：∵y＝2x与y＝－1－2x均为定义域上的增
1
函数，故y＝2x－1－2x是定义域为{ x|x≤}上的增函数，
2
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.
11
故y
max
＝2×－ 1－2×＝1，无最小值．
22
故函数的值域为(－∞，1]．

变式：求函数
y?2x?1?2x
的值域




分析:令
t?1?2x,
?
t?0
?


答案:
?
??,
?

4
?
?
5
?
?
形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)
的 函数
令
t?cx?d
，使之变形为二次函数

例2. （3）(补充)
求函数
y?x?1?x
的值域





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2

.
分析:令
x?sint,
?
?
答案:
?
?1,2
?

?
??
?
?t?
?

2
??
2
3x
?3?x
2
的值域
3
??
练习：求函数
y?




分析:令
x?3sint,
?
?
答案:
?1,2

??
?
??
?
?t?
?

2
??
2

小结: 求函数值域的基本方法
2．换元法：《名师一号》P14 问题探究 问题（3）
运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定
的另一函数，从而求得原函数的值域．
例如：
形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的
函数
令
t?cx?d
，使之变形为二次函数
对于含
a?x
结构的函数，可以利用三角代换，
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22

.
令
x?acos
?
,
?
?0,
?
，
??
?
??
?
,
?
转化为三角函数
?
22
?
强调：换元后要确定新元的取值范围！
或令
x?asin
?
,
?
?
?
?

例3. （1）《名师一号》P14 高频考点 例2（3）
求函数
y?x?
4
的值域
x




例3. （2）(补充)
3x
求函数
y?
2
?
x?0
?
的值域
x?x?1



y?
3x3
?x?0
?

?
2
x?x?1
x?
1
?1
x
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.
答案：
?3,0
?


11
x???2?x??1??1

xx
3
?3??0

1
x??1
x
?3x
变式1：求函数
y?
2
的值域
x?x?1


答案：
?3,1

??
变式2：求函数


答案：
?3,0
?

y?
3
?
x?1
?
x?3x?3
2
?
x??1
?
的值域
?

小结: 求函数值域的基本方法
3.不等式法：
《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)
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.
利用基本不等式：a＋b≥2ab(a、b∈R
＋
)求函数的值域．
用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件
“一正、二定、三相等”．


例4. （1）(补充) 求函数
y?


x
2
?5
x?4
2
的值域
?
5
?
答案：
?
,??
?

?
2
?

例4. （2）求函数
y?2x?1?2x
的值域
（前面换元法已讲解）



答案：
?
??,1

?
小结: 求函数值域的基本方法
4.利用函数单调性: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5）
根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求
出函数的值域．

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.
(补充)注意双勾函 数
f(x)?x?
函数在区间
0,k
?
单调递减;
?
k
?
k?0
?
的单调性!
x
?
函数在区间
?
k,??
单调递增.
?
?


例5. （1）温故知新P11 知识辨析1（2） < br>1
??
1
x
??
函数
y?
的值域为
?
??,
??
,??
?
（ ）
2
??
2
2x?1
??


答案：正确


例5. （2）(补充) 求函数
f
?
x
?
?



值域
yy??2


小结: 求函数值域的基本方法
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1?2x
的值域.
x?2
??

.
5.分离常数法: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5）
形如
y?

cx?d
?
a?0
?
的函数的值域可使用此法
ax?b< br>1?2
x
1?x
练习：1、
f
?
x
?
?
2、
f
?
x
?
?

x
1?2
2x?5
x
2
?4x?5
3、
f
?
x
?
?
2

x?3x?4

1
?
2
?
x?5??
x?1
?
x?5
?
?
3、
f
?< br>x
?
?
?
x?4
??
x?1
?
x? 4
?
?
6
??
yy?1且y?
??

5
??
答案：1、
?
yy??
?
2、
?
?1,1
?

?
x?4且x??1
?

例6.《名师一号》P14 高频考点 例2（4）
3
x
求函数
y?
x
的值域
3?1



法一：换元+分离常数法
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.
※法二：利用函数有界性
3
x
y
由y＝
x
，得3
x
＝.
3＋11－y
y
∵3
x
＞0，∴＞0，∴0＜y＜1.
1－y
∴原函数的值域为(0,1)，无最值．

1?2
x
变式1：(补充)求函数
f
?
x
?
?
的值域
x
1?2

答案：
?
?1,1
?

