高中数学-圆锥曲线-抛物线

高中数学- 圆锥曲线
【知识图解】





圆
锥

曲
线

双曲线
几何性质
定义
标准方程
圆锥曲线应用
椭圆
几何性质
定义
标准方程







【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学 和高等数学的纽
带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲
线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的
图像具有典型的几何特性 ，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习
和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和 抛物线。圆锥曲线问题的基本
特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往 往比
较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知
识和方法的 能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析 几何问题一般涉及的变量多，
计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而 废，
几何性质
抛物线
定义
标准方程

因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的
过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任 务来学习：一是根据已知条件求
曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性 质，往
往通过数形结合来体现，应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数 形结合思想的归纳提炼，达到优化
解题思维、简化解题过程
第1课 椭圆A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准 方程,
掌握椭圆简单的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能 运用椭圆的标准方程和
几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
x
2
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆
?y
2
?1
上，顶点A是 椭圆的一个焦点，且
3
椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
43
2.椭圆
x
2
?4y
2
?1
的离心率为< br>3
2

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2
3
，0 ），且长轴长是短轴长的2倍，
x
2
y
2
??1
则该椭圆的标准方程是
164
x
2
y
2
1
5??1
的离心率
e?
，则
k
的值为
k?4或k?? 4. 已知椭圆
k?89
2
4
【范例导析】
35
例 1.（1）求经过点
(?,)
，且
9x
2
?4y
2
?45
与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
22
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长 轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该

椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】 由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦
点在哪轴上；②定量，即根据条件 列出基本量a
、
b
、
c的方程组，解方程组求得
a
、
b的值;③写出方程.
y
2
x
2
解：（1）∵椭圆焦点在
y
轴上，故设椭圆的标准方程为
2
?
2
?1
（
a ?b?0
），
ab
由椭圆的定义知，
353531
2a?(?)
2
?(?2)
2
?(?)
2
?(?2)
2
?10?10?210
，
222222
∴
a?10
，又∵
c?2
，∴
b
2
?a
2
?c
2
?10?4 ?6
，
y
2
x
2
?1
。 所以，椭圆的标准方程 为
?
106
x
2
y
2
（2）方法一：①若焦点在x 轴上，设方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，
ab
∵点P（3,0）在该椭圆上∴
x
2
?y
2?1
.
9
9
22
?1
a?9b?1
∴椭圆的 方程为即又，∴
a?3b
2
a
y
2
x
2
② 若焦点在y轴上，设方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，
ab
∵点P（3,0）在该椭圆上∴
y
2
x
2
??1

819
9
2
2
?1
b?9< br>a?81
∴椭圆的方程为即又，∴
a?3b
2
b
方法二：设椭 圆方程为
Ax
2
?By
2
?1
?
A?0,B?0, A?B
?
.∵点P（3,0）在该椭圆
x
2
1
1
2
上∴9A=1，即
A?
,又
a?3b
∴
B?1或
，
a?81
∴椭圆的方程为
?y
2
?1
或
9
9
81
y
2
x
2
??1
.
819
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为

x
2
y
2
y
2
x
2
??1
?
a?b ?0
?
，若焦点在y轴上，设方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，有时
a
2
b
2
ab
为了运算方便，也可设为
Ax
2
?By
2
?1
，其中
A?0,B?0,A?B
.
x
2
y
2
??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，例2.点A、B分别是椭圆
3620
点P在椭圆 上，且位于
x
轴上方，
PA?PF
。
（1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于
|MB|
，求椭圆上
的点到点M的距离
d
的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值 问题通常可转化为函数的最值
来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
uuuruuur
设点P(
x
,
y
),则
AP
=（
x
+6,
y
）,
FP
=（
x
－4,
y
）,由已知可得
?
x
2
y
2
?1
3
?
?

