高中数学排列组合在哪册书上-高中数学c43怎么计算
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.5
双曲线及其标准方程教案
新人教A版选修1-1
(1)预习与引入过程
预习教科书56页至60页,当变
化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口
曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形
?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆锥的轴线或平
行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后
,提出两个问题:第一、你能理解为什么此时的
截口曲线是双曲线而不是两条抛物线;第二、你能举出现
实生活中双曲线的例子.当学生把上述两
个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究P
56
页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细
绳子两条(一条约10cm长,另一条约6cm每
条一端结一个套)和笔尖带小环的铅笔一枝,教师准
备无弹性细绳子两条(一条约20cm,另一条约1
2cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当
把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子的
另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图
形是双曲线.启发性提问:在这一过程中,你能说出
移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?
〖板书〗§2.2.1双曲线及其标准方程.
(2)新课讲授过程
(i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义.
〖板书〗把平
面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离的差的绝对值等于常数(
小于
F
1
F
2
)的点的轨
迹叫做双曲线(hyperbol
a).其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦
距.即当动点设为
M
时,双曲线即为点集
P?
MMF
1
?MF
2
?2a
.
(ii)双曲线标准方程的推导过程
提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角
坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学生来建
立直角坐标系.
无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学
活动过程.
类比椭圆:设参量
b
的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、
a
,b,c
的关系有明显
的几何意义.
??
y
2
x
2
类比:写出焦点在
y
轴上
,中心在原点的双曲线的标准方程
2
?
2
?1
?
a?0,b
?0
?
.
ba
(iii)例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲
线两个焦点分别为
F
1
?
?5,0
?
,
F
2
?
5,0
?
,双曲线上一点
P
到
F
1<
br>,
F
2
距离差的
绝对值等于
6
,求双曲线的标准方程
.
分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出
a,b,c.
补充:求下列动圆的圆心
M
的轨迹方程:① 与⊙
C
:?
x?2
?
?y?2
内切,且过点
2
2
A?
2,0
?
;② 与⊙
C
1
:
x
2<
br>?
?
y?1
?
?1
和⊙
C
2
:x
2
?
?
y?1
?
?4
都外切;③ 与⊙C
1
:
2
2
?
x?3
?
2
?
y
2
?9
外切,且与⊙
C
2
:
?
x?3<
br>?
?y
2
?1
内切.
2
解题剖析:这表面上看是圆
与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆
M
的
半径为
r
.
① ∵⊙
C
与⊙
M
内切,点
A
在⊙<
br>C
外,∴
MC?r?2
,
MA?r
,因此有
MA?M
C?2
,∴点
M
的轨迹是以
C
、
A
为焦点的双曲线
的左支,即
M
的轨迹方程是
2y
2
2x??1x??2
;
7
② ∵⊙
M
与⊙
C
1
、⊙
C
2
均外切,∴
MC
1
?r?1
,
MC
2
?r
?2
,因此有
2
??
MC
2
?MC
1
?1
,∴点
M
的轨迹是以
C
2
、
C
1
为焦点的双曲线的上支,∴
M
的轨迹方程是
4x
2
3
??<
br>4y??1
?
y?
?
;
34
??
2
③ ∵
eM
与
eC
1
外切,且
eM
与
eC
2
内切,∴
MC
1
?
r?3
,
MC
2
?r?1
,因此
x
2
y<
br>2
??1
?
x?2
?
.
45
MC
1
?MC
2
?4
,∴点
M
的轨迹是以
C
1
、
C
2
为焦点的双曲线的右支,∴
M
的轨迹方程是
例2 已知
A
,
B
两地相距
800m
,在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
,且声速为
340ms
,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及
A
,
B
两地听到爆炸声的时间差,即
可知
A
,
B
两
地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.
扩展:某中心接到其正
东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时听
到了一声巨响,正东观察点听到该
巨响的时间比其他两个观察点晚
4s
.已知各观察点到该中心的
距离都是
10
20m
.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为
340ms
;相关点均
在
同一平面内).
解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方
向,以因正东比正西
晚
4s
,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.
如图,以接报中心为原点
O
,正东、正北方向分别为
x
轴、
y轴方向,建立
直角坐标系,设
A
、
B
、
C
分别
是西、东、北观察点,则
A
?
?1020,0
?
,
B
?
1020,0
?
,
C
?
0,1020
?
.
设
P
?
x,y
?
为巨响发生点,∵
A<
br>、
C
同时听到巨响,∴
OP
所在直线为
y??x
……
①,又因
B
点比
A
点晚
4s
听到巨响声,∴
PB?
PA?4?340?1360
?
m
?
.由双曲线定义知,
a?680
,
c?1020
,∴
b?3405
,∴
P
x
2
y
2
??1
?
x??680
?
……②.联立①
、②求出
P
点坐标为点在双曲线方程为
22
6805?340
P?6
805,6805
.即巨响在正西北方向
68010m
处.
??
4
,求点
M
的轨迹方程,并与§2.1.例3比较,有什么发现? 9
探究方法:若设点
M
?
x,y
?
,则直线
A M
,
BM
的斜率就可以用含
x,y
的式子表示,由于直
4< br>线
AM
,
BM
的斜率之积是,因此,可以求出
x,y
之间的关系式,即得到点
M
的轨迹方程.
9
们的斜率之积为
◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件(
a
)的展示与操作,必须让学生认同:与圆锥的 轴平行的平面去截圆锥曲面所得截
口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线;必须让学生认同与体会:双曲 线的定义及特殊情形当常数
等于两定点间距离时,轨迹是两条射线;必须让学生认同与理解:已知几何图 形建立直角坐标系的
两个原则,及引入参量
b?
探究:如图,设
A
,
B
的坐标分别为
?
?5,0
?
,
?
5,0
?
.直线
AM
,
BM
相交于点
M
,且它< br>c
2
?a
2
的意义,培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美;
让学生认同与领悟:像例1这基础题配备是必要的,但对定义的理解和使用是远远不够的,必须配
备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题;例2是典型双曲线实例的题目,对培养学生的辩证
思维 方法,会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助,但要准确判定爆炸点,必须对此题进行
扩展,培养 学生归纳、联想拓展的思维能力.
◆能力目标
(1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容 能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子,能
用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义,能正确且直 观地绘作图形,反过来根据
图形能用数学术语和数学符号表示.
(2) 思维能力:会把几何 问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问
题来思考,培养学生的数形结合的思想方 法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般
性来研究,培养学生的辩证思维能力.
(3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力.
(4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.