法一：换元+分离常数法
※法二：利用函数有界性

变式2：(补充)求函数
f
?
x
?
?

答案：
0,??
?

1?sinx
的值域
1?sinx
?
法一：换元+分离常数法
※法二：利用函数有界性

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.
※6．函数有界性法：(补充)
直接求函数的值域困难时，可以 利用已学过的函数的有界
性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数、指
数函数的有界 性。

例7. （1）《计时双基练》P215第9题
?
?
x
?
xy?0
?
,
定义运算:
x?y?
?
例如:
?
?
y
?
xy?0
?
,
3?4?3,
?
?2
?
?4?4,
则 函数
f
?
x
?
?x
2
?
?
2x? x
2
?

的最大值为



答案:4
《名师一号》P15 特色专题 典例
已知函数f(x) ＝x
2
－2(a＋2)x＋a
2
，g(x)＝－x
2
＋2( a－
2)x－a
2
＋8.设H
1
(x)＝max{f(x)，g(x )}，H
2
(x)＝min{f(x)，
g(x)}(max{p，q}表示p，q中 的较大值，min{p，q}表示p，
q中的较小值)．记H
1
(x)的最小值为A， H
2
(x)的最大值为
B，则A－B＝( )
A．a
2
－2a－16 B．a
2
＋2a－16 C．－16 D．16



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.

【规范解答】 f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a
－4)，g(x)的图象的顶点 坐标为(a－2，－4a＋12)，并且
f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示 ，
H
1
(x)的最小值是A＝－4a－4，H
2
(x)的最大值是B ＝－4a
＋12，所以A－B＝(－4a－4)－(－4a＋12)＝－16.


【名师点评】
本题应是一道难度较高的题目，是对学生思维能力的一个
考验，但通 过数形结合很容易求解，同学们应该认真体会
数形结合这种思想在特定情景下的神奇．


?
a(a?b)
练习：(补充)定义运算
a?b?
?
， < br>?
b(a?b)
求函数
f(x)?(2x?1)?(?x?1)
的值域



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2

.
答案：
?
??,1

小结: 求函数值域的基本方法
7．数形结合法：《名师一号》P14 问题探究 问题（6）
当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；
或利用函数所表示的几何意义，借 助于几何方法求出函数
的值域．
(补充)如两点间距离、直线斜率等等

例7. （2）(补充) 求函数
y?
4sinx?1
的值域
2cosx?4



1
???
1
?4
?
sinx?
?
sinx?
?
?
?
4
??
4
?
可视作单位圆外一点
y?
?
?2
2
?
cosx?2
?
cosx?2
?
1
??P
?
2,?
?
与圆
x
2
?y
2
?1
上的点
?
cosx,sinx
?
所连线
4
? ?
1
??
段斜率的2倍,设过点
P
?
2,?
?的点的直线方程为
4
??
11
y??k
?
x?2?
即
kx?y?2k??0

44
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.
35
?1
解得
k??
或
k?

4121?k
2
?
35
?
答案：
?
?,
?< br>
?
26
?
令


练习：求函数
y?
cosx?1
sinx?2

答案：
?
0,
?

3
变式：求函数
y?
cosx?1
sinx?2

?
??
?
x?
?
?,
?
的值域
?
22
?
2k?
1
4
x?
?
0,
?
?
的值域
?
4
?
??
?
1
?
答案：
?
0,
?

?
2
?

例7. （3）(补充)
求函数
y?x
2
?6x?13?x
2
?4x?5
的值域


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.



y?
?
x?3
?
?
?
0?2
?
?
22
?
?
x?2
?
?
?
0?1
?
22
?PA?PB

其中
P
?
x,0< br>?
,A
?
3,2
?
,B
?
?2,?1
?

答案：
?
34,??

变式：求函数
y?x
2
?6x?13?x
2
?4x?5
的值域





答案：
?
?26,26
?

?
??
y?
?
x?3
?
?
?
0?2?
22
?
?
x?2
?
?
?
0?1?
22
?PA?PB

其中
P
?
x,0
?
,A
?
3,2
?
,B
?
?2,1
?< br>

注意：
求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在
x
轴的
两侧；
求两点距离之差时，要将函数式变形，使两定点在
x
轴的
同侧。
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.


例8.（1）(补充)
求函数
f
?
x
?
?x?sinx

答案：
?
?
?
?
x?
?
,
?
?
的值域.
?
2
?
?
?
?
?1,
?
?

?
2
?


