高中数学框架-高中数学组合与组合数
第一章 导数及其应用
课题:1.1.1 变化率问题
第 课时 总序第
个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.理解平均变化率的概念; 注
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率。
教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
教学难点:平均变化率的概念.
教学用具: 多媒体
教学方法: 讨论,归纳
教学过程:
一.创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学
中引入了函数,
随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处
理
直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速
度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快
慢、最大(小)
值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程
度.
二.新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过
气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的
增加,气球的半径增加越来越慢.从数学
角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系
是
V(r)?
4
3
?
r
3
?
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V)?
3
3V
4
?
分析:
r(V)?
3
3V
,
4
?
⑴
当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1)?r(0)?0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
r(1)?r(0)
?0.62(dmL)
1?0
1
⑵
当V从1增加到2时,气球半径增加了
r(2)?r(1)?0.16(dm)
气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)
?0.16(dmL)
2?1
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考:当空气容量从V
1
增加到V
2
时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V
2
)?r(V
1
)
V
2
?V
1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=
-4.9t
2
+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速
v
度
粗略地描述其运动状态?
思考计算:
0?t?0.5
和
1?t?2
的平均速度
v
o
t
这段时间里,
0?t?0.5
h(0.5)?h(0)
v??4.05(ms)
;
0.5?0
h(2)
?h(1)
在
1?t?2
这段时间里,
v???8.2(ms)
<
br>2?1
65
探究:计算运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度,并思
考以下问题:
49
在
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数h(t)=
-4.9t
2
+6.5t+10的图像,结合图形可知,
h
65
)?h(0)
,
49
65
h()?h(0)
?0(sm)
, 所以
v?49
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度为
0(sm)
,但实际情况是运动
49
h(
员
仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念:
1.上述问题中的变化率可用式子
到x
2
的平均变化率
2.若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x看作是对于x
1
的一个“增
量”可用x
1
+
?x
代替x
2
,同样
?f??y?f(x
2
)?f(x
1)
)
2
f(x
2
)?f(x
1
)
表示,
x
2
?x
1
称为函数f(x)从x
1
3. 则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
??
x
2
?x
1
?x
?x?x
思考:观察函数f(x)的图象
平均变化率
直线AB的斜率
三.典例分析
2f(x
2
)?f(x
1
)
?f
表示什么?
?
x
2
?x
1
?x
y
y=f(x)
f(x
2
)
△y
=f(x
2
)-f(x
1
)
f(x
1
)
△x= x
2
-x
1
O
x
1
x
2
x
例1.已知函数f(x)=
?x?x
的图象上的一点
A(?1,?2)
及临近一点
B(?1??
x,?2??y)
,则
?y
?
.
?x
2
解:
?2??y??(?1??x)?(?1??x)
,
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
∴
?x?x
2
例2.
求
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率。
?y
(
x
0
??x)
2
?x
0
?
解:
?y?(x
0
??x)?x
0
,所以
?x?x
2
2
2
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0??2x
0
??x
?x
2
所以
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率为
2x
0
??x
22
四.课堂练习
3
1.质点运动规律为
s?t?3
,则在时间
(3,3??t)
中相应的平均速度
为
.
2.物体按照s(t)=3t
2
+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均
变化率.
25?3?t
3.过曲线y=f(x)=x
3
上两点P(1,1)和Q
(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当
Δx=0.1时割线的斜率.
五.回顾总结
1.平均变化率的概念
2.函数在某点处附近的平均变化率
六.布置作业
教学后记:
课题:
1.1.2 导数的概念
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 注
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数。
教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;
教学难点:导数的概念.
教学用具: 多媒体
教学方法: 探究,归纳
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率
(二)探究:计算运动员在
0?t?
2
65
这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数h(t)=
-4.9t
2
+6.5t+10的图像,结合图形可知,
h(
65
)?h(0)
,
49
65
)?h(0)
?0(sm)
, 所以
v?
49
65
?0
49
65
虽然运动员
在
0?t?
这段时间里的平均速度为
0(sm)
,
49
h(
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速
度不能精确描述运动员的运动状态
.
二.新课讲授
1.瞬时速度
o
h
t
4
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映
他在某一时刻
的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,
t?2
时
的瞬时速度是多少?
考察
t?2
附近的情况:
思考:当
?t
趋近于0时,平均速度
v
有什么样的变化趋势? 结论:当
?t
趋近于0时,即无论
t
从小于2的一边,还是从大于2的一
边趋近
于2时,平均速度
v
都趋近于一个确定的值
?13.1
. <
br>从物理的角度看,时间
?t
间隔无限变小时,平均速度
v
就无限趋近于
史的瞬时
速度,因此,运动员在
t?2
时的瞬时速度是
?13.1ms
为了表述方便,我们用
lim
h(2??t)?h(2)
??13.1<
br>
?t?0
?t
表示“当
t?2
,
?t
趋近
于0时,平均速度
v
趋近于定值
?13.1
”
小结:局部以匀速代
替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从
瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。<
br>2 导数的概念
从函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0<
br>)
?f
?lim
?x?0
?x?x
'
'<
br>我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
出的导数,记作f(x
0
)
或
y|
x?x
0
,即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
f(x)?f(x
0
)
x?x
0
说
明:(1)导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率
(2)
?x?x?x
0
,当
?x?0
时,
x?x
0
,所以
f
?
(x
0
)?lim
三.典例分析
2
例1.(1)求函数y=3x在x=1处的导数.
?x?0
5
2
分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)
再求
?f?f
?6??x
再求
lim?6
?x?0
?x?x
解:法一 定义法(略)
3x
2
?3?
1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?
1)?6
法二:
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x?1
(2)求函数f(x)=
?x?x
在
x??1
附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
2
?y?(?
1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解:
?x?x<
br>?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??lim(3??x)?3<
br>
f
?
(?1)?lim
?x?0
?x
?x?
0
?x
例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产
品,需要对原
油进行冷却和加热,如果第
xh
时,原油的温度(单位:
C)为
o
f(x)?x
2
?7x?15(0?x?8)
,计算第<
br>2h
时和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率,
并说明它们的意义. <
br>解:在第
2h
时和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率就是
f(
2)
和
f(6)
根据导数定义,
''
f(2??x)?f
(x
0
)
?f
?
?x?x
(2??x)
2
?7(2??x)?15?(2
2
?7?2?15)
???x?3
?x
所以
f
?
(2)?lim
?f
?lim(?x
?3)??3
?x?0
?x
?x?0
同理可得:
f
?
(6)?5
在第
2h
时和第
6h
时,原油温
度的瞬时变化率分别为
?3
和5,说明在
2h
附近,
原油温度大约以
3Ch
的速率下降,在第
6h
附近,原油温度大约以
5Ch
的速率
上升.
'
注:一般地,
f(x
0
)
反映了
原油温度在时刻
x
0
附近的变化情况.
oo
四.课堂练习
6
1.质点运动规律为
s?t?3
,求质点在
t?3
的瞬时速度为.
2.求曲线y=f(x)=x
3
在
x?1
时的导数.
<
br>3.例2中,计算第
3h
时和第
5h
时,原油温度的瞬时变化率,并说
明它们的意义.
五.回顾总结
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念
2.导数的概念
六.布置作业
2
教学后记:
课题:
1.1.3 导数的几何意义
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 注
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。
教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义;
教学难点:导数的几何意义.
教学用具:多媒体 ,直尺
教学方法: 培养学生的计算能力与数形结合的能力。
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率、割线的斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x
0
处
的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x
0
附近的变化情况,导数
f
?
(x
0
)
的几何意义是什么呢?
二.新课讲授
7 <
/p>
(一)曲线的切线及切线的斜率:如图1.1-2,当
P
n
(x
n
,f(x
n
))(n?1,2,3,4)
沿着曲
线
f(x)
趋近于点
P(x
0
,f(x
0
))
时,
割线
PP
n
的变化趋势是什么?
图1.1-2
我们发现,当点
P
n
沿着曲线
无限接近点P即Δx→0时,割线
PP
n
趋近于确定的位
置,这个确定位置的
直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题:⑴割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线PT的斜率
k
有什么关系?
⑵切线PT的斜率
k
为多少?
容易知道,割线
PP
n
的斜
率是
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
),当点
P
n
沿着曲线无限接近点
x
n
?x
0<
br>?x?0
P时,
k
n
无限趋近于切线PT的斜率
k
,
即
k?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)
?x
说明:(1)设切线的倾斜角为
α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处
的切线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在
x?x
0
处的导数.
(2)曲线在某点处的切线
:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置
来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,
且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无
切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以
有多个,甚至可以无穷多个.
(二)导数的几何意义:
函数y=f(x)在x=x
0
处的导数等于在该点
(x
0
,f(x
0
))
处的
切线的斜率,
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?
0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
?x
8
说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f<
br>?
(x
0
)?lim
线在点
(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(二)导函数:
由函数f(x)在x=x
0
处求导数的过程可以看到,当时
,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数,那
么,当x变
化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:
f
?
(x)
或
y
?
,
即:
f
?
(x)?y
??lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)?k
,得到曲
?x
?x?0
f(x??x)?f(x)
?x
注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(三)函数
f
(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0)
、导函数
f
?
(x)
、导数 之间的区别与联系。
(1)函数在一点处的导数
f
?
(x
0
)
,就是在该点的函
数的改变量与自变量的改变量之
比的极限,它是一个常数,不是变数。
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 '
(3)函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f(
x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x<
br>0
处的函数值,这也
是
求函数在点
x
0
处的导数的方法之一。
三.典例分析
2
例1:(1)求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.
2
(2)求函数y=3x在点
(1,3)
处的导数.
[(1??x
)
2
?1]?(1
2
?1)2?x??x
2
?lim?2<
br>, 解:(1)
y
?
|
x?1
?lim
?x?0?x
?0
?x?x
所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为
y?2?2(x?
1)
即
2x?y?0
3x
2
?3?1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6
<
br>(2)因为
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?
1
x?1x?1
所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为
y?3?6(x
?1)
即
9
6x?y?3?0
(2)求函数f(
x)=
?x?x
在
x??1
附近的平均变化率,并求出在该点处的导
数.
2
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3?
?x
解:
?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??lim(3??x)?3
f
?
(?1)?lim
Vx?0
?x
Vx?0
?x
例2.(课本例2)如图1.1-3,它表示跳
水运动中高度随时间变化的函数
h(x)??4.9x
2
?6.5x?10
,根据图像,请
描述、比较曲线
h(t)
在
t
0
、
t
1
、
t
2
附近的变
化情况.
解:我们用曲线<
br>h(t)
在
t
0
、
t
1
、
t
2
处的
切线,刻画曲线
h(t)
在上述三个时刻附近的
变化情况.
(1) 当
t?t
0
时,曲线
h(t)
在
t
0
处的切线
l
0
平行于
x
轴,所以,在
t?t<
br>0
附近曲
线比较平坦,几乎没有升降.
(2) 当
t?t
1
时,曲线
h(t)
在
t
1
处的切线
l
1<
br>的斜率
h
?
(t
1
)?0
,所以,在
t?t
1
附近
曲线下降,即函数
h(x)??4.9x?6.5x?10
在
t?t
1
附近单调递减.
(3) 当
t?t
2
时
,曲线
h(t)
在
t
2
处的切线
l
2
的斜
率
h
?
(t
2
)?0
,所以,在
t?t
2
附
近曲线下降,即函数
h(x)??4.9x?6.5x?10
在
t
?t
2
附近单调递减.
从图1.1-3可以看出,直线
l
1
的倾斜程度小于直线
l
2
的倾斜程度,这说明曲线在
t
1
附近比在
t
2
附近下降的缓慢.
例3.(课本例3)如图3.1-4,它表
示人体血管中药物浓度
c?f(t)
(单位:
2
2
mgmL
)随时间
t
(单位:
min
)变化的图象.根据图像,估计
t?0.
2,0.4,0.6,0.8
时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到
0.1
).
10
解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度
f(
t)
在此时刻的导数,
从图像上看,它表示曲线
f(t)
在此点处的切线的斜
率.
如图1.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得
到此
时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作
t?0.8
处的切线,并在切线上去两点,如
(0.7,0.91)
,
(1.0,0.48)
,则它的
斜率为:<
br>k?
0.48?0.91
??1.4
1.0?0.7
所以
f
?
(0.8)??1.4
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
t
药物浓度瞬时变化率
0.2 0.4
0
0.6
-0.7
0.8
-1.4
f
'
(t)
0.4
四.课堂练习
1.求曲线y=f(x)=x
3
在点
(1,1)
处的切线;
2.求曲线
y?x
在点
(4,2)
处的切线.
五.回顾总结
1.曲线的切线及切线的斜率;
2.导数的几何意义
六.布置作业
教学后记:
课题:1.2.1几个常用函数的导数
第
课时 总序第 个教
案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数
y?c
、
y?x
、
注
11
y?x
2
、
y?
1
的导数公式;
x
2
2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.
1
的导数公式及应用。
x
1
2
教学难点:四种常见函数<
br>y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
的导数公式
。
x
教学重点:四种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
教学用具: 多媒体
教学方法: 归纳,类比
教学过程:
一.创设情景
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率
,物理意义是运
动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数
y?f(x)
,如何求
它的导数呢?
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来
定义的
,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,
为了能够较快地求出某些函数的导
数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数
的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.
二.新课讲授
1.函数
y?f(x)?c
的导数
根据导数定义,因为
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0
?x?
x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim0?0
?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?c
y
?
?0
(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若<
br>y?c
y
?
?0
表示函数
y?c
图像
表示路
程关于时间的函数,则
y
?
?0
可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.
2.函数
y?f(x)?x
的导数
因为
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
???1
?x?x?x
?y
?lim1?1
所以
y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
函数
导数
y?x
y
?
?1
(图3.2-2)上每
一点处的切线的斜率都为1.若
y?x
y
?
?1
表示函数
y
?x
图像
12
表示路程关于时间的函数,则
y
?<
br>?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速
运动.
3.函数
y?f(x)?x
的导数
2
?yf(x??x)?f(x
)(x??x)
2
?x
2
??
因为
?x?x?x
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
??2x??x
?x
所以
y
?
?lim
?y
?lim(2x?
?x)?2x
?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x
2
y
?
