高中数学函数单调性.ppt-高中数学哪一节比较好讲
任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、
正切)的定义,能由三角函数的定义求其定义域、
函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3.会应用三角函数的定义解决相关问题.
【要点梳理】
要点一:三角函数定义
设
?
是一个任意角,它的终边与半径是
r
的圆交于点
P(x
,y)
,则
r?x
2
?y
2
,那么:
y
y
做
?
的正弦,记做
sin
?
,即
sin
?
?
;
r
r
xy
(2) 叫做
?
的余弦
,记做
cos
?
,即
cos
?
?
;
rr
y
y
(3)叫做
?
的正切,记做
tan
?
,即
tan
?
?(x?0)
.
x
x
(1)
要点诠释:
(1)三角函数的值与点
P
在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到
原点的距离
r?x
2<
br>?y
2
,那么
sin
?
?
y
x
2<
br>?y
2
,
cos
?
?
x
x
2
?y
2
,
tan
?
?
y
.
x
(2)三角函数符号是一个整体,离开
?
的sin、cos、tan等是没有意义的,它们表示
的
是一个比值,而不是sin、cos、tan与
?
的积.
要点二:三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号:
y
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
-+
o
x
-+
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、
余切
y
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时,有以下口诀:一全正,二正弦,三正切,四
余弦.
要点诠释:
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正;在第二象限正弦值为正,在第三象限
正切
值为正,在第四象限余弦值为正.
要点三:单位圆中的三角函数线 圆心在原点,半径等于1的圆为单位圆.设角
?
的顶点在圆心O,始边与
x
轴正半轴重合,
终边交单位圆于P,过P作PM垂直
x
轴于M,作PN垂直
y
轴于点N.以A为原点建立
y
?
轴与
y
轴同向,与
?
的终边(或其反向延长线)相交于点
T
(或
T
?
),则
有向线段0M、0N、AT(或
AT
?
)
分别叫作
?
的余弦
线、正弦线、正切线,统称为三角函数线.有向线段:既有大小又有方向的
线段.
要点诠释:
三条有向线段的位置:
正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到
x
轴的垂直线段;
余弦线在
x
轴上;
正切线在过单位圆与
x
轴的正方向的交点的切线上;
三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一:三角函数的定义
例1.(1)已知角
?
的终边经过点P(-4a,
3a)(a≠0),求sin
?
,cos
?
,tan
?
,c
ot
?
的
值;
(2)已知角
?
的终边在直线
y?
3x
上,求sin
?
,cos
?
,tan
?
的值.
【思路点拨】先根据点P(-4a,3a)求出OP的长;再分a>0,a<0两种情况结合任意
角的三角函数的定义即可求出结论
3131
34343434
,,3
或
?,?,3
【答案】
(1),
?
,
?
,
?
或
?
,,
?
,
?
(2)
2222
55435543
【解析】
(1)
r?(?4a)
2
?(3a)
2
?5|a|
.
若a>0,则r=5a,角
?
在第二象限,则
sin
?
?
tan
?
?
y3a3x?4a4
??
,
cos?
????
,
r5a5r5a5
x?4a4
y3a3
??
.
???,
cot
?
??
y3a3
x?4a4
若a<0,则r=
-5a,角
?
在第四象限,则
3434
sin
?
??,
cos
?
?
,
tan
?
??
,cot
?
??
.
5543
(2)因为角
?
的终边在直线
y?3x
上,
所以可设
P(a,3a)(a?0)
为角
?
终边上任意一点.
则
r?a
2
?(3a)
2
?2|a|
(a≠0).
若a>0,则
?
为第一象限角,r=2a,所以
sin
?
?
3a3
?
,
2a2
cos<
br>?
?
tan
?
?
a1
?
,
2a2
3a
?3
.
a
3a3
a1
??<
br>,
cos
?
????
,
?2a2
2a2
若a
<0,则
?
为第三象限角,r=-2a,所以
sin
?
?
3
a
?3
.
a
tan
?
?
【总结升华】 三角函
数值的大小与点P在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关.本
题应注意把函数
y??3x
的图象看作以原点为端点的两条射线,故应有两种答案,要善于利
4
用三角函
数的定义及三角函数的符号规律解题.
举一反三:
【变式1】已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
,且
sin
?
?
