高中数学不等式选修难题-高中数学全国联赛国家三等奖
高二数学选修2-1知识点
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.
假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则
q
”形式的命
题中的
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题
,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,
则这两个命题称为互逆命题.其中一个命
题称为原命题,另一个称为原命题的逆
命题.
若原命题为“若
p
,则
q
”,它的逆命题为“若
q
,则
p
”.
4、对于两个命
题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定,则这两个命题称为互否命
题.中一个命题称为原命题,另一个称
为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?p
,则
?q
”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定
和条件的否定,则这
两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另
一个称为原命题的逆否命题.
若原
命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?q
,则?p
”.
6、四种命题的真假性:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系:
?
1
?
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若
p?q
,则
p
是
q
的充分条件,
q
是
p
的必要条件.
若
p?q
,则
p
是
q
的充要条件(充分必要条件).
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.
当
p
、<
br>q
都是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命
题时,
p?q
是假命题.
用联结词“或”把
命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
、
q
两个命
题都是假命题时,
p?q是假命题.
对一个命题
p
全盘否定,得到一个新命题,记作
?p
.
若
p
是真命题,则
?p
必是假命题;若
p
是假命题,则
?p
必是真命题.
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用
“
?
”表
示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对
?
中任意一个
x
,有
p
?
x
?
成
立”,记作“
?x??
,
p
?
x
?
”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“
?
”表示.
1
含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在
?
中的一个
x
,使
p
?
x
?
成立
”,记作“
?x??
,
p
?
x
?
”.
1
0、全称命题
p
:
?x??
,
p
?
x
?<
br>,它的否定
?p
:
?x??
,
?p
?
x?
.全称命题
的否定是特称命题.
11、平面内与两个定点
F
)的点的轨迹
1
,
F
2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
12、椭圆的几何性质:
焦点在
y
轴上
焦点的位置
焦点在
x
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
xy
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
?a?x?a
且
?b?y?b
2222
yx
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?a,0
?
?
1
?
0,?b
?
、?
2
?
0,b
?
?
1
?
0
,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
<
br>F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2<
br>?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
a
2
x??
c
a
2
y??
c
13、设?是椭圆上任一点,点
?到
F
1
对应准线的距离为
d
1
,点?到
F
2
对应准线
的距离为
d
2
,则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
.
14、
平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
(小于
F
1
F
2
)的
点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为
双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线
的焦距.
2
15、双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
xy
??1
?
a?0,b?0
?
a
2<
br>b
2
x??a
或
x?a
,
y?R
2222
yx
??1
?
a?0,b?0
?
a
2<
br>b
2
y??a
或
y?a
,
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,
0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?<
br>2
?
0,a
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、<
br>F
2
?
c,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2<
br>?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
a
2
a
2
准线方程
x??
y??
cc
ba
y??xy??x
渐近线方程
ab
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
17、
设
?
是双曲线上任一点,点
?
到
F
1
对应准线的距
离为
d
1
,点
?
到
F
2
对应准
线
的距离为
d
2
,则
?F
1
d
1
d
2
18、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹
称为抛物线.定
点
F
称为抛物线的焦点,定直线
l
称为抛物线的准线
.
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点
的线段
??
,称为
抛物线的“通径”,即
???2p
.
20、焦半径公式:
p
;
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?
?2px
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F??x
0
?
;
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py
?<
br>p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?y
0
?<
br>;
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
??2py
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F??y
0
?
.
2
?
?F
2
?e
.
若点<
br>?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y2
?2px
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则?F?x
0
?
3
21、抛物线的几何性质:
y
2
?2px
标准方程
?
p?0
?
图形
顶点
y
2
??2px
?
p?0
?
x
2
?2py
?
p?0
?
x
2
??2py
?
p?0
?
?
0,0
?
x
轴
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
x??
p
2
y
轴
对称轴
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
x?
p
2
p
??
F
?
0,
?
2
??
y??
p
2
p
??
F
?
0,?
?
2
??
y?
p
2
准线方程
离心率
e?1
范围
x?0
x?0
y?0
y?0
22、空间向量的概念:
?
1
?
在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指
的方向表
示向量的方向.
????
????
,记作
??
.
?3
?
向量
??
的大小称为向量的模(或长度)
?
4?
模(或长度)为
0
的向量称为零向量;模为
1
的向量称为单位
向量.
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为<
br>a
的相反向量,记作
?a
.
