高中数学圆锥曲线经典题型

努力的你，未来可期!
高中数学圆锥曲线经典题型

椭圆
一、选择题：
x
2
y
2
x
2y
2
??1
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b ?0)
的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,1.已知椭圆方程
43ab
则双曲线的离心率为
A.
2
B.
3
C. 2 D. 3


x
2
y
2
2．双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的 左、右焦点分别为F
1
，F
2
，渐近线分别为
l
1
,l
2
，点P在第
ab
一象限内且在
l
1
上，若
l
2
⊥PF
1
，
l
2
PF
2，则双曲线的离心率是
A．
5

【答案】B
B．2 C．
3

（ ）
D．
2
bb
x
，
l
2
:y??x
，因为点P在第
aa
1
l
2
PF
2，
一象限内且在
l
1
上，所以设
P(x
0
,y
0
),x
0
?0
，因为
l
2
⊥PF
1
，所以
PF
1
?P F
2
，即
OP?F
1
F
2
?c
，
2
bb
2
222
22
即
x
0
?y
0
?c
，又
y
0
?x
0
，代入得
x
0
?(x
0
)?c
，解得
x
0
?a,y
0
?b
，即
P(a,b)
。所以
aa
bbb
??( ?)??1
b
l
2
aa?ca
k
PF
1
?
，
l
2
的斜率为，因为⊥PF1，所以，即
a?c
【解析】 双曲线的左焦点
F
1
(?c,0)
，右焦点
F
2
( c,0)
，渐近线
l
1
:y?
b
2
?a(a?c) ?a
2
?ac?c
2
?a
2
，所以
c
2< br>?ac?2a
2
?0
，所以
e
2
?e?2?0
，解得
e?2
，所以双曲线
的离心率
e?2
，所以选B.
x
2
y
2
2
3．已知双曲线
2
?
2?1
?
a?0,b?0
?
的一条渐近线的斜率为
2
，且 右焦点与抛物线
y?43x
的焦
ab
点重合，则该双曲线的离心率等于
A．
2
B．
3
C．2
拼搏很美！
D．2
3

努力的你，未来可期!

4.抛物线
y?4x
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
A.
2
7

8
B.
15

16
C.
3

4
D.0

x
2
y
2
??1
的两渐近线围成的三角形的面积为 5.抛物线
y??12x
的准线与双曲线
93
2
A.
3
B.
23
C. 2 D.
33

【答案】D
33
x
2
y
2
x
和
y??x
，
??1
的 两渐近线为
y?
【解析】抛物线
y??12x
的准线为
x?3
，双曲线
33
93
2
令
x?3
，分别解得
y1
?3,y
2
??3
，所以三角形的低为
3?(?3)?23< br>，高为3，所以三角形的
面积为
1
?23?3?33
，选D.
2
2
6.过抛物线
y?4x
的焦点作一条直线与抛物线相交于
A, B
两点,它们到直线
x??2
的距离之和等于5,
则这样的直线
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条


D．不存在
拼搏很美！

努力的你，未来可期!

x
2
y
2
22
7.已知双曲线
2
?
2
?1(a?0, b?0)
的两条渐近线均与
C:x?y?6x?5?0
相切，则该双曲线离心
ab
率等于
A．

B．

35

5
6

2
C．
3

2
D．
5

5

x
2
y
2
（
8.已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左 、右焦点分别为
F
1
?c,0),F
2
(c,0)
，若椭圆 上存在点P使
ab
ac
?
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
sin?PF
1
F
2
sin?PF
2
F
1
）
A.（0，
2?1
B.（
22
，1
） C.（0，） D.（
2?1
，1）
22
拼搏很美！

努力的你，未来可期!

x
2
y
2
9.过椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左焦点
F
1
作
x
轴的垂线交椭圆于点
P
，
F2
为右焦点，若
ab
?F
1
PF
2
?60o
，则椭圆的离心率为 （ ）
A．
2
3
11
B． C． D．
3
2
23