2m
,求
cos
?
,tan
?
的值.
4
【解析】由题
设知
x??3
,
y?m
,所以
r
2
?|OP|2
?(?3)
2
?m
2
,得
r?3?m
2,
从而
sin
?
?
2m
mm
??
,
2
4
r
3?m
解得
m?0
或
16?6?2
m
2
?m??5
.
当
m?0
时,
r?3,x??3
,
cos
??
xy
??1,tan
?
??0
;
rx
x6
y15
当
m?5
时,
r?22,x??3
,
cos
?
???,tan
?
???
;
r4x3<
br>x6y15
当
m??5
时,
r?22,x??3
,
cos
?
???,tan
?
??
.
r4x3
【高清课堂:任意角的三角函数385947 例2】
【变
式2】已知角
?
的终边落在y=|2x|上,求
cos
?
值.
【答案】
55
或
?
55
【解析】
Q
y=|2x|,
?y??2x
取点P(1,2),
P
'
(?1,2)
r?|OP|?|OP
'
|?5
?cos
?
?
5
x15
或
?
??
5
r5
5
类型二:三角函数的符号
?
17<
br>?
例2.(1)判断
tan
?
?
?
?
的符号
;
?
6
?
(2)若sin
?
=―2cos
?,确定tan
?
的符号;
(3)已知
?
为第二象限角,判断3
sin
?
cos
?
+2tan
?
的符号;
(4)
若sin
?
<0,cos
?
>0,则
?
是第几象限角? <
br>(5)若sin2
?
>0,且cos
?
<0,试确定
?
终边所在象限?
【答案】(1)正(2)负(3)负(4)四(5)三
【解析】(1)因
为
?
?
17
?
以
tan
?
?
?<
br>?
?0
.
?
6
?
17717
7
?
??4
?
?
?
,且
?
是第三象限角,所以
?
?
是第三象限角.所
666
6
(2)由sin
?
=―2cos
?
,知sin
?
与cos
?
异号,故
?
是第二或第四象限角.当
?
是第二
象限角时,tan
?
<
0;当
?
是第四象限角时,tan
?
<0.综上知,tan
?
<0.
(3)因为
?
为第二象限,所以sin
?
>0,cos<
br>?
<0,tan
?
<0,所以3sin
?
cos
?<
br>+2tan
?
<0.
(4)因为sin
?
<0,所以
?
为第三或第四象限角,
又cos
?
>0,所以
?
为第一或第四象限角,
所以
?
为第四象限角.
(5)因为sin2
?
>0,所以
2kπ<2
?
<2kπ+π(k∈Z),
所以
k
?
??
?k
?
?
?
2
(k∈Z).
当k为偶数时,
?
是第一象限;当k为奇数是,
?
为第三象限象.所以?
为第一或第三
象限角.
又因为cos
?
<0,所以
?
为第二或第三象限角,或
?
终边在x轴的非正半轴上.
综上知,角
?
终边在第三象限.
【总结升华】第一象限角,函数值全为正;
第二象限角,只有正弦值为正;第三象限角,
正切值为正;第四象限角,只有余弦角为正.
举一反三:
【变式1】求函数
y?
【答案】{-1,3}
【解析】 由题意知,角x的终边不在坐标轴上.
sinxcosxtanx
???3
;
sinxcosxtanx
sinx?cosxtanx
当x是第二象限角时,
y?????1
;
si
nxcosx?tanx
sinx?cosxtanx
当x是第三象限角时,
y???
??1
;
?sinxcosxtanx
sinxcosxtanx
当x是第
四象限角时,
y?????1
,
?sinxcosx?tanx
sinx|cosx|tanx
??
的值域.
|sinx|cosx|tanx|
当x是第一象限角时,
y?
故函数
y?
sinx|cosx|tanx
??
的值域为{-1,3}.
|si
nx|cosx|tanx|
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号,并将其与函数的值
域、绝对值
等有关知识结合进行综合考查.本题运用了分类讨论思想.分象限讨论各三角函数值的符号<
br>是解决这类问题的基本方法,注意讨论时要不重不漏,所有可能的情况要考虑全面.
类型三:三角函数线的应用
?
?
?
例3.若
?
?
?
0,
?
,求证:
sin
?
?
?
?tan
?
.
?
