高中数学物理经典题 选择题-2005全国高中数学
选修1-1参考答案
第一章 常用逻辑用语
第一节
针对训练
答案:
1.必要不充分 2.
?x?R,x
3
?x
2
?1?0
3
若
m?
1
?2,
则m>0
m
4 _存在矩形对角线不相等
5 ②③④ ①正确, ②中B≤0时不成立, ③中的定义域
为
?
,
④中应是随机抽样. 6 ②④ 7 必要不充分 8充分而不必要条件 9 ② ③ 10
若a?b,则a?1?b?1
11充分不必要 12充分非必要 13
(3)14 C 15A 16 2,2
2
ax?bx?c?0
有两个不等实根则
ac?0
(假) 17A
18C 19 A 20 逆命题:若
2
否命题:若
ac?0
则
ax?bx?c?0
没有两个不等实根(假)
2
逆否命题:若
ax?bx?c?0
没有两个不相等实根则
ac?0
(真)
21D 22A 23 A 24B 25A 26D 27C 28. D 29. A
30 D 31. C
. 32.
0?m?2
33. 真命题:
p
或
q
,非
p
;假命题:
p且
q
,非
q
第二节
针对训练
1B
2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题
22
3.A ①
a?b?0?a?b
,仅仅是充分条件
②
a?b?0?
11
?
,仅仅是充分条件;③
ab
a?b
?0?a
3
?b
3
,仅仅是充分条件
4.B “
?p<
br>”为假,则
p
为真,而
p?q
(且)为假,得
q
为假
5.D 当
a?1,b?0
时,都满足选项
A,B
,但是不能得出
a?b?1
当
a?0.5,b?0.5
时,都满足选项
C
,但是不能得出
a?b?1
00
0
6.B
当
A?170
时,
sin170?sin10?
1
,所以“过不去”
;但是在△
ABC
中,
2
sinA?
1
?30
0
?A?150
0
?A?30
0
,即“回得来”
2
7.D 当
a??2,b?2
时,从
a?b?1
不能推出
a?b?1
,所以
p
假,
q
显然为真
8.解:
?p:4?x?6,x?10,或x??2,A?x|x?10,或x??2
q:x?2x?1?a?0,x?1?a,或x?1?a,记B?x|x?1?a,或x?
1?a
22
??
??
而
?p?q,?A
?<
br>1?a??2
?
B
,即
?
1?a?10,?0?a?3
。
?
a?0
?
9B 10B 11A 12B 13D 14A
ab
15若
a?b
,则
2?2?1
16B 17A
18C 19B 20D 21C
2
22.
[?3,0]
ax
?2ax?3?0
恒成立,当
a?0
时,
?3?0
成立;当
a?0
时,
?
a?0
?
得
?3?a?0
;
??3?a?0
2
?
??4a?12a?0
第三节
针对训练
参考答案
1. C 2.A 3. D 4.C 5.D 6.D 7. B 8. A
9. B 10.B
11.任意一个三角形都有外接圆
12. ?
x∈R,x-x+3≤0
13. ?
a
,b,c∈R+,a+b=c
14. 否定形式:至少存在一个末位数是0或5的整数,它不能被5整除;
否命题:所有末位数不是0且不是5的整数,都不能被5整除;
15.
(1)?x∈R,x
2
≥0
(2)? x∈R,y∈R,2x+3y+3>0
16.(1)存在性命题,存在量词为“有的”
(2)全称命题,全称量词为“任意”
17.(1)对于任意实数x都是方程5x-12=0的根;
(2)(至少)存在(一个)实数x,对于任意实数y,使x+y≤0;
18.
(1)?x∈R,若2x>4,则x>2;
?x
0
∈R,虽然满足2
x
0
>4,但x
0
≤2;
(2)?m∈R,若m≥0,则x+x-m=0有实数根;
2
222
2
?m
0
∈R,虽然满足m
0
≥0,但x+x-m=0没有实数根;
单元检测
参考答案
1.C 2. D 3.C 4.D 5.B
6.B 7.C 8.A 9.C 10.A
11.C 12. B
13.B 14.B 15.C 16.C 17.B 18.C 19.B
20.必要 21.
a?5
或
b?2
22.真命题
23.①②④
2
b、c
24.必要不充分 25.充分 必要
26.以(1)为列:否命题:若
abc?0
,则
a、
中都不为零
27.逆命题:若
x??8
或
x?1
,则
x
2
?7
x?8?0
真命题
否命题:若
x
2
?7x?8?0<
br>,则
x??8
且
x?1
真命题
逆否命题:若x??8
且
x?1
,则
x
2
?7x?8?0
真命题
28.
1?m?2
或
m?3
第二章
圆锥曲线与方程
第一节
针对训练
题号 1
答案
D D D B A D D B C B C D
2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12
x
2
y
2
3y
2
4x
2
x
2
9y
2
??1
或
??
