高中数学选择题满分-牛校高中数学竞赛用什么书
●高考明方向
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简
单函数的周期性.
★备考知考情
1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利
用奇偶函数
图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求
函数值,根据函数奇偶性求参数值等.
2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知
识交汇命题.
3.多以选择题、填空题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P18
注意:
研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一
函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
1
3.奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
知识点二 奇函数、偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
2.
若f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则
f(0)?0
.
3.
若f(x)为偶函数,则
f(x)?f(?x)?f(|x|)
.
《名师一号》P19 问题探究 问题1
奇函数与偶函数的定义域有什么特点?
(1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于
原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇
偶性的一个
必要条件.
(2)判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的
每一个x, 均有f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x),
而不能说存在x
0
使f(-x
0
)=-f(x
0
)、f(-x
0
)=f(x
0
).
(补充)
1、若奇函数
f(x)<
br>的定义域包含
0
,则
f(0)?0
.
f(0)?0
是
f(x)
为奇函数的
既不充分也不必要条件
2.判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法:
1)首先要研究函数的定义域,
2
2)其次要考虑
f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关系,
也可以用定义的等价形式:
f(x)?f(?x)?0
(对数型函数用),
f(x)
.
??1
(指数型函数用)
f(?x)
3)分段函数应分段讨论
(2)图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.
(3)复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数可依
若干个函数的奇偶性而定,概括为
“同奇为奇,一偶则偶”.
注意:证明函数的奇偶性的方法只有定义法
知识点三 函数的周期性
1.周期函数:
对于函数y=f(x),如果存
在一个非零常数T,使得当
x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么就
称函数y=f(x)为周期函数,称非零常数T为这个函数的
周期.
2.最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正
数,那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期.
并不是任何周期函数都有最小正周期,
如常量函数
f(x)?a(x?R)
;
3
3.几个重要的推论
(1)《名师一号》P19 问题探究 问题3
若函数
f(x)
恒满足
f(x?a)??f(x)
(a?0)
,
f(x)
恒满足
f(x?a)?
1
(a?0)
,
f(x)
则
f(x)
是周期函数,
2a
是它的一个周期;
若函数
则
f(x)
是周期函数,
2a
是它的一个周期; <
br>若函数
f(x)
恒满足
f(x?a)??
1
(a?0)
,
f(x)
则
f(x)
是周期函数,
2a
是它的一个周期;
(补充)若函数
f(x)
恒满足
f(x?a)?f(x?b)
,
则
f(x)
是周期函数,
a?b
是它的一个周期;
(2)(补充)注意区分:
若
f(a?x)?f(a?x)
(或
f(x)?f(2a?x)
)
则函数
f(x)
关于
x
若
f(x)??f(2a?x)
则函数
f(x)
关于点
推广:若函数
?a
对称。
?
a,0
?
对称。
f(x)
恒满足
f(a?x)?f(b?x)
a?b
则
f(x)
图象的对称轴为
x?
。
2
4
(3)(补充)
已知奇函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称,
则
f
?
x
?
是周期函数,且
4a
为其中的一个周期
若偶函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称,
则
f
?
x
?
是周期函数,且
2a
为其中的一个周期
二、例题分析:
(一)证明(判断)函数的奇偶性
例1. (补充)
判断下列函数的奇偶性.
2+x
(1)f(x)=(2-x).
2-x
?
x+2
x<-1
(2)f(x)=
?
0 |x|≤1
?
-x+2
x>1
(3)f(x)=
.
11
+ (a>0且a≠1)
a
x
-1
2
解析:
2+x
(1)由
≥0得定义域为[-2,2),关于原点不对称,
2-x
故f(x)为非奇非偶函数.
5
(2)x<-1时,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
x>1时,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x).
-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,
f(-x)=0=f(x).
∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).
因此f(x)是偶函数.
(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},
其定义域关于原点对称,并且有
f(-x)=
1111a
x
1
a
-
x
-1
+
2
=
1
+
2
=
1-a
x
+
2
a
x
-1
1-a
x
=-
-1
1-a
x
+
1
2
=-1+
11
1-a
x
+
2
=-
?
?
11<
br>?
?
a
x
-1
+
2
?
?
=
-f(x).
即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
)
函数
y?
