高中数学选修2-2第一章知识点及测试题(简约打印版)讲课讲稿

高中数学选修2-2知识点总结
第一章 导数及其应用
?yf(
x
0
??x)?f(
x
0
)
?
1 . 平均变化率
?x?x
2. 导数（或瞬时变化率）
f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f( x
0
)

?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
导函数(导数)：
f
?
(x)?lim

?x?0
?x
3. 导数的 几何意义：函数y＝f(x)在点x
0
处的导数
f
?
(x
0
)就是曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线的斜率 ，即k＝
f
?
(x
0
)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C为常数)； ②(
x
?
)′＝
?
x
?
?1
(x＞0，
?
?Q)； ③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx； ⑤(e
x
)′＝e
x
； ⑥(a
x
)′＝a
x
lna(a＞0，且a≠1)；
⑦
(lnx)?
1
1
； ⑧
(log
a
x)?
(a＞0，且a≠1)．
xlna
x
(2)导数的运算法则：
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③
[
u( x)u
?
(x)v(x)?u(x)
?
v
?
(x)
]
?
?(v(x)?
?
0)
.
2
v(x)v(x)
5. 设函数
u?
?
(x)
在 点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
处有导数
y?u
?f?
?
u
?
，则复合函数
y?f(
?(x))
在点
x
处也有导数，且
y'
x
?y'
u
?u'
x
或
f?
x
(
?
(x))?f ?(u)?
?
?(x)
。复合函数对自变量的导数，等于已
知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式 表示，注意确定上方函数，下方函数的选取，以及区间的分
割.微积分基本定理
?
b< br>a
f(x)dx?F(x)|
b
?F(b)?F(a)
.
a
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性 （1）设函数
y?f(x)
在某个区间（a，b）可导，如果
f
(x)< br>?0
，则
f(x)
在此区间上为增函数；如果
f
(x)?0< br>，
则
f(x)
在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间内恒有f
(x)?0
，则
f(x)
为常数。
★★★反之，若已知可导 函数
y?f(x)
在某个区间上单调递增，则
在某个区间上单调递减，则
'< br>''
f'(x)
?
0
，且不恒为零；可导函数
y?f(x)< br>f'(x)
?
0
，且不恒为零.
1 5

求单调性的步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)?0或f'(x)?0
；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间 形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“
U
”连结。
8. 极值与最值
对于可导函数
f(x)
，在
x?a
处取得极值，则f'(a)?0
.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若
f(x)
在开区间
(a,b)
有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)=0
；
③ 检验
f'(x)=0
的根的两侧的
f'(x)
符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点.
求最值时 ，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某就是最大或者最
小 。
9. 恒成立问题 “
f(x)?a?f(x)
max
?a
”和 “
f(x)?a?f(x)
min
?a
”，注意参数的取值中“=”能否取到 。
例1
y
1
?x
3
，过
P(2 ,
8
)
的切线方程为
3
3
32
例2 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1,x?2
处取得极值。
（1）求
a,b
的值； （2）若对于任意的
x?[0,3]
，都有
f(x)?c
成立，求c的取 值范围。
（答：(1)a=-3,b=4;(2)
c?(??,?1)U(9,??)
） 2
1
3
x?2ax
2
?3a
2
x?b,0?a ?1.

3
（1）求函数
f(x)
的单调区间、极值.
（2）若当
x?[a?1,a?2]
时，恒有
|f
?
(x) |?a
，试确定a的取值范围.
（答：（1）
f(x)
在（a，3a）上单 调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减；
x?a

例3 设函数
f(x)??
高二数学选修2-2《导数及其应用》检测题
一、 选择题
（每题5分，共60分）

1.方程
2x
3
?6x< br>2
?7?0
在区间
(0,2)
内根的个数为
y

（ ）
A．０ B．１ C．２ D．３ < br>2．函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f< br>?
(x)
在
y?f
?
(x)
(a,b)
内的 图象

2 5

a
b
O


x

如图所示，
则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点 （ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
1
2
5
f(x)?x?3
（1，?）
2
2
，则过点P的切线的 斜率为 3．已知曲线 上一点P
A．1 B．-1 C．2 D．-2

32
4．
f(x)?ax?3x?2
,若
f?
(?1)?4
,则
a
的值等于 （ ）
19161310
A． B． C． D．
3333
5．函数f(x)=3x-4x(x∈[0,1])的最大值是 （ ）
3
1
C．0 D．-1 2

6．如图是导函数
y?f(x)
的图象，那么函数
y?f(x )
在
A．1 B．
是减函数( )
A.
(x
1
,x
3
)
B.
(x
2
,x
4
)
C.
(x
4
,x
6
)
D.
(x
5
,x
6
)

下面哪个区间
11 1
1???L?
n
?n
232?1
7.用数学归纳法证明
（
n?N
?
,n?1
）时，第一步应验证不等式（ ）
A．
1?
111
?21???2
2
B．
23

11111
1???31????3
C．
23
D．
234

8.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平 衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功
为（ ）
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J
9.定积分
?
1
0
x
2
dx
的结果是 （ ）
A．1

