高中数学圆的视频讲解视频-高中数学三点共线公式
重点高中数学选修22知识点、
考点、典型例题
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2
高中数学选修2–2知识点
第一章 导数及其应用
一.导数概念
1.导数的定义:函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
,称它为函数
y?f(x)
在
?x?0
?x
x?
x
0
处的导数,记作
f
?
(x
0
)
或y
?
|
x?x
0
,即
f
?
(x
0
)
=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(
x
0
)
。导数的物理意义:瞬时速率。
?x
2.导数的几何意义:
通过图像可以看出当点
P
n
无限趋近于
P
时,割线
PPn
趋近于稳定的位置直线
PT
,
我们说直线
PT
与曲线
相切。割线
PP
n
的斜率是
k?
f(x
n
)?f(
x
0
)
,当点
P
n
趋近于
P
时,函数y?f(x)
n
x
n
?x
0
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的斜率k,即
k?lim
f(x
n
)?f(
x
0
)
?f
?
(x)
0
?x?0
x
n
?x
0
3.导函数:当x变化时,
f
?
(x
)
便是x的一个函数,称它为
f(x)
的导函数.
y?f(x)
的
导函数记作
y
?
,
即
f
?
(x)?lim
f(x??x)?f(x)
?x?0
?x
二.导数的计算
1)基本初等函数的导数公式:
1.若
f(x)?c
(c为常数),则f
?
(x)?0
; 2. 若
f(x)?x
,
则
f
?
(x)?
?
x
?
?
?1
;
3. 若
f(x)?sinx
,
则
f
?
(x)?cosx
4 .
若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
xxxx
5. 若
f(x)?a
,
则
f
?
(x)?alna
6.
若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e
7.
若
f(x)?log
a
x
,
则
f
?
(x)?
2)导数的运算法则
1
8. 若
xlna
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?1
x
1.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
2.
[
f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)
3.
[
f(x)
]
?
?
f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)
2
g(x)[g(x)]
3)复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f
(g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间<
br>(a,b)
内,如果
f
?
(x)?0
,那么函数
y?
f(x)
在这个区间单调递增;如果
f
?
(x)?0
,那么函数y?f(x)
在这个区间单调递减.
- 3 -
(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:
“若函数单调递增,则
f
?
(x)≥0
;若函数单调递减,则
f
?
(x)≤0
”.注意
公式中的等号不能省略,否则漏解.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的
方法是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数
f
?
(x)
(3)求方程
f
?
(x)
=0的根;
(4)如果在
x0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;
如果在x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
3.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
(1) 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值;
(2) 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
,
f(b)
比较,其中最大的是一个最大值,最
小的是最小值.
4.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点:
1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用. 4、导数在恒成立问题中的应用
5.定积分
(1) 定积分的定义:分割—近似代替—求和—取极限
?
(2)定积分几何意义:
b
b
a
f(x)dx=lim
?
f(
?
i
)?x
i
n??
i=1
n
①
?
f(x)dx
(f(x)?0)
表示y=f(x)与x轴,x=a,x=b所围成曲边梯形的面积.
a
②
?
f(x)dx
(f(x)?0)
表示y=f(x)与x轴,x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数.
a
b
(3)定积分的基本性质:
①
?
kf(x)dx=k
?
f(x)dx
aa<
br>bb
②
?
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx
=
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
aaa
bbb
③
?
f(x)dx=
?
f
(x)dx+
?
f(x)dx
aac
bcb
- 4 -
(4)求定积分的方法:
①定义法:分割—近似代替—求和—取极限
②利用定积分几何意义
’
(x)=f(x)
③微积分基本公式
?
f(x)?F(b)-F
(a),其中F
b
a
第二章 推理与证明
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤:
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质;
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);
?
证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理
由两类对象具有某些类
似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理(简称类比
).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经
过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后
提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”,
包括
⑴大前提
-----已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法
:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证
明的结论成
立.要点:顺推证法;由因导果.
⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直
至最后,把要证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点:逆推证法;执果索因.
⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理
,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证
明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
- 5
-
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
*
(1)(归纳奠基)证明当
n
取
第一个值
n
0
(n
0
?N)
时命题成立;
*(2)(归纳递推)假设
n?k(k?n
0
,k?N)
时命题成立,推证
当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从<
br>n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
第三章
数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,
b?R)
的数叫做复数,
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2)
分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数.
(3)
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4)
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5)
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2.相关公式
z=
a?bi(a?R,b?R)
⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d
⑵
a?bi?0?a?b?0
⑶
z?a?bi?
为共轭复数).
3.复数运算
⑴复数加减法:
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b
?d
?
i
;
⑵复数的乘法:
?
a?bi
??c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
b
c?ad
?
i
;
虚部互为相反数(互
a
2
?b
2
⑷
若z?a?bi 则 z?a?bi
z,z
指两复数实部相同,
a?
bi
?
a?bi
??
c?di
?
?
⑶复数的除法:
c?di
?
c?di
??
c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
?ac?bd
?
bc?ad
i
c
2
?d
2
c
2
?d
2
c
2
?d
2
(类
似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化)
4.常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z
?R;(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3??i,i
4n?4
?1;
(7)
?
1?i
?
2
1?i1?i
?
1?i
?
??i; (8) ?i, ??i,
?
??i
?
1?i1?i
?
2
?
2
(9)
设
?
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
?0
,<
br>?
2
- 6 -
基础练习:
1.若z?cos
?
?isin
?
(
i
为虚数单位),则z
2
??1
的
?
值可能是
????
B. C. D.
6432
4?3i
2.复数的实部是( )
1+2i
A.
?2
B.
2
C.3
D.
4
A.
3.设z的共轭复数是
z
,若z+
z
=4,
z·
z
=8,则
z
等于
z
A. i B
-i C ±1 D. ±i
4.
f(x)
=ax
3
+3x
2
+2
,
f
?
(?1)?4
,则a=( )
A.
10
3
3
B.
13
3
C.
16
3
D.
19
3
5.曲线
y?x
在P点处的切线斜率为k,若k=3,则P点为( )
A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1) C.(2,8)
D.(
?
6.曲线
y?
?
11
,
?
) <
br>28
1
3
x?x
2
?5
,过其上横坐标为1的点作曲
线的切线,则切线的倾斜角为( )
3
??
3
?
4
A.
6
B.
4
C.
3
D.
32
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( )
7.函数
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.
(0,2)
8.关于函数
f(x)?2x?6x?7
,下列说法不正确的是( )
A.在区间(
??
,0)内,
f(x)
为增函数
B.在区间(0,2)内,
f(x)
为减函数
32
?(2,??)
内,
f(x)
为增函数
C.在区间(2,
??
)内,
f(x)
为增函数 D.在区间(
?
?
,0)
?
9.已知函数
y?xf(x)
的图象如右图所示(其中<
br>f'(x)
是函数
f(x)
的导函数),下面四个图象中
y?f(x)
的图象大致是( )
- 7 -
10.若
f
?
x
?
?e
x
si
nx
,则
11.曲线
y?
f
'
?
x
??
9
2
x?3
与
2
y?2?
x
3
在
x?x
0
处的切线互相垂直,则
x
0
=
32
f(x)?x?ax?3x?9
,已知
f(x)<
br>在
x??3
时取得极值,则
a
= 12.
函数
13.
函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是
,
14. 已知函数
f(x)?1nx?ax?
(Ⅰ)当
a
32
1?a
?1(a?R).
x
??1时,求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
2
(Ⅱ)当
a≤
1
时,讨论
f(x)
的单调性.
2x?132
f(x)?xe?ax?bx
15.
设函数,已知
x??2和x?1
为
f(x)
的极值点。
(1)求
a,b
的值;
(2)讨论
f(x)
的单调性;
- 8 -