二、填空题：
10. 若圆
C
以抛物线
y?4x
的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则 该圆的标准方程
是 ；

2
拼搏很美！

努力的你，未来可期!

x
2
y
2
11.设F是抛物线C
1
：
y?4x
的焦点，点A是抛物线与双曲线C2
：
2
?
2
?1(a＞0,b＞0)
的一条渐近线ab
2
的一个公共点，且
AF?x
轴，则双曲线的离心率为
【答案】
5

【解析】抛物线的焦点为
F(1,0)
.双曲 线的渐近线为
y??
bb
x
，不妨取
y?x
，因为
AF?x
，所以
aa
bb
x
A
?1
，所以
y
A
??2
，不妨取
A(1,2)
，又因为点
A(1,2)
也在
y?x
上，所以
?2
，即
b?2a
，所以a
a
b
2
?4a
2
?c
2
?a
2
，即
c
2
?5a
2
，所以
e
2
?5
，即
e?5
，所以双曲线的离心率为
5
。
x
2
y
2
??1
，则双曲线的离心率是 . 12.已知双曲线的方程为
169

x
2
y
2
1< br>??1
的离心率为，则
m
= . 13.若焦点在x轴上的椭圆
2m
2
【答案】
3

2
22222
【解析】因为焦点在
x
轴上。所以
0?m?2
，所以< br>a?2,b?m,c?a?b?2?m
。椭圆的离心率为
1c
2
2?m
13
2
e?
，所以
e??
2
?
，解得m?
。
4a2
2
2
14.已知点P是抛物线
y?4x
上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当
|a|?4
时，
|PA|?|PM|
的最小值是 。
2
拼搏很美！

努力的你，未来可期!

三、解答题：
15. (本小题满分13分)
x
2
y
2
已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
过点
?
0,1
?
,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线
l
ab< br>与
x
轴正半轴和
y
轴分别交于点
Q
、
P，与椭圆分别交于点
M
、
N
,各点均不重合且满足
uuuuru uuuruuuruuur
PM?
?
1
MQ,PN?
?
2< br>NQ

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
?
1
?
?
2
??3
，试证明：直线
l
过定点并求此定点.

拼搏很美！

努力的你，未来可期!
(2) 由题意设
P(0,m),Q(x
0
,0),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
，设
l
方程为
x? t(y?m)
，
由
PM?
?
1
MQ
知
( x
1
,y
1
?m)?
?
1
(x
0
?x
1
,?y
1
)

∴
y
1
?m ??y
1
?
1
，由题意
?
1
?0
，∴?
1
?
分
m
?1
-----------------7
y
1
uuuruuur
m
? 1
同理由
PN?
?
2
NQ
知
?
2?
y
2
∵
?
1
?
?
2
??3
，∴
y
1
y
2
?m(y
1
?y
2
)?0
（*） ------8分
?
x
2
?3y
2
?3
2222 2
联立
?
得
(t?3)y?2mty?tm?3?0

?< br>x?t(y?m)
∴需
??4mt?4(t?3)(tm?3)?0
（**）
24222
2mt
2
t
2
m
2
?3
,y
1
y
2
?
2
且有
y
1< br>?y
2
?
2
（***）-------10分
t?3t?3
（***）代入（*）得
t
2
m
2
?3?m?2mt
2
?0
，∴
(mt)?1
，
由题意
mt?0
，∴
mt??1
(满足（**）)， ----12分
得
l
方程为
x?ty?1
,过定点(1,0),即
P
为定点. ---------------13分
16.（本大题满分13分）

2
x
2
y
21
已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的 离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
ab
2
x?y?6?0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线
l
与椭圆C相交于A、B两点。



（1）求椭圆C的方程；
（2）求
OA?OB
的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

(2 )解：由题意知直线
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为
y?k(x? 4)