?
3620
则2
x
2
+9
x
－18=0,
x
=或
x
=－6.
2
?
(x?6)(x?4) ?y
2
?0
?
由于
y
>0,只能
x
=33
5353
,于是
y
=. ∴点P的坐标是(,)
22
22
(2) 直线AP的方程是
x
－
3
y
+6=0. 设点M(
m
,0),则M到直线AP的距离是
m?6
2
.
m?6
2
于是
有
=
m?6
,又－6≤
m
≤6,解得
m
=2. 椭圆上的点(
x
,
y
)到点M的距离
d
549
< br>d
2
?(x?2)
2
?y
2
?x
2
?4x?4?20?x
2
?(x?)
2
?15
,
992
9
由于－6≤
m
≤6, ∴当
x
=时,d取得最小值
15

2

点拨: 本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函
数值域问题.

【反馈练习】
1.如果
x
2
?ky
2
?2
表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为F1
、
、F
2
，过F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P， 若△
F
1
PF
2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
2? 1

x
2
y
2
3.椭圆=1的焦点为F
1
和F
2
，点P在椭圆上.如果线段PF
1
的中点在y轴上，
?
123
那么|PF
1
|是|PF
2
|的7倍
x
2
y
2
10
?1
的离心率
e?
4.若椭圆
?
,则
m
的值为
3或
25

5m
35
x
2
y
2
3
??1
的右焦点到直线
y?3x
的距离为5.．椭圆
43
2
x
2
y
2< br>?1
具有相同的离心率且过点（2，-
3
）的椭圆的标准方程是6.与椭圆?
43
x
2
y
2
3y
2
4x
2
??1
或
??1

862525
x
2
y
2
??1
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距离是
10
7.椭圆
164
8. 已知
P
点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点
P
到两焦点的距离分别为
45
和
3
25
，过
P
点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
3
分析：讨论 椭圆方程的类型，根据题设求出
a
和
b
（或
a
2
和
b
2
）的值．从而求得
椭圆方程．
解：设两焦点为
F1
、
F
2
，且
PF
1
?
4525，
PF
2
?
．
33
从椭圆定义知
2a?PF
1
?PF
2
?25
．即
a?5
．

从
PF
1
中，
1
?PF
2
知
PF
2
垂直焦点所在的对称轴，所以在
Rt?PF
2
F
sin? PF
1
F
2
?
PF
2
PF
1
?< br>1
，
2
可求出
?PF
1
F
2
?< br>?
6
，
2c?PF
1
?cos
?
6
?
10
25
，从而
b
2
?a
2
?c
2
?
．
3
3
x
2
3y
2
3x
2
y
2
?1
或
??1
． ∴所求椭圆方程为
?
510105
第2课 椭圆B
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;
2. 能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
?
m?6
?
与曲线
??1
?
5?n?9
?
的（D） 1.曲线
10?m6?m5?n9?n
A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同
D 焦距相等
x
2
y
2
??1
上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的2.如果椭圆
2516
20
距离分别是
10，

3
x
2
9y
2
5
?1
3 离心率e?
，一条准线为
x?3
的椭圆的标准方程是
?
520
3
【范例导析】
x
2
y
2
例1.椭圆
2
?
2
?1
（a>b>0）的二个焦点F
1
(-c，0)，F
2
(c，0)，M是椭圆上一
ab
点，且
F
1
M?F
2
M?0
。
求离心率e的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量a
、b、
c有关，所 以本题可以用基本量表示椭圆上

点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本 量的不等式，从而确定
离心率的范围.
解：设点M的坐标为(x，y)，则
F
1
M?(x?c,y)
，
F
2
M?(x?c,y)
。由< br>F
1
M?F
2
M?0
，得x-c+y=0，即x-c=-y。 ①
b
2
2
b
2
2
22
又由点M在椭圆上 ，得y=b
?
2
x
，代入①，得x-c
?
2
x?b
2
，即
aa
22
222222
a
2
b2
x?a?
2
。
c
22
a
2
?c< br>2
1
2
a
2
b
2
2
?1
∵ 0≤
x
≤
a
，∴0≤
a
?
2
≤
a
，即0≤≤1，0≤≤1，解得
c
2
e
2
2
c222
≤
e
≤1。
又∵0＜
e
＜1，∵
2
≤
e
≤1.
2< br>例2.如图，已知某椭圆的焦点是F
1
(－4，0)、F
2
(4，0) ，过点F
2
并垂直于x轴的
直线与椭圆的一个交点为B，且|F
1
B |+|F
2
B|=10，椭圆上不同的两点A(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
满足条件：|F
2
A|、| F
2
B|、|F
2
C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标.
分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定
义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义 解决.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F
1
B|+|F
2
B|=10,得a=5,
又c=4,所以b=
a
2
?c
2
=3.
故椭圆方程为