例8.（2）(补充)
求函数
f
?
x
?
?3?xlnx



答案：
?
3?
?
1
?
x?
?< br>,1
?
的值域.
?
4
?
?
?
1
?
,3
?

e
?

小结: 求函数值域的基本方法
8．求导法： 《名师一号》P42 知识点三
《名师一号》P44 问题探究 问题（3）
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.
当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值确定
值域
注意: (补充)
(1)准确熟练记忆求导公式与法则
(2)一般地，如果在区间
a,b
上的函数
y?f(x)

??
的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小
值.
一般地， 求函数
y?f(x)
在
a,b
上的最大值与最小值
??
的步 骤为：
(1)求
y?f(x)
在区间
a,b
内极值.
??
(2)将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)、f(b)
比较，其中最大的一个为最大值，
最小的一个最小值.
一般地，如果在区间
a,b
上的函数
y?f(x)

??
极值存在且唯一,那么它必是相应的最值
（即极大值为最大值，极小值为最小值）.

练习：求函数
f
?< br>x
?
?ln
?
1?x
?
?
1
2x
在
?
0,2
?
上的值域.
4
11
?x
,
1?x2
11
令
?x?0
得
x
2
?x?2?0

1?x2
f
'?
x
?
?
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.
x??2
(舍去)或
x?1

'
当
0?x?1
时,
f
?
x
?
?0
,
f
?
x
?
单调递增
当
1?x?2
时,
f
'
?
x
?
?0
,
f
?
x
?
单调递减
1
f
?
1
?
?ln2?
为极大值, 极大值存在且唯一,最大值
4
又
f
?
0
?
?0, f
?
2
?
?ln3?1?0

1
??
所以值域为
?
0,ln2?
?

4
??

x
2
?x?3
例9. (补充)求
y?
2
的值域
x?x?1





?
11
?
答案：
?
1,
?

?
3
?

另法:分离常数法
小结: 求函数值域的基本方法
※9．判别式法： (补充)
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.
a
1
x
2
?b
1
x?c
1
形如
y?(a
1< br>,a
2
不同时为
0)
的函数可用判别
a
2
x
2
?b
2
x?c
2
式法求其值域.在由
??0且
a(y)?0
，求出
y
的值后，要
检验这个最值在定义域内是 否有相应的
x
的值
注意:
只适用于定义域为
R
且分子、分母没有公因式的情形！
注意：
b
①
y?
型，可直接用不等式性质.
k?x
2
3
?
3
?
如求
y?
的值域（答案：
?
0,
?
）
2
2?x
?
2
?
bxmx?n
②
y?
2
和< br>y?
2
型，先化简，
x?mx?nx?m
'
x?n
'
再用基本不等式或双钩函数
3x
如例3：求
y?
2
的值域
x?x?1
3
?
x?1
?
例3变式2：求函数
y?
2
?
x??1
?
的值域
x?3x?3
x
2
?m
'
x?n
'
③
y?
2
型，通常用判别式法也有的可通过分离
x?mx?n
常数法解决
x
2
?x?3
如例9：求
y?
2
的值域
x?x?1
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.
x
2
?m
'
x?n
'
①
y?
型，与类型②类似，可用判别式法或
mx?n
基本不等式


（三）函数值域的简单综合
例10.《名师一号》P17 高频考点 例3（1）
如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且
1
当x≥时，f(x)＝log
2
(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的
2
最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1



解析：根据f(1＋x)＝f(－x)，
1
可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
2
?
1
?
又函数f( x)在
?
2
，＋∞
?
上单调递增，
??
1
??
故f(x)在
?
－∞，
2
?
上单调递减，
??
则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为
f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)
＝f(3)＋f(1)＝log
2
8＋log
2
2＝4.

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.

给定函数的值域，求参数的取值（范围）
例11. （1）《名师一号》P17 高频考点 例3（2）
即P14 变式思考2（3）
11
函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，
3
x－1
则a＋b＝________.




解析：知f(x)在[a，b]上为减函数，
fa＝1，
?
?
∴< br>?
1
fb＝，
?
3
?
∴a＋b＝6.

例11. （2）《名师一号》P14 高频考点 例3
已知二次函数f(x)＝ax
2
＋bx(a、b是常数，且a≠0)
满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有两个相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不
存在，说明理由．
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1
??
a－1
＝1，
即
?
11
＝
?
?b－1
3
，

?
a＝2，
∴
?

?
b＝4.

.




