学生版高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题

高中数学必修2
直线与圆的位置关系
【一】、圆的定义及其方程．
（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定
长就是半 径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）
（2）圆的标准方程： ；圆心
(a,b)
，半径为
r
；
圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
；圆心 ，半径
为 ；
【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方 程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法
处理）
设
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
；若
P
到圆心之距为
d
；
①
P
在在圆
C
外 ；
②
P
在在圆
C
内 ；
③
P
在在圆
C
上 ；

【三】、直线与圆的位置关系：
设直线
l:Ax?By?C?0和圆
C:(x?a)?(y?b)?r
，圆心
C
到直线
l
之距为
222
222
2222
d
，由直线
l
和圆
C
联立方程组消去
x
（或
y
）后，所得一元二次方程的判别 式为
?
，则它
们的位置关系如下：
相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用
d
与
r
的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是 最简便的方法；
利用
?
判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程 组；若方程组有两组不同的实数解，
则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数 解，两圆
相离。
（2）几何法：设圆
O
1
的半径为
r1
，圆
O
2
的半径为
r
2

①两圆外离 ；
②两圆外切 ；
③两圆相交 ；
④两圆内切
⑤两圆内含 ；

（五）
已知圆 C：(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0)，直线 L：Ax+By+C=0

1．位置关系的判定：
判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程
(1)△>0相交；
(2)△=0相切；
(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d (2)d=r相切；
(3)d>r相离。
例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m )y+2m-1=0与圆O：x
2
+y
2
=9的位置关系。




例2、求圆x
2
+y
2
=1上 的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值




1．切线问题：
例3：
(1)已知点P(x
0
，y0
)是圆C：x
2
+y
2
=r
2
上一点，求过 点P的圆C的切线方程；
(x
0
x+y
0
y=r
2
)










例4、求过下列各点的圆C：x
2
+y
2
-2x+4y- 4=0的切线方程：
(1)




； （2） B(4，5)

(2)已知圆O：x
2
+y
2
=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。



注： (1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关
系来判断在计算上 更简洁。
(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。
例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x
2
+y
2
=4的切线 ，切点为A、B，求四
边形PAOB面积的最小值。



例7、 (切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x
2
+y
2
=r
2的切线，
切点为A、B，求直线AB的方程。







2、弦长问题
例8、
(1)若点P(2 ，-1)为圆(x-1)
2
+y
2
=25的弦AB的中点，求直线AB的方程 。





(2)若直线y=2x+b与圆x
2
+y
2
=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。




(3)经过原点作圆x
2
+y
2
+2x-4y +4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB
的中点M的轨迹。

精选习题：
1 在直角坐标系中，直线
x?3y?3?0
的倾斜角是（ ）
A．
?

6
B．
?

3
C．
5
?

6
D．
2
?

3

2 直线
ax?by?c?0
同时要经过第一 第二 第四象限，则
a、b、c
应满足（ ）
A．
ab?0,bc?0
B．
ab?0,bc?0
C．
ab?0,bc?0

3 直线
3x?4y?9?0
与圆
x?y?4
的位置关系是（
D．
ab?0,bc?0

）
D．相交但不过圆心
22
A．相交且过圆心 B．相切 C．相离
)

4 过两点
(?1,1)和(3,9)
的直线在x轴上的截距是(
A．
?
3

2
B．
?
2

3
C．
2

5
D．2

5. 若直线ax+by=1与圆x
2
+y
2
=1相交，则点P(a，b)的位置是 ____
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能
< br>6．已知点
A(1,2),B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的 方程是（ ）
A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5

C．
x?2y?5
D．
x?2y?5


7．若
A(?2,3),B(3,?2),C(,m)
三点共线 则
m
的值为（ ）
Ａ．

8．直线
1
2
1
1
Ｂ．
?
Ｃ．
?2
Ｄ．
2

2
2
xy
??1
在
y
轴上的截距是（ ）
a
2
b
2
2
A．
b
B．
?b
C．
b
D．
?b


9．直线
kx?y?1?3k
，当
k
变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．
(0,0)
B．
(0,1)

C．
(3,1)


D．
(2,1)


2

10．直线
xcos
?
?ysin?
?a?0
与
xsin
?
?ycos
?
?b? 0
的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与
a,b,
?
的值有关

11．直线
3x?y?3?0
与
6x?my?1?0
平行，则它们之间的距 离为（ ）
25
13
C．
13
A．
4
B．
1326

7
10
D．
20
12、若直线
x?1
的倾斜角为
?
，则
?
?
（ ）
A、
0
?
B、
45
?
C、
90
?
D、不存在

13．经过圆
x
2
?2x?y
2
? 0
的圆心C，且与直线
x?y?0
垂直的直线方程是（ ）
A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0


< br>14（安徽文）直线
x?y?1
与圆
x
2
?y
2?2ay?0(a?0)
没有公共点，则
a
的取值
范围是 （ ）
A．
(0,2?1)
B．
(2?1,2?1)
C．
(?2?1,2?1)
D．
(0,2?1)


15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

16、方程
x?4y?0
表示的图形是（ ）
A、两条相交而不垂直的直线 B、一个点
C、两条垂直直线 D、两条平行直线

17、下列说法正确的是
A、 若直线
l< br>1
与
l
2
的斜率相等，则
l
1
∥
l
2
；
B、若直线
l
1
∥
l
2，则
l
1
与
l
2
的斜率相等；

C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；
D、若直线< br>l
1
与
l
2
的斜率都不存在，则
l
1
∥
l
2

8 动点在圆
x?y?1
上移动时，它与定点
B(3,0)
连线的中点的轨迹方程是(
22
22
)

A．
(x?3)?y?4

C．
(2x?3)?4y?1

22
22








B．
(x?3)?y?1

D．
(x?
22
32
1
)?y
2
?

22

19. 直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)
2
+y
2
=1(y≥0)有 两个不同的交点，
则直线l的斜率的范围是____

20已知点
M(a ,b)
在直线
3x?4y?15
上，则
a
2
?b
2
的最小值为


21、m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点 。



22.若圆x
2
+y
2
-4x-5 =0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k







23.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方程。




24.已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ中点的轨迹方程。



25．已知过点
M(?3,?3)
的直线
l
被圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
所截得的弦长为
45
，
求直线
l
的方程．