(2)由点B(4,y
B
)在椭 圆上，得|F
2
B|=|y
B
|=.因为椭圆右准
9
5y
x
?
=1.
259
2
2
y
例2
A
B
C
F
1
o
F
2
B'
x

线方程为x=
x
2
)，
25
44
25
4
25
,离心率为，根据椭圆定义，有|F
2
A|=(－x< br>1
),|F
2
C|=(－
4
55
4
5
4
由|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|成等 差数列，得(
x
1
+x
2
=8.
设弦AC的中点为P(x
0
,y
0
),则x
0
=

【反馈练习】
x
1
?x
2
=4.
2
4
25
4
25
9
－x
1
)+(－x
2
)=2×,由此得出：
5
4
5
4
5
1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长 为
2
，焦点到相应准线的距离为
1，则该椭圆的离心率为
2

2
x
2
?
2．已知F
1
、F
2
为椭圆< br>?y
2
?1
的两个焦点，过F
1
作倾斜角为的弦AB，则△< br>2
4
F
2
AB的面积为
4

3
3. 已知正方形
ABCD
，则以
A，B
为焦点，且过
C，D
两点 的椭圆的离心率为
2?1

x
2
y
2
??1
上的点P到它的左准线的距离是10，4.椭圆那么点P 到它的右焦点
10036
的距离是 12
x
2
y
?
9
?
0
?的距5.椭圆
??1
上不同三点
A
?
x
1
，y
1
?
，
B
?
4，
?
，
C
?
x
2
，y
2
?
与焦点
F
?
4，
259
?
5
?
离成等差数列．
求证:
x
1
?x
2
?8
；
证明：由椭圆方程知
a?5
，
b?3
，
c?4
．
由圆锥曲线的统一定义知：
2
AF
a
2
?x
1c
?
4
c
，∴
AF?a?ex
1
?5?x
1
．
5
a

同理
CF?5?
4
x
2
．
5
9
，
5
∵
AF?CF?2BF
，且
BF?
4
??< br>4
?
18
?
∴
?
5?x
1
?< br>?
?
5?x
2
?
?
，即
x
1
?x
2
?8
．
5
??
5
?
5
?

第3课 双曲线
【考点导读】
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1
1.双曲线
mx
2
?y
2
?1
的虚轴长是实轴长 的2倍，则
m??

4
y
2
x
2
??1< br>表示双曲线，则
k
的范围是
k?3或k??3
2. 方程
k ?3k?3
1
3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为
y??x，则此双曲
2
线的离心率为
5

4. 已知焦点
F1
(5,0),F
2
(?5,0)
，双曲线上的一点
P
到
F
1
,F
2
的距离差的绝对值等于
x
2
y
2
?1

6
，则双曲线的标准方程为
?
916
【范例导析】
例1. (1) 已知双曲线的焦点在
y
轴上，并且双曲线上两点
P
1
,P< br>2
坐标分别为
9
(3,?42),(,5)
，求双曲线的标准方程;
4
x
2
y
2
?1
共渐近线且过
A23，< br>（2）求与双曲线
?

?3
点的双曲线方程及离心率．
169
??
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的
焦 点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a
、
b
、
c的方程组，解方程组 求
得a
、
b的值;③写出方程.
解：（1）因为双曲线的焦点在
y
轴上，所以设所求双曲线的标准方程为
y
2
x
2
?
2
?1(a?0,b?0)
①；
2
ab
∵点
P
1
,P
2
在双曲线上，∴点
P
1
,P
2
的坐 标适合方程①。

?
(?42)
2
3
2
?< br>2
?1
?
2
b
9
?
a
将
( 3,?42),(,5)
分别代入方程①中，得方程组：
?