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
23、空间向量的加法和减法:
??
?
?
1
?
求
两个向量和的运算称为向量的加法,它遵
循平行四边形法则.即:在空间以同一点
?
为
?
?
b
为邻边作平行四边形起点的两个已知向量
a
、
4
????
?
?
??C?
,则以?
起点的对角线
?C
就是
a
与
b
的
和
,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行
四边形法则.
?
2
?
求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵
循三角形法则.即:在空间任取一点
?,作
????
?
????
?
????
?
????a
,
???b
,则
???a?b
.
?
?
24、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量,称为向量的数乘运算.当
?
?0
?
?
?
??
时,
?
a
与
a
方向相同;当
?
?0
时,
?
a
与
a
方向相反;当
?
?0
时,
?
a
为零向量,
?
?
?
记为
0.
?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍.
?
?
25、设
?
,
?
为实数,
a
,
b
是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结
合律.
?
?
?
?
??
分配律:
?
a?b?
?
a?
?<
br>b
;结合律:
?
?
?
a
?
?
???
?
a
.
??
26、如果表示空间的有向线段所在的直线互
相平行或重合,则这些向量称为共线
向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
?<
br>?
?
??
27、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量
a
,
bb?0
,
ab
的充要条
??
?
?
件
是存在实数
?
,使
a?
?
b
.
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
29、向量共面定理:空间一点
?<
br>位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x
,
????
????????????????????????
y
,使
???x???y?C<
br>;或对空间任一定点
?
,有
??????x???y?C
;或
????????????????
若四点
?
,
?
,
?,
C
共面,则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1
?
.
???
??
?
?
???
???30、已知两个非零向量
a
和
b
,在空间任取一点
?
,
作
?
则
?
??a
,
???b
,
?
?
?
?
?
?
称为向量
a
,
b
的夹
角,记作
?a,b?
.两个向量夹角的取值范围是:
?a,b??
?
0,
?
?
.
?
?
?
?
??
?<
br>?
?
aa
?a,b??
31、对于两个非零向量和
b
,若,则向量,
b
互相垂直,记作
a?b
.
2
?
?
?
?
?
?
?
??
?
osab,??称为
a
,
b
的数量积,32、已知两个非零向量
a
和<
br>b
,则
abc
记作
a?b
.即
?
?
?
?
?
?
a?b?abcosab?,?
.零向量与任何向量的数量
积为
0
.
?
?
?
?
?
?
??<
br>?
aa
bcos?a,b?
的乘积. 33、
a?b
等于的长
度
a
与
b
在的方向上的投影
?
??
???????
34、若
a
,
b
为非零向量,
e
为单位向量,则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
;
5
?
?
?
?
?
???
2
?
?
?
aba与b同向
?
?
?
?
???
a?a?a
,
a?a?a
;
a?b?
;,
a?b?a?b?0
23
????
?
?
?
?
??aba与b反向
?
?
?
?
?
a?b
?
?
?
?
?
?
4
?
cos?a,b??
?
?
;
?
5
?
a?b?ab
.
ab
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
35、向量数乘积的运算律:
?
1
?
a?b?b?a;
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;
????
?
3
?<
br>?
?
?
???
?
?
a?b?c?a?c?b?c.
?
?
?
?
?
36、若
i
,
j
,
k
是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量
p
,存在有
序
??
?
?
??
?
?
?
?
?实数组
?
x,y,z
?
,使得
p?xi?yj?zk
,
称
xi
,
yj
,
zk
为向量
p
在
i
,
j
,
k
上
的分量.
?
??
?
37、空间向量基本定理:若三个向量
a
,
b
,
c
不共面,则对空间任一向量
p
,
?
???
存在实数组
?<
br>x,y,z
?
,使得
p?xa?yb?zc
.
?
?
?
38、若三个向量
a
,
b
,
c
不共面,则所有空
间向量组成的集合是
?
?
?
?
?
?
???
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
.这个集合可看作是由向量
a
,
b
,
c
生成的,
?
?
?
?
?
?
?
a,b,c
称为空间的一个基底,
a
,
b,
c
称为基向量.空间任意三个不共面的向
?
量都可以构成空间的一个基
底.
???????
39、设
e
1
,
e
2
,
e
3
为有公共起点
?
的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位
??????????????
?
正交基底),以
e
1
,<
br>e
2
,
e
3
的公共起点为原点,分别以
e
1
,
e
2
,
e
3
的方向为
x
?轴,
y
轴,
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
?xyz
.则对于空间任意一个向量
p
,
????