解析：
(1)方程f(x)＝x，即ax
2
＋bx＝x，亦即ax
2
＋(b－1)x＝0，
由方程有两个相等的实根，得Δ＝(b－1)
2
－4a×0＝0，
∴b＝1.①
由f(2)＝0，得4a＋2b＝0.②
1
由①、②得，a＝－，b＝1，
2
1
故f(x)＝－x
2
＋x.
2
(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，
1111
f(x)＝ －x
2
＋x＝－(x－1)
2
＋
≤
，
2222
11
则2n≤，即n≤.
24
11
2
∵f(x)＝－(x－1)＋的对称轴为x＝1，
22
1
∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数．
4
12
－
?
?
2
m＋m＝2m，
?
fm＝2m，< br>于是有
?
即
?

1
2
?
fn＝2n ，
－
?
?
2
n＋n＝2n，


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.
?
m＝－2 或m＝0，
?
m＝－2，
1
∴
?
又m?

4
n＝－2或n＝0.n＝0.
??
故存在实数m＝－2，n＝0，
使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]．

注意：《名师一号》P14 高频考点 例3 规律方法
①对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域
上用相应方法求函数值域．
②若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影
响，即要考虑分类讨论．
③可借助函数图象确定函数的值域或最值．


练习：
已知函数
f
?
x
?
?ax?
?
2a?1
?
x?3
?
a?0
?
在区间
2

?
3?
?,2
?
上的最大值为
1
，求实数
a
的值。
?
?
2
?



解析：
充分利用二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间
端点取得这一结论求解
解：函 数
f
?
x
?
?ax?
?
2a?1
?
x?3
?
a?0
?
的最大值必
2
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.
3
1?2a
x
1
??
或
x
2
?2
或对称轴
x
0
?
处取得
2
2a
10
?
3
?
（1）令
f
?
?
?
?1
,解得
a??
’
3
?
2
?
1?2a23
?
3
?
此时
x
0
????
?
?,2
?

2a20
?
2
?
3
故
f
?
x
?
的最大值不可能在
x
1
??
处取得
2
3
（2）令
f
?
2
?
?1
,解得
a?’
4
1?2a1
?
3
?
???
?
? ,2
?
此时
x
0
?
2a3
?
2
?
3
??2
1?2a1
且
x
0
?

???
2
2a32
3
故
a?
时,
f
?
x
?
取得最大值
1

4
?3?22
?
1?2a
?
?1
（3）令
f
?
,解得’
a?
?
2
?
2a
?
1?2a
要 使
f
?
x
?
在
x
0
?
处取得最大 值
1

2a
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.
须且只须
a?0
且
x
0
?
经检验,只有
a?< br>1?2a
?
3
?
?
?
?,2
?

2a
?
2
?
?3?22
合题意
2
3
?3?22
综上所述,
a?
或
a?

4
2




练习：已知函数
f
?
x
?
?lgax?2x?a

2
??
（1）若
f
?
x
?
的定义域为R
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
f
?
x
?
的值域为
R
，求实数
a
的取值范围。



答案：（1）
?
1,??
?
（2）
0,1

??



变式：已知函数
f
?
x
?
?lgax?2ax?1

2
??
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. （1）若
f
?
x
?
的定义域为
R
，求实数a
的取值范围；
（2）若
f
?
x
?
的值域为
R
，求实数
a
的取值范围。



闭区间上二次函数最值
求函数
f
?
x
?
?x?2 ax?1
在区间
0,2
上的最值
2
??

?
?
3?4aa?1
答案：
f
?
x
?
max
?
?

a?1
?
?
?1
?
?1a?0
?
?
f
?
x
?
min
?
?
?1?a
2
0?a?2

?
3?4aa?2
?
?


变式：若函数
f
?
x
?
?x?2ax?1
在区间
0,2
上的最小
2
??
值为
?7
，求
a
的取值。


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.
答案：
a?

解法一：
5

2
分析：求得
f< br>?
x
?
min
?
?1
?
?
?
?
?1?a
2
?
3?4a
?
?
a?0
0 ?a?2

a?2

逐段代入求解

解法二：
分析：
二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得
（1）令
f
?
0
?
??7
,不合
故
f
?
x
?
的最小值不可能在
x
1
?0处取得
5
’
2
5
此时须对称轴
x
0
?a??2

2
5
故
a?
时,
f
?
x
?
取得最小值
?7

2
（2）令
f
?
2
?< br>??7
,解得
a?
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.
（3）令
f
?
a
?
??7,解得
a?6
’
要使
f
?
x
?< br>在
x
0
?a
处取得最小值
?7

须且只须且
x
0
?a?0,2

不合题意
综上所述,
a?



