高中数学教师课堂艺术-高中数学教材全解金星怎么样
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质
【学习目标】
1.了解
A,
?
,
?
对函数图象变
化的影响,并会由
y?sinx
的图象得到
y?Asin(
?
x?<
br>?
)
的图
象;
2.明确函数
y?Asin(
?x?
?
)
(
A
、
?
、
?
为常
数,
A?0,
?
?0
)中常数
A
、
?
、<
br>?
的物
理意义,理解振幅、频率、相位、初相的概念.
【要点梳理】
要点一:用五点法作函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图
象
用“五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)
的
简图,主要是通过变量代换,设
z?
?
x?
?
,由z取
0,
?
3
,
?
,
?
,2
?
来求出相应
的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
22
要点诠释:用“五点法”作y?Asin(
?
x?
?
)
图象的关键是点的选取,其中横坐标
成等差
数列,公差为
T
.
4
要点二:函数
y?Asin(
?
x?
?
)
中有关概念
y?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0
?
表示一个
振动量时,A叫做振幅,
T?
f?
1
?
叫做频率,
?
x?
?
叫做相位,x=0时的相位
?
称为初相.
?
T2
?
2
?
?
叫做周期,
要点三:由
y?sinx得图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
1.振幅变换:
y?Asinx,x?R
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦
曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)
或缩短(0是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象,再以x轴
为对称轴翻折.A称为振幅.
2.周期变换:
函数
y?sin
?
x,x?R
?
?
?0且
?
?1
?
的图象,可看作把
正弦曲线上所有点的横坐标缩短
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1
?
到原来的
再作图.
?
决定了函数的
周期.
3.相位变换:
1
倍(纵坐标不变).若
?
?0
则可用诱导公式将符号“提出”
?
函数
y?sin
?
x?
?
?
,x?R
(其中
?
?0
)的图象,可以看作把正弦曲线上
所有点向左(当
?
>0时)或向右(当
?
<0时)
平行移动
?
个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加
右减”).
要点诠释:一般地,函数
y?Asin(
?
x?
?
)
?<
br>A?0,
?
?0
?
,x?R
的图象可以看作是用下面
的方法得到的:
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(
?
>0)或右(<
br>?
<0)平行移动
?
个单位;
(2) 再把所得各点的横坐标缩短<
br>?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1<
br>?
到原来的
1
倍(纵坐标不变);
?
(3)
再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0【典型例题】
类型一:三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
例1.画出函数y=sin(x+
【解析】
法一:(五点法):
列表
x
?
?
),x∈R的简图.
3
?
3
?
3
?
sin(x+
3
)
x+
描点画图:
0
?
6
?
2
1
2
?
3
?
7
?
6
3
?
2
5
?
3
2
?
0 0 -1 0
法二:(图象变换)
函数y=sin(x+
度而得到.
?
?),x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长
33
?
),x∈R的简图.
3
2
?
【解析】(五点法)由
T?
,得
T?
?
,列表:
2
?
?
?
?
x
612
3
??
?
2x+
0
32
?
3sin(2x+)
0 3 0
3
例2.画出函数y=3sin(2x+
描点画图:
7
?
12
3
?
2
5
?
6
2
?
0 -3
这种曲线也可由图象变换得到:
【总结升华】由y=sinx的图象变换出
y?sin(
?
x?
?
)
的图象一般有两个途径,只有区别
开这两个途径,才能灵活进行图象变换.
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(
?
>0)或向右(
?
<0)平移
?<
br>个单位,再将图象上各点的横坐标
变为原来的
1
倍<
br>?
?
?0
?
,便得
y?sin(
?
x??
)
的图象.
?
1
倍
?
?
?0?
,再沿x轴向左(
?
>0)或向
?
途径二:先周期变换(伸缩
变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
右(
?<0)平移
|
?
|
?
举一反三:
个单位,便得
y?sin(
?
x?
?
)
的图象.
?
x
?
?
【变式1】已知函数
y?2sin
??
?
.
?
23
?
(1)作出函数的简图;
(2)指出其振幅、周期、初相、值域.
?
x
?
?
【解析
】(1)
y?2sin
?
?
?
?
23
?
列表:
x
x
?
?
23
2
?
?
