高中数学不等式中的恒成立题目-高中数学圆知识网络图
高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题
时间:90分钟 满分:120分
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.命题“存在x
0
∈R,2x
0
≤0”的否定是( )
A.不存在x
0
∈R,2x
0
>0
B.存在x
0
∈R,2x
0
≥0
C.对任意的x∈R,2
x
≤0
D.对任意的x∈R,2
x
>0
2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除
4.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4是|a|=5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知命题p:?x∈R,2
x
<3
x
;命题q:?x∈R,x
3
=1-x
2
,则下列命题中为真
命题的是( )
A.p∧q
C.p∧綈q
B.綈p∧q
D.綈p∧綈q
6.在三角形ABC中,∠A>∠B,给出下列命题:
①sin∠
A>sin∠B;②cos
2
∠A<cos
2
∠B;③tan
其中正
确的命题个数是( )
A.0个 B.1个
∠A∠B
>tan.
22
C.2个
7.下面说法正确的是( )
D.3个
2
A.命题“?x
0
∈R,使得x
2
0
+x
0
+1≥0”的否定是“?x∈R,使得x+x+1≥0”
B.实数x>y是x
2
>y
2
成立的充要条件
C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“綈p∧綈q”也为假命题
D.命题“若α=0,则cosα=1”的逆否命题为真命题
8.已知命题p:?x
0
∈R,使tanx
0
=1,命题q:?x∈R,x
2
>0.下面结
论正确的
是( )
A.命题“p∧q”是真命题
B.命题“p∧綈q”是假命题
C.命题“綈p∨q”是真命题
D.命题“綈p∧綈q”是假命题
9.下列结论错误的是( )
A.命题“若log
2
(x
2-2x-1)=1,则x=-1”的逆否命题是“若x≠-1,则log
2
(x
2
-2x-1)≠1”
?
ππ
?
B.设α,β∈
?
-
2
,
2
?
,则“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件
??
C.若“(綈p)∧q”是假命题,则“p∨q”为假命题
D.“?α∈R,使sin
2
α+cos
2
α≥1”为真命题
10.给出下列三个命题:
①若a≥b>-1,则
abn
≥;②若正整数m
和n满足m≤n,则mn-m
2
≤
2
;
1+a1+b
③设P
(x
1
,y
1
)是圆O
1
:x
2
+y2
=9上的任意一点,圆O
2
以Q(a,b)为圆心,且半径为1.
当(
a-x
1
)
2
+(b-y
1
)
2
=1时,
圆O
1
与圆O
2
相切.
其中假命题的个数为( )
A.0个
C.2个
B.1个
D.3个
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. <
br>11.给出命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是__________.
12.命题“ax
2
-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是_____
_____.
13.若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是<
br>__________.
14.已知命题p:?x∈[1,2],x
2
-a≥
0,命题q:?x∈R,x
2
+2ax+2-a=0,若
“p∧q”为真命题,则实数
a的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共4小题,满分50分.
15
.(12分)命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x
2
+ax+b≤0有非空解集,<
br>则a
2
-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
16.(12分)已知p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x
-m-1)≤0,若綈p是綈q的充分不
必要条件,求实数m的取值范围.
2
17.(12分)设命题p:?x
0
∈R,x
2
0
+2ax
0
-a=0.命题q:?x∈R,ax+4x+a≥-
2x
2
+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
18.(14分)给出两个命题:
命题甲:关于x的不等式
x
2
+(a-1)x+a
2
≤0的解集为?,命题乙:函数y=(2a
2
-
a)
x
为增函数.
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.
(1)甲、乙至少有一个是真命题;
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题
时间:90分钟
满分:120分
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.命题“存在x
0
∈R,2x
0
≤0”的否定是( )
A.不存在x
0
∈R,2x
0
>0
B.存在x
0
∈R,2x
0
≥0
C.对任意的x∈R,2
x
≤0
D.对任意的x∈R,2
x
>0
解析:因为命题“存在x
0
∈R,2x
0
≤0”是特称命题,所以它的否定是全称命题.
答案:D
2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1
解析:若(2x-1)x=0,则x=
2
或x=0,即不一定推出x=0;若x=0,则一定
能推
出(2x-1)x=0.故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.
答案:B
3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除
解析:一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项B中的命题为已知命题的逆否命
题.
答案:B
4.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4是|a|=5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由x=4知|a|=4
2
+3
2
=5;反之,由|a|=x
2
+3
2
=5,得x=4或x=-4.<
br>故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件,故选A.