?2x
y
?<
br>?2x
表示函数
y?x
2
图像(图3.2-3)上点
(x,y
)
处的切线的斜率都为
2x
,
说明随着
x
的变化,切线的斜
率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点
的瞬时变化率来看,表明:当
x?0
时
,随着
x
的增加,函数
y?x
减少得越
来越慢;当
x?0<
br>时,随着
x
的增加,函数
y?x
增加得越来越快.若
y?x<
br>表
示路程关于时间的函数,则
y
?
?2x
可以解释为某物体做
变速运动,它在时刻
x
的瞬时速度为
2x
.
4.函数
y?f(x)?
22
2
1
的导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
?
x?(x??x)1
??
2
x(x??x)?xx?x??x
所以
y
?
?lim
?y1
1
?lim(?
2
)??
2
?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
函数 导数
y?
5.函数
y?f(x)?
1
x
y
?
??
1
x
2
x
的导数
13
因为
?yf(x??x)?f(x
)
??
?x?x
x??x?x
?x
?
(x??x?x)(x??x?x)
?x(x??x?x)
(x??x)?x
?x(x??x?x)
?
所以
y
?
?lim
?y11
?lim?
?x?0
?x
?x?0
x??x?x2x
函数 导数
y?x
y
?
?
1
2x
n*
n?1
(2)推广:若
y?f(x)?x(n?Q)
,则
f
?
(x)?nx
三.课堂练习
1.课本P
13
探究1
2.课本P
14
探究2
四.回顾总结
函数 导数
y?c
y?x
y?x
2
y
'
?0
y
'
?1
y
'
?2x
y?
1
x
y?x
1
x
21
y
?
?
2x
y
'
??
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)
五.布置作业
教学后记:
14
y
'
?nx
n?1
课题:1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;
2.掌握导数的四则运算法则;
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则。
教学难点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用。
教学用具: 多媒体
教学方法: 归纳,类比,分析总结
教学过程:
一.创设情景
五种常见
函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
二.
新课讲授
(一)基本初等函数的导数公式表
函数
y?c
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)
y?sinx
y?cosx
y?f(x)?a
x
y?f(x)?e
x
f(x)?log
a
x
f(x)?lnx
(二)导数的运算法则
2
1
、
y?x
的导数公式及应用。
x
导数
y
'
?0
y
'
?nx
n?1
y
'
?cosx
y
'
??sinx
y
'
?a
x
?lna(a?0)
y
'
?e
x
f(x)?log
a
xf<
br>'
(x)?
1
(a?0且a?1)
xlna
1
x
f
'
(x)?
导数运算法则
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)
'
''
2.
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x
)
1.
'
?
f(x)
?
f
'
(
x)g(x)?f(x)g
'
(x)
?(g(x)?0)
3.
??
2
?
g(x)
?
?
g(x)
?
15
'
(2)推论:
?
cf(x)
??cf
'
(x)
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
三.典例分析
例1.假设某
国家在20年期间的年均通货膨胀率为
5%
,物价
p
(单位:元)与时
t
间
t
(单位:年)有如下函数关系
p(t)?p
0
(1
?5%)
,其中
p
0
为
t?0
时的物价.假定
'<
br>某种商品的
p
0
?1
,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速
度大约是多少(精确
到0.01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有
p(t)?1.05ln1.05
所以
p(10)?1.05ln1.05?0.08
(元年)
因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元年的速度上涨.
例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.
(1)
y?x?2x?3
(2)
y?
3
'10
't
11
?
;
1?x1?x
(3)
y?x?sinx?lnx
;
x
;
4
x
1?lnx
(5)
y?
.
1?lnx
(4)
y?
(6)
y?(2x?5x?1)?e
;
(7)
y?
2x
sinx?xcosx
cosx?xsi
nx
'3'3'''2
解:(1)
y?(x?2x?3)?(x)?(2x)?(3)
?3x?2
,
y
'
?3x
2
?2
。
1
'
1
'
(1?x)
'
(1?x)
'
)?(
)
?
(2)
y?(
?
22
1?x1?x
(1?x)(1?x)
'
1
?
11
2x
?
2x?
1
[?]
22
22
(1?x)(1?x)
2x(1?x)(1?x)
?
1
16
(1?x)
2
?(1?x)
2
(1?x)x
???
22
(1?x)x(1?x)
2x
1
y
'<
br>?
(1?x)x
2
x(1?x)
'''
(3)y?(x?sinx?lnx)?[(x?lnx)?sinx]
?(x?lnx)
'
?sinx?(x?lnx)?(sinx)
'
1
?(1?lnx?x?)?sinx?(x?lnx)?cosx
x
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx
y
'
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx
x<
br>'
x
'
?4
x
?x?(4
x
)
'<
br>1?4
x
?x?4
x
ln41?xln4
??
(4)
y?(
x
)?
,
x2x2x
4(4)(4)4
'
y
'
?
1?xln4
。
x
4
1
1?lnx
'
212
x
(5)
y
'
?(
)?(?1?)
'
?2()
'
?2??
1?lnx1?ln
x1?lnx(1?lnx)
2
x(1?lnx)
2
y
'
?
2
x(1?lnx)
2
'2'x2x'
(6)
y
?(2x?5x?1)?e?(2x?5x?1)?(e)
?(4x?5)?e
x<
br>?(2x
2
?5x?1)?e
x
?(2x
2
?x?4
)?e
x
,
y
'
?(2x
2
?x?4)?e
x
。
(7)
y?(
'
sinx?xcosx
'
)
cosx?xsinx
(sinx?xcosx)
'
?(cosx?xsinx)
?(sinx?xcosx)?(cosx?xsinx)
'
?
(cosx?xsinx)
2
?
(cosx?cosx?xsin
x)?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx)?(?sinx?sinx?xcosx)
(cosx?xsinx)
2
?
xsinx?(cosx?xsinx)?(sin
x?xcosx)?xcosx
2
(cosx?xsinx)
17
x
2
x
2
'
?
。
y?
(cosx?xsinx)
2
(cosx?xsinx)
2
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的.
②
求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯
净度的提高,所需净化费用不
断增加.已知将1吨水净化到纯净度为
x%
时所需费用(
单位:元)为
c(x)?
5284
(80?x?100)
100
?x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)
90%
(2)
98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
52
84
'
5284
'
?(100?x)?5284?(100?x)
'
c(x)?()?
100?x(100?x)
2
'
?0?(100?x)?5284?(?1)5284
?
(100?x)
2
(100?x)
2
5284
?52.84
,所以,纯净度为
90%
时,费用的瞬时
2
(100?90)
(1)
因为
c(90)?
'
变化率是52.84元吨.
(2) 因为
c(
98)?
'
5284
?1321
,所以,纯净度为
98%
时
,费用的瞬时
(100?90)
2
变化率是1321元吨.
函数f(x)
在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,
c
'
(98)?25c
'
(90)
.它表示纯净度为
98%
左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度
为
90%
左右时净化费用的瞬时变化率的
25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费
用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
四.课堂练习
1.课本P
18
练习
2.已知曲线C:y =3 x
4
-2 x
3
-9
x
2
+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;
(y =-12 x +8)
五.回顾总结
(1)基本初等函数的导数公式表
(2)导数的运算法则
六.布置作业
教学后记:
18
课题:1.2.2复合函数的求导法则
第
课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
理解并掌握复合函数的求导法则. 注
教学重点:复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对
中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.
教学难点:正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.
教学用具:
多媒体
教学方法: 探究
教学过程:
一.创设情景
(一)基本初等函数的导数公式表
函数 导数
y?c
y
'
?0
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)
y
'
?nx
n?1
'
y?sinx
y?cosx
y?cosx
y
'
??sinx
'x
x
y?a?lna(a?0)
y?f(x)?a
y?f(x)?e
x
y
'
?e
x
1
f(x)?log
a
x
f(x)?log
a
xf
'
(x)?(a?0且a?1)
xlna
1
f(x)?lnx
f
'
(x)?
x
(二)导数的运算法则
导数运算法则
19
?
f
(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)
'
''
2.
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g
(x)?f(x)g(x)
1.
'
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
?(g(x)?0) 3.
??
2
?
g(x)
?
?
g(x)
?
(2)推论:
?
cf(x)
?
?cf(x)
'
'
'
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
二.新课讲授
复合函数的概念 一般地,对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
,如果通
过变量
u
,
y
可以表示成
x
的函
数,那么称这个函数为函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数,记作<
br>y?f
?
g(x)
?
。
复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g(x)
?
的导数和函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
,即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数
与
u
对
x
的导数的乘积.
?
?f
?
?
g(x)
?
?g
?
(
x)
fg(x)
?
若
y?f
?
g(x)
?
,则
y
?
?
?
??
??
三.典例分析
例1(课本例4)求下列函数的导数:
(1)
y?(2x?3)
;(2)<
br>y?e
2?0.05x?1
;
(3)
y?sin(
?
x?
?
)
(其中
?
,
?
均为常数).
解:(1)函数
y?(2x?3)
可以看作函数
y?u
和
u?2x?
3
的复合函数。
根据复合函数求导法则有
y
x
?<
br>?y
u
?
?u
x
?
=
(u)(2x?3)?
4u?8x?12
。
2''
22
(2)函数
y?e
?0.
05x?1
可以看作函数
y?e
和
u??0.05x?1
的复合函数
。
u
根据复合函数求导法则有
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
=
(e)(?0.05x?1)??
0.005e??0.005e
u''u?0.05x?1
。
(3)函数
y
?sin(
?
x?
?
)
可以看作函数
y?sinu
和
u?
?
x?
?
的复合函
20
数。根据复合函数求导法则有
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
=
(sinu)(
?
x?
?
)?
?
cosu?
?
cos(
?<
br>x?
?
)
。
''
例2求
y?sin(tanx)
的导数.
解:
y?[sin(tanx)]?cos(tanx)?sec(x)?2x
'2'222
2
?2xcos(tanx
2
)?sec
2
(x
2
)
y
'
?2xcos(tanx
2)?sec
2
(x
2
)
【点评】
求复合函
数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由
外层向内层逐层求导,直到关于自变量求
导,同时应注意不能遗漏求导环节并
及时化简计算结果.
例3求
y?
x?a
x?2ax
2
的导数.
1?x
2
?2ax?(x?a)?
解:
y?
'
2x?2a
2x
2
?2ax
x
2
?2ax
a
2x
2
?2ax
a
2
x
2
?2ax
'<
br>,
y??
???
22
22
22
(x?2
ax)
(x?2ax)
x?2axx?2ax
【点评】本题练习商的导数和复合函数的
导数.求导数后要予以化简整理.
例4求y =sin
4
x +cos
4
x的导数.
【解法一】y =sin
4
x +cos
4
x=(sin
2
x +cos
2
x)
2
-2sin
2
cos
2
x=1-
=1-
?a
21
2
sin2 x
2
131
(1-cos 4
x)=+cos 4 x.y′=-sin 4 x.
444
【解法二】y′=(sin
4
x)′+(cos
4
x)′=4 sin
3
x(sin x)′+4 cos
3
x (cos
x)′
=4 sin
3
x cos x +4
cos
3
x (-sin x)=4 sin x cos x
(sin
2
x -cos
2
x)
=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
【点评】
解法一是
先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用
复合函数求导数,应注意不漏步.
例5曲线y =x(x +1)(2-x)有两条平行于直线y
=x的切线,求此二
切线之间的距离.
【解】y =-x
3
+x
2
+2 x y′=-3 x
2
+2 x +2
令y′=1即3 x
2
-2 x -1=0,解得 x
=-
于是切点为P(1,2),Q(-
1
或x =1.
3
114
,-),
327
21
过点P的切线方程为,y -2=x -1即 x -y +1=0.
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离,故所求距离为
114
|???1|
16
327
=
2
.
27
2
四.课堂练习
1.求下列函数的导数 (1)
y
=sinx
3
+sin
3
3x;(2)
y?<
br>sin2x
2
;(3)
log
a
(x?2)
2x?1
2
2.求
ln(2x?3x?1)
的导数
五.回顾总结
六.布置作业
教学后记:
课题:1.3.1函数的单调性与导数(第1课时)
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 注
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不
超过三次。
教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调
区间。
教学难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调
区间。
教学用具: 多媒体
教学方法: 引导学生自我探究。
教学过程:
一.创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研
究函数的这些性质,我
们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我
们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究
函数中的作用.
二.新课讲授
22
1.问题:图1.3-1(
1),它表示跳
水运动中高度
h
随时间
t
变化的函
数
h(t)??4.9t?6.5t?10
的图
像,图3.3-1(2)表示高台跳水运
动员的速度
v
随时间
t
变化的函数
2
v(t)?h
'
(t)??9.8t?6.5
的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最
高点到入水这两段时间的运动状态
有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1) 运动员从起点到
最高点,离水面的高度
h
随时间
t
的增加而增加,
即
h(t
)
是增函数.相应地,
v(t)?h(t)?0
.
(2) 从最高点到入水
,运动员离水面的高度
h
随时间
t
的增加而减少,
即
h(t
)
是减函数.相应地,
v(t)?h(t)?0
.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
'
'
'
如图1.3-3,导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率.
23
'
在
x?x
0
处,f(x
0
)?0
,切线是“左下右上”式的,这时,函数
f(x)
在
x
0
附近单调递增;
'
在
x?x
1
处,
f(x
0
)?0
,切线是“左上右下”式的,这时,函数
f(x
)
在
x
1
附近单调递减.
结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间
(a,b)
内,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f
(x)
在这个区间内单
调递增;如果
f(x)?0
,那么函数
y?f
(x)
在这个区间内单调递减.
说明:(1)特别的,如果
f(x)?0
,
那么函数
y?f(x)
在这个区间内是
常函数.
3.求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
的定义域;
(2)求导数
y?f(x)
;
(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间.
三.典例分析
例1.已知导函数
f(x)
的下列信
息:
当
1?x?4
时,
f(x)?0
;
24 '
'
'
'
''
'
'
'
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状.
解:当
1?x?4时,
f(x)?0
,可知
y?f(x)
在此区间内单调递增;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;可知
y?
f(x)
在此区间内单调递减;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
,这两点比较特殊,我们把它称为“临界
点”.
综上,函数
y?f(x)
图像的大致形状如图3.3-4所示.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1)
f(x)?x?3x
;
(2)
f(x)?x?2x?3
(3)
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
;
(4)
f(x)?2x?3x?24x?1
解:(1)因为
f(x)?x?3x
,所以,
f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此,
f(x)?x?3x
在R上单调递增,如图3.3-5(1)所示.