?
一定可以把它平移,使它
的起点与原点
?
重合,得到向量
???p
.存在有序实
??????
?
?
?
数组
?
x,y,z
?
,使得
p?x
e
1
?ye
2
?ze
3
.把
x
,
y
,
z
称作向量
p
在单位正交基底
???????
?
?
e
1
,
e
2
,
e
3
下的坐标,记作
p?
?
x,y,z
?
.此时,向量
p
的坐标是点
?
在空间直角
坐标系
?xyz
中的坐标
?x,y,z
?
.
?
?
?
?
40、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,<
br>b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
.
?
?
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1<
br>?z
2
?
.
6
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
.
?
?
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
.
?
?
?<
br>?
?
?
?
5
?
若
a
、
b<
br>为非零向量,则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.
?<
br>?
?
?
?
?
?
6
?
若
b?
0
,则
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
.
???
a?a?a?x
1
2<
br>?y
1
2
?z
1
2
.
?
?
?
xx?yy?zz
a?b
?
?
8
?
cos?a
,b??
?
?
?
2
1
2
2
2
12
2
12
22
.
ab
x
1
?y
1
?z
1
?x
2
?y
2
?z
2
?<
br>?
7
?
则
d
??
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,
?
9
??
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,
????
????
?
x
2
x?
1
?
?
?z
?
y
?
2
?z
?
12
y
1
22
?
2
?
.
41、在空间中,取一定点?
作为基点,那么空间中任意一点
?
的位置可以用向量
????????
??
来表示.向量
??
称为点
?
的位置向量.
4
2、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以
及一个定方向确定.点
?
?
是直线
l
上一点,向量
a
表示直线
l
的方向向量,则对于直线
l
上的任意一点
?
,
????
?
?
有
???ta
,这样点
?
和
向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置,还可以具体表示出直
线
l
上的任意一点.
43、空间中平面
?
的位置可以由
?
内
的两条相交直线来确定.设这两条相交直线
?
?
相交于点
?
,它们的
方向向量分别为
a
,
b
.
?
为平面
?
上任
意一点,存在有序
????
?
?
?
?
实数对
?x,y
?
,使得
???xa?yb
,这样点
?
与向量<
br>a
,
b
就确定了平面
?
的位置.
??
44
、直线
l
垂直
?
,取直线
l
的方向向量
a
,则向量
a
称为平面
?
的法向量.
?
?
?
?
45、若空间不重合两条直线
a
,
b
的方向向量分别为
a
,
b
,则
ab?ab?
?
?
?
?
?
?
a?
?
b
?
?
?R
?<
br>,
a?b?a?b?a?b?0
.
??
?
46、若直线a
的方向向量为
a
,平面
?
的法向量为
n
,且
a?
?
,则
a
?
?a
?
???
??????
?a?n?a?n?0
,
a?
?
?a?
??an?a?
?
n
.
?
?
?
?
47
、若空间不重合的两个平面
?
,
?
的法向量分别为
a
,b
,则
?
?
?ab?
?
?
?
?
?
?
a?
?
b
,
?
?
?
?a?b?a?b?0
.
?
?
48、设异面直线
a<
br>,
b
的夹角为
?
,方向向量为
a
,
b
,其夹角为
?
,则有
?
?
a?b
cos
??cos
?
?
?
?
.
ab
7 <
/p>
??
??
49、设直线
l
的方向向量为
l,平面
?
的法向量为
n
,
l
与
?
所成
的角为
?
,
l
与
n
?
?
l?n
的
夹角为
?
,则有
sin
?
?cos
?
?
?
?
.
ln
??????????
50、设
n
1<
br>,
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
,
?
的法向量,则向量
n
1
,
n
2<
br>的夹
角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
,
?????
n
1
?n
2<
br>则
cos
?
?
?????
.
n
1
n
2
????
????
51、点
?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算.
?
52、在直线
l
上找一点
?
,过定点
?
且垂直于直线l
的向量为
n
,则定点
?
到直线
????
?<
br>???n
????????
?
l
的距离为
d???cos??
?,n??
?
.
n
?
53、点
?
是平面
?
外一点,
?
是平面
?
内的一定点,
n
为平面?
的一个法向量,
????
?
???n
????????
?
则点
?
到平面
?
的距离为
d???cos???,n?
?
?
.
n
8