1
14
??1
13
862525520
15
2ab
16
1
4
17 解:由已知条件
得椭圆的焦点在x轴上,其中c=
22
,a=3,从而b=1,所以其标准方程
是:
?
x
2
2
x
?
?y?1
2
,消去y得,
10x
2
?36x?27?0
.
?y?1
.联立方程组
?
9
9
?
?
y?x?2
2<
br>设A(
x
1
,y
1
),B(
x
2
,
y
2
),AB线段的中点为M(
x
0
,y
0
)
那么:
x
1
?x
2
??
所以
y
0
=
x
0
+2=
18
x?x
2
9
?
,
x
0
=
1
25
5
1
.
5
9
1
,).
5
5
4
,所以双曲线的焦
点为F(0,
?
4),离心率
5
也就是说线段AB中点坐标为(-
1
8 解:由于椭圆焦点为F(0,
?
4),离心率为e=
为2,
从而c=4,a=2,b=2
3
.
y
2
x
2
??1
所以求双曲线方程为:
412
第二节
针对训练
一DBCD ACCD C
x2
x
2
y
2
5
438
2
?y?1 13.
(1)??1;
(2) 6 10. 11.
4或
?
12.
4
9168
5
x
2
?y
2
?1
15.
a
2
?b
2
16.x+y+5=0
14.
4
17.
4x
2
?5y
2
?24
第三节
针对训练
参考答案
一.
题号 1 2
3 4 5 6 7 8 9
0
答
案
D A C C A A C C
B A
1
916
x
2
y
2
11.
t>4或t<1 12.
y
=
?
13.
??1
14.
3
5
412
x
2
y
2
15.
[解析]:由椭圆
??1
?c?5
.
4924
4
?<
br>b
x
2
y
2
??
?
设双曲线方程为
2
?
2
?1
,则
a3
?
ab
22
?
2
?
?
a?9
故所求双曲线方程为
?
?2
?
?
b?16
a?b?25
?
x
2
y
2
??1
916
x
2
y
2
16.[解析]:设双曲线方程为
2
?
2
?1
(
a
>0,b>0),
ab
a
9
99
9
22
∵两准线间距离为,∴
2?
=,得
a
2
?
c,
b?c?c
①
44
c
22
?
x
2
y
2
?<
br>2
?1
?
2
?
ab
∵双曲线与直线相交,由方程组 得
?
?
y?
1
(x?4)?
3
?
2
a
2
2
8
2
16<
br>(b?)x?ax?(b
2
?)a
2
?0
,
999
2
a
2
2
?0
,且
x
1
?x2
??
由题意可知
b?
9
2
8
2
a<
br>2
?7a
2
?9b
2
②
9
??
a
2
3
2
2(b?)
9
x
2
y
2
??1
.
97
C
联立①②解得:
a
2
?9
,
b
2
?7
所以双曲线方程为
17. [解析]:
(I)如图建立直角坐标系xOy,AA′在
x
轴上,AA′的中点为坐标
y
C'
原点O,CC′与BB′平行于
x
轴. 设双曲线方程为
x
2
?
y
2
?1(a?0,b?0),
ab
22
A'
O
则
a?
1
AA
?
?7.
又设B(11,
y
1
),C(9,
y2
),因为点B、C在双曲线上,
2
2
2
所以有
11<
br>?
y
1
?1,
①
22
A
x
7
b
B'
B
2
9
2
y
2
?
2
?1,
②
由题意知
y
2
?y
1
?20.
③
27b
22
xy
由①、②、③得
y
1
??12,y
2
?8,b?72.
故双曲线方程为
??1.
4998
18. [解析]:由题意可得双曲线的两个焦点是
F
1
(0,-5)、
F
2
(0,5),
由双曲线定义得:
MF<
br>1
?MF
2
?6
,联立
MF
得
1
?MF
2
?32
MF
1
+
MF
2
2
=100=
F
1
F
2
2
, 所以△
F
1
MF
2
是直角三角形,从而其面积为
S=
2
1
MF
1
?MF
2
?16
2
19. [解析]:以直线
AB
为
x
轴,线段
AB
的垂直平分线为
y
轴,建立直角坐标系,
则
A
(3,0)、
B
(-3,0)
?|PB|?|PA|?4?1?6?a?2,b?5,c?3
2
2
?P是双曲线
x
?
y
?1
右支上的一点 ∵
P在
A
的东偏北60°方向,∴
45
k
AP
?tan60
?3
.
?
y
P
∴线段
AP
所在的直线方程为
y?3(x?3)
?
x2
y
2
?1
?
?
45
x?8
,
解方程组
?
得
?
?
?
?
y?3(
x?3)
?
y?53
?
x?0
?