2
?
【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明.
【证明】
如图,设角
?
的终边与单位圆相交于点P,单位圆与x轴正半轴的
交点为A,过点A作圆的切线交OP的延长线于点T,过点P作PM⊥OA于点M,连接AP,
则:
在Rt△POM中,sin
?
=MP;
在Rt△AOT中,tan
?
=AT.
又根据弧度制的定义
,有
l
?
?
?
?OP?
?
.
AP
易知S
△
POA
<S
扇形
POA
<S
△
AOT
,
111
即
OA?MP?l
?
?OA?OA?AT
,
AP
222
即sin
?
<
?
<tan
?
.
【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数,即用几何方法表示三角函数值,是数形
结合
的有利工具,因此在三角证明求值等问题中,常会有意想不到的作用.
例4.在单位圆中画出满足下列
条件的角
?
的终边范围,并由此写出角
?
的集合:
(1)
sin
?
?
3
1
;(2)
cos
?
??<
br>.
2
2
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解.
?
2
?
2
?
4
?
????
,k?Z
?
(2)
?
?
2k
?
??
?
?2k
??,k?Z
?
【答案】(1)
?
?
2k
?
?
?
?
?2k
?
?
3333
????
【解析】(1)
作直线
y?
3
交单位圆于A、B两点,连接OA、OB,则OA与OB围成
2
的区域,如下图①中阴影部分,即为角
?
的终边的范围.
?
2
?
??
,k?Z
?
. 故满足条件的角
?
的集合为
?
?
2k
?
??
?
?2k<
br>?
?
33
??
1
(2)作直线<
br>x??
交单位圆于C、D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域
2
如
上图②中阴影部分,即为角
?
的终边的范围.
2
?
4
?<
br>??
?
?
?2k
?
?,k?Z
?
. 故满足
条件的角
?
的集合为
?
?
2k
?
?
33<
br>??
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线,可以非常直观方便地求出形如
f(
?
)?m
或
f(
?
)?m
的三角函数的角的范围,起到“
以形助数”的作用.
举一反三:
【变式1】
求满足
cos
?
?
3
的
?
的取值范围.
2
?
11
?
??
?2k
?
,k?Z
? 【答案】
?
?
|2k
?
??
?
?
6
6
??
【解析】作直线
x?
3
与单位圆交于A、B两点,连接OA、
OB,阴影
2
部分便是角
?
的终边范围,如图所示.
终边
在OA上的最小正角为
2
?
?
?
,终边在OB上的最小正角为
6
?
6
?
11
?
.
6
?
11
?
??
?2k
?
,k?Z
?
. ∴角
?<
br>的集合为
?
?
|2k
?
??
?
?
6
6
??
类型四:三角函数定义域的求法
例5.求函数
y?lgsin2x?9?x
2
的定义域
【思路点拨】要使式子有意义,则必须使被开方数大于等于零,然后再解三角不等式.
??<
br>??
【答案】
?
x|?3?x??或0?x?
?
22
??
【解析】 ∵sin2x>0,∴2kπ<2x<2kπ+π(k∈Z),
∴
k
?
?x?k
?
?
?
2
(k∈
Z). ①
又9-x
2
≥0,∴-3≤x≤3. ②
求①与②的交集如图所示,
得
?3?x??
?
2
或
0?x?
?
2
.
??
??
故函数的定义域为
?
x|?3?x??或0?x?
?
.
22
??
【总结升华】
求函数的定义域是一种重要题型,要注意利用数形结合的方法求解,特别
注意tan
?
本身的定义域;在求不等式的交集时,应注意利用数轴求解,有些三角不等式,我
们还可以利用单位圆来
求解.
举一反三:
【变式1】求函数
y?sinx?1?tanx
的定义域.
??
????
【答案】
?
x2n
?
?x?2n
?<
br>?,n?Z
?
U
?
x2n
?
??x?2n
?
?
?
,n?Z
?
42
????
?
?
sinx?0
?
【解析】
由题意得
?
tanx?1
.
?
?
?
x?n
?
?(n?Z)
?2
由图可知:
sin
x≥0时,角x的终边落在图中横线阴影部分;
tan
x≤1时,角x的终边落中图中竖线阴影部分.
从终边落在双重阴影部分的角中排除使
x?