'
(2)因为
f(x)?x?2x?3
,所以,
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?
2
3
'22
3
32
32
'
'
'
'
'
当
f(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x?2x?
3
单调递增;
当
f(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x?2x?3
单调递减;
函数
f(x)?x?2x?3
的图像如图3.3-5(2)所示.
2
'2
'2
25
(3)因为
f(x)?s
inx?xx?(0,
?
)
,所以,
f(x)?cosx?1?0
因此,函数
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
单调递减,如图3.3-5(3)所示.
(4)因为
f(x)?2x?3x?24x?1
,所以
.
当
f(x)?0
,即
时,函数
f(x)?x?2x?3
;
当
f(x)?0
,即
时,函数
f(x)?x?2x?3
;
函数
f(x)?2x?3x?24x?1
的图像如图3.3-5(4)所示.
注:(3)、(4)生练
32
'2
'2
32
'
四.课堂练习
1.求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x
3
-6x
2
+7
2.f(x)=
3. f(x)=sinx ,
x
?[0,2
?
]
4.
y=xlnx
26
1
+2x
x
五.回顾总结
(1)函数的单调性与导数的关系
(2)求解函数
y?f(x)
单调区间
(3)证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
六.布置作业
教学后记:
课题:1.3.1函数的单调性与导数(第2课时)
第
课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 注
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超
过三次。
27
教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的
单调区
间。
教学难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区
间。
教学用具: 多媒体
教学方法: 总结归纳
教学过程:
一.复习回顾
1.函数的单调性与导数的关系
在某个区间
(a,b)
内,如果
f
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单
调递增;如果
f
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减.
说明:(1)
特别的,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内是常
函数.
2.求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
的定义域;
(2)求导数
y?f(x)
;
(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间.
二.典例分析
例1.如图1.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面
四
种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t<
br>的函数关
系图像.
'
'
''
'
'
'
分析:以容
器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶
段高度增加得慢,以后高度增加得越来
越快.反映在图像上,(A)符合上述变化
情况.同理可知其它三种容器的情况.
解
:
?
1
?
?
?
B
?
,
?
2
?
?
?
A
?
,
?
3
?
?
?
D
?
,
?
4
?
?
?
C
?
28
思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出
函数的增减,还可以看出其
变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围
内变化的快,
这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一
些.
如图3.3-7所示
,函数
y?f(x)
在
?
0,b
?
或
?
a
,0
?
内的图像“陡峭”,
在
?
b,??
?
或<
br>?
??,a
?
内的图像“平缓”.
例2.求证:函数
y?2
x?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数.
32
证明:因为
y
'
?6x
2
?6x?12?6x
2
?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?
'
当
x?
?
?2,1
?
即
?2?x?1
时
,
y?0
,所以函数
y?2x?3x?12x?1
在
32
?
?
区间
?
?2,1
?
内是减函数.
说明:证明可导函数<
br>f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
步骤:
(1)求导函数
f
(2)判断
f
'
'
?<
br>x
?
;
?
x
?
在
?
a,b
?
内的符号;
'
(3)做出结论:
f
?
x
?
?0为增函数,
f
'
?
x
?
?0
为减函数.
2
例3.已知函数
f(x)?4x?ax?
求实数
a
的取值范围.
2
3x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上是增函数,
3解:
f(x)?4?2ax?2x
,因为
f
?
x
?在区间
?
?1,1
?
上是增函数,所以
'2
f
'
(x)?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立,即x
2
?ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?恒成立,解之得:
?1?a?1
所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?
.
说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数
与函数单
调性关系:即“若函数单调递增,则
f(x)?0
;若函数单调递减,则
'
f
'
(x)?0
”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
29
例4.已知函数y=x+
1
,试讨论出此函数的单调区间.
x
解:y′=(x+
=1-
1
)′
x
1·x-
2
x?1(x?1)(x?1)
2
=
?
22
xx
令
(x?1)(x?1)
>0.
2
x
1
的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
x
解得x>1或x<-1.
∴y=x+
令
(x?1)(x?1)
<0,解得-1<x<0或0<x<1.
2
x
1
的单调减区间是(-1,0)和(0,1)
x
∴y=x+
三.课堂练习
课本P26练习
四.回顾总结
(1)函数的单调性与导数的关系
(2)求解函数
y?f(x)
单调区间
(3)证明可导函数
f?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
五.布置作业
教学后记:
30
课题:
3.3.2函数的极值与导数(第1课时)
第 课时 总序第
个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.理解极大值、极小值的概念; 注
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;
3.掌握求可导函数的极值的步骤。
教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学用具: 多媒体
教学方法: 理解,探究
教学过程:
一.创设情景
观察图1.3-8,
我们发现,
t?a
时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,
函数
h(t)
在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的
符号有什么变化规律?
放大
t?a
附近函数
h(t)
的图像,如图3.3-9.可以看出<
br>h
?
(a)
;在
t?a
,
当
t?a
时,函数
h(t)
单调递增,
h
?
(t)?0
;当
t?a
时,函数
h(t)
单调递减,
这就说明,在
t?a
附
近,函数值先增(
t?a
,
h
?
(t)?0
)后减(
t?a
,
h
?
(t)?0
;
.这样,当
t
在
a
的附近从小到大经过
a
时,
h
?
(t)先正后负,且
h
?
(t)
h
?
(t)?0
)<
br>连续变化,于是有
h
?
(a)?0
.
对于一般的函数
y?f
?
x
?
,是否也有这样的性质呢?
附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数
的极值是就函数在某
一点附近的小区间而言的.
从图象观察得出,判别极大、极
小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
31
二.新课讲授
1.问题:图1.3-8(1),它表示跳水运动中高度h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t
2
?6.
5t?10
的图像,图1.3-8(2)表示高台跳水运动员的速度
v
随
时间
t
变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区
别?
通过观察图像,我们可以发现:
(3) 运动员从起点到最高点,离水面的高度
h<
br>随时间
t
的增加而增加,
即
h(t)
是增函数.相应地,v(t)?h(t)?0
.
(4) 从最高点到入水,运动员离水面的高度
h<
br>随时间
t
的增加而减少,
即
h(t)
是减函数.相应地,v(t)?h(t)?0
.
2.结论:
(1).极大值: 一般地,设函数f
(x)在点x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所
有的点,都有f(
x)<f(x
0
),就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值,记作y<
br>极大值
=f(x
0
),
x
0
是极大值点
(
2).极小值:一般地,设函数f(x)在x
0
附近有定义,如果对x
0
附近
的所有的点,
都有f(x)>f(x
0
).就说f(x
0
)是函数f
(x)的一个极小值,记作y
极小值
=f(x
0
),x
0
是
极小
值点
(3).极大值与极小值统称为极值 注意以下几点:
(ⅰ)极值是一个
局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的
函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的
整个的定义域内最大或最小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极
小值可以不止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于
'
'
'
极小值,如下图所示,
x
1
是极大值点,
x
4
是极小值点,而
f(x
4
)
>
f(x
1
)
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
三.典例分析
例1.(课本例4)求
f
?
x
?
?
解: 因为f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
的极值
3
1
3
x?4x?4
,所以
3
f
'?
x
?
?x
2
?4?(x?2)(x?2)
。
f
'
?
x
?
?0,x?2,x??2
下面分两种情况讨论:
(1)当
f
32
'
?
x
?
>0,即
x?2
,或
x??2
时;
(2)当
f
'
?
x
?
<0,即
?2?x?2<
br>时.
当x变化时,
f
'
?
x
?
,
f
?
x
?
的变化情况如下表:
x
?
??,2
?
+
↗
-2
0
极大值
(-2,2)
-
2
0
极小值
?
?
2,??
?
+
y
?
y
28
3
↘
4
3
↗
因此,当
x??2时,
f(x)
有极大值,并且极大值为
f(?2)?
当
x?2<
br>时,
f(x)
有极小值,并且极小值为
f(2)??
函数
f<
br>?
x
?
?
28
;
3
4
。
3
1
3
x?4x?4
的图像如图所示。
3
y1
f(x)=x
3
-4x+4
3
2
-2
Ox
总结:(1).
判别f(x
0
)是极大、极小值的方法:
若
x
0
满足f
?
(x
0
)?0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
x
0
是
f(x)
的
极值点,
f(x
0
)
是极值,并且如果
f
?
(x
)
在
x
0
两侧满足“左正右负”,则
x
0
是
f(x)
的极大值点,
f(x
0
)
是极大值;如果
f?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”,则
x
0
是
f(x)
的极小值点,
f(x
0
)
是极小值
(2). 求可导函数f(x)的极值的步骤:
①确定函数的定义区间,求导数f′(x)
②求方程f′(x)=0的根
③用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开
区间,并
列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不
改变符号即都为
正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点
33
四、巩固练习:
1.求下列函数的极值.
(1)y=x
2
-7x+6 (2)y=x
3
-27x
(1)解:y′=(x
2
-7x+6)′=2x-7
令y′=0,解得x=
7
.
2
7
2
?
7
?
?
,??
?
?
2
?
当x变化时,y′,y的变化情况如下表.
x
7
?
?
?
??,
?
2
??
y
?
-
↘
0
极小值
?
+
y
25
4
↗
∴当x=
725
时,y有极小值,且y
极小值
=-.
4
2
(2)解:y′=(x
3
-27x)′=3x
2
-27=3(x+3)(x-3)
令y′=0,解得x
1
=-3,x
2
=3.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表.
x
?
??,?3
?
+
↗
-3
0
极大值54
(-3,3)
-
↘
3
0
极小值-54
?
3,??
?
+
↗
y
?
y
∴当x=-3时,y有极大值,且y
极大值
=54.
当x=3时,y有极小值,且y
极小值
=-54
五、教学反思
:
函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步
骤.还有要
弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区
间可能有多个极值,且要在这点处
连续.可导函数极值点的导数为0,但导数为零
的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函
数的不可导点可能是极值
点
六、课后作业:
书本P 31
3 . 4 . 5
教学后记:
34
课题:
3.3.2函数的极值与导数(第2课时)
第 课时
总序第
个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.理解极大值、极小值的概念; 注
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;
3.掌握求可导函数的极值的步骤。
教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学用具:多媒体
教学方法: 分析,讨论
教学过程:
一.复习回顾
1.极大值: 一般
地,设函数f(x)在点x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所有
的
点,都有f(x)<f(x
0
),就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大
值,记作y
极大值
=f(x
0
),
x
0
是极大值点
2.极小值:一般地,设函数f(x)在x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所有的
点,都有f(x)>f(x
0
).就说f(x
0
)是
函数f(x)的一个极小值,记作y
极小值
=f(x
0
),x
0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点:
(ⅰ)极值是一个局部概
念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点
的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的
定义域内最大或最
小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或
极小值可以不止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大
于极小值,如下图所示
,
x
1
是极大值点,
x
4
是极小值点,而
f(x<
br>4
)
>
f(x
1
)
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
4.
判别f(x
0
)是极大、极小值的方法:
35
若
x
0
满足
f
?
(x
0
)?0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
x
0
是f(x)
的极值点,
f(x
0
)
是极值,并且如果
f<
br>?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”,则
x
0
是
f(x)
的极大值点,
f(x
0
)
是极大值
;如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”,
则
x
0
是
f(x)
的极小值点,
f(x
0
)
是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)
用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,
并列成表格.检查f′(x)在方程
根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在
这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)
在这个根处取得极小值;如果
左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点
二.典例分析
例1. 求y=(x
2
-1)
3
+1的极值
解:y′=6x(x
2
-1)
2
=6x(x+1)
2
(x-1)
2
令y′=0解得x
1
=-1,x
2
=0,x
3
=1
当x变化时,y′,y的变化情况如下表
x
?
??,?1
?
-
↘
-1
0
无极值
(-1,0)
-
↘
0
0
极小值0
(0,1)
+
↗
1
0
无极值
?
1,??
?
+
↗
y
?
y
∴当x=0时,y有极小值且y
极小值
=0
y
f?x? =
?
x
2
-1
?
3
+1
-1
O
1
x
四、巩固练习:
教材P29
1,2
五、教学反思 :
函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数
f(x)的极值的三个步
骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义
36
区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0,
但导数
为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能
是极值点
六、课后作业:
教学后记:
课题:1.3.3函数的最大(小)值与导数(第1课时)
第
课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
注
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数
f(x)
在闭
<
br>区间
?
a,b
?
上所有点(包括端点
a,b
)处的函
数中的最大(或最小)值必
有的充分条件;
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
教学用具:
多媒体
教学方法: 分析,探究
教学过程:
一.创设情景
我们知道,
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整
个定义域内的性质.也就是说,如果
x
0
是函数
y?f
?
x
?
的极大(小)值点,<
br>那么在点
x
0
附近找不到比
f
?
x
0
?
更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研
究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间
上,哪个至最大,哪个值最小.如
37
果
x
0
是函
数的最大(小)值,那么
f
?
x
0
?
不小(大)于函数y?f
?
x
?
在相应
区间上的所有函数值.
二.新课讲授
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上的
函数
f(x)
的图象.图中
f(x
1
)
与
y
f(x
3
)
是极小值,
f(x
2
)
是极大值.函
数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值是
f
(b)
,最
小值是
f(x
3
)
.
a
x<
br>1
O
x
2
x
3
b
x
1.
结
论
:
一般地,在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(
x)
的图像是一条连
续不断的曲线,那么函数
y?f(x)
在
?a,b
?
上必有最大值与最小值.
说明:⑴如果在某一区间上函数y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲线,
则称函数
y?f(x)
在这
个区间上连续.(可以不给学生讲)
⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间
(a,b)<
br>内连续的函数
f(x)
不一定
有最大值与最小值.如函数
f(x)?<
br>值;
⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断,
⑷函数
f(x
)
在闭区间
?
a,b
?
上连续,是
f(x)
在闭区
间
?
a,b
?
上有最大值与最
小值的充分条件而非必要条件.(可以
不给学生讲)
2.“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念,是比较整个定义
域内的函数值得出的,具有绝对性;而
“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相
对性.
⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;
⑶函数在其
定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不
止一个,也可能没有一个
⑷
极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未
必有最值,有最值的未必有极
值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必
定是极值.
1
在
(0,??