?
?
y?
0
B
O
A
x
即
P
点的坐标为(8,
53
) ∴
A
、
P
两地的距离为
AP?(3?8)
2
?(0?53)
2
=
10(千
米).
20.[解析]:如图,以AB的垂直平分线为
y
轴,直线
AB为
x
轴,建立直角坐标系,
则CD⊥Oy.
c1
c?AB,,h),B(c,0),其中c为双曲线的半焦距,
22
y
h是梯形的高.
由定比分点公式,得点E的坐标为
D
C
8c
8
?c??
E
0??h
7
,
8
112
11
x
E
???c
y
E
?
B
x
A
O
?h
.
8
8
19
19
1?
1?
11
11
由题意可设A(-c,0),C(
c
x
2
y
2
设双曲线的方
程为
2
?
2
?1
,由离心率
e?
.
由点C、E在双曲线上,得
a
ab
?
1c
2
h
2
①
22<
br>?
2
?
2
?1,
h1c
?
c
2?
4
ab
由①得
2
??
2
?1
,代入②得
2
?9
所以离心率
?
22
b4a
a
?
49
?
c<
br>?
64
?
h
?1.
②
?
?
361
a
2
361
b
2
c
2
e??3
a
2
第四节
针对训练
一、选择题
题号
答案
二、填空题
11.
(,?
1
C
2
D
3
A
4
B
5
B
6
A
7
C
8
B
9
C
10
D
1
8
2
)
12. 2
13.
(??,?
13
)
14. (2),(5)
4
4
三、解答题
15.[解析]:(1)由点A(2,8)在抛物线
y
2
?2px
上,有
8
2
?2p?2
,
2
解得p=16.
所以抛物线方程为
y?32x
,焦点F的坐标为(8,0).
(2)如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的
定
比分点,且
AF
?2
,设点M的坐标为
(x
0
,y
0
)
,则
FM
2?2x
0
8?2y
0
?
8,?0
,解得
x
0
?11,y
0
??4
,
1?21?2
所以点M的坐标为(11,-4).
(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直
线的方程为:
y?4?k(x?11)(k?0).
由
?
y?4?
k(x?11),
消x得
ky
2
?32y?32(11k?4)?0
,
?
2
?
y?32x
2
因此BC所在直线的方程为:4x?y?40?0.
16.[解析]:设在抛物线y=ax
2
-1上
关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(-y,-x),
则
k
2<
br>?
?
y?ax?1
①
?
2
?
?
?x
?ay?1
②
,由①-②得x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q为相异两点
,∴x+y≠0,又a≠0,
y?y
2
所以
y
1
?y2
?
32
,由(2)的结论得
1
??4
,解得
k??4.
∴
x?y?
11
3
代入②得a
2x
2
-ax
-
a+1=0,其判别式△=a
2
-4a<
br>2
(1-a)>0,解得
a?
.
,即y?x?
,
4
aa
x
y?1
)
,L:y=kx-1,代入抛物线方程得
2
2
17.[解析]:设R(x,y),∵F(0,1),
∴平行四边形FARB的中心为
C(,
x
2
-4kx+4=0, 设A(x<
br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x1
+x
2
=4k,x
1
x
2
=4,且△=16
k
2
-16>0,即|k|>1 ①,
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
?2x<
br>1
x
2
?y
1
?y
2
???4k
2
?2
,∵C为AB的中点.
44
x
x
2
?x2
??2k
22
∴
y?1
y
2
?y
2
2
??2k?1
22
x?4k
2
?
y?4k?3
2
,消去k得x=4(y+3),由①
得,
x?4
,故动点R的轨迹方程为x
2
=4(y+3)(
x?4
).
18. [解析]:(1)由题意设过点M的切线方程为:
y?
2x?m
,代入C得
x
2
?2x?(?m)?0
,
则?
7
2
7551
1
?4?4(?m)?0?m?
,?x
0
??1,y
0
??2??
,即M(-1,
222
22
7
7
?x
2
?(4?k)x?(?n)?0<
br>,则
??0?(k?4)
2
?14?4n
,
2
2
).
(2)当a>0时,假设在C上存在点
Q(x
1
,y
1
)
满足条件.设过Q的切线方程为:
y?kx?n
,
代入
y?x
2
?4x?
y
1
?a
11
k
2
?2
k?4
???k
2
?4a?k??2a
,且
x
1
?
.若
k?0
时,由于
k
PQ
???
,
y
1
?
kx?2k
2
41
x
1
?a?2
∴
x
1
??
a?2
y
1
?a?
1
2
2
1
, ∴有三个
点(-2+
a
,
2a?1
),(-2-
a
,
2a?
1
)及(-2,-)
2
2
2
y
1
?a?