∴该函数的定义域为:
?
2
?2n
?
(n?Z)
的角即为所求.
??<
br>????
x2n
?
?x?2n
?
?,n?ZUx2n
?
??x?2n
?
?
?
,n?Z
?
.
???
42
????
【高清课堂:任意角的三角函数385947 例6】
【变式2】求下列函数的定义域
(1)
y?cosx?lg(2?x?x
2
)
;
(2)
y??sinx?tanx
.
?
?
3
???
【答案】(1)
?
x|?1?x?
?
(2)
?
x|2k<
br>?
?
?
?x?
?
?2k
?
,k?z
?
2
?
2
???
【解析】
??
??
cosx?0
2k
?
??x??2k
?
,(k?z)
?
?
(1)
?
,
22
?
2
?<
br>2?x?x?0
?
?
(x?1)(x?2)?0
?
??
?
?
x|?1?x?
?
2
??
?
?s
inx?0
?
sinx?0,
(2)
?
,
?
?
?
tanx?0
?
tanx?0
3
??
?<
br>?
x|2k
?
?
?
?x?
?
?2k
?
,k?z
?
2
??
【巩固练习】
1.若P(3,y)是角
?
终边上
的一点,且满足y<0,
cos
?
?
3
5
,则tan
?
=( )
A.
?
3344
4
B.
4
C.
3
D.
?
3
2.下列三角函数值结果为正的是( )
A.cos100°
B.sin700°
C.
tan
?
?
2
?
?
?
D.<
br>sin
?
9
?
?
?
?
3
?
?
?
?
4
?
?
3.化简
sin390
0
的值是( )
A.
1
2
B.
?
1
33
2
C.
2
D.
?
2
4.若角
?
的终
边落在直线
x?y?0
上,则
sin
?
1?sin
2
?
?
1?cos
2
?
cos
?
的值等于(
).
A.
2
B.
?2
C.
?2
或
2
D.
0
5.若sin
?
<0且tan
?
>0,则( )
A.
sin
?
2
?0
B.
cos
?
2
?0
C.
tan
?
2
?0
D.以上均不对
6.设角A
是第三象限角,且
sin
A
2
??sin
A
2
,则
A
2
在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.已知
sin
?
?sin
?
,那么下列命题成立的是(
)
A.若
?
,
?
是第一象限角,则
cos
??cos
?
B.若
?
,
?
是第二象限角,则
tan
?
?tan
?
C.若
?
,
?
是第三象限角,则
cos
?
?cos
?
D.
若
?
,
?
是第四象限角,则
tan
?
?tan?
8.已知点P(sin
?
-cos
?
,tan?
)在第一象限,则在[0,2π)内
?
的取值范围是(
A.
?
?
?
3
?
?
?
U
?
?
?
,
5
?
?
?
B.
?
?
?
,
?
?
?
2
,
4
??
4
?
U
?
5
?
?
?
?
42
?
?
?
?
,
4
?
?
)
?
?
3
?
C.
?
,
?
24
??
5
?
3
?
??
??
??
3
?
?
U,
,
?
?
D.
????
,
?
U
?
42
424
???
?
???
9.若角
420
o
终边上有一点
?
?4,a
?
,则
a
的值为 .
10.已知角
?
的终边经过点P(
3a?9,a?2
),且
sin
?
?0,cos<
br>?
?0,
则
?
的取值范围
为 . 11.若
?
?
?
6
,则cos2
?
=____
____;若
cos2
?
??2k
?
(k∈Z)
1
,则
?
=________.
2
12.方程
sinx?
1
?a
?
?
?
在
?
,
?
?
上有两个
实数解,则实数
a
的取值范围为 .
2
?
3<
br>?
?
?
?
13.已知角
?
的终边过点P(-3cos
?
,4cos
?
),其中
?
?
?
,
?
?
,求sin
?
,cos
?
,tan
?
的
?
2
?
值.
14.已知
?
?(0,)
,
2
(1)比较
?、
sin
?
、
tan
?
的大小;(2)求证:
sin
?
?cos
?
?1
.
15.求下列三角函数的定义域:
(1)
y?2cosx?1
;(2)y?lg(3?4sin
2
x)
.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】
由
cos
?
?
2.【答案】C
24
4
?
2
?
【解析】 由于
?