1
B．
3

1
C．
2

1
D．
6

?y
等于（ ）
?x
10．已知函数
f(x)?2x?1
的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△
x
,1+△
y
）,则
A．4 B．
4x
C．
4?2?x
D．
4?2?x

2
2f(x
0
?h)?f(x
0
?h)
11. 已知函数
y ?f(x)
在
x?x
0
处可导，则
lim
等于 （ ）
h?0
h


A．
f(x
0
)
B．２
f(x
0
)
C．－２
f(x
0
)
D．０
3 5

3

12. 函数
y?2x?
3
x?cosx
，则导数
y
=（ ）
A．
6x?x
2
?
2
3
1
?
?sinx
B．
2x?x
3
?sinx

3
2
22
2
1
?
3
1
?
32
C．
6x?x?sinx
D．
6x?x?sinx

33
2
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知
2?
2345
,
3?
,
4?
,
5?
,…,由此你猜想 出第n个数为_______________
381524
32
f(x)?x?a x?3x?9
在
x??3
时取得极值，
则
a
= ．
14. 已知函数
15、函数
f(x)?
x
?cosx

x?(0，2
?
)
的单调递减区间为
2
1 6.已知
f(x)
为一次函数，且
f(x)?x?2
?
1
0
f(t)dt
，则
f(x)
= _______.
2
三、解答题（要写出必要的解题步骤，书写规范，不得涂抹）：
17．（本小题满 分10分）已知函数
f(x)?x?ax?bx?c
，当
x??1
时，
f(x)
的极大值为7；当
x?3
时，
f(x)
有
极小值．
求（1）
a,b,c
的值；
（2）函数
f(x)
的极小值．
18、（本小题满分12分）
已知
a?0,b?0且a?b?2,求证:
19、（本小题满分12分）
求由
y?4x
与直线
y?2x?4
所围成图形的面积.
20、（本小题满分12分）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方 体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各
为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

21、（本小题满分12分）
已知函数
f(x)??x?3x?9x?a.

（1）求
f(x)
的单调递减区间；
（2）若
f(x)
在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值
22、（本小题满分12分）
已知
f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c
,在
x
＝1与
x
＝－2时，都取得极值。
⑴求
a，b
的值；
⑵若
x
?
[－3，2]都有< br>f
(
x
)>
32
2
3
1?b1?a
中至少有一个小于2.
,
ab
11
?
恒成立，求
c
的取值范围。
c2
一、填空题：
1．函数
f(x)?xlnx
(x?0)
的单调增区间是______________________________；
4 5

2．已知函数
y?ax
3
?x
在
(??,??)
上单调递增，则
a
的取值范围是__________；
3 ．函数
f(x)?2x
3
?ax
2
?1
在区间
(? ?,0)
和
(2,??)
内单调递增，且在区间
(0,2)
内单调递 减，则
a?
_________；
rr
rr
2
b
在区间
[?1,1)
内单调递增，则
t
的取值范围是4．已知
a?( x,x?1)
，
b?(1?x,t)
，若函数
f(x)?ag
___ ______________；
5．若函数
f(x)?x
3
?3ax2
?3[(a?2)x?1]
既有极大值又有极小值，则
a
的取值范围是
_________________________.

二、解答题：
6．已知函数
f(x)?ln(1?x)?x
，求
f(x)
的单调区间。
2x?b
7．已知函数
f(x)?
，求导函数
f
'
(x)
，并确定
f(x)
的单调区间。
2
(x?1)
a< br>8．已知函数
f(x)?x??b
(x?0)
，其中
a
，b?R
，讨论函数
f(x)
的单调性。
x
9．函数
f (x)?x
3
?6x?5
，
x?R.

⑴求函数
f(x)
的单调区间和极值；
⑵若关于
x
的方程
f(x)?a
有三个不同的实根，求实数
a
的取值范围。



参考答案

1
1．
[,??)
2．
[0,??)
3．
?6
4．
[5,??)

e

5．
a?2
，或
a??1


6．递增区间是
(?1,0)
；递减区间是
(0,??)


2[x?(b?1)]
7．
f
'
(x)??
；
3
(x?1)
当
b?2
时，递增区间是
(b?1,1)
，递减 区间是
(??,b?1)
和
(1,??)
；
当
b?2时，递增区间是
(1,b?1)
，递减区间是
(??,1)
和
( b?1,??)
；
当
b?2
时，递减区间是
(??,1)
和
(1,??)
，无递增区间。

8．当
a?0
时，f(x)
在
(??,0)
与
(0,??)
内单调递增；
当
a?0
时，
f(x)
在
(??,?a)
与
(a ,??)
内单调递增，在
(?a,0)
与
(0,a)
内单调递减。

9．⑴递减区间是
(?2,2)
，递增区间是
(??,?2)与
(2,??)
；当
x??2
时，有极大值
5?42
， 当
x?2
时，有极小值
5?42

⑵
5?42?a?5?42


5 5