北师大版高中数学课本一共有多少-教师资格证考试高中数学学科答案解析
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§3.2导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
课时目标
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x
2
,
1
y=的导数.2.能利
用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
x
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1.函数y=f(x)=c的导数为____
________,它表示函数y=c图象上每一点处,切线的
斜率为0.若y=c表示路程关于时间的
函数,则y′=0可以解释为某物体的____________
始终为0,即一直处于_______
_状态.函数y=f(x)=x的导数为__________,它表示函数y
=x图象上每一点处切线
的斜率为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释
为某物体做__________
__为1的______________运动.
2.常见基本初等函数的导数公式:
(1)若f(x)=c(c为常数),则f′(x)=______;
(2)若f(x)=x
α
(α∈Q
*
),则f′(x)=________;
(3)若f(x)=sin
x,则f′(x)=________;
(4)若f(x)=cos
x,则f′(x)=________;
(5)若f(x)=a
x
,则f′(x)=________ (a>0);
(6)若f(x)=e
x
,则f′(x)=________;
(7)若f(x)=log
a
x,则f′(x)=________
(a>0,且a≠1);
(8)若f(x)=ln x,则f′(x)=________.
一、选择题
1.下列结论不正确的是( )
A.若y=3,则y′=0
11
B.若y=,则y′=-x
2
x
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1
C.若y=-x,则y′=-
2x
D.若y=3x,则y′=3
π
π
12
sin
?
′=cos ;③若y=
2
,则y′|
x
=
3<
br>=-.2.下列结论:①(cos x)′=sin
x;②
?
?
3
?
3x27
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.已知直线y=kx是曲线y=e
x
的切线,则实数k的值为( )
11
A. B.- C.-e D.e
ee
4.正弦曲线y=sin
x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范
围是( )
π3π
0,
?
∪
?
,π
?
B.[0,π) A.
?
?
4
??
4
?
π3π?
ππ3π
,
D.
?
0,
?
∪
?
,
?
C.
?
?
44
??
4
??
24
?
5.已知曲线y
=x
3
在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为( )
A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)
11
-,-
?
C.(2,8)
D.
?
8
??
2
5
6.质点沿直线运动的路程s与时间t的
关系是s=t,则质点在t=4时的速度为( )
11
A.
B.
55
22
3
102
3
2
5
1
5
3
C.2
3
D.2
510
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
π
3
7.曲线y=cos x在点A
?
,?
处的切线方程为__________________________.
?
62
?
8.已知f(x)=x
a
,a∈Q,若f′(-1)=-4,则a=
______________________________________________
__________________________.
9.若函数y=f(x)满足f(x-1
)=1-2x+x
2
,则y′=f′(x)=________.
三、解答题
10.求下列函数的导数:
1
5
(1)y=x
12
;(2
)y=
4
;(3)y=x
3
;(4)y=10
x
.
x
11.求过点(2,0)且与曲线y=x
3
相切的直线方程.
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能力提升
12.设曲线y=xx轴的交点的横坐
标为x
n
,令a
n
=lg x
n
,
则a
1
+a
2
+…+a
99
的值为________.
13.求过曲线y=e
x
上点P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.
n
+
1
(n∈N
*
)在点(1,1)处的切线与
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1.准确记忆八个公式是求函数导数的前提.
2.求函数的导数,要恰当选择公式,保证求导过程中变形的等价性.
3.对于一些应用问题如切线、速度等,可以结合导数的几何意义,利用公式进行计算.
§3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
知识梳理
1.y′=0 瞬时速度 静止 y′=1 瞬时速度 匀速直线
-
2.(1)0
(2)αx
α
1
(3)cos x (4)-sin x
11
(5)a
x
ln a (6)e
x
(7) (8)
xln ax
作业设计
1
1131
1.B
[y′=
??
′=(x-)′=-x-
=-
.]
222
?
x
?
2xx
2.B [直接利用导数公式.
因为(cos x)′=-sin x,所以①错误;
π
3
3
sin
=,而
??
′=0,所以②错误;
32
?
2
?
?
1
2
?
′=(x<
br>-
2
)′=-2x
-
3
,则y′|
x=3
=
-
2
,
?
x
?
27
所以③正确.]
3.D
[设切点为(x
0
,y
0
).由y′=e
x
,
得y′|x=x
0
=ex
0
,
∴过切点的切线为y-ex
0
=ex
0
(x-x
0
),
即y=ex
0
x+(1-x
0
)ex
0
,又y=kx是切线,
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??
?
k=ex
0
,
?
x
0
=1,
∴
?
∴
?
]
?1-x?ex=0,k=e.
?
00
?
??
4.A
[∵y′=cos x,而cos x∈[-1,1].
∴直线l的斜率的范围是[-1,1],
π
3
0,
?
∪
?
π,π
?
.]
∴直线l倾斜角的范围是
?
?
4
??
4
?
5.B [y′=3x
2
,∵k=3,
∴3x
2
=3,∴x=±1,
则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).]
14
6.B [s′=t-.
55
111
当t=4时,s′=
·
=
.]
555
4
4
102
3
π
7.x+2y-3-=0
6
解析 ∵y′=(cos x)′=-sin x,
ππ
1
∴y′|x==-sin =-,
662
π
31
x-
?
, ∴在点A处的切线方程为y-=-
?
22
?
6
?
π
即x+2y-3-=0.
6
8.4
解析 ∵f′(x)=ax
a
-
1
,
∴f′(-1)=a(-1)
a
-
1
=-4,∴a=4.
9.2x
解析
∵f(x-1)=1-2x+x
2
=(x-1)
2
,
∴f(x)=x
2
,f′(x)=2x.
10.解
(1)y′=(x
12
)′=12x
11
.
1
?
4
-
4
)′=-4x
-
5
=-
. (2)y′=<
br>?
′=(x
?
x
4
?
x
5
3323
5
(3)y′=(x
3
)′=(x)′=x-
=
.
555
5
5x
2
(4)y′=(10
x
)′=10
x
ln 10.
11.解 点(2,0)不在曲线y=x
3
上,可令切点
坐标为(x
0
,x
3
0
).由题意,所求直线方程的
x3
0
-0
x
3
0
2
斜率k==y′|x=x<
br>0
=3x
0
,即
=3x
2
0
,解得x
0
=0或x
0
=3.
x
0
-2x
0
-
2
当x
0
=0时,得切点坐标是(0,0),斜率k=0,则所求直线方程是y=0;
当x
0
=3时,得切点坐标是(3,27),斜率k=27,则所求直线方程是y-2
7=27(x-3),
即27x-y-54=0.
综上,所求的直线方程为y=0或27x-y-54=0.
12.-2
解析 y′
=(n+1)x
n
,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y
=0,
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n
得x=.
n+1
n
a
n
=lg
x
n
=lg=lg n-lg(n+1),
n+1
则a
1
+a
2
+…+a
99
=lg
1-lg 2+lg 2-lg 3+…+lg 99-lg 100=-lg 100=-2.
13.解
∵y′=e
x
,∴曲线在点P(1,e)处的切线斜率是y′|
x=1
=e,
1
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k=-,
e
1
∴所求直线方程为y-e=-
(x-1),
e
即x+ey-e
2
-1=0.
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