???2
?
?
?
,
?
在第三象限,∴
tan?
?
?
?
?0
.
33
3
?
3
?
x3y?44
?
知r=5,∴
y??5
2
?3
2
??4
,∴
tan
?
????
.
r5x33
?
3. 【答案】A
【解析】
sin390
0
?sin(360
0
?30
0
)?sin(180
0<
br>?60
0
)?sin30
0
?
4. 【答案】D
【解析】
sin
?
1?cos
2
?
sin
?
???
,
2
cos
?
cos
?
co
s
?
1?sin
?
sin
?
1
2
当
?
是第二象限角时,
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
?????0
;
cos
?
c
os
?
cos
?
cos
?
当
?是第四象限角时,
5.【答案】D
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
????0
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
【解析】 ∵sin
?
<0且tan
?
>0,∴
?
是第三象限角,∴
cos<
br>?
?
是第二、四象限角,∴
sin
与
2
2
?
2
正负不确定,故A、B不对;而
tan
?
2
?0
,C不对,故选D.
6.【答案】D
【解析】
∵角A是第三象限角,则
sin
A
A
?0
,∴是第四象限,故选D.
2
2
AA
A
可能是第二或第四象限角,又
sin??sin
,故
22
2
7. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可.
8.【答案】B
?
sin
?
?cos
?
?0
?
sin
?
?cos
?
【解析】
由题意,得
?
,∴
?
,
tan
?
?0tan?
?0
??
∴
2k
?
?
?
4
?
?
?2k
?
?
?
2
或
2k
?<
br>?
?
?
?
?2k
?
?
?
?
.
?
5
?
,k∈Z,
4
?
??
??<
br>5
?
而
?
∈(0,2π),
?
?
?
,
?
U
?
?
,
4
?
42
??9.【答案】
?43
【解析】
tan420
0
?a
,a??4tan420
0
??4tan60
0
??43
?4
10.【答案】
?
?2,3
?
【解
析】因为cosa≤0,sina>0,所以π2≤a<π,所以P在第二象限或在y轴的正半轴上,
所
以3a-9≤0,且a+2>0,解得-2<a≤3.
1
?
11.【答案】
k
?
?
(k∈Z)
26
【解析】 当
?
?
当
cos2
?
?
?
?
?
?
1
?
?2k
?
(k∈Z)时,
cos2
?
?cos<
br>?
4k
?
?
?
?cos?
;
3
?
32
6
?
1
?
?
时,有
2
??2k
?
?
或
2
?
?2k
?
?
(k∈Z),
233
∴
?
?k
?
??
6
(k∈Z).
12.【答案】
?1?a?1?3
【解析】在单位圆中画出正弦线
sin
?
,若要使方程有两个实根,即一个函数值
,能得到两个
x
与之对应,只能是
31?a
??1
,解之得:
?1?a?1?3
.
22
?
?
?
?
?
?
,
?
?
2
??
13.【解析】因为,所以cos
?
<0,所以
r?(?3cos
?
)
2
?(4cos
?
)
2
?5|cos
?
|??5cos
?
. <
br>于是
sin
?
?
4cos
?
4?3cos
?
34cos
?
4
??
,
cos
?
??,
tan
?
???
.
?5cos
?
5?5c
os
?
5?3cos
?
3
14.【解析】(1)设单位圆半径是1,
sina=圆内小三角形面积S
1
×2,a=圆弧所围面积S
2
×2
tana=圆外大三角形面积S
2
×2,S
3
>S
2
>S
2
所以:sina<a<tana
(2)在上图中,有三角形两边之和
大于第三边,证得
1?sin
?
?cos
?
。
15.【解析】(1)如图(1),∵2cos
x-1≥0,∴
cosx?
1
,
2
??
??
∴<
br>x?
?
2k
?
?,2k
?
?
?
(k
∈Z).
33
??
(2)如图(2),∵3-4sin
2
x>0,
∴
sin
2
x?
∴
?
33
?sinx?
.
22
3
.
4
??
??
2
?
4
?
??
,2k
?
?
∴
x?
?
2k
?
?,2k
?
?
?
U
?
2k
?
?
,
?
(k∈Z)
3333
????
??
??
即
x?
?
k
?
?,k
?
?
?
(k∈Z).
33
??