且
过这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别为:
x+2
1
或
;若k=0时,显然
Q(?2,?)
也满足要求.
1
2
a
y+2-2a
a
=0,x-2
a
y+2+2a
a
=0,x=
-2.
1
当a≤0时,在C上有一个点(-2,-),在这点的法线过点P(-2,a),其
方程为:x=-2.
2
19.[解析]:(1)F(a,0),设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),P(x
0
,y
0
)
,由
y
2
?4ax
(x?a?4)?y?16
22
?
x
2
?2(a?4)x?(a
2
?8a)?0
,
???0,
?x
1
?x
2
?2(4?a)
,
MF?NF?(x
1
?a)?(x
2
?a)?8
(2)假设存在a值,使的
MF,PF,NF
成等差数列,即
2PF?MF?NF?2x
0
?x
1
?x
2
?x
0
?4?a
①,∵P是圆A上两点M、N
所在弦的中点,∴
AP?MN
?
y
0
y?y
1
<
br>?
2
x
0
?a?4x
2
?x
1
y<
br>2
?y
1
4a(y
2
?y
1
)
8a
2
4a
2
由①得
y
0
??2a
这是不可能
的.
??2a?????y
0
2
??4a
2
?0
,
x
2
?x
1
x
2
?x
1
y1
?y
2
y
0
∴假设不成立.即不存在a值,使的
MF
,PF,NF
成等差数列.
1
x
x
1
??4x
2
?8
2
20.[解析]:【解】(1) 解方程组 得 或
y
1
??2y
2
?4
1
2
y?x?4
8
y?<
br>即A(-4,-2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由k
AB
==
y-1=
1
2
,直线AB的垂直平分线方程
1
2
(x-2). 令y=-5, 得x=5, ∴Q(5,-5).
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,
1
2
x-4).∵点P到直线OQ的距离
8
1
x?x2
?4
8
d==
1
x
2
?8x?32
,
OQ?52
,∴S
ΔOPQ
=
1
OQd
=
5
x
2
?8x?32
.
2
16
82
2
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,
且P不在直线OQ上, ∴-4≤x<4
3
-4或4
3
-4
2
+8x-32在区间[-4,8] 上单调递增,
∴当x=8时,
ΔOPQ的面积取到最大值30.
第五节
针对训练
答案:1D 2C
单元检测
答案:B B C A A B B A B
D DA
x
2
y
2
23
?1(x?2)
16.
○
13.
e?
2
○
3
或2
14.
43
15 .
?
45
3
y
2<
br>x
2
y
2
22
??1
?1
或
3y?9x?1
18. 17.
x?
66
3
2
x
2
y
2
x
2
y
2
4
?1
(2)
arccos
??1
双曲线方程
?
19(1)椭圆方程
5
94
4936
20
.
4x
2
?y
2
?8x?2y?0
21. (1)
y?
2
1
(x?a)
2
(2)
a??2
2
3x
2
??
2
?3
?
,]
?y
2
?1
(2)
?
?[,]?[
22.
(1)
C
1:
y?4x
C
2
:
4334
2
第三章 导数及其应用
第一节
针对训练
一、选择题
1.A
f
'
(x)?sinx,f
'
(
?
)?sin
?
2.A 对称轴
?
b
?0,b?0,f
'
(x)?2x
?b
,直线过第一、三、四象限
2
3.B
f
'
(x)
??3x
2
?2ax?1?0
在
(??,??)
恒成立,
?
?4a
2
?12?0??3?a?3
4.C 当
x?1
时,
f
'
(x)?0
,函数
f(x)
在
(1,??
)
上是增函数;当
x?1
时,
f
'
(x)?0
,<
br>f(x)
在
(??,1)
上是减函数,故
f(x)
当
x?1
时取得最小值,即有
f(0)?f(1),f(2)?f(1),
得
f(0)?f(2)?2f(1)
5.A 与直线
x?4y?8?0
垂
直的直线
l
为
4x?y?m?0
,即
y?x
在某一点的导数
为
4
4
,而
y
?
?4x
3
,所以
y?x
4
在
(1,1)
处导数为
4
,此点的切线为
4x?y?3?0
6.A 极小值点应有先减后增的特点,即
f
'(x)?0?f
'
(x)?0?f
'
(x)?0
二、填空题
2
1.
6
f
'
(x)
?3x?4cx?
2
c,
'
f(2?)
2
c?8?c1?2
0c?,或
,
2
c
,
?2
6
时取极小值
2.
(??,??)
y
'
?2?cox
s?
对于任何实数都成立
0
3.
?
f'
(x)??sin(3x?
?
)(3x?
?
)
'??3sin(3x?
?
)
6
f(x)?f
?
(x)?2cos(3x?
?
?
?
3
)
要使
f(x)?f
?
(x)
为奇函数,需且仅需?
?