3
0
0
?
3
?
2
2
4
?
3
?
0
7
?
3
3
?
2
10
?
3
2
?
0 y
-2
描点画图,如下图所示:
?
2
?
10
?
?
,<
br>把
?
?
之间的图象向左、右扩展,即可得到它的简图.
?
3
3
??
(2)振幅为2,周期为4π,初相是
?
,最大值为2,最小值为―2
,故值域是[―2,2].
3
?
??
【变式2】如何由函数y=sin
x的图象得到函数
y?3sin
?
2x?
?
的图象?
3
??
【解析】 解法一:
y?sinx
向右平移个单位长度<
br>3
?????????
?
?
?
将各点的横坐标缩短为原来的<
br>2
倍
?
?
y?sin
?
x?
?
??
??????????y?sin(2x?)
3
?
3
?
1
?
??
将各点的纵坐标伸长为原来的3倍
?????????
???
y?3sin
?
2x?
?
.
3
??
解法二:
y?sinx
1
2
??????
?????
将各点的横坐标缩短为原来的
y?sin2x
向右平移个单位长度
6
?????????
?
?
?
?
?
?<
br>将各点的纵坐标伸长为原来的3倍
?
?
?
?
?
???
y?sin
?
2
?
x?
?
?
??
??????????y?3sin
?
2
?
x?
?
?
?3sin
?
2x?
?
.
6
?
?
6<
br>?
?
3
??
?
?
?
?
【总结升华】
本题用了由函数y=sin x(x∈R)的图象变换到函数
y?Asin(
?
x?<
br>?
)
(x∈R)
的两种方法,要注意这两种方法的区别与联系.
类型
二:三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式
【高清课堂:正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图
象与性质 370634 例3】
例3.已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)?k
(
A?0
,
?
?0
,
|
?
|?
是
(2,2)
,最低点为
(8,?4)
,求f (x)的解析式.
【解析】
由题
y
max
?2,y
min
??4
?A?3,k??1
?
2
),在同一周期内的最高点
又<
br>x?2
是函数的最大值点,
x?8
是函数的最小值点
?
2<
br>?
?
?2?(8?2)?12
,
?
?
?
?<
br>6
?2?
?
?
又函数最高点为(2,2),即
?<
br>?
?
?
6
?
2
?
6
?y?3sin(x?)?1
66
??
【总结升华】求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式,
?
值是关
键,最常用的方法是找平衡点
法,即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点(x
0
,0),与正弦曲线上(0,0)点对
应,即
?
x
1
?
?
?k
?
?
举一反三:
|
?
|?
【变式1
】已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
(A>0,ω>0,
?
2
,选取k值,确定符合条件的k值.
?
2
)的图象的
一个最高点为
(2,22)
,
由这个最高点到相邻最低点,图象与x轴交于点(6,0
),试求函数的解析式.
【解析】由已知条件知
A?22
,又
∴T=16,
?
?
T
?6?2?4
,
42
?
2
??
?
?
?
??
,∴
y?22sin
?
x?
?
?
.
T168
?
8
?
?
?
?
∵图象过点(6,0),∴
0?22sin<
br>?
?6?
?
?
,
?
8
?
∴
3
?
,
?
?
?k
?
(k∈Z)
4
又
|
?
|?
?
2
,∴令k=1可得
?
?
?
4
,
?
?
?
?
∴
y?22sin
?
x?
?
.
4<
br>??
8
?
??
【变式2】如下图为正弦函数
y?Asin(<
br>?
x?
?
)
?
|
?
|?
?
的一个周期的图象,写出函数的
2
??
解析式.
【解析】由题图知,A=2,T=7―(―1)=8,
?<
br>?
2
?
2
??
?
?
?
??
,∴
y?2sin
?
x?
?
?
T84
?
4
?
?
?
?
将点(―1,0)代入,得
0?2si
n
?
??
?
?
.
?
4
?
∴?
?
??
??
?
,∴
y?2sin
?
x?
?
.
4
?
4
?
4
类型三:函数y?Asin(
?
x?
?
)
的性质的综合运用
例4.
已知函数
y?Asin(
?
x?
?
),x?R,(其中A?0,?
?0,0?
?
?