课后作业
一、计时双基练P215 基础1-9、P214培优1-4

二、计时双基练P215 基础10-11、培优1-3
课本P14变式思考1、2；
对应训练1、2
补充：
练习：
??
5

2
3x
练习1：求函数
y??3?x
2
的值域
3
?
??
?
分析:令
x?3sint,
?
??t?< br>?

2
??
2
答案:
?
?1,2
?

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.

3x
练习2：求函数
y?
2
的值域
x?x?1


答案：
?3,1

??
变式：求函数
y?
3
?
x?1
?
x?3x?3
2
?
x??1
?
的值域


答案：
?3,0
?

?


1?2
x
1?x
练习3：1、
f< br>?
x
?
?
2、
f
?
x
?
?

x
1?2
2x?5
x
2
?4x?5
3、
f
?
x
?
?
2

x?3x?4

1
??
答案：1、
?
yy??
?
2、
?
?1,1
?

2
??
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. x?5
??
x?1
?
x?5
?
?
3、
f
?
x
?
?
?
x?4且x??1
?
?
x?4
??
x?1
?
x?4
6
??
yy?1且y?
??

5
??


练习4：求函数
y?
sinx?1
的值域
2cosx?4

答案：
?
?,0
?

3

变式：求函数
y?
cosx?1
sinx?2

答案：
?
0,
?

3
变式：求函数
y?
cosx?1
sinx?2

答案：
?
0,
?

2
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?
2
?
?< br>?
x?
?
0,
?
?
的值域
?
4< br>?
??
?
??
?
x?
?
?,
?的值域
?
22
?
?
1
?
??

.



三、计时双基练P215 培优4
课本P14变式思考3；课本P17变式思考3；
补充：
练习：已知函数
f
?
x
?
?lgax?2x?a

2
??
（1）若
f
?
x
?
的定义域为R
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
f
?
x
?
的值域为
R
，求实数
a
的取值范围。



答案：（1）
?
1,??
?
（2）
0,1

??



变式：已知函数
f
?
x
?
?lgax?2ax?1

2
??
（1）若
f
?
x
?
的定义域为R
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
f
?
x
?
的值域为
R
，求实数
a
的取值范围。



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.
闭区间上二次函数最值
求函数
f
?
x
?
?x?2 ax?1
在区间
0,2
上的最值
2
??

?
?
3?4aa?1
答案：
f
?
x
?
max
?
?

a?1
?
?
?1
?
?1a?0
?
?
f
?
x
?
min
?
?
?1?a
2
0?a?2

?
3?4aa?2
?
?


变式：若函数
f
?
x
?
?x?2ax?1
在区间
0,2
上的最小
2
??
值为
?7
，求
a
的取值。


5
答案：
a?

2

解法一：
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.
分析：求得
f
?
x
?
min
?
?1
?
?
?< br>?
?1?a
2
?
3?4a
?
?
a?0
0?a?2

a?2

逐段代入求解

解法二：
分析：
二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得
（1）令
f
?
0
?
??7
,不合
故
f
?
x
?
的最小值不可能在
x
1
?0处取得
5
’
2
5
此时须对称轴
x
0
?a??2

2
5
故
a?
时,
f
?
x
?
取得最小值
?7

2
（3）令
f
?
a
?< br>??7
,解得
a?6
’
要使
f
?
x
?
在
x
0
?a
处取得最小值
?7
< br>（2）令
f
?
2
?
??7
,解得
a?
须且只须且
x
0
?a?0,2

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??

.
不合题意
综上所述,
a?



练习：求函数
f
?
x
?
?ln
?
1?x
?
?
'
5

2
1
2
x
在
?
0,2
?
上的值域.
4
11
f
?
x
?
??x
,
1? x2
11
令
?x?0
得
x
2
?x?2?0

1?x2
x??2
(舍去)或
x?1

'
当
0?x?1
时,
f
?
x
?
?0
,
f
?
x
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单调递增
当
1?x?2
时,
f
'
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x
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?0
,
f
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x
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单调递减
1
f
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1
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为极大值, 极大值存在且唯一,最大值
4
又
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0
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?0, f
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2
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?ln3?1?0

所以值域为
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1
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4
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