高中数学 指数-高中物理竞赛和高中数学竞赛难
第三章 3.2
1.函数y=x
2
的斜率等于2的切线方程是( C )
A.2x-y+1=0
B.2x-y+1=0或2x-y-1=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y=0
解析
设切点为P(x
0
,y
0
),∵y′=(x
2
)′=2x,
∴y′|x=x
0
=2x
0
.由题意得2x
0
=2
,解得x
0
=1,
而y
0
=x
2
0
=1,故切点为P(1,1),
∴切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
2.若指数函数f(x)=a
x
(a>0,a≠1)满足f′(1)=ln
27,则f′(-1)=( C )
A.2
ln 3
C.
3
B.ln 3
D.-ln 3
解析
f′(x)=a
x
ln a,则f′(1)=aln a=ln 27,解得a=3,
ln 3
-
∴f′(x)=3
x
ln
3,故f′(-1)=3
1
ln 3=.
3
3.直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k=( C )
A.e
1
C.
e
B.-e
1
D.-
e
1xx
解析
设切点坐标为(x
0
,y
0
),则k=(ln x)′|x=x
0<
br>=
,代入y=kx得y=,又y=过
x
0
x
0
x0
1
(x
0
,y
0
),故y
0
=1,
又切点在曲线y=ln x上,所以y
0
=ln
x
0
=1,所以x
0
=e,∴k=.
e
4.曲线f(x)=aln
x(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a
=____8____.
a
解析 ∵f(x)=aln x,∴f′(x)=,∴f′(1)=a.
x
又∵f(1)=0,故切点坐标为(1,0),
∴切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1,
令x=0,得y=-a,又∵a>0,
1
∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×a×1=4,∴a=8.
2
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