高中数学试题带答案解析-高中优秀说课ppt高中数学
高中数学:圆锥曲线的方程与性质练习
一、选择题
x
2
y
2
1.(全国卷Ⅰ)双曲线C:
a
2
-
b
2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离
心率为( )
A.2sin 40°
1
C.
sin 50°
B.2cos 40°
1
D.
cos 50°
b
解析:选D 由题意可得-
a
=tan 130°,
所以e=
b
2
1+
a
2
=1+tan
2
130°=
sin
2
130°
1+
cos
2
130°
11
=
|cos 130°
=.故选D.
|cos 50°
x
2
y
2
2.(福州模拟)已知点(0,3)到双曲线C:
a2
-
b
2
=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为2,则C
的
离心率是( )
3
A.
2
6
C.
2
6
B.
3
9
D.
4
解析:选A 由题意可得,双曲线C的一条渐近线的方程
为bx-ay=0,则点(0,3)到双曲
|0-3a|
b
2
5c
线
C的渐近线的距离d=
2
=2,得=,所以双曲线C的离心率e==
2
2<
br>a4a
b+a
53
1+
4
=
2
,故选A.
x
2
y
2
3.设F
1
,F
2
分别
是椭圆C:
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点,
M为直线y=2b上的一点,
△F
1
MF
2
是等边三角形,则椭圆C
的离心率为( )
7
A.
14
27
C.
7
7
B.
7
37
D.
14
b
2
1+
a
2
=
解析:选C 因为△F
1
MF
2
是等边三角形,故M(0,2b),|MF
1
|=|F1
F
2
|即4b
2
+c
2
=4c
2,
4a
2
c
2
427
=7c,所以e=
a
2
=
7
,故e=
7
.
22
4.(长
沙模拟)已知抛物线C:y
2
=8x的焦点为F,点A(1,a)(a>0)在C上,|AF|
=3.若直
线AF与C交于另一点B,则|AB|的值是( )
A.12
C.9
B.10
D.4.5
解析:选C 解法一:因为A(1,a)
(a>0)在抛物线C上,所以a
2
=8,解得a=22或a
=-22(舍去),故直
线AF的方程为y=-22(x-2),与抛物线的方程联立,消去y,可得x
2
-5x+4=
0,解得x
1
=1,x
2
=4.由抛物线的定义,得|BF|=4+2=6,
所以|AB|=|AF|+|BF|=9,
故选C.
解法二:因为直线AB过焦点F(2,0
),设A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
),直线方程为y=k(x-2),
与y
2
=8x联立得k
2
x<
br>2
-(4k+8)x-4k
2
=0,所以x
A
x
B<
br>=4.又x
A
=1,所以x
B
=4,所以|AB|=|AF|
+|BF|=x
A
+x
B
+4=9,故选C.
x
2
y
2
5.(全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C:
4
-
5
=1的
一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若
|OP|=|OF|则△OPF的面积为( )
3
A.
2
7
C.
2
5
B.
2
9
D.
2
x
2
y
2
解析:选B 由F是双曲线
4
-
5
=1的一个焦点,知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.
不妨设点P在第一象限
,P(x
0
,y
0
),x
0
>0,y
0
>
0,
2
?
x
2
0
+y
0
=3,
?
2
则
?
x
2
0
y
0
-=1,<
br>?
?
45
2
56
x
?
?
0
=
9
,
解得
?
2
25
y
??
0
=
9
,
?
2145
?
所以P
?
,
3
?
,
?
3
?
1155
所以S
△
OPF
=
2
|OF|·y
0
=
2
×3×
3
=
2<
br>.故选B.
x
2
y
2
→
=-
2
M
B
→
,6.已知椭圆C:
9
+
5
=1,若直线l经过M(0
,1),与椭圆交于A,B两点,且MA
3
则直线l的方程为( )
1
A.y=±
2
x+1
C.y=±x+1
1
B.y=±
3
x+1
2
D.y=±
3
x+1
y=kx+1,
?