)
内连续,但没有最大值与最小
x
3.利用导数求函数的最值步骤:
38
由上面函数
f(x)
的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定
义区间端
点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
一般地,求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值;
⑵将
f(
x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较,其中最大
的一
个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数
f(x)
在
?
a,
b
?
上的最值
三.典例分析
例1.(课本例5)求
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0
,3
?
的最大值与最小值
3
解: 由例4可知,在
?
0,3
?
上,当
x?2
时,
f(x)
有极小值,并且极小<
br>值为
f(2)??
4
,又由于
f
?
0
??4
,
f
?
3
?
?1
3
1
3
4
因此,函数
f
?
x
?
?x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值是4,最小值是
?
. 33
1
3
上述结论可以从函数
f
?
x
?
?x?4x?4
在
?
0,3
?
上的图象得到直观
3
42
验证.
例2.求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?
2,2
?
上的最大值与最小值
解:先求导数,得
y?4x?4x
3
令
y
=0即
4x?4x?0
解得
x1
??1,x
2
?0,x
3
?1
3
导数
y
的正负以及
f(?2)
,
f(2)
如下表
X
y
y
-2
13
(-2,-1)
-
↘
-1 (-1,0)
0 +
4 ↗
0
0
5
(0,1)
-
↘
1
0
4
(1,2)
+
↗
2
13
从上表知,当
x??2
时,函数有最大值13,当
x??1
时,函数有最小值4
四.课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x) (
)
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
五.回顾总结
39
1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之
中:导数等于零的点,导数不
存在的点,区间端点;
2.函数
f(x)
在闭
区间
?
a,b
?
上连续,是
f(x)
在闭区间
?<
br>a,b
?
上有最大值与最
小值的充分条件而非必要条件;
3.闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最值;开区间
(a,b)
内
的可导函数
不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值
4.利用导数求函数的最值方法.
六.布置作业
教学后记:
课题:1.3.3函数的最大(小)值与导数(第2课时)
第
课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
注
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数
f(x)
在闭
<
br>区间
?
a,b
?
上所有点(包括端点
a,b
)处的函
数中的最大(或最小)值
必有的充分条件;
40
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
教学用具:
多媒体
教学方法: 分析法
教学过程:
一.复习回顾
利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数
f(x)
的图象可以看出,只要把
连续函数所有的极值与定义区间
端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
一般地,
求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如
下:
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较,其
中最大的一
个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最值.
二.典例分析
例1.求函数y=
1
4
1
3
1
2
x?x?x
,在[-1,1]上的最值
。
432
x
2
?ax?b
例2.已知
f(x)?log<
br>3
,
x
∈(0,+∞).是否存在实数
a、b
,
x<
br>使
f(x)
同时满足下列两个条件:(1)
f(x)
)在(0,1)上
是减函数,在[1,
+∞)上是增函数;(2)
f(x)
的最小值是1,若存在,求出
a、b
,若不存在,
说明理由.
x
2
?ax?b
解:设g(x)=
x
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数
41
∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
∴
?
?
b?1?0
?
g'(1)?0
?
a?1
∴
?
解得
?
?
a?b?1?3
?
g(1)?3
?
b?1
经检验,a=1,b=1时,f(x)满足题设的两个条件.
三.课堂练习
1.求函数
y?x?2x?5
在区间<
br>?
?2,2
?
上的最大值与最小值.
42
2.课本 P31
练习
四.回顾总结
1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于
零的点,导数
不存在的点,区间端点;
2.函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续,是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与
最小值的充分条件而非必要条件;
3.闭区间
?<
br>a,b
?
上的连续函数一定有最值;开区间
(a,b)
内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值
4.利用导数求函数的最值方法.
五.布置作业
教学后记:
课题:1.4生活中的优化问题举例(第1课时)
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
42
教学目标: 批
1.
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题注
中的作用;
2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学用具: 多媒体
教学方法:
探究
教学过程:
一.创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高
等问题,这些问题通常
称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.
二.新课讲授
导数在实
际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,
主要有以下几个方面:
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法:
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立
适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭
区间内求函数取值的情
境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
三.典例分析
例1.海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图
2
1
.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,
左、右两边各空
1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
128
dm,此时四周空白面积为
x
128512
S(x)?(x?4)(?2)?128?2x??8,x?0
。
xx
解:设版心的高为xdm,则版心的宽为
求导数,得
S
'
(x)?2?
43
512
。
x
2
512
。
?0
,解得
x?1
6(x??16
舍去)
x
2
128128
于是宽为
??8<
br>。
x16
令
S(x)?2?
'
当
x?(0,16)
时,
S(x)
<0;当
x?(16,??)
时,
S(x)<
br>>0.
因此,
x?16
是函数
S(x)
的极小值,也是最小
值点。所以,当版心高为16dm,
宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本
是
0.8
?
r
分,其中
r
是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1
mL的饮料,制造商可获利 0.2
分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
解:由于瓶子的半径为
r
,所以每瓶饮料的利润是
2
''
?
r
3
4
322
?
y?f
?
r
?
?0.2?
?
r?0.8
?
r?0.8
?
?
?r
?
,0?r?6
3
?
3
?
令
f
?
?
r
?
?
0.8
?
(r?2r)?0
解得
r?2
(
r?0
舍去)
2
当
r?
?0,2
?
时,
f
?
?
r
?
?0
;当
r?
?
2,6
?
时,
f
?
?
r
?
?0
.
当半径
r?2
时,
f
?<
br>?
r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递增,即半径越大,利润越
高;
当半径
r?2
时,
f
?
?
r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减,即半径越大,利润越
低.
(1)半径为
2
cm 时,利润最小,这时
f
?
2
?
?0
,表示此种瓶内饮料的利
润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为
6
cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什
么发现?
有
图像知:当
r?3
时,
f
?
3
?
?0
,即
瓶子的半径为3cm时,饮料的利润
与饮料瓶的成本恰好相等;当
r?3
时,利润才为
正值.
当
r?
?
0,2
?
时,
f
??
r
?
?0
,
f
?
r
?
为减
函数,其实际意义为:瓶子的半
44
径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为
2
cm
时,利润最小.
例3.磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘
是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统
将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,
扇区是指被
同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其
磁化与
否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。
为了保障磁盘的分辨率,磁道之
间的宽度必需大于
m
,每比特所占用的磁
道长度不得小于
n
。为了数
据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相
同的比特数。
问题:现有一张半径为
R
的磁盘,它的存储区是半径介于
r
与
R
之间的环
形区域
.
(1) 是不是
r
越小,磁盘的存储量越大?
(2)
r
为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信
息)?
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于
r
与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于
m
,且最
外面的磁道不存储任何信息
,故磁道数最多可达
R?r
。由于每条磁道上的比
m
特数相同,为获得最大存
储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特
2
?
r
。所以,磁盘总存
储量
n
R?r
2
?
r
2
?
×
f
(r)?
?r(R?r)
mmn
n
(1)它是一个关于r
的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是
r
越小,
数可达
磁盘的存储量越大.
(2)为求
f(r)
的最大值,计算
f
?(r)?0
.
f
?
(r)?
2
?
?
R?2r
?
mn
令
f
?
(r)?0
,解得
r?
R
2
当
r?
RR
时,
f
?
(r)?0
;当
r?
时,
f
?
(r)?0
.
22<
br>R
2
?
R
2
因此
r?
时,磁盘具有最大存储
量。此时最大存储量为
mn4
2
四.课堂练习
练习:一书店预
计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次
订货要付手续费30元,每千册书存放一年要
耗库费40元,并假设该书均匀投
放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库
存费之
45
和最少?
【解】假设每次进书x千册,手续费与库存费之和为y元,
由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即
x
,故有
2
150x4500
×30+×40,y
′
=-
2
+20,
x2x
9000
令y
′
=0,得x
=15,且y
″
=
3
,f
″
(15)>0,
x
y =
所以当x =15时,y取得极小值,且极小值唯一,
故 当x
=15时,y取得最小值,此时进货次数为
150
=10(次).
15
即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.
五.回顾总结
1.利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
2.解决优化问题
的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模
型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方
案,使问题得到解决.在这个过
程中,导数往往是一个有利的工具。
六.布置作业
教学后记:
46
课题:1.4生活中的优化问题举例(第2课时)
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中注
的作用;
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学用具: 多媒体
教学方法:
探究
教学过程:
一.典例分析
例1.汽油的使用效率何时最高
我们
知道,汽油的消耗量
w
(单位:L)与汽车的速度
v
(单位:kmh)
之间有一定的关系,汽油的消耗量
w
是汽车速度
v
的函数.根据你的生活经
验,
思考下面两个问题:
(1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大?
(2)“汽油的使用率最高”的含义是什么?
分析:研究汽油的使用效率(单位:Lm)就是
研究秋游消耗量与汽车行
驶路程的比值.如果用
G
表示每千米平均的汽油消耗量,那么
G?
w
,其中,
s
w
表示汽油消耗量(单位:L),
s
表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,
求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求
G
的最小值的问题.
通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,
人们发现,汽车在行
驶过程中,汽油平均消耗率
g
(即每小时的汽油消耗量,单位:L
h)与汽车行
驶的平均速度
v
(单位:kmh)之间有如图所示的函数关系
g
?f
?
v
?
.
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此
,我们首先需要将问
题转化为汽油平均消耗率
g
(即每小时的汽油消耗量,单位:Lh
)与汽车行驶
的平均速度
v
(单位:kmh)之间关系的问题,然后利用图像中的数据
信息,
解决汽油使用效率最高的问题.
47
w
wg
解:因为
G??
t
?
s
s
v
t
gg这样,问题就转化为求的最小值.从图象上看,表示经过原点与曲线上点
vv
的直线的斜率
.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处
速度约为90
kmh
.
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消
耗量最小,此时的
车速约为90
kmh
.从数值上看,每千米的耗油量就是图中
切线的斜率,即
f
?
?
90
?
,约为 L.
例2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的
边沿虚线折起(如
图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底
的容积最大?最
大容积是多少?
解法一:设<
br>箱底边长为
x
cm,
则箱高
h?
_
x
x
x
_
60
_
x
_
60
60?x
cm,得箱子容积
2
2
60x
2
?x
3
V(x)?xh?
(0?x?60)
.
2
3x
2
V
?
(x)?60x?
(0?x?60)
2
3x
2
令
V
?
(x)?60x?
=0,解得 x=0(舍去),x=40,
2
并求得V(40)=16 000
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,
因此,16
000是最大值
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm
3
48
解法二:设箱高为
x
cm,则箱底长为(60-2
x
)cm,则得箱子容积
60-2x
x
60-2x
60-2x
V(x)?(60?2x)
2
x
(0?x?30)
.(后面同
解法一,略)
由题意可知,当
x
过小或过大时箱子容
积很小,所以最大值出现在极值点处.
60
60-2x
x
60
60x
2
?x
3<
br>2
事实上,可导函数
V(x)?xh?
、
V(x)?(60?2x)x
在各自
2
2
的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,
是单峰的,
因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值
例3.圆柱形金属饮料罐的容
积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,
才能使所用的材料最省?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
,则
?
R
2
V
2
2V
2
S(R)= 2πR+
2πR=+2πR
2
?
RR
2V
令
s
?
(R)??
2
+4πR=0
R
由V=πRh
,得
h?
2
解得,R=
3
V
2
?
,从而<
br>h=
V
=
?
R
2
4VV
V
=
3
=2
3
?
?
V
?
(
3)
2
2
?
即h=2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S
时,它的高与底面半径应怎
样选
取,才能使所用材料最省?
S?2
?
R
2
提示:
S
=2
?
Rh
+
2
?
R
?
h=
2
?
R
2
S?2
?
R
2
11
?
R
2
=
(S?2
?
R
2
)
R?SR?
?
R
3
?
V
(
R
)=
2
?
R
22
V'(R)
)=0
?S?6
?
R
2
?
6
?
R
2
?2?
Rh?2
?
R
2
?h?2R
.
49
二.课堂练习
有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离
岸40千米,乙城到岸的垂
足与甲城相距50千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城
的
水管费用分别为每千米500元和700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水
管费用最省
?
【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米,总费用为
y元,
则CD =
x
2
?40
2
.
y
=500(50-x)+700
x
2
?1600
=25000-500 x +700
x
2
?1600
,
?
1
y
′
=-500+700 · (x
2
+1600)
2
· 2 x
2
1
=-500+
700x
x?1600
2
,
令y′=0,解得x =
506
.
3
506
千米时,总费用最省.
3
答:水厂距甲距离为50-
【点评】
当要求的最大(小)值的变量y与几
个变量相关时,我们总是先设几个变
量中的一个为x,然后再根据条件x来表示其他变量,并写出y的函
数表达式f
(x).
三.回顾总结
1.利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与
其相应的数学模
型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过
程
中,导数往往是一个有利的工具。
50
四.布置作业
教学后记:
课题:1.4生活中的优化问题举例(第3课时)
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中注
的作用;
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学用具: 多媒体
教学方法:
探究
教学过程:
一. 典例分析
例1.在经济学中,生产x单位产品的成本称为
成本函数同,记为C(x),出
售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)
称为利润函数,记为
P(x)。
(1)、如果C(x)=
10x?0.003x?5
x?1000
,那么生产多少单位产品
?632
51
时,边
际
C
?
(x)
最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2)、如果C(x)=50x+10000,产品的单价P=100-0.01x,那么怎样定价,<
br>可使利润最大?
变式:已知某商品生产成本
C
与产量
q
的函
数关系式为
C
=100+4
q
,价格
p
与产量
q<
br>的函数关系式为
p?25?
1
q
.求产量
q
为何值时
,利润
L
最大?
8
分析:利润
L
等于收入
R减去成本
C
,而收入
R
等于产量乘价格.由此可得
出利润
L
与产量
q
的函数关系式,再用导数求最大利润.
解:收入
R?
q?p?q
?
25?
利
?
?
1
?
1
q
?
?25q?q
2
,
8
?
8
润1
?
1
?
L?R?C?
?
25q?q
2
?
?(100?4q)??q
2
21q?100
(0?q?100)
8
?
8
?
1
L
?
??q?21
4
1
令
L
?
?0
,即
?q?21?0,求得唯一的极值点
q?84
4
答:产量为84时,利润L最大 例2.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在
断面ABCD的面积为定
值S时,使得湿周l=AB+BC+CD最小,这样可使水流阻
力小,渗透少,求此时的高h和下底边长
b.