9?x
2
(4)(
补充
|x?4|?|x?3|
的图
象关于
(
A
.
x
轴对称
B
.
y
轴对称
C
.原点对称
D
.直线
x?y?0
对称
答案:B
)
6
注意:(补充)
1.如何判断函数奇偶性:
第一,求函数定义域,看函数的定义域是否关于原点
对称
,若不对称,则该函数为非奇非偶函数.
第二,若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的,
则对函数进行适当的化简,以便于判断,化简时要保持定
义域不改变;
第三,利用定义进行等价变形判断.
第四,分段函数应分段讨论,要注意据x的范围取相
应的函数表达式或利用图象判断.
2.分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观.
(3)验证f(-x)+f(x)=0更方便些.
温故知新P13
知识辨析2(1)(2)
(1)
f(x)?log
2
x?x
2
?1
既不是奇函数也不是偶函数( )
(2)
f(x)?
?
x?1
?
1?x
是偶函数( )
1?x
?
?
答案:(1)奇函数(2)非奇非偶
注意:
1、关注定义域
2、利用函数奇偶性定义的等价形式:
7
f(x)?f(?x)?0
(对数型函数用),
f(x)
f(?x)
??1
(指数型函数用)
练习:(补充)判断下列函数的奇偶性.
(1)
f(x)?
lg
?
1?x
2
?
x?2?2
(2)
f(x)?
?
?
?
x
2
?x?
x?0
?
?
?
x
2
?x
?
x?0
?
(3)
f(x)?3?x
2
?x
2
?3
(4)
f(x)?x
2
?x?a?2
f(x)?
2
x<
br>(5)
?1
2
x
?1
答案:(1)奇 (2)偶 (3)既奇又偶
(4)
a?0
偶;
a?0
非奇非偶
f(a)?f
?<
br>?a
?
f(a)?f
?
?a
?
?0
注意:否定函数奇偶性:
只须说明在定义域
D
中,
?x0
?D
,使
f(?x
0
)??f
?
x
0
?
(5)证明:函数
f
?
x
?
的定义域为R,
8
2
x
?12
且
f(x)?
x
,所以
?1?
x
2?12?1
2222
f(?x)?f(x)?(1??x
)?(1?
x
)?2?(
x
?
?x
)
2?12?12?12?1
22?2
x
2(2
x
?1)
?2?(
x
?)?2?
x
?2?2?0
.
2?12
x
?12?1
即
f(?x)??f(x)
,所以
f(x)
是奇函数.
(二)函数奇偶性的应用
1、已知函数奇偶性,求值
例1.(1)《名师一号》P19 对点自测 4(2)
1
已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x
2
+
x
,
则f(-1)=-2.( )
例1.(2)(补充)已知函数
f(x)?lg
1?x
,
1?x
1
f(a)?
若,则
f(?a)
等于( )
2
1
1
A.
B.
?
C.
2
D.
?2
2
2
9
答案:B
注意:(补充)
(1)
一般关于
f(a)
与
f(?a)
的值或关系的问题
首先考虑奇偶性。
(2) 已知函数的奇偶性注意利用
f
?<
br>x
?
与
f
?
?x
?
的关系
温故知新P23 第3题
(2013辽宁)已知函数
f(x)?log
2<
br>?
1?9x
2
?3x?1
,
?
1
则
f(lg2)?f(lg)?
2
《名师一号》P19 变式思考1(2)
x
2
?x?1
2
,若
,
则
f
?
?a
?
?
f(x)?
fa?
??
2
x?1
3
练习:(补充)
已知
f(x)?ax
7
?bx
5
?cx
3
?dx?5
,其中
a,b,c,d
为常数,
若f(?7)??7
,则
f(7)?
_______
答案:
17
10
2、已知函数奇偶性,求参数的值或取值范围
例1.《名师一号》P19
对点自测 3
已知f(x)=ax
2
+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数
,
那么a+b的值是( )
1111
A.- B. C.
D.-
3322
解析
依题意b=0,且2a=-(a-1),
11
∴b=0且a=,则a+b=.
33
例2.《名师一号》P20 特色专题 典例(1)
k-2
x
若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k=___.