?
解析:选B 依题意,设直线l:y=kx+1,点A(
x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).则由
?
x
2
y
2
+=1,
?
?
95<
br>消去y,整理得(9k
2
+5)x
2
+18kx-36=0,Δ=(1
8k)
2
+4×36×(9k
2
+5)>0,
?
?
36
?
xx=-
9k+5
,
2
?
?<
br>x=-
3
x,
12
2
12
18k
x
1
+x
2
=-
2
,
9k+5
11
解得k=±,即直线l的方程为y=±
33
x+1,故选B.
二、填空题
x
2
y
2
7.(全国卷Ⅲ)设F
1<
br>,F
2
为椭圆C:M为C上一点且在第一象限.若
36
+
20
=1的两个焦点,
△MF
1
F
2
为等腰三角形,则M的坐标
为________.
解析:设F
1
为椭圆的左焦点,分析可知点M在以F
1
为圆心、焦距为半径的圆上,即在圆
(x+4)
2
+y
2
=64上.
x
2
y
2
因为点M在椭圆
36
+20
=1上,
?x+4?
2
+y
2
=64,
?
?
所以联立方程可得
?
x
2
y
2
+=1
,
?
?
3620
?
x=3,
解得
?
?
y=±15.
又因为点M在第一象限,所以点M的坐标为(3,15).
答案:(3,15)
8
.(福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C
的焦点F,且
与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线
上一点,则△AB
M的面积为________.
解析:不妨设抛物线C:y
2
=2px(p>0),
因为直线l过抛物线C的焦点,且与抛物线的对
称轴垂直,所以线段AB为通径,所以2p=8,p=4
,又M为抛物线C的准线上一点,所以点
1
M到直线AB的距离即焦点到准线的距离为4,所以
△ABM的面积为
2
×8×4=16.
答案:16
x2
y
2
9.(郑州模拟)已知双曲线E:
a
2
-
b
2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F向双曲线的一
→
=3F
Q
→
,则双曲线E的离心率为条渐近线引垂线,垂足为P,交另一条渐近线于点Q,若5PF<
br>________.
x
2
y
2
解析:由题意知,双曲线a
2
-
b
2
=1(a>0,b>0)的右焦点F的坐标为(c,
0),设一条渐近线
b
?
bb
?
OP(O为坐标原点)的方程为y=
a
x,另一条渐近线OQ的方程为y=-
a
x,不妨设P
?
m,
a
m
?
,
??
5?c-m?=3?n-c?,
?
?
b
??
→
=3FQ
→
,得
?
Q
?
n,-
a
n
?
,由5PF
?
b
??
b
?
??
?
-m
?
=3
?
-n
?
,5
?
?
?
a
??
a
?<
br>
解得
?
4
m=
?
?
5
c,
4
n=
?
?
3
c,
因为OP⊥FP,所以b
-
a
m
ac
2
b
2
55
2
22
k
PF
==-
b
,解得a=4b,所以e=
a
2
=1+
a
2
=
4
,故双曲线E的离心率e=
2<
br>.
c-m
5
答案:
2
三、解答题
x<
br>2
y
2
10.(全国卷Ⅱ)已知F
1
,F
2
是椭圆C:
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)的两个焦点,P
为C上的点,O
为坐标原点.
(1)若△POF
2
为等边三角形,求椭圆C的离心率;
(2)如果存在点
P,使得PF
1
⊥PF
2
,且△F
1
PF
2
的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解:(1)连接PF
1
.由△POF
2
为等边三角形可知在△F
1
PF
2
中,∠F
1<
br>PF
2
=90°,|PF
2
|=c,|PF
1
|c
=3c,于是2a=|PF
1
|+|PF
2
|=(3+1)c
,故椭圆C的离心率为e=
a
=3-1.