解:由梯形面积公式,得S=
1
(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC,
2
DE=
3
h,BC=b
3
∴AD=
231233
h?2b)h?(h?b)h
①
h+b, ∴S=
(
233
3
∵CD=
h22
?h
,AB=CD.∴l=
h
×2+b
cos30?
33
②
由①得b=
S343S3S
h??h?3h?
?
h,代入
②,∴l=
3h3h
h3
l′=
3?
S
SSS
=0
,∴h=, 当h<时,l′<0,h>时,l′>0.
444
h
2
333
2
4
3
S
S
∴h=时,l取最小值,此时b=
4
3
3
52
例3.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y
=4-x
2
在x轴上方的曲线上,求这种矩形中面积最大者的边长.
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),且x >0,y >0,
则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y),
在x轴上的两个顶点为(-x,0)、(x,0),其中0< x <2.
设矩形的面积为S,则S =2 x(4-x
2
),0< x <2.
由S
′
(x)=8-6 x
2
=0,得x =
x
=
2
3
,易知
3
4
是S在(0,2)上的极值点,
3
8
2
3
和.
3
3
即是最大值点,
所以这种矩形中面积最大者的边长为
【点评】
应用题求解,要正确写出目标函数并明
确题意所给的变量制约条件.应用
题的分析中如确定有最小值,且极小值唯一,即可确定极小值就是最小
值.
二.课堂练习
1.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,
如果所制作的容器的底
面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大
容
积.(高为1.2 m,最大容积
1.8m
)
2.课本 练习
三.回顾总结
解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数
学模型,
再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,
导数往
往是一个有利的工具。
四.布置作业
教学后记:
课题:
1.5.1曲边梯形的面积
第
课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透的思想方法。
教学重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)。
教学难点:对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解。
教学用具:
多媒体
教学方法: 分析,探究
教学过程:
3
53
1.创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积,这些图形都
是由直线段围成的。
那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢?
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们
将学习定积分的基
本概念以及定积分的简单应用,初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个
概念:如果函数
y?f(x)
在某一区间
I
上的图像是一条连续不断的曲线,
那么
就把函数
y?f(x)
称为区间
I
上的连续函数.(不加说明,
下面研究的都是连续函数)
2.新课讲授
问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边
是
曲线
y?f(x)
的一段,我们把由直线
x?a,x?b(a?b),y?
0
和曲线
y?f(x)
所围成的图形
称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的
面积?
例1:求图中阴影部分是由抛物线
y?x
,直线x?1
以及
x
轴所围成的平面图形的
面积S。
2
思考:(1)曲边梯形与“直边图形”的区别?
(2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题?
54
分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段,“直
边图形”
的所有边都是直线段.“以直代曲”的思想的应用.
y
y
y
x
x
1
1
y
x
1
y?x
2
O
0.20.4
0.60.8
1
x
0.1
<
br>把区间
?
0,1
?
分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边
梯形,对每个小曲边梯
形“以直代取”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯
形面积
的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细,面积的近似
值
就越精确。当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即:
用划归为计算矩形
面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.
解:
(1).分割
在区间
?
0,1
?
上等间隔地插入
n?1
个点,将区间
?
0,1
?
等分成
n
个
y
小区间:
?
1<
br>??
12
??
n?1
?
,1
?
?
0,
?
,
?
,
?
,…,
?n
nnn
??
????
记第
i
个区间为
?y=x
2
?
i?1i
?
,
?
(i?1,2,L
,n)
,其长度为
?
nn
?
O
i-1
i
n
n
1
x
ii?11
??
nnn
分别过
上述
n?1
个分点作
x
轴的垂线,从而得到
n
个小曲边梯<
br>?x?
形,他们的面积分别记作:
?S
1
,
?S
2
,…,
?S
n
y
y=x
2
O
i-1
i
n
n
1<
br>x
55
显然,
S?
?
?S
i
i?1
n
(2)近似代替
记
f
?
x<
br>?
?x
2
,如图所示,当
n
很大,即
?x
很
小时,在区间
?
?
i?1i
?
,
?
上,可以认为函
nn
??
数
f
?
x
?
?x
2的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
的函数值
f
?
i?1
处
n
?
i?1
?
?
,从图形上看,
就是用平行于
x
轴的直线段近似的代替小曲边梯形的
?
n
?
?
i?1i
?
,
?
上,用小矩形的面积
?S
i?
近似的代替
?S
i
,即在
?
nn
?
曲边(如图).这样,在区间
?
局部范围内“以直代取”,则有
?
i?1<
br>??
i?1
??
i?1
?
1
?S
i
??S
i
?
?f
?
g?x?g?x?
?????
g
(i?1,2,L,n)
①
nnn
??????
n
(3)求和
由①,上图中阴影部分的面积
S
n
为
n
i?1
?
??
i?1
?
1
?S
n
?
?
?S
i
?
?
?
f
?
g?x?
?
???
g
nn
???
n
i?1i?1i?1
?
nn2
22
1
?
1
?
1
2
?
n?
1
?
1
1
?
22
?
=
0g?
?
?
g?L?
?
=
1?2?L?n?1
g
??
?3
??
n
?
n
?
n
?
n
?<
br>n
n
=
22
1
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
1
?
1
??
1
?
1?1?
=
????
3
3
?
n
??2n
?
n6
1
?
1
??
1
?
1?1?
????
3
?
n
??
2n
?<
br>从而得到
S
的近似值
S?S
n
?
(4)取极限 <
br>分别将区间
?
0,1
?
等分8,16,20,…等份(如图),可以看
到,当
n
趋向于无穷大时,即
56
1
?
1
??<
br>1
?
?x
趋向于0时,
S
n
?
?
1
?
??
1?
?
趋向于
S
,从而有
3
?<
br>n
??
2n
?
n
?
i?1
?
11<
br>?
1
??
1
?
1
教学后记
课题:
1.5.2汽车行驶的路程
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
注
知识与技能目标
了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽
车行驶路程问题的过程的共同点;感
受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(
逼近);
过程与方法
通过与求曲边梯形的面积进行类比,求汽车行驶的路程有关问
题,再一次体会
“以直代曲“的思想;
情感态度与价值观
在体会微积分思想的过程中,体会人类智慧的力量,培养世界是可知的等唯物
主义的世界观。
教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)。
教学难点:过程的理解。
教学用具: 多媒体
教学方法: 归纳 ,探究
教学过程:
1.创设情景
复习:1.连续函数的概念;
2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关
系,求物体运动速度”的
问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的
路
程呢?
2.新课讲授
问题:汽车以速度
v
组匀速直线运动时,
经过时间
t
所行驶的路程为
S?vt
.如
果汽车作变速直线运动,在
时刻
t
的速度为
v
?
t
?
??t?2
(单
位:kmh),那么它
2
在0≤
t
≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程<
br>S
(单位:km)是多少?
57
分析:与求曲边梯形面积
类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线
运动的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.
把区间
?
0,1
?
分成
n
个小区间,
在每个小区间
上,由于
v
?
t
?
的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动
,
从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得
S
(单位:km)的近<
br>似值,最后让
n
趋紧于无穷大就得到
S
(单位:km)的精确值.(思
想:用化归为
各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路
程
).
解:1.分割
在时间区间
?
0,1
?
上等间隔地插
入
n?1
个点,将区间
?
0,1
?
等分成
n
个小区间:
?
0,
?
?
1
??
12
??
n?1
?
,,1
?
,,…,
???
n
?
nnn
?
????
?
i?1i
?
,
?
(i?1,2,L,n)
,其长度为
?<
br>nn
?
记第
i
个区间为
?
?t?
?
?
ii?11
??
nnn
1
??
12
?
?
n?1
?
,,1
?
上行驶的路程分别记作: ,,…,
?
??
n
?
nnn
?
????
把汽车在时间段
?0,
?S
1
,
?S
2
,…,
?S
n
显然,
S?
?
?S
i
i?1
n
(2)近似代替
当
n
很大,即
?t
很小时,在区间
?
?
i?1i
?
,
?
上,可以认为函数
v
?
t
?
??t
2
?2
?
nn
?
的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
2
i?1
处的函<
br>n
?
i?1
??
i?1
?
数值
v
?
??
???
?2
,从物理意义上看,即使汽车在时间段
?
n
??
n
?
i?1
?
i?1i
?
,(i?1
,2,L,n)
上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻处
??
nn
n<
br>??
58
?
i?1
??
i?1
?<
br>的速度
v
?
??
???
?2
作匀速直线运动,即在局
部小范围内“以匀速代变
?
n
??
n
?
速”,于是的用小矩
形的面积
?S
i
?
近似的代替
?S
i
,即在局部范
围内“以直代取”,
则有
2
?
?
i?1
?
2?
1i?1
?
i?1
?
12
?
?
?S
i
??S
i
?
?v
??
g?t?
?
?
??
?2
?
g
??
??
g?(i?1,2,L
,n)
nnn
n
???
??
nn
??
?
?
?
2
①
(3)求和
2
n
?
i?1
?
i?1
?
12
?
??
由①,
S<
br>n
?
?
?S
i
?
?
?
v
?
?
g?t?
?
?
?
??
g?
?
i?1i?1
?
n
?
i?1
?
?
?
n?
nn
?
?
nn
=
1
?
1
?
1
?
n?1
?
1
?0g?
??
g?L?<
br>??
g?2
n
?
n
?
nn
??
n<
br>22
=
?
1
?
2
2
2
?
?
2
1?2?L?n?1
??
3
??
n
=
?
1
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
1
?
1
??
1
?
?2
?1?1?
=
????
?2
3
3
?
n
??
2n?
n6
1
?
3
?
1
??
1
?
1?
???
?2
n
??
2n
?
从而得到
S
的近似值
S?S
n
??
?
1?
(4)取极限
当
n
趋向于无穷大时,即
?t
趋向于0时,
S
n
??
?
1?
于
S
,从而有
1
?
3
?
1
??
1
?
1?
???
?2
趋向
n
??
2n
?
1
?
i?1
?
?1
?
1
??
1
?
?5
S?limS
n
?lim
?
gv
?
?lim?1?1?
?
n??
?
????
?2
?
?
n??n??
?
n
?<
br>i?1
n
?
3
?
n
??
2n
??
3
思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程
S
与由直
线
n
t?0,t?1,v?0
和曲线
v??t
2
?2
所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程
S?lim
S
n
在数据上等于由直线
n??
t?0,t?1,v?0
和曲线v??t
2
?2
所围成的曲边梯形的面积.
一般地,如果物体做变速直
线运动,速度函数为
v?v
?
t
?
,那么我们也可以采
用分
割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近
59
的思想,求出它在a≤
t
≤b内所作的位移
S
. <
br>例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力
F
?
x
?
?kx
(
k
为常数,
x
是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长
b
所作的功.
分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方
法求解.
解: 将物体用常力
F
沿力的方向移动距离
x
,则所作的功为
W?F?x
.
1.分割
在区间
?
0,b
?
上
等间隔地插入
n?1
个点,将区间
?
0,1
?
等分成
n
个小区间:
?
?
n?1
?
b
?
?<
br>b
??
b2b
?
?
0,
?
,
?
,
,…,
?
,b
?
?
n
nn
n
??
??
??
记第
i
个区间为
?
?
?
i?1
?
b
i?b
?
,
?
(i?1,2,L,n)
,其长度为
n
??n
i?b
?
i?1
?
b
b
??
nnn
?x?
?
?
把在分段
?
0,
?
?
n?1
?
b
?
b
??
b2b
?
,
,,…,
,b
?
上所作的功分别记作:
?
?
?
?
n
?
?
nn
?
?
n
?
?W
1
,
?W
2
,…,
?W
n
(2)近似代替
有条件知:
?W
i
?F
?
(3)求和
?
?
i?1
?
b
?
?
i?1
?
b
?
b
(i?1,2,L,n)
??x?k?
?
nnn
??
W
n
?
?
?W
i
?
?
k?
i?1i?1
nn
?
i?1
?
b
?<
br>b
nn
kb
2
kb
2
n
?
n?1
?
kb
2
?
1
?
0?1?2?L?
?
n?1
?
?
?
2
?
=
2
?<
br>?
1?
?
??
nn22
?
n
?<
br>kb
2
?
1
?
从而得到
W
的近似值
W?W
n
?
?
1?
?
2
?
n
?
(4)取极限
kb
2
?
1
?
kb
2
W?limW
n
?lim
?
?W
i
?lim
?
1?
?
?
n??n?
?n??
22
?
n
?
i?1
n
60
kb
2
所以得到弹簧从平衡位置拉长
b
所作的功为:
2
3.课堂小结
求汽车行驶的路程有关问题的过程.
教学后记:
课题:
1.5.3定积分的概念
第 课时 总序第
个教案
课型: 新授课 编写时时间: 年 月
日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
知识与技能目标
通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景;
能用定积分的定义求简单的定积分;
理解掌握定积分的几何意义;
过程与方法
借助于几何直观定积分的基本思想,理解定积分的概念;
情感态度与价值观
通过求曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想,类比汽车行驶的路程。
教学重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义。
教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义。
教学用具: 多媒体
教学方法:
类比,讨论
教学过程:
1.创设情景
61
复习:
1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步
骤:分割
→以直代曲→求和→取极限(逼近
2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点.
2.新课讲授
(1).定积分的概念
一般地,设函数
f(x)
在区间
[a,b]
上连续,用分点
a?x
0
?x
1
?x
2
?L?x
i?1
?xi
?L?x
n
?b
将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间,每个小区间长度为
?x
(
?x?
间
?
x
i?1
,x
i
?
上取一点
?
i
?
i?1,2,L,n
?
,作和式:
S
n
?
b?a
),在每个小区
n
n
?
i?1
n
f(
?<
br>i
)?x?
?
i?1
b?a
f(
?
i
)
n
如果
?x
无限接近于
0
(亦即
n
???
)时,上述和式
S
n
无限趋近于常数
S
,那么称该<
br>常数
S
为函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的定积分
。记为:
S?
?
b
a
f(x)dx
其中
f(x)
成为被积函数,
x
叫做积分变量,
[a,b]
为积分区间,
b
积分上限,
a
积分下
限。
说明:(1)定
积分
称为
?
b
a
f(x)dx
是一个常数,即
S<
br>n
无限趋近的常数
S
(
n???
时)
?
b<
br>a
f(x)dx
,而不是
S
n
.
(2)用定义求定积分的一般方法是:
①分割:
n
等分区间
?
a,b
?