1+k·2
x
k-2
-
x
k·2
x
-1
【规范解答】
∵f(-x)==,
1+k·2
-
x
2
x
+k
∴f(-x)+f(x)
k-2
x
2
x
+k+k·2
x
-1·1+k·2<
br>x
=
1+k·2
x
2
x
+k
11
k
2
-12
2x
+1
=.
1+k
·2
x
2
x
+k
由f(-x)+f(x)=0可得k
2=1,∴k=±1.
注意:本例易忽视函数f(x)的定义域,
直接通过计算f(0)=0得k=1.
注意:
1、利用函数奇偶性的定义:f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关
系,
也可以用定义的等价形式:
f(x)?f(?x)?0
(对数型函数用),
f(x)
??1
(指数型函数用)
f(?x)
2、利用特殊值
f(a)
与
f(?a)
的关系
得到关于待求参数的方程(组)求得参数
再利用奇偶性的定义证明
切记:若奇函数
f(x)
的定义域包含
0
,则
f(0)?0
.
f(0)?0
是
f(x)
为奇函数的既不充分也不必要条件
练习:(补充)
1、已知
f(x)?ax?bx?3a?b
是偶函数,定义域为
12
2
[a?1,2a]
.则
a?
,
b?
解:函数是偶函数,所以定义域关于原点对称.
∴
a?1??2a?a?
1
3
,
b?0
2、设函数f(x)=
?x+1??x+a?
x
为奇函数,则a=__
分析:∵f(x)为奇函数,定义域为{x|x∈R且x≠0},
故对 ?x∈R且x≠0有f(-x)=-f(x),
从而可取某个特殊值(例如x=1)求解
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),
∴a=-1.
须检验!
法二:由定义求解
对?x∈R且x≠0有f(-x)=-f(x)恒成立
答案:-1
3.定义在
(?1,1)
上的奇函数
f(x)?
x?m
x
2
?nx?1
,
则常数
m?
____,
n?
_____。
13
答案:
m?0
;
n?0
.
3、已知函数奇偶性,求解析式
例1. 《名师一号》P20 变式思考2(2)
已知函数
y?f(x)
在R是奇函数,且当
x?0
时,
f(x)?x
2
?x
,则
f(x)
的解析式为________
?
?x
2
?x,x?0
?
答案:f(x)?
?
0,x?0
?
x
2
?x,x?0
?
例2.(补充)
?
1
?
设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,若f(x)-g(x)=
?
2
?
x
,
??
比较f(1)、g(0)、g(-2)的大小________.
分析:奇偶性讨论的就是f(-x)与f(x)的关系,如果
题目中涉及
x与-x的函数值之间的关系,一般考虑用奇
14
偶性解决.如果告诉了函数的奇偶性,应从f(-x)=±f(x)
入手.
解析:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
∴f(-x)-g(-x)=
?
?
1
?
2
?
?
?
-
x
,即-f(x)-g(x)=2
x
.
x
-
?=
-2
x
f?x
∴
?
?
?
f?x?-g?x?=2
x<
br>2
?
?
-f?x?-g?x?=2
x
?
2
-
,∴
?
?
x
-
x
g?x?=-
2
+2
2
∴f(1)=-
3
4
,g(
0)=-1,g(-2)=-
17
8
,
∴g(-2)
已知函数的奇偶性注意利用
f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关系
计时双基练P220 培优3
(三)抽象函数奇偶性
例1.
(补充)若函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,
则函数
F(x)?f(x)?f(x)
的图象关于( )
A.
x
轴对称 B.
y
轴对称
C.原点对称
D.以上均不对
15
答案:B
注意:
抽象函数奇偶性应立足定义,
即从考虑
f
?
x<
br>?
与
f
?
?x
?
的关系入手
例2. (补充) 定义在R上的函数y=f(x),
对任意实数x
1
、x
2
都有f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+
f(x
2
),
判断函数y=f(x)的奇偶性,并证明.
解析:令x
1
=x
2
=0得,f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0.
令x
1
=x,x
2
=-x得,f(0)=f(x)+f(-x)
∴f(-x)+f(x)=0,∴f(x)是奇函数.
注意:(补充)
抽象函数奇偶性、单调性判断(证明)均立足定义
1、抽象函数奇偶性判断(证明)
赋值法,从考虑
f
?
x
?
与
f
?
?x<
br>?