9
2< br>4
?
25
()
?
2
?
4
2
?1
b
?
a
1
?
1
?
?
11?
a
2
16
将
2
和
2
看着整体，解得
?
，
ab
?
1
?
1
?
?
b
2
9
2
?
y
2
x
2
?
a?16
∴
?
2
即双曲线的标准方程为
??1
。
169
?
?
b?9
点评：本题只要解得
a
2
,b
2
即可得到双曲线的方程，没有必要求出
a,b
的值；
在求解的过程 中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
x
2
y
2
3
? 1
的渐近线方程为：
y??x
（2）解法一：双曲线
?
1694
x
2
y
2
当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为
2< br>?
2
?1
?
a?0,b?0
?

ab
∵
a33
?
，∴
b?a
①
b44
∵
A23，?3
在双曲线上
∴
129
??1
②
a
2
b
2
??
由①－②，得方程组无解
y
2
x
2
当焦点在y轴时，设双曲线方程为
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

ab
b34
?
，∴
b?a
③
a43
912
∵
A23，?3
在双曲线上，∴
2
?
2
?1
④
ab
9
由③④得< br>a
2
?
，
b
2
?4

4
∵
??
y
2
x
2
5
??1
且离心率
e?
∴所求双曲线方程为：
9
4
3
4

x< br>2
y
2
x
2
y
2
?1
共渐近线的双 曲线方程为：
??
?
?
?
?0
?
解法二：设与双 曲线
?
169169
∵点
A23，?3
在双曲线上，∴
?< br>?
??
1291
???

1694
x
2y
2
1
y
2
x
2
??
，即
? ?1
． ∴所求双曲线方程为：
?
9
1694
4
4
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用
x
2
y
2
双曲线系方程
2
?
2
?
?
?
?
?0
?
求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另
ab
一条件 确定参数
?
．
例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两
个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已
知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声
音传播的速度为340m s :相关各点均在同一平面上)
解：如图:
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A 、
B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020 ）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故
|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
依题意得a=680, c=1020，
x
2
y
2
?
2
?1
上，
2
ab
y

P

A

C

o

B

x

?b
2
?c
2
?a
2
?1020
2
?680
2
?5?340
2
x
2
y
2
故双曲线方程为
2
??12
6805?340

用y=－x代入上式，得
x??6805
，∵|PB|>|PA|,
?x??6805,y?6805,即P(?6805,6805),故PO?68010

答：巨响发生在接报中心的西偏北45
0
距中心
68010m
处.
例2

x
2
y
2
例3.双曲线
2< br>?
2
?1(a?1,b?0)
的焦距为2c，直线
l
过点（a ，0）和（0，b），
ab
且点（1，0）到直线
l
的距离与点（－1，0） 到直线
l
的距离之和
s?
线的离心率e的取值范围.
解：直线
l
的方程为
xy
??1
，即
bx?ay?ab?0.

ab
4
c.
求双曲
5< br>由点到直线的距离公式，且
a?1
，得到点（1，0）到直线
l
的距离
d
1
?
b(a?1)
a?b
22
，
同理 得到点（－1，0）到直线
l
的距离
d
2
?
2ab
a
2
?b
2
2ab
.

c
b(a?1)
a?b
22

s?d
1
? d
2
??
由
s?
42ab4
c,得?c,
即
5ac
2
?a
2
?2c
2
.

5c5
于是得
5e
2
?1?2e
2
,
解不等式，得
即4e
4
?25e
2
?25?0.

5
5
?e
2
?5.
由于
e?1?0,
所以
e
的取值范围是
?e?5.

4
2
点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.
【反馈练习】
x
2
y
2
???1
的渐近线方程为
y??2x
1.双曲线
24
x
2
y
2
?1

0)，
(4，0)
，则双曲线方程为
?
2.已知双曲线的离心率为
2
，焦点是
(?4，
412
3.已知双曲线的两个焦点为
F
1
(?5,0)
，
F
2
(5,0)
，P是此双曲线上的一点， 且
x
2
?y
2
?1