拼搏很美！

努力的你，未来可期!
?
y? k(x?4)
?
由
?
x
2
得：
(4k
2< br>?3)x
2
?32k
2
x?64k
2
?12?0 4分
y
2
??1
?
3
?
4
由??(?32k
2
)
2
?4(4k
2
?3)(64k< br>2
?12)?0
得：
k
2
?
1

4
32k
2
64k
2
?12
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2，
y
2
)，则
x
1
?x
2
?
2
① 6分
，x
1
x
2
?
2
4k? 34k?3
∴
y
1
y
2
?k(x
1
?4) k(x
2
?4)?k
2
x
1
x
2
?4k< br>2
(x
1
?x
2
)?16k
2


ab
x
2
y
2
x
2
y
2
17． 若椭圆
E
1
:
2
?
2
?1
和椭圆
E
2
:
2< br>?
2
?1
满足
2
?
2
?m(m?0)
,则称这两个椭圆相似，
a
1
b
1
a
1
b
1
a
2
b
2
m
是相似比
.

x
2
y
2
??1
相似的椭圆的方程； (Ⅰ)求过(
2,6)
且与椭圆
42
(Ⅱ)设过原点的一条射线
l
分别与(Ⅰ) 中的两椭圆交于
A
、
B
点（点
A
在线段
OB
上）.
①若
P
是线段
AB
上的一点，若
OA
，
OP
，
OB
成等比数列，求
P
点的轨迹方程;
②求
OAgOB
的最大值和最小值.
拼搏很美！

努力的你，未来可期!
(Ⅱ) ① 当射
线
l
的斜率不存在时
A(0,?2),B(0,?22)
, < br>2
设点P坐标P(0,
y
0
)
,则
y
0?4
,
y
0
??2
.即P(0,
?2
). ………………5分
当射线
l
的斜率存在时，设其方程
y?kx
,P (
x,y)

由
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
则
4
?
2
y?kx
x?
?
11
1
2
?
?
1?2k
?
2
得
?

?
x
1
y
1
2
2
?1
?
y
2
?
4k
?
?
?42
?
1
1?2k
2
?
?|OA|?
21?k
2
1?2k
2
同理
|OB|?
41?k
2
1?2k
2
………………………7分
y
2
8(1?
2
)
8(1?k< br>2
)8(x
2
?y
2
)
y
22
x< br>??
2
又点P在
l
上，则
k?
，且由
x?y ?
,
2
22
y
1?2kx?2y
x
1?2
2
x
x
2
y
2
??1
. 即所求方程是
84
又
Q
(0,
?2
)适合方程,
x
2
y
2
??1
. ………………9分 故所求椭圆的方程是
84
|OB|?
②由①可知,当
l< br>的斜率不存在时，
|OA|g2g22?4
,当
l
的斜率存在
8(1?k
2
)4
|OB|??4?
时,
|OA|
g
,
1?2k
2
1?2k
2
拼搏很美！

努力的你，未来可期!
?4?|OA|g|OB|?8
, ………………11分
综上,
|OA|g|OB|
的最大值是8,最小值是4. ………………12分
18.（本小题满分12分）已知长方形ABCD，
AB?22
，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平
面直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直 线
l
交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线
l
，使得弦MN为直径的圆 恰好
过原点？若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，说明理由。

（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线
l
的方程为
y?kx?2(k?0)
.
设M，N两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x< br>2
,y
2
)
.
?
y?kx?2
联立方程：
?
2