;
②近
似代替:取点
?
i
?
?
x
i?1
,x
i<
br>?
;
③求和:
b?a
f(
?
i
)
;
?
n
i?1
n
④取极限:
?
b
a
f(x)dx?l
im
?
f
?
?
i
?
n??
i?1
n
b?a
n
t
2
t
1
(3)曲边图形面
积:
S?
变力做功
W?
?
b
a
f
?x
?
dx
;变速运动路程
S?
?
v(t)dt
;
?
b
a
F(r)dr
(2).定积分的几何意义
如果在区间
[a,b]
上函数连续且恒有
f(x)?0
,那么定积<
br>分
?
b
a
f(x)dx
表示由直线
x?a,x?b<
br>(
a?b
),
y?0
和曲线
y?f(x)
所围成的曲
边梯形的面积。
62
说明:一般情况下,定积分
?
ba
f(x)dx
的几何意义是介于
x
轴、函数
f(x)
的图形以
及直线
x?a,x?b
之间各部分面积的代数和,在
x
轴上
方的面积取正号,在
x
轴下方的
面积去负号.
分析:一般的,设被积函数
y?f(x)
,若
y?f(x)
在
[a,b]
上可取负值。
考察和式
f
?
x
1
?
?x?f
?
x
2
?
?x?L?f(x
i
)?x?L?f
?
x<
br>n
?
?x
不妨设
f(x
i
),f(xi?1
),L,f(x
n
)?0
于是和式即为
f?
x
1
?
?x?f
?
x
2
?
?x?L?f(x
i?1
)?x?{[?f(x
i
)?x]?L?[?f?
x
n
?
?x]}
?
?
f(x)d
x?
阴影
A
的面积—阴影
B
的面积(即
x
轴上方面
积减
x
轴下方的面积)
a
b
(3).定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
性质2
性质3
?
1dx?b?a
a
b
?
b
a
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
(其中k是不为0的常数)
(定积分的线性性质)
a
b
b
?
a
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
(定积分的线性性
aa
bb
bcb
质)性质4
?
f(x
)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
aac
b
(其中a?c?b)
(定积分对积分区间的可加性)
?
f(x)dx?0
推论1:
f(x)?g(x)
,?
f(x)dx?
?
g(x)dx
?
a?b
?
a
bb
aa
性质5 若f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
推论2:
?
b
a
f(x)dx?
?
g(x)dx
?
a?b
?
a
b
b
性质6设
M
,m
为
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值、最小值
,则
性质7(中值定理)若
f(x)?
?
a,b
?
,则至
少有一
?
?
?
a,b
?
,使
m(b?a)?
?
f(x)dx?M(b?a)
a
?
b
a
f(
x)dx?f(
?
)(b?a)
.
证:由性质6知,
m?
1
b
f(x)dx?M
,依介值定理,必有
?
?
?
a,b
?
,
?
a
b?a
b
1
b
使
f(x)dx?f(
?
)
,即
?
f(x)dx?f(?
)(b?a)
。
a
b?a
?
a
说明: <
br>①推广:
[f
1
(x)?f
2
(x)?L?f
m(x)]dx?
a
?
a
b
?
b
a
f<
br>1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?L?
?
f
m
(x)
aa
bb
②推广:
?
b
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?L?
?
f(x)dx
ac
1
c
k
c
1
c
2
b
③性质解释:
63
y
性质4
性质1
y=1<
br>M
Oa
P
y
A
C
B
O
a
b
x
N
b
x
例1.计算定
积分
S
曲边梯形AMNB
?S
曲边梯形AMPC
?S
曲边梯
形CPNB
2
?
1
(x?1)dx
分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为
即:
5
。
2
y
?
2
1
(x?1)dx?
5
2
思考:若改为计算定积分
呢?
?
2
?2
(x?
1)dx
改变了积分上、下限,被积函数在
[?2,2]
上
出现了负值如何解
决呢?(后面解决的问
题)
练习
计算下列定积分
1.
o
1 2
x
?
?
5
0
(2x?4)dx
5
0
解:
2.
?
1
(2x?4)dx?9?4?5
xdx
?1
解:
?
1
?111
xdx??1?1??1?1?1
22
2
2
例2
.计算由两条抛物线
y?x
和
y?x
所围成的图形的面积.
【分析
】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两
条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
y
?x
?
?
y?x
?x?0及x?1
,所以两曲线的交点为解:
?
2
?
?
y?x
(0,0)、(1,1),面积S=
?<
br>?
1
0
xdx?
?
x
2
dx
,所以
0
1
C
y?x
D
A
O
2
B
64
?
2
3
x
3
?
1
2
2
S=
?
(x-x)dx
?
?
x?
?
=
3
0
3
?
0<
br>?
3
1
1
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤:
1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习
计算由曲线
y?x?6x
和
y?x
所围成的图形的面积.
32
3.课堂小结
定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义.
教学后记:
课题:
1.6微积分基本定理
第 课时 总序第
个教
案
课型: 新授课 编写时时间: 年
月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标: 批
知识与技能目标
注
通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-
莱布尼兹公式求简单的
定积分;
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法;
情感态度与价值观
通过
微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培
养学生辩证唯物主义观点,提
高理性思维能力。
教学重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微
65
积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点:了解微积分基本定理的含义。
教学用具: 多媒体
教学方法: 探究
教学过程:
1、复习:
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定
积分的一般方法。我们必
须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)
(
v(t)?o
),
则物体在时间间隔
[T
1
,T
2
]
内经过的路程可用速度函数表示为
?
T
2
T
1
v(t)dt
。
另一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t)在
[T<
br>1
,T
2
]
上的增量
S(T
1
)?S(T<
br>2
)
来表达,即
?
T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1
)?S(T
2)
而
S
?
(t)?v(t)
。
对
于一般函数
f(x)
,设
F
?
(x)?f(x)
,是否也有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
若上式成立,
我们就找到了用
f(x)
的原函数(即满足
F
?
(x)?f(x)<
br>)的数
值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[
a,b]
上的定积分的方法。
注:1:定理 如果函数
F(x)
是
[a,b]
上的连续函数
f(x)
的任意一个原函
数,则
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
证明:因为<
br>?(x)
=
?
x
a
f(t)dt
与
F(x)
都是
f(x)
的原函数,故
F(x)
-
?(x)
=C(
a?x?b
)
其中C为某一常数。
令
x?a
得
F(a)
-
?(
a)
=C,且
?(a)
=
?
a
a
f(t)dt=0
即有C=
F(a)
,故
F(x)
=
?(x)+
F(a)
66
?
?(x)=
F(x)
-
F(a)
=
?
f(t)dt
<
br>a
x
令
x?b
,有
?
b
a
f(x)
dx?F(b)?F(a)
b
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便
起见,还常用
F(x)|
a
表示
F(b)?F(a)
,即
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a
)
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函
数定
积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与
积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也
提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定
了基础。因此它在教材中处
于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的
发
展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1.计算下列定积分:
3
11
; (2)
dx(2x?)dx
。
2
?
1
x
?
1
x
2
11
'2
解:(1
)因为
(lnx)?
,所以
?
dx?lnx|
1
?ln2?
ln1?ln2
。
1
xx
1
'
1
2'
(
2))因为
(x)?2x,()??
2
,
xx
(1)
2<
br>所以
33
111
3
122
23
。
)dx?
2xdx?dx?x|?|?(9?1)?(?1)?
11
22
??
11xxx33
?
3
1
(2x?
练习:计算
解:由于
?
1
0
x
2
dx
1
3
x是
x
2
的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
3
1<
br>1
31
1
3
1
3
1
2
?
xdx
=
x|
0
=
?1??0
=
0
333
3
例2.计算下列定积分:
?
?
0sinxdx,
?
sinxdx,
?
sinxdx
。
?
0
'
2
?
2
?
由计算结果你能发现什么结论?试
利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解:因为
(?cosx)?sinx
,
所以
?
sinxdx?(?cosx)|?(?cos
?
)?(?
cos0)?2
,
?
?
sinxdx?(?cosx)|
?
?(?cos2
?
)?(?cos
?
)??2
,
??
?
?
sinxdx?(?cosx)|?(?cos2
?
)?
(?cos0)?0
.
?
0
0
2
2
2
0
2
0
?
?
可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能
是0:
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图1.6一3 )
,定积分的值取正
值,且等于曲边梯形的面积;
67
图1 . 6
一 3 ( 2 )
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 )
,定积分的值取
负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;
( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x
轴下方的曲边梯形面积
时,定积分的值为0(图 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x
轴上方的曲边梯形面积
减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.
例3.汽车以每小时32公
里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等
减速度
a
=1.8米秒
2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时
间。当t=0时,汽车速度
32?1000
米秒
?
8.88米秒,刹车后汽车
减速行驶,其速度为
3600
v(t)=v
0
?at=8.88-1.8t<
br>当汽车停住时,速度
v(t)=0
,故从
v(t)=8.88-1.8t=0<
br>解得
8.88
t=?4.93
秒
1.8
v
0
=32公里小时=
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
s?
?
4.9
3
0
v(t)dt?
?
4.93
0
1
(8.88?
1.8t)dt
=
(8.88?1.8?t
2
)
2
0
4.93
?21.90
米,即
在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
3.课堂小结
:
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下
的牛顿-莱布尼兹公
式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,
得到了一种求定积分的简便方法,运用这
种方法的关键是找到被积函数的原函
数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练,希望,不明白的同
学,回头来
多复习!
教学后记:
68
课题:
1.7定积分的简单应用(1)
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的注
思想方法;
2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;
3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法;
体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功)。
教学重点:曲边梯形面积的求法。
教学难点:定积分求体积以及在物理中应用
。
教学用具: 多媒体
教学方法: 分析,探究
教学过程:
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么?
2、定积分的几何意义是什么?
3、微积分基本定理是什么?
2、定积分的应用
(一)利用定积分求平面图形的面积
2
例1.计算由两条抛物线
y?x和
y?x
所围成的图形的面积.
2
【分析】两条抛物线所围成的图形的
面积,可以由以两条曲线所对应的曲边
梯形的面积的差得到。
?
?
y?x<
br>?x?0及x?1
,所以两曲线的交点解:
?
2
?
?
y?x
为(0,0)、(1,1),面积S=
?
1
?
1
0<
br>xdx?
?
x
2
dx
,所
0
1
y?
x
?
2
3
x
3
?
1
2
2
以
S=
?
(x-x)dx
?
?
x?
?
=
0
3
?
0
3
?
3
1
【点评】在直
角坐标系下平面图形的面积的四个步
骤:
1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定
积分。
巩固练习
计算由曲线
y?x?6x
和
y?x
所围成的图形的面积.
例2.计算由直线
y?x?4
,曲线
y?
32
C
y?x
D
A
O
2
B
2x
以及x轴所围图形的面积S.
分析:首先画出草图(图1.7 一2 )
,并设法把所求图形的面积问题转化为
求曲边梯形的面积问题.与例 1
不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分
69
S
1
和S
2
.为了确定出被积函数和积分的上、下限,需要求出直线
y?x?4
与曲线
y?2x
的交点的横坐标,直线
y?x?4
与 x 轴的交点.
解:作出直线
y?x?4
,曲线
y?
影部分的面积.
解方程组
?
(8,4) .
直线
y?x?4
与x轴的交点为(4,0).
因此,所求图形的面积为S=S
1
+S
2
2x
的草图,所求面积为图1. 7一2 阴
?
y?2x,
?
得直线
y?x?4
与曲线
y?2x
的交点的坐标为
?
?<
br>y?x?4
?
?
4
0
2xdx?[
?
84
2xdx?
?
(x?4)dx]
4
8
22
3
22
3
140
28
2
4
?x|
0
?x
2
|
8
(x?4)|?
.
44
3
323
由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出
它的草图,再
借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.
例3.求曲线
y?sinx x?[0,
形面积。
答案:
S=
练习
1、求直线
y?2x?3
与抛物线
y?x
2
所围成的图形面积。
2
?
2
?
]
与直线x?0,x?,
x
轴所围成的图
3
3
?
2
?<
br>3
0
sinxdx??cos
2
?
x|
o
3
?
3
2
x
3
3
32
答案:
S=(
2x+3-x)dx?(x?3x?)|
?1
?
?1
33
?
3
22
y
2、求由抛物线
y??x
2
?4x?3
及其在点M(0,-3)
70
o
y=
-
x
2
+4x-3
x
和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。
略解:
?y
??2x?4
,切线方程分别为
y?4x?3
、
y??2x?6
,则所求图形的面积为
S=
?
3
2
[(4x
0
?3)?(?x?4x?3)]dx?
2
?
2
3
[(?2x?6)?(?x?4x?3)]dx=
2
3
9
4
3、求曲线
y?log
2
x
与曲线
y?lo
g
2
(4?x)
以及
x
轴所围成的图形面积。
略解:所求图形的面积为
S=【g(y)?f(y)dy?
0
?
1
?
1
0
(4?2?2
y
)dy
?(4y?2?2
y
log
2
e)|
1
0
?4?2log
2
e
4、在曲线
y?x(x?0)
上的某点A处作一切线
使之与曲线以及
x
轴所围成
的面积为
2
1
.试求:切点A的
坐标以及切线方程.
12
2
x
y=x
2
A
(x
0
,x
0
)
,则切线方程 略解:如图由
题可设切点坐标为
为
y?2x
0
x?x
0
,切线与
x
轴的交点坐标为
2
O
B C
可知有
x
(
x
0
,0)
2
2
,则
2
由题
S?
?
x
0
2
0
x
0
3
1
xdx?
x
0
(x?2x
0
x?x
0
)d
x??
1212
2
?
x
0
2
?x
0
?1
,所以切点坐标与切线方程分别为
A(1,1),y?2x?1
<
br>总结:1、定积分的几何意义是:
在区间[a,b]上的曲线y?f(x)与直线x?a
、
x?b以及x
轴所围成的图形的面积
的代数和,即
?
f(x)dx
?S
a
b
x轴上方
-S
x轴下方
.
因此求一些曲
边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基
本定理,但要特别注意图形面积与定积分不一定
相等,如函数
y?sinx x?[0,2
?