?
3
?k
?
?
?
2
,k
?Z
,
即:
?
?k
?
?
?
6
,k?Z
。又
0?
?
?
?
,所以
k<
br>只能取
0
,从而
?
?
?
6
。
4.
(7,??)
x?[?1,2]
时,
f(x)
max
?7
5.
2
n?1
?2
y
x?2<
br>??2
n?1
?
n?2
?
切线方程为,:y?
n2??
?n1
2
?
n?
?
2?x(
,
2
)
n
令
x?0
,求出切线与
y
轴交点
的纵坐标为
y
0
?
?
n?1
?
2
,所以<
br>a
n
?2
n
,
n?1
21?2
n
?
a
n
?
则数列
?
?2
n?1
?2
?
的前
n
项和
S
n
?
1?2
?<
br>n?1
?
三、解答题
1.解:
y?(1?cos2x)
3<
br>?(2cos
2
x)
3
?8cos
6
x
<
br>??
y
'
?48cos
5
x?(cosx)
'
?48cos
5
x?(?sinx)
??48sinxcos
5
x
。
2.解:函数的定义域为
[?2,??)
,
y?
'
1111
???
2x?
42x?32x?44x?12
当
x??2
时,
y
'
?0<
br>,即
[?2,??)
是函数的递增区间,当
x??2
时,
y<
br>min
??1
所以值域为
[?1,??)
。
<
br>3.解:(1)
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c,f'
(x)?3x
2
?2ax?b
'
由
f(?
)?
2
3
1241
?a?b?0
,
f
'
(
1)?3?2a?b?0
得
a??,b??2
932
f
'
(x)?3x
2
?x?2?(3x?2)(x?1)
,函数
f(x)
的单调区间如下表:
x
2
(??,?)
3
?
22
(?,1)
33
1
(1,??)
f
'
(x)
?
f(x)
?
0
极大值
?
?
0
?
极小值
?
所以
函数
f(x)
的递增区间是
(??,?)
与
(1,??)
,
递减区间是
(?
2
3
2
,1)
;
3
3
(2)
f(x)?x?
1
2
2222
x?2x
?c,x?[?1,2]
,当
x??
时,
f(?)??c
23327
为极大值,而
f(2)?2?c
,则
f(2)?2?c
为
最大值,要使
f(x)?c
2
,x?[?1,2]
恒成立,则只需
要
c
2
?f(2)?2?c
,得
c??1,或c?2
。
x
2
?ax?b
4.解:设
g(x)?
x
∵
f(x)
在
(0,1)
上是减函数,在
[1,??)
上
是增函数
∴
g(x)
在
(0,1)
上是减函数,在
[1,
??)
上是增函数.
∴
?
?
b?1?0
?
g'(
1)?0
?
a?1
∴
?
解得
?
<
br>?
a?b?1?3
?
g(1)?3
?
b?1
经检验,
a?1,b?1
时,
f(x)
满足题设的两个条件.
第二节
针对训练
1、B;2、D;3、C;4、B;5、A;6、B;7、A;8、-26;9、<
br>(?,0)
;10、C
11、A;12、B;13、B.
16、解:(I)设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d),再
乘公交
车去学校,所用的时间为t,则
t?f(x)?
1
e
a
2
?x
2
?
0
?
d?x
(0?x?d)
.
2
?
0
令
f
?
(x)?0,得x?
3
a.
3
且当
0?x?
3
a时,f
?
(x)?0,
3
当
3
a?x?d时,f
?
(x)?0,
3
当
x?
3
a
时,所用的时间最短,最短时间为:
3
32
a)
3
3
a
3
?(1?
3
)
a
.
2
?
0
2
?
0
a
2<
br>?(
t?
d?
?
?
0
答:当d=2a
时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
(1?
3
)
a
. <
br>2
?
0
(II)由(I)的讨论可知,当d=
时,t?f(x)为(0
,]
上的减函数,所以当
x?
即该学生直接乘船渡河到达公路上学校,所用的时间最短
a
a
2
?()
2
2
?
5a
?
0
2
?
0
a
2
a
2
a时,
2
最短的时间为
t?
答:当
d?
'
17
、解:
f(x)?
a
5a
时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.
2
2
?
0
13
?a
,
?f(x)
在
(0,)
上是增函数
x?22
131??a?0
在
x?
(0,)
上恒成立
,
?a??
恒成立
x?22x?2
11
?
???2?a?2
,
2x?2<
br>a
2
设
t?e,
则
h(t)?g(x)?|t?a|?
2
x
?0?x?ln3,?1?t?3
?
a
2
?t?a?,1?t?a
?
?
2
当
2?a?3
时
,
h(t)?
?
2
?
t?a?
a
,a?t?3
?
2
?
a
2
a
2
?M?h(
1)?a?1?,m?h(a)?
