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变力做功的六种常见计算方法
在高中阶段,力做功的计算公式是W=FScosα, 但是学生在应用
时,只会计算恒力的功,对于变力的功,高中学生是不会用的。下面
介绍六种常 用的计算变力做功的方法,希望对同学们有所启发。
方法一:用动能定理求
若物体的运动过程很复杂,但是如果它的初、末动能很容易得出,
而且,除了所求的力的功以外,其他 的力的功很好求,可选用此法。
例题1:如图所示。质量为m的物体,
用细绳经过光滑的小
孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动,拉力为某个数值F时,转动
半径为R;拉力逐渐减小到0.25F时,物体仍然做匀速圆周运动,半
径为2R,求外力对物体所做 的功的大小。
解析:当拉力为F时,小球做匀速圆周运动,F提供向心力,则
F=m v
1
2
R;当拉力为0.25F时,0.25F=mv
2
2
2R。此题中,当半径由R
变为2R的过程中,拉力F为变力,由F变为2F,我们可以由动能定
理,求得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv
1
2
—0.5mv
2< br>2
=0.25RF。
方法二:用功率的定义式求
若变力做功的功率和做功时间是已知的,则可以由W=Pt来求解
变力的功。
例题2:质量为m=500吨的机车,以恒定的功率从静止出发,经
过时间t=5min在水平路面上 行使了s=2.25km,速度达到最大值
v=54kmh。假设机车受到的阻力为恒力。求机车在运动 中受到的阻力
大小。
解析:机车先做加速度减小的变加速直线运动,再做匀速直线运
动。所以牵引力F先减小,最后, F恒定,而且跟阻力f平衡,此
时有功率P=Fv=fv。 在变加速直线运动阶段,牵引力是变力,它在此
阶段所作的功可以由w=Pt来求。由动能定理,Pt— fs=0.5mv
2
—0,把
P=Fv=fv代入得,阻力f=25000N。
方法三:平均力法
如果变力的变化是均匀的(力随位移线性变化),而且方向不 变
时,可以把变力的平均值求出后,将其当作恒力代入定义式即可。
例题3:如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量 为m的木块相连,
放在光滑的水平面上,弹簧的劲度系数为k,开始时弹簧处于自然状
态。用水 平力缓慢的拉物体,在弹簧的弹性限度范围内,使物体前进
距离x,求这一过程中拉力对物体所做的功。
解析:物体在缓慢运动过程中,拉力是从零开始均匀增大的,呈
线性变化,所以整个 过程中,拉力的平均值是F=0.5(0+kx)。因此,
拉力对物体所做的功W=Fx=0.5(0+ kx)×x=0.5kx
2
。
方法四:F——S图像法
利用图像中的“面积”求。在F——S图像中,在S内的图像跟S
轴所夹图形的“面积”,等于力F在位 移S上所做的功。
例题4:在例题3中,可以利用此法求出结果。
解析:
做出拉力的F——S图像,如图所示。
图像中阴影部分的 “面积”的数值大小,就是拉力对物体所作的功
的大小。三角形的面积为0.5×x×kx=0.5kx
2
,即是拉力的功。
方法五:微元法
把力的位移分割为 无穷多份,而且越多越好。在每一小份上,我
们可以认为力是恒定的,就可以直接利用功的定义式W=F Scosα来
求了;把各个功求出之后,再求和,即是力的功。
例题5:在例题3中,也可以用此法求解。
解析:把位移x分割为n份,每一份是x n,若n为无穷大,则
可以认为每一小份上,力F为恒力,可以用公式W=FScosα来求。则
力在每一份上所做的功分别为:W
1
=F
1
S
1
=1×( kxn)×(xn);
W
2
=F
2
S
2
=2×(k xn)×(xn);
W
3
=F
3
S
3
=3×(kx n)×(xn);……W
n
=F
n
S
n
=n×(kxn)× (xn)。拉力对物体
所做的功W=W
1
+W
2
+W
3+……+W
n
=0.5kx
2
。
方法六:转化为恒力的功来求
可以利用功能关系,找出模型中各个力所做的功跟各种能量之间
的转化关系来求解。
例题6:如图所示。一辆拖车通过光滑的定滑轮将一重为G的重
物匀速的提升,
当拖车从A点水平的移动到B点时,位移为x,绳子由竖直变为与竖
直方向成θ角, 求拖车对重物所做的功。
解析:由于重物做匀速直线运动,绳子的拉力是恒力,由功能关系知,重物的重力势能增加多少,拖车对重物就做了多少功,所以
W
x
=ΔEP
=G(xsinθ-xcotθ)。
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