人教版高中数学必修3课本答案解析-高中数学经典大题20道
1．相关关系的分类
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角
的区域内，对
于两个变量的这种相关关系，
我们将它称为正相关；点散布在从左上角到
右下角的区域内，两个
变量的这种相关关系
称为负相关．
2．线性相关
从散点图上看，如果这些点从整体
上看大致
分布在一条直线附近，则称这两个变量之间
具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
3．回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直
线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． <
br>(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量
的一组数据：(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，?，(x
n
，
y
n
)，其回归方程为
^
y＝
^
bx＋
^
a，则
^
b，
^
a
其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上
的截距．
4．样本相关系数
?
?x
i
－x??y
i
－y
?
r＝
i＝1
，用它来衡
nn
22
?
?x
i
－x?
?
?y
i
－y?
i＝1i＝1
n
量两个变量间的线性相关关系．
(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；
(2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线
性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表
明两个变量之间几乎不存在线性相关关
系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很
强的
线性相关关系．
5．线性回归模型
(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参
数；e称为随机误差．
(2)相关指数
用相关指数R来刻画回归的效果，其计算
公式是：R＝
2
2
，R的值越大，
2
说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合
效果越好．在线性回归模型中，R表示解释
变量对预报变量变化的贡献率，R越接近于
1，表示回归效果越好．
规律
(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是
一种
非确定的关系．事实上，函数关系是两
个非随机变量的关系，而相关关系是非随机
变量与随机变
量的关系．
注意
(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量
2
2
进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈
线性时，求出的回归直线方程才有实际意<
br>义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过
样本数据估计而来的，存在误差，这种误差
会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适
用于我
们所研究的样本总体．
考向一 相关关系的判断
例1．下列选项中，两个变量具有相关
关系的是( )
A．正方形的面积与周长
B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间
C．人的身高与体重
D．人的身高与视力
答案：C
例2．对变量
x
、
y
有观测数据(
x<
br>i
，
y
i
)(
i
＝1,2，?，10)，得散点图1
；对变量
u
，
v
有观测数据(
u
i
，
v<
br>i
)(
i
＝1,2，?，10)，得
散点图2.由这两个散点图可以判
断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量
x
与
y
负
相关，
u
与
v
正相关
D．变量
x
与
y<
br>负相关，
u
与
v
负相关
解析：选C.由题图1可知，各点整
体呈
递减趋势，
x
与
y
负相关，由题图2可知，
各点整体呈
递增趋势，
u
与
v
正相关．
例3．下面哪些变量是相关关系(
)．
A．出租车车费与行驶的里程
B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重 D．铁块的大小与质量
解析
A，B，D都是函数关系，其中A一
般是分段函数，只有C是相关关系．
答案 C
例4.如图所示，有5组(
x
，
y
)数据，去
掉__
______组数据后，剩下的4组数据的线
性相关性最大．
解析：因为A、B、C、E四点分布在一
条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．
答案：D
例5．对变量x，y有观测数据(x
i
，y
i
)
(i＝
1,2，?，10)，得散点图(1)；对变量u，v
有观测数据(u
i
、v
i
)(i＝1,2，?，10)，得散
点图(2)．由这两个散点图可以判断(
)．
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析 由题图(1)可知，各点整体呈递减趋
势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整
体呈递增趋势，u与v正相关．
答案 C
例6．下列关系属于线性负相关的是
( )
A．父母的身高与子女身高的关系
B．球的体积与半径之间的关系
C．汽车的重量与汽车每消耗1
L汽油
所行驶的平均路程
D．一个家庭的收入与支出
解析：选C.A、D中的两个变量属于线
性正相关，B中两个变量是函数关系．
例7
.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并
排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品
种进行施化
肥量x对产量y影响的试验，得
到如下表所示的一组数据(单位：kg)：
施化
肥量x
15 20 25 30 35 40 45
棉花
33343640444545
产量y
0 5 5 5 5 0 5
(1)画出散点图；
(2)判断是否具有相关关系．
[审题视点]
(1)用x轴表示化肥施用量，y轴
表示棉花产量，逐一画点．
(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关
关系．
解 (1)散点图如图所示
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一
条直线附近，所以施
化肥量x与产量y具有
线性相关关系．
利用散点图判断两个变量是否有相关
关系是
比较简便的方法．在散点图中如果所
有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用
该函数来描述变
量之间的关系．即变量之间
具有函数关系．如果所有的样本点落在某一
函数的曲线附近，变量之
间就有相关关系；
如果所有的样本点都落在某一直线附近，变
量之间就有线性相关关系．
例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画
成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．
解析 从散点图看，散点图的分
布成团状，
无任何规律，所以两个变量不具有线性相关
关系．
答案
否
考向二 线性回归方程
例9．对有线性相关关系的两个变量建
立的回归直线方程
y
＝
a
＋
bx
中，回归系数
b
( )
A．不能小于0 B．不能大于0
C．不能等于0 D．只能小于0
解析
：选C.∵
b
＝0时，
r
＝0，这时不
具有线性相关关系，但
b
能大于0也能小于
0.