PF
1
?P F
2
，
|PF
1
|?|PF
2
|?2
，则 该双曲线的方程是
4
x
2
y
2
4. 设P是双曲线
2
－＝1
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
3x?2y?0
，
F< br>1
、
a9
F
2
分别是双曲线左右焦点，若
PF
1
=3,则
PF
2
=7

x
2
y
2
??1
共焦点且过点
(32,2)
的双曲线的方程5.与椭圆255
x
2
y
2
??1

20?210210
?3
?
且离心率为
2
的双曲线6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点
P
?
1，
标准方程．
（2）求以曲线
2x
2
?y
2
?4x?10?0
和
y
2
?2x?2
的交点与原点的连线为渐近线，
且实轴长为12的双曲线的标 准方程．
x
2
y
2
1
?
?3
?
?1
?
k?0
?
，则
?
解：（1）设所求双曲线方程为：< br>?
?1
，
kk
kk
2
y
2
x2
19
?1
∴
??1
，∴
k??8
，∴所求 双曲线方程为
?
88
kk
22
?
?
x?3
?
x?3
2
?
2x?y?4x?10?0
（2）∵
?
2
，∴
?
或
?
，∴渐近线方程为
y??x
3
?
?
y?2
?
y??2
?
y?2x?2当焦点在
x
轴上时，由
b2
?
且
a?6
，得< br>b?4
．
a3
x
2
y
2
?1
∴ 所求双曲线方程为
?
3616
当焦点在
y
轴上时，由
a2< br>?
，且
a?6
，得
b?9
．
b3
y
2
x
2
??1
∴所求双曲线方程为
3681
x
2
y
2
7.设双曲线
2
?
2
?1
(0?a?b)
的半焦距为
c
，直线
l
过(a,0)
、
(0,b)
两点，且
ab
原点到直线
l< br>的距离为
3
c
，求双曲线的离心率．
4
分析：由两点式得直 线
l
的方程，再由双曲线中
a
、
b
、
c
的 关系及原点到直线
l
的
距离建立等式，从而解出
c
的值．
a
解：由
l
过两点
(a,0)
，
(0,b)
，得< br>l
的方程为
bx?ay?ab?0
．

由点到
l
的距离为
ab3
3
?c
．
c
，得
22
4
4
a?b
a
2
2< br>a
2
将
b?c?a
代入，平方后整理，得
16(
2< br>)?16?
2
?3?0
．
cc
22
31
a
2
令
2
?x
，则
16x
2
?16x?3? 0
．解得
x?
或
x?
．
44
c
而
e?
c
1
23
，有
e?
．故
e?
或e?2
．
a
x
3
ca
2
?b
2b
2
因
0?a?b
，故
e???1?
2
?2< br>，
aaa
所以应舍去
e?
23
．故所求离心率
e? 2
．
3
23
．其原因是未注意到题设条件
3
说明：此题易 得出错误答案：
e?2
或
e?
(0?a?b)
，从而离心率
e?2
．而
23
?2
，故应舍去．
3
8.已知双曲线的中 心在原点，焦点
F
1
,F
2
在坐标轴上，离心率为
2
，且过点
?
4,?10
?
．
uuuuruuuur
（1 ）求双曲线方程；（2）若点
M
?
3,m
?
在双曲线上，求证：MF
1
?MF
2
?0
；
（3）对于（2）中的点M
，求
?F
1
MF
2
的面积．
解：（1）由 题意，可设双曲线方程为
x
2
?y
2
?
?
，又双曲 线过点
4,?10
，解得
??
?
?6

∴ 双曲线方程为
x
2
?y
2
?6
；
（2）由（1）可知，
a?b?6
，
c?23
， ∴
F
1
?23,0
，
F
2
23,0

uuuuruuuur
uuuuruuuuur
∴
MF
1
??23?3,?m
，
MF
2
?23?3,?m
， ∴
MF
1
?MF
2
?m
2
?3
，
????
????
又点
M
?
3,m
?
在双曲线上， ∴
9?m
2
?6
，

uuuuruuuur
∴
m?3
， 即
MF
1
?MF
2
?0
；
2
（3）
SVF
1
MF
2
?
11
F
1
F
2
m??43?3?6
∴
?F
1
MF
2
的面积为6．
22

第4课 抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性
质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦 点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是
y
2
=16x或x
2??8y

x
2
y
2
?1
的右焦点重合，则< br>p
的值为
4
2.若抛物线
y?2px
的焦点与椭圆
?
62
2
3.抛物线
y
2
?4ax(a?0)
的 焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线
y
2
?12x
上与焦点的 距离等于9的点的坐标是
6,62