邻两个交点之间的距离为
(1)求
f
(x)
的解析式;
?
2
)
的图象与
x
轴的交点
中,相
2
?
?
,且图象上的一个最低点为
M(,?2)
.
3
2
?
??
?
(2)当
x?
?
,
?
时,求
f(x)
的值域.
?
122
?
【思路点拨】先由图象上的一个最低点A的值,再由相邻两个交点之间的距离确定?
的
值,最后由点
M
在图象上求得
?
的值,进而得到函
数的解析式;先由
x
的范围,求得
2x?
范围,再求得
f(x)的值域.
2
?
,?2)
,得
A?2
31
?
?
由
x
轴上相邻两个交点之间的距离为,得
T?<
br>,即
T?
?
22
2
2
?
2
?
所以
?
???2
T
?
2
?
2
?
4
?
由点
M(,?2)
在图象上,得
2sin
(2??
?
)??2
,即
sin(?
?
)??1
,
333
4
?
?
11
?
故
?
?=
2k
?
?,k?z
,所以
?
?2k
?
?(k?z)
326
?
6
的
【解析】(1)由最低点为
M(
又
?
?(0,)
,所以
?
?
26
故
f(x)
的解析式为
f(x)?2sin(2x?)
. <
br>6
?
?
?
?
?
?
7
?
??
??
?
(2)因为
x?
?
,
?
,所以2x??
?
,
?
6
?
36
?
?
122
?
当
2x?
?
?
66
2
?
7
??
当
2x?
=,即
x?
时,
f(
x)
取得最大值为-1.
662
=,即
x?
?
时,
f(x)
取得最大值为2;
【总结升华】利用三角函数图象与
x
轴的相邻
两个交点之间的距离为三角函数的
1
个最小
2
正周期,去求解参数
?
的值,利用图象的最低点为三角函数最值点,去求解参数A的值等,
在求函数值域时,由定义域
转化成
?
x?
?
的范围,即把
?
x?
?
看
作一个整体.
举一反三:
【变式1】已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的图象过点
P(,0)
,图象上与点
P
最
12
近的一个最高点是
Q(,5)
.
3
(1)求函数的解析式;
(2)求函数
f(x)
的递增区间.
【解析】(1)依题意得:
A?5
,周期
T?4(?)?
?
,
312
?
?
??
?
?
2
?
?2
,故
y?5sin(2x?
?
)
,又图
象过点
P(,0)
,
?
12
?
?5sin(?
?
)?0
,解得:
?
?
?0
,即
?
??
666
?y?5sin(2x?)
.
6
?
?
?
?
(2)由
?
得:
?
?
2
?2k?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?,k?z
?
6
?k
?
?x?
?
3<
br>?k
?
,k?z
?
?
?
?
故函数
f(x)
的递增区间为:
?
??k
?
,?k
??
,k?z
.
3
?
6
?
【变式2】设函数<
br>f(x)?Asin(
?
x?
?
)
(A≠0,ω>0,
|
?
|?
对称,它的周期是π,则( )
?
1
?
?
5
?
2
?
?
A.
f(x)
的图象过点<
br>?
0,
?
B.
f(x)
在
?
,
?
上是减函数
?
1
23
?
?
2
?
?
5
?
?
C.f(x)
的一个对称中心是
?
,0
?
D.
f(x)
的最大值是A
?
12
?
?
2
)的图象关于直线
x?
2
?
3
【答案】 C
【解析】
∵周期T=π,∴
2
?
?
?
,又ω>0,∴ω=2.
|<
br>?
|
又∵
f(x)
的图象关于直线
x?
∴
?
?
2
?
2
?
3
?
对称,∴
2?<
br>.
?
?
?
332
?
?
???
A<
br>?
,∴
f(x)?Asin
?
2x?
?
.∴图象过<
br>?
0,
?
.
6
?
6
??
2
?
5
?
?
5
?
时,
2x??
?
,则
f()?0
,
12612
又当
x?
?
5?
?
∴
?
,0
?
是
f(x)
的一个对
称中心.
?
12
?
【总结升华】 与研究其他函数的性质一样,研究函数<
br>f(x)?Asin(
?
x?
?
)
(A≠0,ω>0,
|
?
|?
?