22
?M?m?a?1?
35
?a?
22
a
2
当
a?3
时,
h(t)??t?a?
2a
2
a
2
?M?h(1)?a?1?,m?h(3)?a?3?
22
?M?m?2
不符题意
综上,
a
的取值为
a
?
18、(1)
f
?
(x)?
5
2
2x2t2t
2
?
l
,则f(t)?y?ln(t?a)?(x?t) ,切线的方程:
22
2
x?at?a
t
2t<
br>2
2
2t4at2t(t
2
?a)
(2)令x=0,
g(t)?ln(t?a)?
2
(t??a),g
?
(t)?2
??
t?at?a(t
2
?a)
2
(t
2<
br>?a)
2
2
?
?
t
2
??a
?t?R
① 当a>0时,由
?
,
得t?a或?a?t?0
得
?
?
?
g(t)?0,
?
?
t?a或?a?
t?0
?
t
2
??a
得t?0
②当a=0时,由
?
?
g
?
(t)?0,
?
t??a或t???a
?
t
2
?a?0
?
③当a<0时,
?
得
?
有t??a
?
?
g(t)?0,
?
?
t?0
综合①②③当
a?0时,增区间为(a,+?),(?a
,
0)
??)
当a=0时,
增区间为(0,
当a<0时,
增区间为(?a,
??)
第三节
针对训练
一、1.C
2.A 3.B 4.D 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B 10.B 11.B
12.D
二、13.2x-y+4=0;14.不为零的常数函数;15.3
x-y-11=
0;
16.(理)
125
(文)arctan
16
4
3
三、17.解:⑴设f(x)=ax
2
+bx+c,则f
?(x)=2ax+b.
?
f
?
(1)?0,
?
2a?b
?0,
?
a?1,
???
由题设可得:
?
f
?
(0)??2,
即
?
b??2,
解得
?
b??
2,
?
f(0)??3,
?
c??3.
?
c??
3.
???
所以f(x)=x
2
-2x-3.
⑵g(x)=f(x
2
)=x
4
-2x
2
-3,g
?(x)=4x
3
-4x=4x(x
-
1)(x+1).列表:
由表可得:函数g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
x
f?(x)
f(x)
(-∞,-1)
-
↘
-1
0
(-1,0)
+
↗
0
0
(0,1)
-
↘
1
0
(1,+∞)
+
↗
18.解:⑴函数
f(x)
的定义域为
(?1,
??)
.
f
?
(x)
=
1x
-1=-。由
f
?
(x)
<0及x>
x?1x?1
-1,得x>0.∴ 当x∈(
0,+∞)时,
f(x)
是减函数,即
f(x)
的单调递减区间为(0,+∞
).
⑵证明:由⑴知,当x∈(-1,0)时,
f
?
(x)
>0,
当x∈(0,+∞)时,
f
?
(x)
<0,
因此,当
x?
?1
时,
f(x)
≤
f(0)
,即
ln(x?1)?x≤0∴
ln(x?1)?x
.
令
g(x)?ln(x?1)?
11x
1
?1
,则
g
?
(x)?
=.
?
x?1
x?1(x?1)
2
(x?1)
2
∴ 当
x∈(-1,0)时,
g
?
(x)
<0,当x∈(0,+∞)时,
g
?
(x)
>0.
∴
当
x??1
时,
g(x)
≥
g(0)
,即
ln(
x?1)?
综上可知,当
x??1
时,有
1?
11
?1≥0,∴
ln(x?1)?1?
.
x?1x?1
1
?ln(x?1)?x
.
x?1
(文)解
:函数f(x)的导数:
f
?
(x)?3ax
2
?6x?1.
(Ⅰ)当
f
?
(x)?0
(
x?R
)时,<
br>f(x)
是减函数.
3ax
2
?6x?1?0(x?R)
?
a?0且??36?12a?0
所以,当
a??3时,由f
?
(x)?0,知
f(x)(x?R)
是减函数;
3
(II)当
a??3
时,
f(x)??3x
3
?3x
2
?x?1
=
?3(x?)?
?a??3.
1
3
8
,
9
由
函数
y?x
3
在R上的单调性,可知当
a??3
时,
f(x
)(x?R
)是减函数;
(Ⅲ)当
a??3
时,在R上存在一个区间,其上
有
f
?
(x)?0,
所以,当
a??3
时,函数
f(x)(x?R)
不是减函数.
综上,所求
a
的取值范围是(
??,?3].
19.解:a=
3711
3?133?13
,
b
=-6.
由f(x)
min
=-+
c
>-得。
?c?0
或
c?
22c2
22
20.解:
f
?
(x)??x
2
?4ax?3a
2
.
令
f
?