的关系入手
2、抽象函数的单调性判断(证明)
赋值法,在指定区间内任取
x
1
?x
2
,
从考虑
f(x
1
)、f(x
2
)
的大小关系入手
16
3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质
或
寻找思路,但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的
一般函数进行推理
抽象函数关系式
相应的模型函数
f(x)?kx
f(x?y)?f(x)?f(y)
f(x?y)?f(x)?f(y)
f(x)?a
x
(a?0,a?1)
f(xy)?f(x)?f(y)
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)
x
f()?f(x)?f(y)
y
f(x?y)?f(x?y)?
2f(x)f(y)
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)
f(x)?cosx
f(x)?x
n
f(x)?tanx
f(xy)?f(x)?f(y)
f(x?y)?
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)
练习:(补充)
1、已知函数f(x),当x、y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)如果x>0时,f(x)<0,并且f(1)=-2,
试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
17
1
解析:(1)证明:∵函数定义域为R,
∴在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x得,
∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)解:设x
1
,且x<
br>1
、x
2
∈R.
则f(x
2
-x
1
)=f[x
2
+(-x
1
)]=f(x
2
)+f(-x<
br>1
)
=f(x
2
)-f(x
1
).
∵x
2
-x
1
>0,∴f(x
2
-x
1
)<0
.∴f(x
2
)-f(x
1
)<0.
即f(x)在R上单调递减.
从而f(x)在[-2,6]上为减函数.
∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.
∵f(1)=-2,∴f(2)=f(1)+f(1)=-1,
∴f(-2)=-f(2)=1,
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.
2、已知函数y=f(x)对任意x、y∈R,均有
f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最值.
18
1
2
.
3
解析:(1)f(x)在R上是单调递减函数
证明如下:
令x=y=0,∴f(0)=0,令y=-x可得:
f(-x)=-f(x),
在
R上任取x
1
、x
2
且x
1
,则x
2
-x
1
>0,
∴f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
-x
1
).
又∵x>0时,f(x)<0,
∴f(x
2
-x
1
)<0,即f(x
2
)
).
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
(2)∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小.
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)
=3×=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2.
即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2.
2
3
(四)函数的周期性
例1.《名师一号》P19
对点自测 5
?
3
?
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f<
br>?
x+
2
?
,且
??
f(1)=2,则f(2
014)=________.
19
?
3
?
解析
∵f(x)=-f
?
x+
2
?
,
??
??
3
?
3
?
?
3
?
x+
?
+?
=-f
?
x+
?
=f(x). ∴f(x+3)=f
?
?
?
2
?
?
?
2
?2
?
∴f(x)是以3为周期的周期函数.
则f(2
014)=f(671×3+1)=f(1)=2.
(五)函数奇偶性、单调性、周期性的综合应用
例1. (补充)
定义在R上的偶
函数f(x)满足:对任意的x
1
,x
2
∈(-∞,
f?x
2
?-f?x
1
?
0](x
1
≠x
2
),
有>0.则f(-2),f(1),f(3)从小到大
x
2
-x
1
的
顺序是________.
f?x
2
?-f?x<
br>1
?
解析:由>0知f(x)在(-∞,0]上单调递增,
x
2
-x
1
又f(x)是偶函数,
故f(x)在(0,+∞]上单调递减,
∵3>2>1>0,∴f(3)
注意:
(1)函数单调性的等价形式
f?x
2
?-f?x
1
?
>0(或
(x
2
-x
1
)(f(x
2
)-f(x
1
))>0)
x
2
-x
1
等价于f(x)单调递增
f?x
2
?-f?x
1
?
<0(或
(x
2
-x
1
)(f(x
2
)-f(x
1
))<0)
x
2
-x
1
等价于f(x)单调递减
(2)关于原点对称的两个区间上,
奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反
例2.《名师一号》P19 高频考点 例2(2)
(2014·
新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上
单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0
,则x的取值范围是
________.
因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|),
故不等式f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>0.
因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,
所以|x-1|<2,即-2
21
注意:(补充)
(1)解含函数记号“f”的不等式(抽象函数不等式),
一般都是利用函数的单调性.
(2)关于原点对称的两个区间上,
奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反,
提到奇偶性,通常要分类讨论.
(3)注意函数定义域对
x
的限制.