]
的图像与
x
轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤:
71
(1) 画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;
(2)
对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限;
(3) 确定被积函数;
(4) 求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
(1)
x
型区域:
①
由一条曲线
y?f(x)(其中f(x)?0
与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
)
x
轴所围成的曲边梯形的面积:
S=f(x)dx
(如图(
1));
a
?
b
②由一条曲线
y?f(x)(其中f(x)?0<
br>与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
)
x
轴所围成的曲边梯
形的面积:
S=f(x)dx=-f(x)dx
(如图(2));
aa
?
b
?
b
③由两条曲线
y?f(x
),y?g(x)(其中f(x)?g(x))
与直线
x?a,x?b(a?b)
y
y
y
y?f(x)
y?f(x)
a b
x
y?g(x)
a
b x
y?f(x)
a
图(1) 图(2)
图(3)
所围成的曲边梯形的面积:
S=|f(x)-g(x)|dx
(如图(3));
a
b
x
?
b
(2)
y
型区域:
①由一条曲线
y?f(x)(其中x?0
与直线
y?a,y?b(a?b)
以及
y
轴
)
所围成的曲
边梯形的面积,可由
y?f(x)
得
x?h(y)
,然后利用
S=h
(y)dy
求出(如图(4));
a
?
b
)
②由一条曲线
y?f(x)(其中x?0
与直线
y?a,y?b(a?b)
以及
y
轴
所围成的曲边梯形的面积,可由
y?f(x)
先求出
x?h(y)
,然后利用
);
S=h(y)dy=-h(y)dy
求出(如图(5)<
br>aa
?
b
?
b
③由两条曲线
y?f(x)
,y?g(x)
与直线
y?a,y?b(a?b)
所围成的
曲边梯形的面积,
可由
y?f(x),y?g(x)
先分别求出
x?h
1
(y)
,
72
y
b
y
b
y
b
);
x?h
2
(y)
,然后利用
S=|h
1
(y)-h
2
(y)|dy
求出(如图(6)
a
?
b
图(4)
图(5) 图(6)
2.求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为
y?f(x)(a?x?b)
,函
数
f(x)
在区间
[a,b]
上可导,
且
f(x)
连续,则曲线AB的弧长为
'
l?
?
b
a
1?[f
'
(x)]
2
dx
.
3.求旋转体的体积和侧面积
由曲线
y?f(x)
,直线
x?a,x?b
及
x
轴
所围成的曲边
梯形绕
x
轴旋转而成的旋转体体积为
V?
?
?
[f(x)]dx
.
a
b
2
其侧面积为
S
侧
?2
?
?
f(x)1?[f
'
(x)]
2
dx
.
a
b
四:课堂小结
本节课主要学习了利用定积分求一
些曲边图形的面积与体积,即定积分在
几何中应用,以及定积分在物理学中的应用,要掌握几种常见图形
面积的求法,
并且要注意定积分的几何意义,不能等同于图形的面积,要注意微积分的基本思
想
的应用与理解。
教学后记:
73
课题:
1.7定积分的简单应用(2)
第 课时
总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的注
思想方法;
2.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;
3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法;
体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功)。
教学重点:曲边梯形面积的求法。
教学难点:定积分求体积以及在物理中应用
。
教学用具: 多媒体
教学方法: 分析,探究
教学过程:
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么?
2、定积分的几何意义是什么?
3、微积分基本定理是什么?
2、定积分的应用
(一)、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道,作
所经过的路程s,
(t) (
v(t) ≥0)
的定积分,即
变速直线运动的物体
等于其速度函数v=v
在时间区间[a,b]上
b
s?
?
v(t)dt
a
例 1。一辆汽
如图1.7 一3 所
74
车的速度一时间曲线
示.求汽车在这1 min
行驶的路程.
解:由速度一时间曲线可知:
?
3t,0?t?10,
?
v(t)
?
?
30,10?t?40
?
?1.5t?90,40?t?60.
?
因此汽车在这 1 min
行驶的路程是:
s?
?
3tdt?[
?
30dt?
?(?1.5t?90)dt
01040
104060
33
24
0
?t
2
|
10
?30t|?(?t?90t)|
6001040
?1350(m)
24
答:汽车在这 1 min
行驶的路程是 1350m .
(2).变力作功
一物体在恒力F(单位:N)
的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相
同的方向移(单位:m),则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x)
相
同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一
样,可以用“四步曲”解决变力作功问题.可以得
到
W?
?
F(x)dx
a
b
例2.如图1·7一4 ,在弹性限度内,将一弹簧
从平衡位置拉到离平衡位置lm
处,求克服弹力所作的
功.
解:在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力
F
( x )与弹簧拉伸(或压缩)的长度 x 成正比,即
F ( x )= kx ,
其中常数 k 是比例系数.
由变力作功公式,得到
W?
?<
br>kxdx?
0
l
1
2l
1
2
x|
0
?kl(J)
22
75
答:克服弹力所作的功为
1
2
klJ
.
2
例3.A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站B开往站,电车开出ts后<
br>到达途中C点,这一段的速度为1.2t(ms),到C点的速度为24ms,从C点
到B点前的
D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)
ms,在B点恰好停车,试求
(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的
时间。 分析:作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时
间区间[a,b]上的定积分,即
S=v(t)dt
a
?
b
略解:(1)设A到C的时间为t
1
则1.2t=24, t
1
=20(s
),则AC=
?
20
0
20
1.2tdt?0.6t
2|
0
?240(m)
(2)设D到B的时间为t
21
则24-1.2t
2
=0,
t
21
=20(s),
则DB=
?
(24-1.2t)dt?0.
6t
0
20
220
|
0
?240(m)
(3)CD=7200-2
?
240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则
所求时间
为20+280+20=320(s)
例4:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功( A )
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D
0.28J
略解:设
F?kx
,则由题可得
k?0.01
,所以做
功就是求定积分
?
0.01xdx?0.18
。
0
6
练习:
四:课堂小结
本节
课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积,即定积分
在几何中应用,以及定积分在物理学中
的应用,要掌握几种常见图形面积的求
法,并且要注意定积分的几何意义,不能等同于图形的面积,要注
意微积分的
基本思想的应用与理解。
教学后记:
76
第二章 推理与证明
课题:
归纳推理
第
课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
知识与技能
掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。
过程与方法
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
情感态度与价值观
感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美感。
教学重点:归纳推理及方法的总结。
教学难点:归纳推理的含义及其具体应用。
教学用具: 多媒体
教学方法: 归纳,合作与探究
教学过程:
一.问题情境
(1)原理初探
77
①引入:“阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球!”
②提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在?
③探究:他是怎么发现“杠杆原理”的?
从而引入两则小典故:(图片展示-
阿基米德的灵感)
A:一个小孩,为何轻轻松松就能提起一大桶水?
B:修筑河堤时,奴隶们是怎样搬运巨石的?
正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发
现了伟大的“杠杆原理”。
④思考:整个过程对你有什么启发?
⑤启发:在教师的引导下归纳出:“科学离不开生活,离不开观察,也
离不开猜想和证明”。
归纳推理的发展过程
观察 猜想 证明
(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹,接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,
生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教学中发
现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+
3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家
欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a)
任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇质数
之和。 (b)
任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正
确的,但他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证
明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今,许多数学家都不断
努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 +
7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =
5 + 13, . . . .
等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想
(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此,这道著名的数学难题引起了
世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成
为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。
<
br>1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比大的
。这种缩
小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)
偶数都可以表示为(99)
开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为
止,这样就证明了“哥德巴赫”。
思考:其他偶数是否也有类似的规律?
③讨论:组织学生进行交流、探讨。
④检验:2和4可以吗?为什么不行?
⑤归纳:通过刚才的探究,由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构
78
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归
纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤:
4.师生活动
例1 前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,
蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
00
例2 前提:三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸
0五边形的内角和是540,……
0
结论:凸n 边形的内角和是(n—2)×180。
例3
探究:上述结论都成立吗?
强调:归纳推理的结果不一定成立! —— “ 一切皆有可能!”
5.提高巩固
22?122?222?3
?,?,?,?
33?
133?233?3
bb+m
由此我们猜想:?(a,b,m均为正实数)。
aa+m
?
a
n
?
的第一项a
1
?1,且a
n?1
?例4:已知数列
数列的通项公式。
a
n
(n?1,2,.....
.),试归纳出这个
1?a
n
①探索:先让学生独立进行思考。
②活动:“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动:“圆桌会议” —
鼓励其他同学给予评价,对在哪里?错在
哪里?还有没有更好的方法?
【设计意图】:提供一个舞台, 让学生展示自己的才华,这将极大地调
动学生的积极性,增强
学生的荣誉感,培养学生独立分析问题和解决
问题的能力,体现了“自主探究”,同时,也锻炼了学生敢
想、敢说、
敢做的能力。
【一点心得】:在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中,教师
79
<
br>一定要以“鼓励和表扬”为主,面带微笑,消除学生的恐惧感,提高
学生的自信心.
⑵能力培养(例2拓展)
例4拓展:a
1
?2,a
2
?1
,a
3
?
21
,a
4
?,求a
n
??
32
①思考:怎么求
a
n
?组织学生进行探究,寻找规律。
②归纳:由学生讨论,归纳技巧,得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找
另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)
归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通
常归纳的个
体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它
是一种发现一般
性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤:
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推
出一个明确表述的一般命题(猜想)
证明
教学后记:
课题:类比推理
第 课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
知识与技能
通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于
对问
题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类
比的性质相
似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可
靠。
过程与方法
正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分
析问题、
发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。
情感态度与价值观
80
认识数学在日常生产生活中的重要作用,培
养学生学数学,用数学,完善数学的正
确数学意识。
教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。
教学难点:用类比进行推理,做出猜想。
教学用具: 多媒体
教学方法:
类比,探求
教学过程:
一.问题情境
从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(
后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)
一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他
发明了锯子.
他的思路是这样的:
茅草是齿形的;
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具;
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗?
二.数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质:
猜想不等式的性质:
(1) a=b?a+c=b+c; (1)
a>b?a+c>b+c;
(2) a=b? ac=bc;
(2) a>b? ac>bc;
2222
(3) a=b?a=b;等等。
(3) a>b?a>b;等等。
问:这样猜想出的结论是否一定正确?
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中点
的连线垂直于弦
与圆心距离相等的两弦相
等;与圆心距离不等的两弦
不等,距圆心较近的弦较长
圆的切线垂直于过切点的半
径;经过圆心且垂直于切线
81
球的性质
球心与截面圆(不是大圆)
的圆点的连线垂直于截面
圆
与球心距离相等的两
截面
圆相等;与球心距离不等的
两截面圆不等,距球心较近
的截面圆较大
球的切面垂直于过切点的
半径;经过球心且垂直于切
的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直
线必经过圆心
面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切面的
直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个
(两类)对象之间在某些方面的相似
或相同,推演出他们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某
些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理
(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
⑴
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜
想;
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
例3.在平面上,设h
a
,h
b
,h
c
是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内
任一点,P到相应三边的距离分别为p
a
,p
b
,p
c
,
我们可以得到结论:
p
a
p
b
p
c
???1
h
a
h
b
h
c
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1.(2
001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式
减去②式可得上
述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的
情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而
已知命题应成为
所推广命题的一个特例,推广的命题为
------------------
-----------
----------------------------------
-------------------------
---------------------
-----------------------------------
2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想.
82
直角三角形
∠C=90°
3个边的长度a,b,
c
2条直角边a,b和
1条斜边c
3个面两两垂直的四面
体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=
90°
4个面的面积S1,S2,S3
和S
3个“直角面”
S1,S2,
S3和1个“斜面” S
3.(2004,北京)定义“等和数列”
:在一个数列中,如果每一项与它
的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常<
br>数叫做该数列的公和。
已知数列
{a
n
}
是等和数
列,且
a
1
?2
,公和为5,那么
a
18
的值为______________,这个数列的前n项和
S
n
的计算公式为
________________
课堂小结
1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是
寻找事物之间的共同或相似性
质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就
越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
2. 类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题
(猜想)
教学后记:
83
课题:演绎推理
第 课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
1. 了解演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点:正确地运用演绎推理
进行简单的推理。
教学难点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学用具:
多媒体
教学方法: 归纳,总结
教学过程:
一.复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出
猜想
二.问题情境。
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以,铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数,
所以, (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan
?
是三角函数,
所以,tan
?
是 周期函数。
提出问题
:像这样的推理是合情推理吗?
二.学生活动 :
1.所有的金属都能导电
←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以,铜能够导电
←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)是奇数,←――小前提
所以, (2100+1)不能被2整除.
←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan
?
是三角函数, ←――小前提
所以,tan
?
是
周期函数。←――结论
三,建构数学
演绎推理的定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结
论,这种推理称为演绎推理.
1.演绎推理是由一般到特殊的推理;
84
2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包括
⑴大前提---
已知的一般原理;
⑵小前提---所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
三段论的基本格式
M—P(M是P) (大前提)
S—M(S是M) (小前提)
S—P(S是P) (结论)
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元
素也都具有性质P.
四,数学运用
例1、把“函数y?x
2
?x?1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。
解:二次函数的图象是一条抛物线 (大前提)
函数y?x
2
?x?1是二次函数(小前提)
所以,函数y?x
2
?x?1的图象是一条抛物线(结论)
例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 (1)
lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(ab)=lga-
lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(810)——-小前提
lg0.8=lg(810)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,
BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解:
(1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为
DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM=
1
AB——结论
2
同理 EM= AB
所以 DM=EM.
练习:第81页 练习第
1,2,3,题
五 回顾小结:
演绎推理具有如下特点:课本第79页 。
演绎推理错误的主要原因是
1.大前提不成立;2, 小前提不符合大前提的条件。
作业:第84页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。
教学后记:
85
课题:推理案例赏识
第
课时 总序第 个教
案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。
2.
能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。
3.
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学难点:了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。
教学用具: 多媒体
教学方法: 探究
教学过程:
2 复习 合情推理和演绎推理的过程
3 案例:
例一 正整数平方和公式的推导。
提出问题
我们知道,前n个正整数的和为
1
S
1
(n)=1+2+3+…….+n=
2
n(n+i) ①
那么,前n 个正整数的平方和 <
br>S
2
(n)=
1
2
?2
2
?3
2<
br>?........?n
2
=? ②
三,数学活动
思路1
(归纳的方案) 参照课本 第36页 -37页 三表 猜想
n(n?1)(2n?1)
S
2
(n)=
6
思考
:上面的数学活动是由哪些环节构成的?
在这个过程中提出了哪些猜想?
提出猜想时使用了哪些推理方法?