(x)??x
2
?4ax?3a
2
?0,得x?a或x?3a
由表
x
f
′
f
-
递减
a
0
+
递增
3a
0
b
-
递减
?
4
3
a?b
3
可知:当
x?(??,a)
时,函数
f(x)
为减函数,当
x?(3a,??)时。函数
f(x)
也为减函数;
当
x?(a,3a)时,函数
f(x)
为增函数.
当x=a时,
f(x)
的极小
值为
?
4
3
a?b;当x?3a
时,
f(x)
的极
大值为b.
3
⑵由
|f
?
(x)|?a,得?a??x
2
?4ax?3a
2
?a.
∵0a?1
?2a,f
?
(x)??x
2
?4ax?3a
2
在[a?1
,a?2]
上为减函数.
∴
[f
?
(x)]
max?f
?
(a?1)?2a?1,[f
?
(x)]
min
?f
?
(a?2)?4a?4.
于是,问题转化为求不等式组
?
解不等式组,得
?
2a?1?a,
的解.
4a?4??a
?
44
?a?1.
又0?a?1.
55
21.解:⑴由原式得
f(
x)?x
3
?ax
2
?4x?4a,
∴
f
?
(x)?3x
2
?2ax?4.
11
22
,此时有f(x)?(x?4)(x?),f
?
(x)?3x?x?4
.
22
44509
,f(?1)?,f(?2)?0,f(2)?0,
由
f
?
(?1)?0
得
x?
或x=-1 ,
又
f()??
33272
950
.
所以f(x)在[-2,2
]上的最大值为
,
最小值为
?
227
⑵由
f
?(?1)?0
得
a?
⑶解法一:
f
?
(x)?3x<
br>2
?2ax?4
的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得
f
?
(?2)?0,f
?
(2)?0,
即
?
4a?8?0
∴-2≤a≤2.
8?4a?0
所以a的取值范围为[-2,2].
a?a
2
?12
解法二:令
f
?
(x)?0
即
3x?2ax?4?0,
由求根公式得:
x
1,2
?(x
1
?x
2
)
3
2
所以
f
?
(x)?3x
2
?
2ax?4.
在
?
??,x
1
?
和
?
x<
br>2
,??
?
上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时,
f
?
(x)
≥0,
从而x
1
≥-2,
x
2
≤2,
?
?
a
2
?12?a?6
即
?
解不等式组得-2≤a≤2.
2
?
?
a?12?6?a.
∴a的取值范围是[-2,2].
p>
22.解:⑴
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?
3
,依题意,
f
?
(1)?f
?
(?1)?0
,即
?
?
3a?2b?3?0,
?
3a?2b?3?0.
解得
a?1,b?0
。
∴
f(x)?x
3
?3x,f
?
(x)?3x
2
?
3?3(x?1)(x?1)
。
令
f
?
(x)?0
,得
x??1,x?1
。
若<
br>x?(??,?1)?(1,??)
,则
f
?
(x)?0
,故
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数,
f(x)
在
(1,??)
上是增函数。
若
x?(?1,1)
,则
f
?
(x)?0
,故
f(x)
在
(?1,1)
上是减函数。
所以,
f(?1)?2
是极大值;
f(1)??2
是极小值。 ⑵曲线方程为
y?x
3
?3x
,点
A(0,16)
不在
曲线上。
3
设切点为
M(x
0
,y
0
)
,则点M的坐标满足
y
0
?x
0
?3x
0
。 2
2
因
f
?
(x
0
)?3(x
0?1)(x?x
0
)
?1)
,故切线的方程为
y?y
0
?3(x
0
注意到点A(0,16)在切线上,有
32
16?(x
0
?3x
0
)?3(x
0
?1)(0?x
0
)
3
化简得
x
0
??8
,解得x
0
??2
。
所以,切点为
M(?2,?2)
,切线方程为
9x?y?16?0
。
第四节
针对训练
一、
题号
答案
1
C
2
A
3
A
4
A
5
D
6
A
7
A
8
A
9.4x-y-1=0 10. 3x+y+2=0
11.
aa2
;
12.
22
3
13.
解:f′(x)=3x
2
+2ax+b.据题意,-1,3是方程3x
2
+2
ax+b=0的两个根,由韦达定理得
2a
?
?1?3??
?
?<
br>3
?
?
?1?3?
b
?
3
?
∴a=
-3,b=-9
∴f(x)=x
3
-3x
2
-9x+c
∵f(-1)=7,∴c=2
极小值f(3)=3
3
-3×3
2
-9×3+2=-25
∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2.
14.解:(Ⅰ)
f
'
(x)??3x
2
?6x?9
令
f
'
(x)?0即?3x
2
?6x?9?0
解得x>3或x<-1 ?x?(??,?1)和(3,??)单调递减
(Ⅱ)令
f(x)?0解得x=-1或x=3(舍)
f(2)=-8+12+18+1=23
f(-2)=8+12-18+1=3
f(-1)=1+3-9+1=-4
f(x)的最大值为23,最小值为-4.