答案:A
5.(201
3·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p:?x∈R,2
x
<3
x
;命题q:?x∈
R,x
3
=1-
x
2
,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q
C.p∧綈q
B.綈p∧q
D.綈p∧綈q
解析:命题p为假,因为当x<0时,2
x
>3
x
.命题q为真,因为f(x)=x
3
+x
2
-1在(0,
+
∞)内单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以在(0,1)内函数f(x)必存在零点.所
以綈p∧q为真命题,故选B.
答案:B
6.在三角形ABC中,∠A>∠B,给出下列命题:
∠A∠B
①sin∠A>si
n∠B;②cos∠A<cos∠B;③tan
2
>tan
2
.
22
其中正确的命题个数是( )
A.0个
C.2个
B.1个
D.3个
解析:当∠A、∠B均为锐角时,由函数的单调性及不等式的性
质知都成立;当∠B
π
为锐角,∠A为钝角或直角时,又有∠A、∠B为三角形的内角,所以<
br>2
≤∠A<π,0<∠B
∠B
π
∠A∠B
ππ
∠A<
br>ππ
<
2
,∠A+∠B<π,即
4
≤
2
<<
br>2
,0<
2
<
4
,∠B<π-∠A<
2
,即
tan
2
>tan
2
,sin
∠B<sin(π-∠A)=sin∠
A,cos∠B>cos(π-∠A)=-cos∠A≥0,所以cos
2
∠A<cos
2
∠B.
答案:D
7.下面说法正确的是( )
2
A.命题“?x
0
∈R,使得x
2
0
+x
0
+1≥0”的否定是“?x∈R,使得x+x+1≥0”
B.实数x>y是x
2
>y
2
成立的充要条件
C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“綈p∧綈q”也为假命题
D.命题“若α=0,则cosα=1”的逆否命题为真命题
解析:对A选项,命题的否定是
:“?x∈R,使得x
2
+x+1<0”,故不正确,对
于B选项,由x>yA?x<
br>2
>y
2
,且x
2
>y
2
A?x>y,故不
正确.对于C选项,若“p∨q”
为假命题,
则“綈p∧綈q”为真命题,故不正确.
对于D选项,若α=0,则cosα=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.
答案:D
8.已知命题p:?x
0
∈R,使tanx
0
=
1,命题q:?x∈R,x
2
>0.下面结论正确的是
( )
A.命题“p∧q”是真命题
B.命题“p∧綈q”是假命题
C.命题“綈p∨q”是真命题
D.命题“綈p∧綈q”是假命题
解析:∵p真,q假.故p∧q为假,p∧綈q为真.綈p∨q为假,綈p∧綈q为假,
选D.
答案:D
9.下列结论错误的是( )
A.命题“若log
2
(x
2
-2x-1)=1,则x=-1”的逆否命题是“若x≠-1,则log
2(x
2
-2x-1)≠1”
?
ππ
?
B.设α,β∈
?
-
2
,
2
?
,则“α<β”是“tanα<ta
nβ”的充要条件
??
C.若“(綈p)∧q”是假命题,则“p∨q”为假命题
D.“?α∈R,使sin
2
α+cos
2
α≥1”为真命题
p>
解析:根据逆否命题定义知A选项正确.由正切函数单调性,可判断B选项正确.D
选项作为特称命题正确,对于C选项,“綈p∧q”为假,则綈p,q中至少一个为假,
故p∨q真假不
定,故选C.
答案:C
10.给出下列三个命题:
①若a≥b>-1,则
abn
≥;②若正整数m和n满足m≤n,则mn-m
2
≤
2
;<
br>1+a1+b
③设P(x
1
,y
1
)是圆O
1
:x
2
+y
2
=9上的任意一点,圆O
2
以Q(a,b)
为圆心,且半径为1.
当(a-x
1
)
2
+(b-y
1)
2
=1时,圆O
1
与圆O
2
相切.
其中假命题的个数为( )
A.0个
C.2个
解析:①
B.1个
D.3个
ab1111
≥?1-≥1-?≤<
br>,又a≥b>-1?a+1≥b
1+a1+b1+a1+b1+a1+b
+1>0知本命
题为真命题.
②用基本不等式:2xy≤x
2
+y
2
(x>0,y
>0),取x=m,y=
真命题.
③圆O
1
上存在两个点A、B满足弦AB
=1,所以P、O
2
可能都在圆O
1
上,当O
2
在圆O1
上时,圆O
1
与圆O
2
相交.故本命题为假命题.