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?
思路2 (演绎的方案)
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。
2
把正整数的平方和表示出来,参照课本棣37页
左右两边分别相加,等号两边的
S
2
(n)被消去了,所以无法从
86
批
注
中求出
S
2
(n)的值,尝试失败了。
(2)从失败中吸取有用信息,进行新的尝试
(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两
边相加,
终于导出了公式。
思考: 上面的数学活动是由哪些环节构成的?
在这个过程中提出了哪些猜想?
提出猜想时使用了哪些推理方法?
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。
四,数学理论:
上面的案例说明: <
br>(1)数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提
出猜想验证猜想的过程,合情推理和
论证推理相辅相
成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。
(2)合情推理是富于创造性的
或然推理,在数学发现活动中,
它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现
结论,提
供思路的作用。
(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理,在数学发现活
动中,它具有类
似于“实验”的功能,它不仅为合情推
理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,
从
而为调控探索活动提供依据。
五,巩固练习:
棱台体积公式的探求
通过阅读或
查资料,寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学
活动中的作用的案例,并回答问题:
1
。案例中的数学活动是由哪些环节构成的?
2 。在上这个过程中提出了哪些猜想?
3 ,
提出猜想时使用了哪些推理方法?
4, 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?
六,教学小结:
(1)数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提
出猜想
验证猜想的过程,合情推理和论证推理相辅相
成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。
(
2)合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,
它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出
猜想、发现
结论,提供思路的作用。
(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理,在数学发
现活
动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推
理提供了前提,而且可以对猜想作出
“判决”和证明,
从而为调控探索活动提供依据。
七,作业:
87
教学后记:
课题:
直接证明--综合法与分析法
第 课时
总序第
个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
知识与技能:
结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;注
了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法:
多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的
分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点。
教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点。
教学用具: 多媒体
教学方法:分析法和综合法的思考过程、特点.
“变形”是解题的关键,是最重一
步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
教学过程:
学生探究过程:证明的方法
(1)、分析法和综合法是思维方向相反的
两种思考方法。在数学解题中,分析
法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最
后达到题设的
已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到
待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为
由果导因,它们是寻求
解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。
3322
(2)、例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a+b>ab+ab.
证明:(用分析法思路书写)
3322
要证 a+b>ab+ab成立,
22
只需证(a+b)(a-ab+b)>ab(a+b)成立,
22
即需证a-ab+b>ab成立。(∵a+b>0)
22
只需证a-2ab+b>0成立,
2
即需证(a-b)>0成立。
2
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)>0显然成立,由此
88
命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证
例2、若实数
x?1
,求证:
3(1?x?x)?(1?x?x).
证明:采用差值比较法:
2422
3(1?x
2
?x
4<
br>)?(1?x?x
2
)
2
=
3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x
22
43
2(x?1)(x?x?1)
2(x?x?x?1)
= =
242423
13
2(x?1)2
[(x?)
2
?].
24
=
13
?x?1
,从而(x?1)
2
?0,且(x?)
2
??0,
24
<
br>13
2(x?1)
2
[(x?)
2
?]?0,
242
2
3(1?x?x)?(1?x?x).
24
∴ ∴
?
a
,b?R,
求证
a
a
b
b
?a
b
b
a
.
例3、已知
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1)
差值比较法:注意到要证的不等式关于
a,b
对称,不妨设
a?b?0.
<
br>?a?b?0
?a
a
b
b
?a
b
b
a
?a
b
b
b
(a
a?b
?b
a?b)?0
,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设
a?b?0,
a
a
b
b
a
a
??1,a?b?0,
?
ba
?()
a?b
?1.
b
b
ab
故原不等式得证。
注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比
较法证明不
等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
讨论:若题设中去掉
x?1
这一限制条件,要求证的结论如何变换?
巩固练习:第89页练习1 , 2 , 3
课后作业:第91页 1,2
教学反思:本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.
“变形”是解题
89
的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方
和等是“变形”的常用
方法。
教学后记:
课题:
间接证明--反证法
第
课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法─注
─反证法;了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法:
多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他
们的分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
教学重点:了解反证法的思考过程、特点。
教学难点:反证法的思考过程、特点。
教学用具: 多媒体
教学方法:利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所
推出
的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛
盾等各种情况
。
教学过程:
(1)、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一
个与命题的结论相反的假设,
然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设
,
达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只
有一种)与穷举
反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步
骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬
;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为
否定的表
述形式是有必要的,例如:是不是;存在不存在;平行于不平行于;垂直
于不垂直于;
等于不等于;大(小)于不大(小)于;都是不都是;至少有
一个一个也没有;至少有n个至多有(n一
1)个;至多有一个至少有两个;
唯一至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛
盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,
否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导
出的矛盾有如下几
90
种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理
、公式矛盾;与反设
矛盾;自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证:
2
不是有理数
nn
a?b
(
n?Na?b?0
例2、已知,求证:且
n?1
)
例3、设
a?b?2
,求证
a?b?2.
证明:假设
a?b?2
,则有
a?2?b
,从而
33
a
3
?8?12b?6b
2
?b
3
,
a
3
?b
3
?6b
2
?12b?8?6(b?1)
2
?2.
2
6(b?1)?2?2
,所以
a3
?b
3
?2
,这与题设条件 因为
a
3
?b
3
?2
矛盾,所以,原不等式
a?b?2
成立。
2
f(x)?x?px?q
,求证:例4、设二次函数
1
f(1),
f(2),f(3)
中至少有一个不小于
2
.
1
f(1),f(2),f(3)
证明:假设都小于
2
,则
f(1)?2f(2)?f(3)?2.
(1)
另一方面,由绝对值不等式的性质,有
91
f(1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q)?(9?3p?q)?2
(2)
(1)、(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。
注意:诸如本例中的问题,当要
证明几个代数式中,至少有一个满足某个不
等式时,通常采用反证法进行。
议一议
:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常
是指所推出的结果与已知公理、定义
、定理或已知条件、已证不等式,以及
与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手
段、方法
有什么特点?
例5、设0 < a, b, c < 1,求证:(1
? a)b, (1 ? b)c, (1 ?
c)a,不可能
1
同时大于
4
。
111
证:设(1 ?
a)b >
4
, (1 ? b)c >
4
, (1 ? c)a
>
4
,
1
则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ?
b)c?(1 ? c)a <
64
①
又∵0 < a, b, c
< 1
2
1
?
(1?a)?a
?
0?(1?a)a
?
?
?
?
24
??
∴
(1?b)b?<
br>同理:
11
(1?c)c?
4
,
4
以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1
1
?
c)c≤
64
与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a +
b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,
求证:a, b, c
> 0
证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a
+ b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca
= a(b + c) + bc < 0 与
题设矛盾
又:若a =
0,则与abc > 0矛盾, ∴
必有a > 0
92
同理可证:b > 0, c > 0
巩固练习:第91页练习1,2
课后作业:第91页 4
教学后记:
课题:数学归纳法(1)
第
课时 总序第 个教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月 日
教学目标: 批注
1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题的方法。
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点:掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
教学难点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学用具: 多媒体
教学方法: 归纳
教学过程:
【创设情境】
1.华罗庚的“摸球实验”。
2.“多米诺骨牌实验”。
问题:如何保证所摸的球都是红球?多米诺骨牌全部倒下?处了利用完全归纳
法全部枚举之外,是否还有其
它方法?
数学归纳法:数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它
将一
个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理自然数问题的有力工具。
93
【探索研究】
1.
数学归纳法的本质:
无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)
2.
数学归纳法公理:
(1)(递推奠基):当n取第一个值n
0
结论正确;
*
(2)(
递推归纳):假设当n=k(k∈N,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。
【例题评析】
例1:
以知数列{a
n
}的公差为d,求证:
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
说明:
①归纳证明时,利用归纳假设创造递推条件,寻求f(k+1)
与f(k)的递推关系,是解题的关键
。
②数学归纳法证明的基本形式;
(1)(递推奠基):当n取第一个值n
0
结论正确;
*
(2)(
递推归纳):假设当n=k(k∈N,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。
练习:用数学归纳法证明
1?4?2?7?3?10???n(3n?1)?n(n?1)
2
例2:
用数学归纳法证明
111
??????1
(n∈N,n≥2)
n?1n?23n?1
说明:
注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
EX:1.
用数学归纳法
11111111
明:
1???
?L?
????L?
2342n?12nn?1n?22n
(1)当n=1
时,左边有_____项,右边有_____项;
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项;
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项;
(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?
证
变题:
用数学归纳法证明
例3:
设f(n)=1+<
br>111
?????
,求证n+f(1)+f(2)+…
23n
111<
br>?
2
????
n
?1
(n∈N
+
)
222
94
f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)
说明:
注意分析f(k)和f(k+1)的关系。
【课堂小结】
1.
数学归纳法公理:
(1)(递推奠基):当n取第一个值n
0
结论正确;
*
(2)(
递推归纳):假设当n=k(k∈N,且k≥n
0
)时结论正确;(归
纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正
确。
2.
注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递
推条件,寻
求f(k+1)与f(k)的递推关系.
【反馈练习】
1.用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A n=1
B n=2 C n=3 D n=4
k3
2.
用数学归纳法
证明
1?
111
??L?
n
?n
?
n?N且n?1
?
第二步证明从“k到
23
2
?1
k+1”,左端增加的项
数是( )
A.
2
k
?1
B
2
?1
C
2
D
2
k
k
k?1
11113
?????
n?1n?22n24
11713
证明 (1)当n=2时,
???
2?12?21224
11113
(2)假设当n=k时成立,即 <
br>?????
k?1k?22k24
1111111
则当n?k?1时,????
????
k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1
131111311
???
????
242k?12k?2k?1242k?12k?2
13113
???
242(2k?1)(k?1)24
3.若n为大于1的自然数,求证
4.<
br>用数学归纳法证明
?
n?1
??
n?2
?
LL
?
n?n
?
?2
n
?1?3?LL?
?
2n?1
?
,
?
n?N
?
?
95
【课外作业】
教学后记:
课题:数学归纳法(2)
第 课时 总序第 个
教案
课型: 新授课
编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年 月
日
教学目标:
批
注
1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般
步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简单的
数学命题。
3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点:归纳→猜想→证明。
教学用具: 多媒体
96
教学方法:归纳→猜想→证明
教学过程:
【创设情境】
问题1:
数学归纳法的基本思想?
以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷归纳(完全归纳)
的过程,转化为一个有限步骤的演
绎过程。(递推关系)
问题2:
数学归纳法证明命题的步骤?
(1)递推奠基:当n取第一个值n
0
结论正确;
*
(2)递推归
纳:假设当n=k(k∈N,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证
明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,
主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式;数
的整除性、几
何问题;探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
7
n
?1
能被9
问题:
用数学归纳法证明:
(3n?1)
g
整除。
法一:配凑递推假设:
法二:计算f(k+1)-f(k),避免配凑。
说明:
①归纳证明时,利用归纳假设创造条件,是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1:
求证:
a
n?1
?(a?1)
2n?1
能
被
a
2
?a?1
整除(n∈N
+
)。
例2:
数列{a
n
}中,
a
n?1
?a
n
,a
1
=1
且
(an?1
?a
n
)
2
?2(a
n
?a
n
?1
)?1?0
(1)求
a
2
,a
3
,a
4
的值;
(2)猜想{a
n
}的通项公式,并证明你的猜想。
97
说明:
用数学归纳法证明问题的常用方法:归纳→猜想→证明
变题:
设数列{a
n
}满足
a
n?1
?a
n
2
?na
n
?1
,n∈
N,
(1)
当a
1
=2时,求
a
2
,a
3
,a
4,并猜想{a
n
}的一个通项公式;
(2)当a
1
≥3时,证明对所有的n≥1,有
①a
n
≥n+2
②
+
1111
??ggg?
1?a
1
1?a
2
1?a
n
2
例3:
平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条直线不共点,
问
:这n条直线将平面分成多少部分?
变题:
平面
内有n个圆,其中每两个圆都相交与两点,且每三个圆都不相
交于同一点,求证:这n个圆把平面分成n
+n+2个部分。
2
例4:
设函数f(
x)是满足不等式
log
2
x?log
2
(3g2
k?1<
br>?x)?2k?1
,(k∈N
+
)的自然数x的个数;
(1)求f(x)的解析式;
(2)记S
n
=f(1)+f(2)+…+f
(n),求S
n
的解析式;
2+
(3)令P
n
=n+n-1
(n∈N),试比较S
n
与P
n
的大小。
【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法:归纳→猜想→证明。
2.两个注意:
(1)是否用了归纳假设?
98
(2)从n=k到n=k+1时关注项的变化?
【反馈练习】
1
观察下列式子
131151117
1??,1?
2
?
2
?,1?
2
?
2
?
2
?
…则可归纳出
22
34
23234
____
答案:1?
1112n?1
*
(n∈N)
?????
n?
1
2
2
3
2
(n?1)
2
1
.
用数学归纳法证明
2
?
n
?
n?4,n?N
?<
br>?
n
2
2.已知数列
1111
,,,...,,...,
计算
1?44?77?10
(3n?2)(3n?1)
S
1
,S
2
,S
3
,S
4
,
根据计算结果,猜想
S
n
的表达式,并用数学归纳法证
明。
3.是否存在常数a、b、c,使等式
?
1
?
?
?<
br>2
?
?
?
3
?
??????
?
n<
br>??
n
??
n
?
?
333
?L
?<
br>n
?
?
??
?
n
?
3
an
2
?bn?c
?
n
对一切
n?N
都成立?并证明你的结论.
【课外作业】
教学后记:
课题:复习课
第 课时 总序第 个教
案
99
课型:
复习课 编写时时间: 年 月 日 执行时间: 年
月
日
教学目标: 批
1.了解本章知识结构。
注
2.进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认
识。
3.认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力。
教学重点:进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认识。
教学难点:认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力。
教学用具: 多媒体
教学方法: 分析
教学过程:
【创设情境】
一、知识结构:
合情推理
推理
推
理
与
证
明
证明
演绎推理
综合法
直接证明
分析法
数学归纳
归纳推理
类比推理
间接证明 反证法
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式
及特点;
揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。
通过学习,进一步感
受和体会常用的思维模式和证明方法,形成
对数学的完整认识。
【例题评析】
例1:
如图第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n
=1,2,3,…)。则第n-2个图形中共有________个顶点。
100