5．点
P
是抛物线
y< br>2
?4x
上一动点，则点
P
到点
A(0,?1)
的距 离与
P
到直线
x??1
的距离和的最小值
2

【范例导析】
例1. 给定抛物线y
2
=2x，设A（a，0），a＞0， P是抛物线上的一点，且｜PA｜
=d，试求d的最小值．
解：设P（x
0
，y
0
）（x
0
≥0），则y
0
2
=2x
0
，
2
∴d=｜PA｜=
(x
0
?a)
2
?y
0

??
=
(x
0
?a)
2
?2x
0
=
[x
0
?(1?a)]
2
?2a?1
．
∵a＞0，x
0
≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x
0
=0时，d
m in
=
(1?a)
2
?2a?1
=a．
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x
0
=a－1时，d
min
=
2a?1
．

例2.如图所示，直线
l
1
和
l
2
相交于点M，
l
1
⊥
l
2
，点
N?l
1< br>，以A
、
B为端点的曲
线段C上的任一点到
l
2
的距 离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，
AM?7
，
AN?3
，且
BN?6
，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点 是以点N为焦点，以
l
2
为准线的抛物线的一段，
所以本题关键是建立适当坐 标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以
l
1
为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
例2
由题意，曲线段C是N为焦点，以
l
2
为准线的抛物线的一段 ，其中A
、
B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：
y
2
?2px(p?0)(x
A
?x?x
B
,y?0),< br>其中
x
A
、
x
B
为A
、
B的横坐标
令
MN?p,
则
M(?
pp
,0),N(,0)
，
?AM?17,AN?3

22
p
2
)?2px
A
?17
?
p?4
2
解得
?
或
x?1< br>p
2
?
A
)?2px
A
?9
2
?< br>(x?
?
?
A
∴由两点间的距离公式，得方程组：
?
?
(x?
A
?
?
?
p?2

?
x ?2
?
A
∵△AMN为锐角三角形，∴
p
?x
A
， 则
p?4
，
x
A
?1

2
又B在曲线段C 上，
?x
B
?BN?
p
?6?2?4

2
则曲线段C的方程为
y
2
?8x(1?x?4,y?0).


【反馈练习】

y
2
1.抛物线
x?
的准线 方程是
x??2

8
2.抛物线
y
2
?ax(a? 0)
的焦点到其准线的距离是
|a|

2
3.设O为坐标原点，F为 抛物线
y
2
?4x
的焦点，A为抛物线上的一点，若
OA?AF?? 4
，则点A的坐标为
2,2?2

??
4.抛物线
y??x
2
上的点到直线
4x?3y?8?0
距离的最小值是
4
< br>3
5.若直线l过抛物线
y?ax
2
(a>0)的焦点，并且与y轴垂 直，若l被抛物线截得
的线段长为4，则a=
1

4
6.某抛物线 形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，
求其中最长的支柱的长.

解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=2 0，|OM|=4，A
、
B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线 方程为x
2
=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x
2
=－25y.


第6题
由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
7. 已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的
直线交抛物线于A，B 两点.（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．
分析：可设抛物线 方程为
y
2
?2px(p?0)
．用待定系数法求得方程，对于第二问
的证明只须证明

解：（1）设抛物线的方程
y
2
?2px
?
p?0
?
，将（2，2）代入得
p?1
∴所求抛物
线方 程为
y
2
?2x

（2）证明：作
AA
1
?l
于
A
1
,BB
1
?l
于
B
1
．M为AB中点，作
MM
1
?l
于
M
1
， 则
由抛物线的定义可知：
AA
1
?AF,BB
1
?BF
在直角梯形
BB
1
A
1
A
中：
AB
2
?MM
1
，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切. < br>111
(AA
1
?BB
1
)?(AF?BF)?AB

222
1
?MM
1
?AB
，故以AB为直径的圆，必与抛物 线的准线相切．
2
MM
1
?
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的 圆与相对应的准线相离，以双曲
线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

第5课 圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
1. 了解圆锥曲线的第二定义.
2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
3
3
1.抛物线
y
2
?6x
的焦点的坐标是
(,0)
, 准线方程是
x??