1yyx
2
(2)由题意
可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当
2
|y|·2c=16,·=-1,
a
2
+
x+cx-c
y
2
b
2
=1,
即c|y|=16,①
x
2
+y
2
=c
2
,②
x
2<
br>y
2
a
2
+
b
2
=1.③
b
4
由②③及a=b+c得y=
c
2
.
2222
16
2
又由①知y=
c
2
,故b=4.
2
a
2
2
由②③及a=b+c得x=
c
2
(c-b
2
),
2222
所以c
2
≥b
2
,从而a
2
=b
2
+c
2
≥2b
2
=3
2,故a≥42.
当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[42,+∞).
11.(广东七校联考)已知抛物线C:y<
br>2
=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,
t)到焦点F的距离等
于3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为直线x=-1
上的点,且FP⊥FQ,求直
线PQ与抛物线C的交点个数,并说明理由.
p
解:(1)抛物线C的准线方程为x=-
2
,
p
所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+
2
=3,
解得p=2.
所以抛物线C的方程为y
2
=4x.
(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.
理由如下:
?
y
0<
br>?
设点P
?
4
,y
0
?
,点Q(-1,m)
.
??
2
?
y
0
?
→→
由(1)得焦点
F(1,0),则FP=
?
4
-1,y
0
?
,FQ=(-2
,m),
??
2
→→
由题意可得FP·FQ=0,
y
0
-4
?
y
0
?
故-2
?
4
-1<
br>?
+my
0
=0,从而m=
2y
.
??
0
y
0
-m
2
故直线PQ的斜率k
PQ
=
y
2
=
y
.
00
+1
4
2
?y
2
y
0
yy
2
0
?
0
故直
线PQ的方程为y-y
0
=
y
?
x-
4
?
,得x=
2
-
4
.①
?
0
?
2
2
又抛物线C的方程为y
2
=4x,②
y
2
0
所以由①②得(y-y
0
)=0,故y=y
0
,x=
4
.
2
故直线PQ与抛物线C只有一个交点.
x
2
y2
12.(永州模拟)已知椭圆E:右焦点分别为F
1
,F
2
,
椭圆过点(0,2),
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)的左
,
点Q为椭圆上一动点(异于左右顶点),且△QF
1
F
2
的周长为
4+42.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F
1
,F
2分别作斜率为k
1
,k
2
的直线l
1
,l
2<
br>,分别交椭圆E于A,B和C,D四点,
且|AB|+|CD|=62,求k
1
k
2
的值.
?
b=2,
解:(1)由题意可知,
?
2a+2c=4+4
?
a
2
=b
2
+c
2
,
x
2
y
2
∴椭圆E的方程为
8
+
4<
br>=1.
(2)由题意可知,F
1
(-2,0),F
2
(2,0),
2,
解得a=22,b=2,
设直线AB的方程为y=k
1(x+2),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
?
x
2
+2y
2
=8,
222
2
联立
?
∴(1+2k
1
)x+8k
1
x+8k<
br>1
-8=0.
?
y=k
1
?x+2?.
2222<
br>∴Δ=(8k
2
1
)-4(1+2k
1
)(8k
1<
br>-8)=32(k
1
+1)>0,
8k
2
8k<
br>2
1
-8
1
则x
1
+x
2
=,x<
br>1
x
2
=,
1+2k
2
1+2k
2
11
|AB|=1+k
2
1
|x
1
-x
2
|=
2
?1+k
2
1
?[?x
1
+x
2
?-4x
1
x
2
]=
42?1+k
2
1
?
2
.
1+2k
1
42?1+k
2
2<
br>?
同理联立方程,由弦长公式可知,|CD|=
2
,
1+2k
2
2
42?1+k
2
42?1+k
2
?
1
?
∵|AB|+|CD|=62,∴+=62,
1+2k
2
1+2k2
12
1
22
1
化简得k
1
k
2=
4
,则k
1
k
2
=±
2
.