2
?< br>x?2y?4
22
消去
y
整理得，
(1?2k)x?8kx? 4?0

有
x
1
?x
2
??
8k4
,xx?
………………7分
12
22
1?2k1?2k
拼搏很美！

努力的你，未来可期!
若以MN为直径的圆恰好过原点，则
OM?O N
，所以
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?0
，…………8分
所以，
x
1
x
2
?( kx
1
?2)(kx
2
?2)?0
，
（1?k
2
)x
1
x
2
?2k(x
1
?x
2
)?4?0
即
4(1?k
2
)16k
2
??4?0
所以，
22
1?2k1?2k
8?4k
2
?0
， ……………………9分 即
2
1?2k
2
得
k?2,k??2
. ……………………10分
所以直线
l
的方程为
y?2x?2
，或< br>y??2x?2
.………………11分
所在存在过P（0，2）的直线
l：
y??2x?2
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。
…12分
19.（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x=4y相切于点A。
（1） 求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
2

?
y?x?b
2
【解析】（I）由
?
2
得
x?4x?4b?0
(
?
)
?
x?4y
因为直线
l
与抛物线C相切, 所以
??(?4)?4?(?4b)?0
,解得
b??1
………………4分
2


拼搏很美！

努力的你，未来可期!
双曲线

题组一 双曲线的定义及标准方程
1.(2010·汕头一模) 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的
距离为2，则双曲线方 程为 ( )
A．x
2
－y
2
＝1 B．x
2
－y
2
＝2
1
C．x
2
－y
2
＝2 D．x
2
－y
2
＝
2
x
2
y
2
解析：由题意，设双曲线方程为
2
－
2
＝1(a>0)，
aa
|2a|
则c＝2a，渐近线y＝x，∴＝2，∴a
2
＝2.
2
∴双曲线方程为x
2
－y
2
＝2.
答案：B
uuuuruuuur
2．已知双曲线的两个焦点为F
1
(－10，0)、F
2
(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足
MF
1
·
MF
2
uuuuruuuur
＝0，|
MF
1
|·|
MF
2
|＝2，则该双曲线的方程是 ( )
x
2
2
y
2
2
A.－y＝1 B．x－＝1
99
x
2
y
2
x
2
y2
C.－＝1 D.－＝1
3773
u uuuruuuuruuuuruuuur
MF
1
·
MF
2
＝0，∴
MF
1
⊥
MF
2
，∴MF1⊥MF2， 解析：∵
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，
∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF 1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，
又c＝10，∴b2＝c2－a2＝1，
x2
∴双曲线方程为－y2＝1.
9
答案：A
题组二 双曲线的几何性质
x
2
y
2
3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )
412
A．23 B．2 C.3 D．1
x2y2
解析：双曲线－＝1的焦点为(4, 0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝3x或y＝－3x.由双曲线的对
412
|43＋0|
称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝23.
3＋1
答案：A
拼搏很美！

努力的你，未来可期!
x
2
y
2
4．(2010·普宁模拟)已知离心率为e的曲线
2
－＝1，其右焦点与抛物线 y
2
＝16x的焦点重合，则e的
a7
值为 ( )
3423423
A. B. C. D.
42334
解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a2＋7＝16，
c4
∴a2＝9，∴e＝＝.
a3
答案：C
x
2
y
2
5．(2009·江西高考)设F
1
和F
2
为双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F
1
，F< br>2
，P(0,2b)是正三
ab
角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( )
35
A. B．2 C. D．3
22
|PO|
解析：＝tan60°，
|F1O|
2bc 2
＝3?4b2＝3c2?4(c2－a2)＝3c2?c2＝4a2?＝4?e＝2.
ca2
答案：B
x
2
y
2
6．(2010·广州 模拟)已知点F是双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该 双曲线的右顶点，过
ab
F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三 角形，则该双曲线的离心率e
的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋2) D．(2,1＋2)
解析：如图，要使△ABE为锐 角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三
角形，从而只需满足∠AEF<4 5°.
又当x＝－c时，y＝
∴tan∠AEF＝
b2
，
a
|AF|b2
＝<1，
|EF|
a(a＋c)
∴e2－e－2<0，
又e>1，∴1答案：B
题组三 直线与双曲线的位置关系
x
2
y
2< br>7.(2010·西安调研)过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有 ( )
169
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．
拼搏很美！

努力的你，未来可期!