例10．已知回归方程
y
＝4.4x
＋838.19，
则可估计
x
与
y
的增长速度之比约
为
________．
解析：
x
与
y
的增长速度之比即为
回归
1105
方程的斜率的倒数＝＝.
4.44422
5
答案：
22
例11．某商品销售量y(件)与销售价格x(元
^
^
<
br>件)负相关，则其回归方程可能是( )．
A.
^
y＝－10x＋200
C.
^
y＝－10x－200
B.
^
y＝10x＋200
D.
^
y＝10x－200
解析 因为销量与价格负相关，由函数关系
考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，
再排除C，故选A.
答案 A
例12.下表提供了某厂节能降耗技术改造后
生产甲
产品过程中记录的产量x(吨)与相应
的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x 3
4 5 6
y
2.
5
3 4
4.
5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求
出
y关于x的线性回归方程
^
y＝
^
bx＋
^
a；
(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生
产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求
出的线
性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产
能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝
66.5)
^
[审题视点]
(2)问利用公式求
^
a、b，即可求出
线性回归方程．
(3)问将x＝100代入回归直线方程即可．
解
(1)由题设所给数据，可得散点图如图所
示．
(2)由对照数据，计算得：?
i＝1
4
2
x
i
＝86，
3＋4＋5＋6
x＝＝4.5(吨)，y＝
4
2.5＋3＋4＋4.5
＝3.
5(吨)．
4
已知
?
x
i
y
i
＝66.5，
i＝1
所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数
为：
y
?
x
i
y
i
－4x·
i＝1
^
b＝
422
x
i
－4x
4
4
?
66.5－4×4.5
×3.5
＝＝
2
86－4×4.5
i＝1
0.7，
^
a＝y－
^
bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为
^
y＝0.7x＋
0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲
产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
在解决具体问题时，要
先进行相关性
检验，通过检验确认两个变量是否具有线性
相关关系，若它们之间有线性相关关系
，再
求回归直线方程．
例13.为了解儿子身高与其父亲身高的关
系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身
1717171717
高xcm
4 6 6 6 8
儿子身
1717171717
高ycm
5 5 6 7 7
则y对x的线性回归方程为( )．
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
1
C．y＝88＋x
2
解析
由题意得x＝
D．y＝176
174＋176＋176＋176＋178
＝176(cm)，
5
175＋
175＋176＋177＋177
y＝＝176(cm)，
5
由于(x，y)一定满足
线性回归方程，经验
证知选C.
答案 C
例14.某地最近十年粮食需求量逐年上升，
下表是部分统计数据：
年份
需求量
(万吨)
2020202020
02 04 06 08 10
2324252728
6 6 7 6 6
(1)利用所给数据求年需求量与年份之
间的
回归直线方程
^
y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地
2012年的粮食需求量．
解 (1
)由所给数据看出，年需求量与年份之
间是近似直线上升，下面来配回归直线方
程，为此对数据
预处理如下：
年份－－－
2006 4 2
0 2 4
12
9
9
需求量
－－
－257
21 11
0
对预处理后的数据，容易算得，
x＝0，y＝3.2，
260
b＝＝6.5，a＝y－bx＝3.2.
40
由上述计算结果，知所求回归直线方程为y
－257＝b(x－2
006)＋a＝6.5(x－2 006)＋
3.2，
即
^
y＝6.5(x－2 006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食
需求量为
6．5(2 012－2
006)＋260.2＝6.5×6＋260.2
＝299.2(万吨)．
例15
．下列有关回归直线方程
y
＝
bx
＋
a
的叙述正确的是(
)
①反映
y
与
x
之间的函数关系；
②反映
y
与
x
之间的函数关系；
③表示
y
与
x
之间的不确定关系；
④表示最接近
y
与
x
之间真实关系的一
条直线．
A．①② B．②③
C．③④
D．①④
解析：选D.
y
＝
bx
＋
a
表示
y
与
x
之间的
函数关系，而不是
y
与
x
之间的函数关系；
但它反映的关系最接近
y
与
x
之间的真实关
系，故选D.