答案:B
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.给出命题:“若函数y=f(
x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题
中,真命题的个数是__________.
解析:∵命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数
y=f(x)的图象不过第四象限”是
真命题,其逆命题“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则
函数y=f(x)是幂函数”是假
命题,如函数y=x+1.再由互为逆否命题真假性相同知,在它的逆
命题、否命题、逆否
n-m,知本命题为
命题三个命题中,真命题的个数是1个
.
答案:1个
12.命题“ax
2
-2ax-3>0不成立”是真命题,
则实数a的取值范围是__________.
解析:∵命题“ax
2
-2ax-3
>0不成立”是真命题,∴不等式ax
2
-2ax-3≤0对于
?
?
a<0,
任意的实数x恒成立,(1)当a=0时,符合条件;(2)当
?
即-3≤a
<0.
?
?
Δ≤0,
由(1)、(2)得实数a的取值范围是{a|a=0
或a≤-3}.
答案:-3≤a≤0
13.若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<
x<4,则实数a的取值范围是
__________.
解析:∵|x-1|<a?1-a<x<1+a,
又∵不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,
??
?
1-a≤
0,
?
a≥1,
∴
?
即
?
∴a≥3.
??
?
1+a≥4,
?
a≥3,
答案:[3,+∞) 14.已知命题p:?x∈[1,2],x
2
-a≥0,命题q:?x∈R,x
2
+2ax+2-a=0,若
“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是__________
.
解析:∵“p∧q”为真命题,∴p,q均为真命题.
由p为真命题得a≤1.由q为真命题得a≤-2或a≥1.
∴当p,q同时为真时,有a≤-2或a=1.
答案:a≤-2或a=1
三、解答题:本大题共4小题,满分50分.
15.(12分)命题:已知a,b为实数,若
关于x的不等式x
2
+ax+b≤0有非空解集,
则a
2
-4b≥0
,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
解:逆命题:已知a、b为实数
,若a
2
-4b≥0,则关于x的不等式x
2
+ax+b≤0
有非空解集.(3分)
否命题:已知a、b为实数,若关于x的
不等式x
2
+ax+b≤0没有非空解集,则a
2
-4b<0.(6分) <
br>逆否命题:已知a、b为实数,若a
2
-4b<0,则关于x的不等式x
2+ax+b≤0没有
非空解集.(9分)
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
(12分)
16.(12分)已
知p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈p是綈q的充分不
必要条件,求
实数m的取值范围.
解:由题意p:-2≤x-3≤2,
∴1≤x≤5.
∴綈p:x<1或x>5.(4分)
q:m-1≤x≤m+1,
∴綈q:x<m-1或x>m+1.(8分)
又∵綈p是綈q的充分不必要条件,
?
?
m-1≥1,
∴
?
?
?
m+1≤5.
∴2≤m≤4.(12分)
2
17.(
12分)设命题p:?x
0
∈R,x
2
0
+2ax
0
-a=0.命题q:?x∈R,ax+4x+a≥-
2x
2
+1.如果命
题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
解:当命题p为真时,Δ=4a
2
+4a≥0得a≥0或a≤-1,当命题q为真时,(a+2)x
2
+4x
+a-1≥0恒成立,
∴a+2>0且16-4(a+2)(a-1)≤0,即a≥2.(6分)
由题意得,命题p和命题q一真一假.
当命题p为真,命题q为假时,得a≤-1;
当命题p为假,命题q为真时,得a∈?;
∴实数a的取值范围为(-∞,-1].(12分)
18.(14分)给出两个命题: 命题甲:关于x的不等式x
2
+(a-1)x+a
2
≤0的解集为?,命
题乙:函数y=(2a
2
-
a)
x
为增函数.
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.
(1)甲、乙至少有一个是真命题;
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
1
解:甲命题为真时,Δ=(a-1)2
-4a
2
<0,即a>
3
或a<-1.
1
乙命题为真时,2a
2
-a>1,即a>1或a<-
2
.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时,
即上面两个范围取并集,
11
∴a
的取值范围是{a|a<-
2
或a>
3
}.(7分)
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:
11
甲真乙假时,
3
<a≤1,甲假乙真时,-1≤a<-
2
,
11
∴甲、乙中有且只
有一个真命题时,a的取值范围为{a|
3
<a≤1或-1≤a<-
2
}.(
14
分)