答案：C
x
2
y
2
8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线 与双曲
916
线交于点B，则△AFB的面积为________．
4
解析：由题意知，A(3,0)，F(5,0)，渐近线斜率k＝±，
3
4
则直线方程为y＝(x－5)，
3
x2y217
代入－＝1，得x＝，
9165
321732
∴y＝－，即B(，－)，
15515
13232
∴S△AFB＝×2×＝.
21515
32
答案：
15
题组四
9.(2010·德州模拟)P为双曲线x
2
－
双曲线的综合问题
y
2
＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)
2
＋y
2
＝4和(x－4)
2
＋y
2
＝1
15
上的点，则|PM|－ |PN|的最大值为________．
解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0 )，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max
＝|PF1|＋2，|PN|m in＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1 |－|PF2|＋3＝5.
答案：5
10．(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x
2
＋y
2
＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线
与双 曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；
5x
2
y
2
(2)已 知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，求该双曲线的 方程．
2133
解： (1)切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
x2y2
∴所求的双曲线方程为－＝1.
8080
9
(2)在椭圆中，焦点坐标为(±10，0)，
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努力的你，未来可期!
c105
∴c＝10，又e＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2.
aa2
x2y2
∴双曲线方程为－＝1.
82
x2
11．已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意点．
4
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是
x－2y＝0和x＋2y＝0，
|x1－2y1||x1＋2y1|
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和. 55
22
x
1
?4y
1
|x1－2y1||x1＋2y 1|
它们的乘积是·＝
55
5
4
＝.
5
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则
x2
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1
4
5124
＝(x－)2＋.
455
124
∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，
55
25
即|PA|的最小值为.
5
x
2
212．(文)已知椭圆C
1
的方程为＋y＝1，双曲线C
2
的左、右焦点 分别是C
1
的左、右顶点，而C
2
的左、
4
右顶点分别是C
1
的左、右焦点．
(1)求双曲线C
2
的方程；
uuu ruuur
OB
＞2(其中O为原点)，(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A和B，且
OA
·
求k的取值范围．
x2y2
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1，
a2b2
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
x2
故C2的方程为－y2＝1.
3
x2
(2)将y＝kx＋2代入－y2＝1，得
3
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(1－3k2)x2－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
?
1－3k2≠0，

?
?
Δ＝(－62k)2＋36(1－3k2)＝36(1－k2)＞0，
1
∴k2≠且k2＜1.
3
①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
－9
62k
x 1＋x2＝，x1x2＝.
1－3k21－3k2
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
3k2＋7
＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝.
3k2－1
uuuruuur
OB
＞2，得x1x2＋y1y2＞2， 又∵
OA
·
3k2＋7
∴＞2，
3k2－1
即
－3k2＋9
1
＞0，解得＜k2＜3，
3
3k2－1
②
1
由①②得＜k2＜1，
3
故k的取值范围为(－1，－
33
)∪(，1)．
33
(理)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于 不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过
点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
x2y2
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
a2b2
由已知得a＝3，c＝2.
又a2＋b2＝c2，得b2＝1.
x2
故双曲线C的方程为－y2＝1.
3
y＝kx＋m
?
?
(2)联立
?
x2
整理得
－y2＝1
?
?3
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
?
1－3k2≠0
?
∴
?
，
?
?
Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0
拼搏很美！

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1
可得m2>3k2－1且k2≠. ①
3
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．
则x1＋x2＝
6km
x1＋x2
3km
1－3k2
，x0＝
2
＝
1－3k2
，
y 0＝kx0＋m＝
m
1－3k2
.
由题意，AB⊥MN，
m∵kAB＝
1－3k2
＋1
1
3km
＝－
k
( k≠0，m≠0)．
1－3k2
整理得3k2＝4m＋1.
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.
又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－
1
4
.
∴m的取值范围是(－
1
4
，0)∪(4，＋∞)．

拼搏很美！
②