(4)
f(x)
为偶函数
?f(x)?f(?x)?f(|x|)
温故知新P23 第5题
(2013天津)已知函数
f
?
x
?
是定义在R上的偶函数,
且在区间
?
0,??
?
上单调递增,若实数
a
满足
2
f(log
2
x)?f(log
1
x)?2f
?
1
?
,则实数
a
的取值范围是
?
1
?
答案:
,2
?
?
?
2
?
练习:
1、函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是
22
1
增函数,若f(1)=0,求不等式f[x(x-)]<0的解集.
2
1
解析:f(1)=0,不等式可转化为f[x(x-)]
1
∵f(x)在(0,+∞)上递增,∴0
2
1+171-17
1
∴
又因为f(x)是奇函数,它在关于原点对称的两个区间
上的单调性相同,且f(
-1)=-f(1)=0,
1
于是得f[x(x-
)]
1
即有x(x-
)<-1,∴x∈?.
2
∴原不等式的解集是
1+171-17
1
{x|
变式:(补充)
函数
f(x)(x?0)
是偶函
数,且当
x?
?
0,??
?
时是增函数,
若
f(1
)?0
,求不等式
f
?
x
?
x?
??
?
?
1
?
?
?
?
?0
的解
集。
2
?
?
23
?
1?17
?
?
1?17
?
答案:
?
x?x??
44
??
??
2、已知f(x)(x
∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),
则f(3)等于( )
13
A. B.1 C. D.2
22
[答案] C
[分析] 为求f(3)先求f(1),为求f(1)先
在f(x+2)=f(x)
+f(2)中,令x=-1,利用f(x)为奇函数,可解出f(1).
[解析] 令x=-1得f(1)=f(-1)+f(2)=f(2)-f(1),
113<
br>∴f(1)=
f(2)=
,∴f(3)=f(1)+f(2)=
.
222
[点评] 解答此类题目,一般先看给出的值和待求值
之间可以通过条件式怎样
赋值才能产生联系,赋值时同时
兼顾奇偶性或周期性的运用.
24
(4月30日,15班讲至此)
例3.《名师一号》P20
高频考点 例3)
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图
象关于x
=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2
x
-1.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)的值.
(1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数
f(x)的
图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),
所以f(4+x)=f[(2+x)
+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是
以4为周期的周期函数.
(2)当x∈
[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图象关于x
-
=1对称,则f(x)=f(
2-x)=2
2x
-1,x∈[1,2].
(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,
又f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(2 012)+f(2
013)
=f(0)+f(1)=1.
25
注意:(补充)
(1)若
f(a?x)?f(a?x)<
br>(或
f(x)?f(2a?x)
)
则函数
f(x)
关于x
若
f(x)??f(2a?x)
则函数
f(x)
关于点
推广:若函数
?a
对称。
?
a,0
?
对称。
f(x)
恒满足
f(a?x)?f(b?x)
a?b
则
f(x)
图象的对称轴为
x?
。
2(2)已知奇函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a对称,
则
f
?
x
?
是周期函数,且
4a
为其中的一个周期
若偶函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称,
则
f
?
x
?
是周期函数,且
2a
为其中的一个周期
温故知新 P14 第6、10题
练习:
(补充)
1、已知定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
的图象关
于直线
x?1
对称,并且当
x?
?
0,1
时,
f
?
x
?
?x?1
2
?
则
f(462)?
_____
26
[答案]
0
[解析]
f
?
x
?
是奇函数故
f
?
?
x
?
??f
?
x
?
f
?
x?
的图象关于直线
x?1
对称故
f
?
2?x
?
?f
?
x
?
f
?
2?x
??f
?
?x
?
??f
?
x
?
f
?
4?x
?
?f
?
x
?
f(462)?f(115?4?2)?f
?
2
?
f?
2?x
?
?f
?
x
?
故
f
?
2
?
?f
?
0
?
?0
2、设
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数,
1
对称,
2
则
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?
_____
且
y?f(x)
的图象关于直线
x?
答案:0
3、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒
有f(x+2)=-f(x).当
x∈[0,2]时,f(x)=2x-x
2
.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
27
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011).
分析:由f(x+2)=-f(x)可得f(x+4)与f(x)关系,由
f(x)
为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[-2,0]上的解
析式,进而可得f(x)在[2,
4]上的解析式.