2
2
2..如果双曲线 的两个焦点分别为
F
1
(?3,0)
、
F
2
(3, 0)
，一条渐近线方程为
y?2x
，
那么它的两条准线间的距离是2 x
2
11
3.若双曲线
?y
2
?1
上的点到左 准线的距离是到左焦点距离的，则
m
=
m
38
4.点M与点F< br>(4,0)
的距离比它到直线:
x?5?0
的距离小1,则点
M
的轨迹方程是
y
2
?16x

【范例导析】
例1.已知 双曲线的渐近线方程为
3x?2y?0
，两条准线间的距离为
曲线标准方程．
分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双
曲线标准方程．
x
2
y
2
2
??1
?
?
?0?
解：∵双曲线渐近线方程为
y??x
，∴设双曲线方程为
4
?
9
?
3
16
13
，求双
13
①若
?
?0
，则
a
2
?4
?
，
b
2
?9
?

a
2
413813
?
1613< br>∴准线方程为：
x??
，∴
?
?4

??
?
，∴
?
c131313
②若
?
?0
，则
a
2
??9
?
，
b
2
??4
?
< br>64
a
2
9?13
?
18?13
?
1613
∴准线方程为：
y????
，∴，∴
?
??

?< br>81
c131313

x
2
y
2
9y< br>2
81x
2
?1
或
??1
∴所求双曲线方程为：< br>?
163664256
点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根 据条件列出基
本的方程组解方程组得出结果.
y
2
1
?1
上求一点
P
，使
PA?PF
的
0
?
，
F< br>?
2，0
?
，在双曲线
x?
例2.已知点
A
?
3，
3
2
2
值最小．
解：∵
a?1
，
b?3
，∴
c?2
，∴
e?2

0
?相应准线的距离为
d
则设点
P
到与焦点
F
?
2 ，
PF
d
?2

∴
11
PF?d
，∴
PA?PF?PA?d

22
至此，将问题转化成在双曲线上求一点
P
，
使
P
到定点
A
的距离与到准线距离和最小．
即到定点
A
的距离与准线距离和最小为直线
PA
垂直于准线时， < br>?
21
?
2
?
解之得，点
P
?
?< br>3
，
?
．
??
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解 题中，将会带给我们意想不到的方
便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

【反馈练习】
x
2
11
?y
2
?1
上的 点到左准线的距离是到左焦点距离的，则
m?
1.若双曲线
m
38
2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为
2
，焦点到相应准线的距离为1，
则 该椭圆的离心率为
2

2
x
2
3
3
3. 已知双曲线
2
?y
2
?1 (a?0)
的一条准线为
x?
，则该双曲线的离心率为
2
a
2
x
2
y
2
??1
右支点上的一点P到右焦点的距离为2 ，则P点到左准线4 双曲线
169

的距离为 8
第6课 圆锥曲线综合
【考点导读】
1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几 何性质的基础上,把握有关圆锥曲线
的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.
2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思
想.
3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问
题的转化, 并运用圆锥曲线知识解决实际问题.
【基础练习】
1. 给出下列四个结论：
① 当a为任意实数时，直线
(a?1)x?y?2a?1?0
恒过定点P，则过点P且焦点
在y轴上的抛物线的标准方程是
x
2
?
4
y
；
3
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为
2x?y?0
，则双曲线的 标
x
2
y
2
??1
； 准方程是
520
③ 抛物线
y?ax
2
(a?0)的准线方程为y??
1
；
4 a
x
2
y
2
??1
，其离心率
e?(1,2)，则m的取值范围是（－12，0）④已知双曲线。
4m
其中所有正确结论的个数是4
x
2
y
2
??1
长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦 点，则2.设双曲线以椭圆
259
双曲线的渐近线的斜率为
?
1
< br>2
x
2
y
2
??1
的弦被点(4，2)平分，则这条 弦所在的直线方程是3.如果椭圆
369
x?2y?8?0

【范例导析】
例1. 已知抛物线
x
2
?4y的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且
uuuruuur
AF?
?
F B(
?
?0).
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
uuuuruuur
（I）证明

为定值；
（II）设
?A BM
的面积为S，写出
S?f(
?
)
的表达式，并求S的最小值。

2
?
x
1
2
???
x
2
解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为
?
x
1
,
?< br> B点的坐标为
?
x
2
,
?

