高中数学知识点：椭圆的方程

高中数学知识点：椭圆的方程
高中数学知识点：椭圆的方程
一、教学内容：椭圆的方程
高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.
重点：椭圆的方程与几何性质.
难点：椭圆的方程与几何性质.
二、知识点：
1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
定 义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭
圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆
的焦距 第二定义：
平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0
标
准
方
程焦点在x轴上
焦点在y轴上
图 形焦点在x轴上
焦点在y轴上
性 质焦点在x轴上
范 围：
对称性： 轴、 轴、原点.
顶点： ， .
1 10第 1 页

高中数学知识点：椭圆的方程
离心率：e
概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：
范围：
2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a
(2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2
sin ?2c| y0 |(其中P( )
三、基础训练：
1、椭圆 的标准方程为
，焦点坐标是 ，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆 的
值是__3或5__;
3、两个焦点的坐标分别为 ___;
4、已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点 的距离是7，则点
P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴， ，
则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的结果是
满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成
一个正方形，则椭圆的离心率为
8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标
系 顶点 ，顶点 在椭圆 上，则10、已知点F是椭圆
的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是
椭圆上的一个动点，则 的最大值是 8 .
【典型例题】
2 10第 2 页

高中数学知识点：椭圆的方程
例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴长
是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.
(2)中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离
为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.
解：设方程为 .
所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，
0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为 ，求以
为焦点且过点 的椭圆方程 .
解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 所以所求椭圆
的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.
解：设方程为
例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道
是以地心(地球的中心) 为一个焦 点的椭圆，已知它的近地
点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远
的 点)距地面2384km，并且 、A、B在同一直线上，设地球
半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).
解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、 在 轴上，
则 =|OA|-|O |=| A|=6371+439=6810
解得 =7782.5， =972.5
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图
3 10第 3 页

高中数学知识点：椭圆的方程
形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心M的轨迹是以P，Q
为焦点的椭圆
解：知圆可化为：圆心Q(3，0)，
设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为
原点，所以 ，故动圆圆心M的轨迹方程是：
例4、已知椭圆的焦点是 |和|(1)求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限，且 =120，求 .
选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活
运用等比定理进行解题.
解：(1)由题设| |=2| |=4
(2)设 ，则 =60-
由正弦定理得：
由等比定理得：
说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线 三角形，
与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例
性质进行处理.对于第二 问还可用后面的几何性质，借助焦
半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作
答
例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从
这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的
4 10第 4 页

高中数学知识点：椭圆的方程
中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为 ，求点M的轨迹)
解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点 ，则 的坐标
为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 所以点
(2)当M分 PP?@之比为 时，设动点 ，则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，
例6、设向量 =(1， 0)， =(x+m) +y =(x-m) +y |+|
(I)求动点P(x，y)的轨迹方程;
(II)已知点A(-1， 0)，设直线y= (x-2)与点P的轨迹交
于B、C两点，问是否存在实数m，使得 ?若存在，求出m
的值;若不存在，请说明理由.
解：(I)∵ =(1， 0)， =(0， 1)， | =6
上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和
为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0
|PF1|+|PF2|=6|F1F2|
又∵x0，P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.
∵ 2a=6，a=3
又∵ 2c=2m， c=m，b2=a2-c2=9-m2
所求轨迹方程为 (x0，0
( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)，
而y1y2= (x1-2)? (x2-2)
5 10第 5 页

高中数学知识点：椭圆的方程
= [x1x2-2(x1+x2)+4]
[x1x2-2(x1+x2)+4]
= [10x1x2+7(x1+x2)+13]
若存在实数m，使得 成立
则由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]=
可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①
消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②
因为直线与点P的轨迹有两个交点.
由①、④、⑤解得m2= 9，且此时△0
但由⑤，有9m2-77= 0与假设矛盾
不存在符合题意的实数m，使得
例7、已知C1： ，抛物线C2：(y-m)2=2px (p0)，且C1、
C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是
否在直线AB上;
(Ⅱ)若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及
直线AB的方程.
解：(Ⅰ)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直
线AB的方程为x=1，从而点A的 坐标为(1， )或(1，- ).
此时C2的焦点坐标为( ，0)，该焦点不在直线AB上. < br>(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k( x-1).
6 10第 6 页

高中数学知识点：椭圆的方程
因为C2的焦点F( ，m)在y=k(x-1)上.
所以k2x2- (k2+2)x+ =0 ②
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=
又m=- m= 或m=-
当m= 时，直线AB的方程为y=- (x-1);
当m=- 时，直线AB的方程为y= (x-1).
例8、已知椭圆C： (a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，
离心率 为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，
M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是 点F1关于直线l的
对称点，设 = .
(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若 ，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的
方程;
(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直 线l：y=ex+a与x轴、
y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(- ，0)，B(0，a).
(Ⅱ)当 时， a=2c
由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6
a=2，c=1，b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程为
(Ⅲ)∵PF1l PF1F2=90BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三
角形，必有|PF1|=|F1F2|， 即 |PF1|=C.
7 10第 7 页

高中数学知识点：椭圆的方程
设点F1到l的距离为d，由
即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)
【模拟试题】
一、选择题
1、动点M到定点 和 的距离的和为8，则动点M的轨迹为
A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线
2、 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂
线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直 角三角形，则椭圆的
离心率是
A、 C、2- -1
3、(2019年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C： 的焦点，在C
上满足PF1PF2的点P的个数为
A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定
4、椭圆 的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、
B两点，则△ABF2的周长为
A、32 B、16 C、8 D、4
5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上，则 的最小值为
6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆，F、A分别是它
的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 等于
A、 C、
二、填空题
7、椭圆 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长
8 10第 8 页

高中数学知识点：椭圆的方程
轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 .
8、设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点
Pi(i=1，2， )，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|组成公差为d
的等差数列，则d的取值范围是 .
9、设 ， 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点，且 ，
则得 .
10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是
三、解答题
11、根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)和椭圆 共准线，且离心率为 .
(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点
的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个
焦点.
12、已知 轴上的一定点A(1，0)，Q为椭圆 上的动点，
求AQ中点M的轨迹方程
13、椭圆 的焦点为 =(3， -1)共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M是椭圆上任意一点，且 = 、 R)，证明 为定值.
【试题答案】
1、B
2、D
3、A
9 10第 9 页

高中数学知识点：椭圆的方程
4、B
5、D(法一：设 ，则y=kx代入椭圆方程中得：
(1+2k2)x2-4x+3=0，由△0得： .法二：用椭圆的参数方程
及三角函数的有界性求解)
6、C
7、( (0， );6;10;8; .
10、m 且m0.
11、(1)设椭圆方程 .
所求椭圆方程为 的坐标为
13、解：设P点横坐标为x0，则 为钝角.当且仅当 .
14、(1)解：设椭圆方程 ，F(c，0)，则直线AB的方程为
y=x-c，代入 ，化简得：
由 =(x1+x2，y1+y2)， 共线，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0，
又y1=x1-c，y2=x2-c
3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0， x1+x2=
(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆 可化为x2+3y2=3b2

∵M 2+3

10 10第 10 页