解析:(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得
f(-x)=2(-x)-(-x)
2
=-2x-x
2
,
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x
2
,
∴f(x)=x
2
+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)
2
+2(x-4)=x
2
-6x+8.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=x
2
-6x+8.
从而求得x∈[2,4]时,
f(x)=x
2
-6x+8.
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)
+f(5)+f(6)+f(7)=…
=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(20
11)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011)=0.
28
例4. (补充) 温故知新 P13 第2题
f(x)是定义在R上
的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,
则方程f(x)=0在区间(0,6)内的解最少有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
解析:∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,
∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,f(-1)=-f(1),
∴f(1)=0,f(4)=f(1)=0,
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴f(3)=f(0)=0,
∵f(1.5)=f(1.5-3)=f(-1.5)=-f(1.5),
∴f(1.5)=0,从而f(4.5)=0,
∴f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)=0.
答案:D
练习:
f(x)是定义在R上的以3为周
期的偶函数,且f(2)=0,
则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A.1 B.4 C.3 D.2
29
[答案] B
[解析] 由f(2)=0,得f(5)=0,
∴f(-2)=0,f(-5)=0.
∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0,
f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0,
故f(x)=0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个.
练习.已知
定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
的图象关于直线x?1
对称,并且当
x?
?
0,1
?
时,
f(
x)?x
2
?1
(1)当
x?
?
?1,0
?
时,求
f
?
x
?
的表达式;
(2)证明
f
?
x
?
是周期函数,并且求出它的一个周期;
(3)当
x?
?
4,5
?
时,求
f
?x
?
。
2
答案:(1)当
x??1,0
?
时
f(x)??x?1
?
(2)
f
?
x
?
是周期为
4
的周期函数
(3)当
x?
?
4,5
时
f(x)?
?
x?4
?
?1
例5. (补充)
30
?
2
已
知二次函数
f(x)
有两个零点
0
和
?2
,且
f(
x)
最小值是
?1
,函数
g
?
x
?
与f(x)
的图象关于原点对称;
(1)求
f(x)
和
g
?
x
?
的解析式;
(2)若
h(x)?f
?
x
?
?
?
g
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数,
求实数
?
的取值范围。
解: (1)
依题意
设
f
?
x
?
?ax(x?2)?ax
2
?2ax
(a?0)
f(x)
图象的对称轴是
x??1
?f
?
?1
?
??1
即
a?2a??1
得
a?1
?f
?
x
?
?x
2
?2x
由函数
g
?
x
?
的图象与
f
?
x
?
的图象关于原点对称
?
g(x)??f(?x)??x
2
?2x
(2)由(1)得
h(x)?x
2
?2x?
?
(?x
2
?2x)?(
?
?1)x
2
?2(1?
?
)x
①当
?
??1
时,
h(x)?4x
满足在区间
[?1,1]
上是增函数
?
?1
②当
?
??1
时,
h(x)
图象对称轴是
x?
?
?1
?
?1
则
?1
,又
?
??1
解得
?
??1
?
?1
?
?1
③当
?
??1
时,同理
则需
??1
又
?
??1
?
?1
31
解得
?1?
?
?0
综上满足条件的实数
?
的取值范围是
(??,0]
注意:(补充) 两个不同函数图像之间的对称问题-----
已知函数
y?f(x)
解析式, 且
y?f(x)
图像与
y?g(
x)
图像关于直线
x?a
(或点
?
a,b
?
)对称
,
求
y?g(x)
解析式,则运用解析几何中
求轨迹方程的动点转移法求解即可
练习:
已知函数
f(x)
的图象与
h(x)?x?
关于点
A
?
0,1
?对称;
(1)求
f(x)
的解析式;
(2)若
g(x)?f
?
x
?
?
答案:
f
?
x
?
?x?
1
?2
的图象
x
a
且
g(x)
在区间<
br>?
0,2
?
上的值
x
不小于
6
,求实数a
的取值范围。
1
x
32
课后作业
一、 计时双基练P219基础1-10
课本P18-19变式思考1、2;
二、 计时双基练P220基础11、培优1-4
课本P20变式思考3;对应训练1、2
复习 迎接期中考试
预习 第二章
第六节 指数与指数函数
33