2
)的性质时,往往先画出其图象,并注意各性质之间
的关系.
【巩固练习】
1.已知函数y?Asin(
?
x?
?
)
在一个周期内,当
x?得最小值-2,那么( )
?
12
时,取得最大值2,当
x?<
br>7
?
时取
12
1
??
sin(x?)
B.y?2sin(2x?)
233
?
x
?
C.y?2sin(2x?)
D.y?2sin(?)
626
A.y?
2.如图,已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象(部分),则函数的表达式为( )
10
?
x?
)
116
10
?
B.y=2sin(
x?
)
116
?
C.y=2sin(2x+)
6
?
D.y=2sin(2x-)
6
A.y=2sin(
?
?
?
?
3.把函数
y?sin
?
x?
?
的图象向右平移个单位得到的函数解析式为( )
6
?
6
?
?
?
?
???
A.y=sin x B.y=cos x
C.
y?sin
?
x?
?
D.
y?cos
?
x?
?
3
?
3
?
?
?
4.函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin
x的图象按下列哪种变换得到的?( )
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的
1
倍
2
1
倍
2
B.纵坐标变为原来的2倍,横坐标变为原来的
C.横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍
D.纵坐标变为原来的
1
倍,横坐标变为原来的2倍
2
?
??
5.已知函数
f(x)?sin
?
?
x?
?
(
x?R,
?
?0)
的最小正周期为π,将
y?f(x)
的图象向左平
移
4
??
|
?
|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则
?
的一个值是( )
A.
3
?
???
B.
C. D.
8
248
?
??
6.为得到函数
y?c
os
?
x?
?
的图象,只需将函数y=sin x的图象( )
3
??
A.向左平移
??
个单位长度
B.向右平移个单位长度
66
C.向左平移
5
?
5
?
个单位长度
D.向右平移个单位长度
66
?
x
?
?
7.函数f(x)
=2sin
?
?
?
,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为( ) <
br>?
26
?
A.{x|x=4kπ-
C.{x|x=4kπ-
2
2
π,k∈Z} B.{x|x=4kπ+π,k∈Z}
33
??
,k∈Z} D.{x|x=4kπ+,k∈Z}
33
?
??
8.函数
f(x)?3sin
?
2x?
?
的图象为C,
3
??
①图象C关于直线
x?
y=3s
in2x的图象向右平移
11
?
?
5
?
?
?
对称;②函数
f(x)
在区间
?
?,
?
内是增函数;③由
12
?
1212
?
?
个单位长度可以得到图象C.
3
以上三个结论中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
?
?
9.
f(x)?cos(
?
x
?)
的最小正周期为,其中
?
?0
,则
?
?
.
6
5
?
10.将函数y=sin x的图象向左平移个单位,再向上平移
1个单位,得到的图象的函数解析
3
式是________.
11.有下列四种变换方式:
11
??
,再将横坐标变为原来的;②横坐标
变为原来的,再向左平移;③
22
48
11
??
横坐标变为原来的,
再向左平移;④向左平移,再将横坐标变为原来的.
22
48
①向左平移
?
??
其中能将正弦曲线y=sin
x的图象变为
y?sin
?
2x?
?
的图象的是________.
4
??
?
??
12.如图是函数
y?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0,|
?
|?
?
的图象的一部分,则A=________,
2
??
?=________,
?
=________.
13.函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k
当
x?
?
A?0,
?
?0
?
在同一周期内,当<
br>x?
5
?
7
时,y有最大值为,
33
11
?
2
时,y有最小值
?
,求此函数的解析式.
33
14.设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?
?
?
?
?0),y?f(x)
图象的一条对称轴是直线
x?
(Ⅰ)求
?
;
(Ⅱ)求函数
y?f(x)
的单调增区间.
15.已知函数
f(x)?2cos(
?
x?)(
?
?0)
的最小正周期为
?
.
3
(1)求
?
的值;
?
??
?
(2)求
f(x)
在
?
?,
?上的取值范围.
?
44
?
?
8
.
?
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】A=2,
2. 【答案】C
3.【答案】C
T
?<
br>?
?
??
?
?2
,代入点(,2)得到
?
?
.
12
223
?
?
向右平移
6
???
?
????
【解析】
y?sin
?
x?