4
?
4
???
2
uuuruuur
??
x
2
?
x
1
2
?
由
AF?
?
FB(
?
?0).
可得
?
?x
1
,1?
?
??
?
x
2
,?1
?

4
?
4
???
?
?x
1
?
?
x
2
?22
?
xx
12
因此
?
1??
?
(? 1)

?44
x
1
2
x
1
过A点的切线方 程为
y??(x?x
1
)
(1)
42
2
x
2
x
过B点的切线方程为
y??
2
(x?x
2< br>)
(2)
42
uuuuruuur
解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到
FMgAB
=0 即为定值
uuuu ruuuruuuuruuur
FMgAB
S?f(
?
)?
FMgA BFM?AB
（2）=0可得三角形面积
2
FM?
?
?
1
?
,AB?(
?
?
1
?
)
2

所以
S?f(
?
)?
FMgAB
11
3
1
3
?(
?
?)??2?4

222
?
当且仅当
?
?1
时取等号
点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数
量积等知识点

涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大

【反馈练习】
1.已知双曲线的中心在原点，离心率为
3
.若它的一条准线 与抛物线
y
2
?4x
的准
线重合，则该双曲线与抛物线
y< br>2
?4x
的交点到原点的距离是
21

y
2
?1
的左、右焦点．若点
P
在双曲线上，且2.设
F
1
，F
2
分别是双曲线
x?
9
uuuruuuur
uuuruuu ur
PF
1
gPF
2
?0
，则
PF
1?PF
2
?
210

2
x
2
y
2
?1
上一点，
F
1
、
F
2
是椭圆的 两个焦点，则
cos?F
1
PF
2
的3.设P是椭圆
?94
1
最小值是
?

9
4.已知以F
1
（2,0），F
2
（2,0）为焦点的椭圆与直线
x?3y?4?0
有且仅 有一个交
点，则椭圆的长轴长为
27

x
2
y
2< br>?1
的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐5. 双曲线C与椭圆
?
4 924
近线的方程是
y??
26
x

5
x
2
y
2
x
2
y
2
?1
与双曲线
? ?1
在第一象限内的交点为
P
，则点
P
到6.已知椭圆
?< br>25997
椭圆右焦点的距离等于__2 _
x
2
y
2< br>7.如图，点A是椭圆C：
2
?
2
?1(a?b?0)
的短轴 位于x轴下方的端点，过A
ab
作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴 ，
AB?AP
＝9,若
点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.

y
P
O
A
B
x


8.在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆心在第二象限、半径为
22
的圆
C
与直线
x
2
y
2
?1
与圆
C
的一个交点到椭圆两焦点的距
y?x
相切于坐标原点
O
．椭圆
2
?
a9
离之和为
10
．求圆
C
的方程.
解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2
+(y-n)
2
=8已知该圆
与直线y=x相切，那么圆心到该直线的 距离等于圆的半径，则
m?n
2
=2
2

即
m?n
=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m
2
+n
2
=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
?
m??2

?
n?2< br>?
故圆的方程为(x+2)
2
+(y-2)
2
=8

p
?
p
?
9.已知动圆过定点
?
,0
?< br>，且与直线
x??
相切，其中
p?0
,求动圆圆心
C
的轨
2
?
2
?
迹的方程.
p
?
p
?
解：如图，设
M
为动圆圆心，
?
,0
?
为记为
F
，过点
M
作直线
x??
的垂线，
2
?< br>2
?

垂足为
N
，由题意知：
MF?MN
即动点
M
到定点
F
与定直线
x??
等
p
的距离相
2
p
?
p
?
由抛物线的定义知，点
M< br>的轨迹为抛物线，其中
F
?
,0
?
为焦点，
x??< br>为准
2
?
2
?
线
所以轨迹方程为
y
2
?2px(P?0)
；


B
y
N
A
M
o
x
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
x??
p2
第9题