^^
^
^
^
例16．设有一个回归
方程
y
＝3－5
x
，变
量
x
增加一个单位时(
)
A．
y
平均增加3个单位
B．
y
平均减少5个单位
C．
y
平均增加5个单位
D．
y
平均减少3个单位 解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说
明
x
每增加一个单位，
y
平均减少5个单位．
例17．对两个变量
y
和
x
进行回归分析，
得到一组样本数据：(
x
1
，
y
1
)，(
x
2
，
y
2
)，?，
(
x
n
，<
br>y
n
)，则下列说法中不正确的是( )
．
A．由样本数据得到的
回归方程
y
＝
bx
＋
^^
^
a
必过样本中
心(
x
，
y
)
B．残差平方和越小的模型，拟合的效
果越好
22
C．用相关指数
R
来刻画回归效果，
R
越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量
y
和
x
之间的相关系数为
r
＝－0.9362，则变量
y<
br>和
x
之间具有线性相
关关系
2
解析：选C.C中应为
R
越大拟合效果越
好．
例18．
已知回归方程
y
＝2
x
＋1，而试验
^
^
<
br>得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，
(4,9.1)，则残差平方和是( )
A．0.01 B．0.02
C．0.03 D．0.04
解析：选C.当
x
＝2时，
y
＝5，
当
x
＝3时，
y
＝7，
当
x
＝4时，
y
＝9.
∴
e
1
＝4.9－5＝－0.1，
e
2
＝7.1－7＝
0.1，
^^
^
^
^
e
3
＝9.1－9＝0.1.
3
^
∴
?
e
i
＝(－0.1)＋(0.1)＋(0.1)
＝
2222
^
i
＝1
0.03.
例19．下列说法：①将
一组数据中的每
个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒
不变；
②回归方程
y
＝
bx
＋
a
必过点(
x
，
y
)；
③曲线上的点与该点的坐标之间具有
相关关系；
2
④在一个2×2列
联表中，由计算得
K
＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性
^
是 90%.
其中错误的是________．
解析：①正确．由回归方程的定义及最
小二乘法思想，知②正确．③④不正确．
答案：③④
例20．在2009年十一国庆8天黄金周
期间，某市物价部门，对本市
五个商场销售
的某商品的一天销售量及其价格进行调查，
五个商场的售价
x
元
和销售量
y
件之间的一
组数据如下表所示：
9
价格1101
9
.
x
0
.5
1
5
销售11
8
6
5
量
y
1
0
通过分析，发现销售量
y
对商品的价格
x
具有线性相关关系，则销售量y
对商品的
价格
x
的回归直线方程为________．
解析
：由数据表可得
x
＝10，
y
＝8，离
差
x
－x
：－1，－0.5,0，0.5,1；离差
y
－
y
：3,2,
0，－2，－3.
－1×3－0.5×2－0.5×2－1×3
∴
b
＝1＋0.25＋0＋0.25＋1
^
＝－3.2，
a
＝
y
－
bx
＝40，
∴回归直线方程为
y
＝－3.2
x
＋40.
答案：
y
＝－3.2
x
＋40
例21．在某地区的12～
30岁居民中随
机抽取了10个人的身高和体重的统计资料
如表：
身高717161616
(cm)
3
6
9
2
5
1
7
1
4
0
体重
41
49
61
79
68
69
74
69
68
54
(kg)
根据上述数据，画出散点图并判断居民
的身高和体重之间是否有相关关系．
解：以<
br>x
轴表示身高，
y
轴表示体重，
可得到相应的散点图如图所示：
^
^
^^
由散点图可知，两者之间具有相关关
系，且为正相关．
12.某农科所对冬季昼夜温
差大小与某
反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进
行分析研究，他们分别记录
了12月1日至
12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每
100颗种子中的发芽数，得到如下
资料：
12月12月12月12月12月
日期
1日
2日
3日
4日
5日
温差
10
11
13
12
8
x
(℃)
发芽
数23
25
30
26
16
y
(颗)
该农科所确定的研究方案是：先从这5
组数据中选取2组
，用剩下的3组数据求线
性回归方程，再对被选取的2组数据进行检
验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2
天数据的概率；
(2)若选取的是12月1
日与12月5日
的2组数据，请根据12月2日至12月4日
的数据，求出
y
关于
x
的线性回归方程
y
＝
b
^^
x
＋<
br>a
；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据
与所选出的检验数据的误差均不
超过2颗，
^
则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问
(2)中所得
的线性回归方程是否可靠？
解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件
A
，因为从5组
数据中选取2组数据共有10
种情况，每种情况都是等可能出现的，其中
抽到相邻2组数据的情
况有4种，所以
P
(
A
)
43
＝1－＝.
105
(2)由数据求得，
x
＝12，
y
＝27，由公
式求得．
^^
5
^
b
＝，
a
＝
y
－
bx
＝－3.
2
^
5
所以
y
关于
x<
br>的线性回归方程为
y
＝
x
2
－3.
^
5<
br>(3)当
x
＝10时，
y
＝×10－3＝22，|22
2－23|<2；
^
5
当
x
＝8时，
y
＝×8
－3＝17，|17－
2
16|<2.
所以该研究所得到的线性回归方程是
可靠的．
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