15.解:(Ⅰ)
y
'
?2?3x
2
‘
K
切
?y|
x??1
?2?3?(
2
1)??
1
?切线方程为:y?1??1(x?1)即x?y?2?0
(Ⅱ)对x+y+2=0;令x=0,y=-2令y=0,x=-2
1
?S
?ABC
??2?2?2
2
16.解:
正方形边长为x,则V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x
3
-13x
2+20x)(0
2
-13x+10)(0
)
2
5
).V′=0得x=1
2
根据实际情况,小盒容积最大是存在的,
∴当x=1时,容积V取最大值为18.
单元检测
一、选择题
1.C
y
'
?3x
2
?6x?9?0,x??1,得x?3
,当
x??1
时,<
br>y
'
?0
;当
x??1
时,
y
'
?
0
当
x??1
时,
y
极大值
?5
;
x
取不到
3
,无极小值
2.D
lim<
br>h?0
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)
?4lim?4f
'
(x
0
)??12
h?0
h4h
'2
3.C 设切点为
P
,k?f
'
(a)?3a
2
?1?4,a??1
,
0
(a,b)
,
f(x)?3x?1
把
a??1
,代入到
f(x)=x
3
+x-2
得
b??4
;把
a?1
,代入到
f(x)=x
3
+x-2
得
b?0
,所以
P
0
(1,0)
和
(?1,?4)
4.B
f(x)
,
g(x)
的常数项可以任意
18
x
3
?11
2
?0,(2x?1)(4x?2x?1)?0,x?
5
.C 令
y?8x?
2
?
xx
2
2
'
(lnx)
'
x?lnx?x
'
1?lnx
'
?
?0,x?e
6.A 令
y?
,当时,
x?e
y?0
;
当
x?e
时,
22
xx
'
11
y
'
?0
,
y
极大值
?f(e)?
,在定义域内只有一个极值,所以<
br>y
max
?
ee
二、填空题
1.
?
66
33
'2'
2.
?
f(x)?3x?4,f(1)?7,f(1)?10,y?10?7(x?1),y?0时,x??
77
222
'2
3.
(0,)
(??,0),(,??)
y??3x?2x?0,x?0,或x?
333
4.
a?0,且b
2
?3ac
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
恒成立,
?3
y
'
?1?2sinx?0,x?
?
6<
br>,比较
0,
??
62
,
处的函数值,得
y
m
ax
?
?
?3
?
a?0
2
则
?
,a?0,且b?3ac
2
?
??4b?12ac?0
5.
4,?11
f
'
(x)?3x
2
?2ax?b,f
'
(1)?2a?b
?3?0,f(1)?a
2
?a?b?1?10
?
2a?b??3
?
a??3
?
a?4
?
2
,当
a??3
时,
x?1
不是极值点
,
?
,或
?
?
b??11
?
a?a?b?9?
b?3
三、解答题
1.解:
y?2x,k
1
?y|
x?x
0
?2x
0
;y?3x,k
2
?y|
x?x
0
?3x
0
'''2'2
k
1
k
2
??1,6x
0
??1,x
0<
br>??
3
3
36
。
6
2.解:设小正方形的边长为<
br>x
厘米,则盒子底面长为
8?2x
,宽为
5?2x
V?(8?2x)(5?2x)x?4x
3
?26x
2
?40x
'2'
V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或
x?
1010
,
x?
(舍去)
33
V
极大值
?V(1)?18
,在定义域内仅有一个极大值,
?V
最大值
?18
3.解:(1)
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(0,1)
,则
c
?1
,
f
'
(x)?4ax
3
?2bx,k?f
'
(1)?4a?2b?1,
切点为
(1,?1)
,则
f
(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(1,?1)<
br>
得
a?b?c??1,得a?
59
,b??
22
f(x)?
5
4
9
2
x?x?1
<
br>22
(2)
f
'
(x)?10x
3
?9x?0,?<
br>310310
?x?0,或x?
1010
单调递增区间为
(
?
310310
,0),(,??)
1010
13
)
得
ab?0,a?2,b?1
2
2
4.解:由
a?(3,?1),b?(,
[a?(t
2
?3)b]
(?ka?tb)?0,?ka
2
?tab?k(t
2
?3)ab?t(t<
br>2
?3)b
2
?0
?4k?t
3
?3t?
0,k?
1
3
1
(t?3t),f(t)?(t
3
?3t)
44
3333
f
'
(t)?t
2
??0
,得t??1,或t?1;t
2
??0,得?1?t?1
4444
所以增区间为
(??,?1),(1,??)
;减区间为
(?1,1)
。
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