?<
br>?????y?sin
?
x??
?
?sin
?
x?<
br>?
.
6
?
66
?
3
????
4.【答案】B
周期变小振幅变大
【解析】
y?sinx?????y?2sin2x
. <
br>1
?y?sin2x????
纵坐标2倍
横坐标
2
?
5.【答案】D
【解析】由T=π
?
ω=2,
?
?
向左平移|
?
|
?
?
?
????
f(x)?sin
?
2x?
?
??????y?sin
?
2(x?
?
)?
?
?sin
?
2x?2
?
?
?
,
4
?
4
?
4
????
2
?
?
?
4
?k
?
?
?
2
(k?Z)
.∴
?
?
k
??
?
?
,当k=0时,
?<
br>?
.
288
6.【答案】C
?
?
?
?
5
???
?
?
【解析】
y?cos
?
x
?
?
?sin
?
?x?
?
?sin
?
x?
?
?
.
3
?
3
?
6
???
2
?
7.
【答案】A
8. 【答案】C
【解析】对于①,当
x?
x?
?
?
11
?
11
??
11
?
时,
f
?
?
?
?3sin
?
2??
?
?
??3
,因此图象C关于直线
3
?
12
?
12
??
12
11
???
?
5
?
,k∈Z,令k=0,
?
对称;对于②,由
2k
?
?2x
??2k
?
?
得
k
?
??x?k
?
?122321212
?
?
?
5
?
?
得函数f(x)
在区间
?
?,
?
内是增函数;对于③,由y=3sin
2x的图象向右平移个单位长
3
?
1212
?
2
??
度可以得到
y?3sin
?
2x?
?
?
,故①②正确;③
不正确.
3
??
9.【答案】10
?
??
10.【答案
】
y?sin
?
x?
?
?1
3
??
?
??
上移1
3
?y?sin
?
x?
?<
br>?
????y?sinx?
【解析】
y?sinx???
?????1
.
3
?
3
???
左移
?
11.【答案】①② <
br>【解析】对于①,
y?sinx
4
????
左移
?
?
?
周期变为
2
?
???
y?sin
?
x?
?
?????y?sin
?
2x?
?
,故①正确;
4
?
4
???
左移
1
对于②,
y
确.
1
周期变为
2
?y?sinx????
2
?y?sin?
2
?
x?
?
?
?
?sin
?
2x?
?
?
,
?sin2x???
?
?
??故②正
?
?
8
?
?
4
??
?
?
?
12.【答案】2 2
?
3
15
???
【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2.由图象可得半周期
T???
,所
2632
以
T?
?
?
|
?
|?2
?
?
,ω=2,所以
y?2sin(2x?
?
),当
x?
?
?
2
?
?
?
?
?
?0
,又因为时,y=0,即
2sin
?
3
?
3<
br>?
.
3
31
?
5
13.
【答案】
y?sin(x?)?
2236
2
?
,所以?
?
?
【解析】∵函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k(A?0,
?
?0)
当
x?
5
?
711
?
2
时,y取最大值,当x=时,y取最小值
?
3333
72
?
735
3
∴可知
A=
33
?
,
k???
326
22
11
?
5
?
周期
T?2?(?)?4
?
33
2
?
1
故
?
??
4?
2
3x55
?
?
得到:
y?sin(?
?<
br>)?
,将
x?
代入,得
?
??
22633
31
?
5
得到
y?sin(x?)?
.
2236
14. 【解析】(Ⅰ)
?x?
?
?
8
是函数y?f(x)
的图象的对称轴,
?sin(2?
3
?
.
4
?
8
?
?
)??1,
?
4<
br>?
?
?k
?
?
?
2
,k?Z.
??
?
?
?
?0,
?
??
3
?<
br>3
?
,因此y?sin(2x?).
44
?
3??
?
5
?
由题意得:
2k
?
??2x??2
k
?
?,k?Z
,
?k
?
??x?k
?
?
,k?Z
24288
?
5
?
3
?
所以函
数
y?sin(2x?)
的单调增区间为
[k
?
?,k
?<
br>?],k?Z.
88
4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
?
??<
br>15.【解析】(1)
?
?2
?
(2)
f(x)?
?
?
?3,2
?
.