高中数学高考要求学生能力-高中数学说课事情
函数的最大与最小值
(5月8日)
教学目标:1、使学生掌握可导
函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所有点(包括端
点
a,b
)处的函数中的最大(或最小)值;
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点:掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点:提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习:
1、x
n
??
?___________
;2、
?
C?f(x)?g(x)
?
?_____________
3、求y=x
3
—27x的 极值。
二、新课
在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小
观察下面一个
定义在区间
?
a,b
?
上的函数
y?f(x)
的图象
y
发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间
?
a,b
?
上的函数
y?f(x)
的最大值是______,最小值是_______
o
a
xX
2
X
3
1
在区间
?
a,b
?
上求函数
y?f(x)
的最大值与最小值
的步骤:
1、函数
y?f(x)
在
(a,b)
内有导数 ;
....
2、求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值
3、将函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值与
f(a)
,f(b)
比较,其中最大的一个为最大
.
值 ,最小的一个为最小值
三、
例1、求函数
y?x
4
?2x
2
?5
在区间
??2,2
?
上的最大值与最小值。
解:先求导数,得
y
?4x
3
?4x
令
y
=0即
4x
3
?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3
?1
导数
y
的正负以及
f(?2)
,
f(2)
如下表
-1
(-1,0)
X -2
(-2,-1)
0
y
0 + 0
y 13 4
5
b
x
(0,1)
-
1
0
4
(1,2)
+
2
13
从上表知,当
x??2
时,函数有最大值13,当
x??1
时,函数有最小值4
在日常生活中,常常会遇到什么条件下可以使材料最
省,时间最少,
效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用
边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四个
角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转9
0°角,再焊接而
成,问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积是多少?
例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C=100+4P,
价格R与产量P的函数
关系为R=25-0.125P,求产量P为何
值时,利润L最大。
四、小结:
1
、闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最值;开区间
(a,b)<
br>内的可导函数
不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。
2、函数
在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值
可能不止一个,也可能没有一个。 3、在解决实际应用问题中,关键在于建立数学模型和目标函数;如果函
数在区间内只有一个极值点
,那么根据实际意义判断是最大值还是最小值
即可,不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业::
1、函数
y?x
2
?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上的最大值与最小值
2、求函数
y?3x?x
3<
br>在区间
?3,3
上的最大值与最小值。
3、求函数
y?x
4
?2x
2
?5<
br>在区间
?
?2,2
?
上的最大值与最小值。
4、求函数
y?x
5
?5x
4?5x
3
?1
在区间
?
?1,4
?
上的最大值
与最小值。
5、给出下面四个命题
9
4
(2)函数
y?2x
2
?4x?1
(2<X<4)上的最大值为17,最小值为1
(3)函数
y?x
3
?12x
(-3<X<3)上的最大值为16
, 最小值为-16
(4)函数
y?x
3
?12x
(-2<X<2)上 无 最大值
也无 最小值。
其中正确的命题有____________
??
(1)函数y?x
2
?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上的
最大值为10,最小值为-
6、把长度为L
CM的线段分成四段,围成一个矩形,问怎样分法,所围成矩形
的面积最大。
7、把长度为L
CM的线段分成二段,围成一个正方形,问怎样分法,所围成正
方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件X元出售,
可以卖出
(200-X)件,应该如何定价才能使利润L最大?
9、在曲线Y=1—X
2
(X
?
0,Y?
0)上找一点了(
x
0
,y
0
),过此点作一切线,
与X、
Y轴构成一个三角形,问X
0
为何值时,此三角形面积最小?
10、要设计一个容积为V的圆柱形
水池,已知底的单位面积造价是侧面的单位
面积造价的一半,问:如何设计水池的底半径和高,才能使总
造价最少?
1
?
1
?
(提示:
??
??
2
)
x
?
x
?