数学知识点：导数的概念及其几何意义

数学知识点：导数的概念及其几何意义
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x 2是其定义域内不同
的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称
为函数f(x) 从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平
均变化率
上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，

瞬时速度:
如 果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速
度v就是物体在t到这段时间内，当时平 均速度的极限，即

若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时
速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．

函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬 时变化率是，我们称
它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。

导函数：
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称
在( a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数
值的函数为fx）在(a，b)内的导函数 ，简称为f（x）在(a，
b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=

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切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f （x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））
（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0 ））时，割线
PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P
处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切
线PT的斜率k，即k=。
瞬时速度特别提醒：


①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极
限，
函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时,高考化学，比值的极限存在，则f （x）在点x0处可
导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．

②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，
但．而函数的增量可正可负，也可以为0．< br>③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
导函数的特点：



①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函
数是偶函数，
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
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④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义 域（a，b）,且导
函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．

⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端
点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：

①利用导数求曲线的切线方程． 求出y=f(x)在x0处的导数
f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0
=f′(x0)（x- x0）．
②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有
切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））
处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导
数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
③注 意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者
P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是 切点也可
以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，

④显然f′（x0）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）

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