高中数学区间与域-2016年高中数学联赛总分是多少
数学选修2-3第一章计数原理知识点必记
1. 什么是分类加法计数原理？
答：做一件事情，完成它有
n
类办法，在第一类办法中有
m
1
种不
同的方法，在第二
类办法中有
m
2
种不同的方法…在第
n
类
办法中有
m
n
种不同的方法。那么完成这件事
情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
2.
什么是分步乘法计数原理？
答：做一件事情，完成它需要
n
个步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二
个步骤有
m
2
种不同的
方法……做第
n
个步骤有
m
n
种不同的方法。那么完成这件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法
。
3. 排列的定义是什么？
答：一般地，从
n
个不同的元素中任取m
?
m?n
?
个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的一个排列。
4. 组合的定义是什么？
答：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素并成一组，叫做从
n
个不同的
元素中任取
m
个元素
的一个组合。
5. 什么是排列数？
答：从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同
的
元素中任取
m
个元素的排列数，记作
A
m
n
。
6. 什么是组合数？
答：从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同的
元素
中任取
m
个元素的组合数，记作
C
m
n
。
7.排列数公式有哪些？
答：（1）
A
m
?n
?
n?1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
或
A
m
n！
n
n
?
?
n?m
?!
；
（2）
A
n
n
?n!
，规定
0!?1
。
8.组合数公式有哪些？
答：（1）
C
m
n
?
n
?1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
！<
br>n
?
n
m!
或
C
m
n
?
m
!
?
n?m
?
!
；
（2）
C
m
?C
n?m
0
nn
，规定
C
n
?1
。
9.排列与组合的区别是什么？答：排列有顺序，组合无顺序。
10.排列与组合的联系是什
么？答：
A
m
n
?C
mm
n
?A
m
，即排列就是先组合再全排列。
11.排列与组合的性质有哪些？
答：两个性质公式：（
1）排列的性质公式：
A
mmm?1
n?1
?A
n
?mA<
br>n
（2）组合的性质公式：
C
m
n
?C
n?m
mmm?1
n
；
C
n?1
?C
n<
br>?C
n
12.二项式定理是什么？
答：
?
a?b
?
n
?C
0n1n?12n?22rn?rrnn
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab??
?C
n
b
?
n?N
?
?
。
13二项展开式的通项是什么？
答：
T
r
r?1
?Cn
a
n?r
b
r
?
0?r?n,r?N,n?N
?
?
。
14.
?
1?x
?
n
的展开式是什么？
答：?
1?x
?
n
?C
0n
?C
1n?12n?2
C
n0
n
x
n
x?C
n
x?
?<
br>?
n
x
，若令
x?1
，则有
?
1?1?
n
?2
n
?C
012n
n
?C
n<
br>?C
n
???C
n
。
数学选修2-3第二章随机变量及其分布知识点必记
15.什么是随机变量？
答：
在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量
X
来表示，并且
X
是随着试验的
结果的不同而变化的，我们把这样的变量
X
叫做一个随机变量。
离散型随机
变量：如果随机变量
X
的所有可能的取值都能一一列举出来，则称
X
为
离散型随机变量。
16.什么是概率分布列？
答：要掌握一个离散型随机变量
X
的取值规律，必须知道：
1
（1）
X
所有可能取的值
x
1
,x
2
,
?
,x
n
；
（2）
X
取每一个值
x< br>i
的概率
p
1
,p
2
,
?
,pn
；
我们可以把这些信息列成表格（如此）：
X
x
…
1
x
2
x
i
…
x
n
P
p
… …
1
p
2
p
i
p
n
上表为离散型随机变量
X
的概率分布，或称为离散型 随机变量
X
的分布列。
17.什么是二点分布？
答：
X
1 0
P
p
q
其中
0?p?1,q?1?p
，则称离散型随机变量
X
服从参数为
p
的二点分布。
18.什么是超几何分布？
答：一般地，设有总数为
N
件的两类物品，其中一类有
M
件，从所有物品中任取
n
?
n ?N
?
件，这
n
件中所含这类物品件数
X
是一个离散型随机 变量，它取值为
m
时的
mn?
概率为
P
?
X?m< br>?
?
CC
m
MN?M
C
n
（
0?m ?l
，
l
为
n
和
M
中较小的一个）。我们称离散型
N
随机变量
X
的这种形式的概率分布为超几何分布，也称
X
服从参数为
N,M,n
的超几
何分布。
19.什么是条件概率？
答：对于任何两个事件
A
和
B
，在已知事件
A
发生的条件下 ，事件
B
发生的概率叫
做条件概率，用符号
P
?
BA
?
来表示。
20．什么是事件的交（积）？
答：事件
A
和B
同时发生所构成的事件
D
，称为事件
A
和
B
的交（积）。
21.什么是相互独立事件？
答：事件
A
是否发 生对事件
B
发生的概率没有影响，即
P
?
BA
?
? P
?
B
?
，这时我们称
两个事件
A
和
B< br>相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。一般地，当事件
A
和
B
相互独时，
A
和
B
，
A
和
B
，
A
和
B
也相互独立。
22．什么是独立重复试验？
答：在相同的条 件下，重复地做
n
次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称
它为
n< br>次独立重复试验。
23独立重复试验的概率公式是什么？
答：一般地，事件
A
在
n
次试验中发生
k
次，共有
C
k
n< br>种情形，由试验的独立性知
A
在
k
次试验中发生，而在其余
n ?k
次试验中不发生的概率都是
p
k
?
1?p
?
n ?k
，所以由概率加
法公式知，如果在一次试验中事件
A
发生的概率是
p
，那么在
n
次独立重复试验中，
事件
A
恰好发生
k
次的概率为
P
kk
n
?
k
?
?
C
n
p
?
1?
p
?
n?k
?
k
?0,1,2,?
n
?
。
24.什么是二项分布？
答： 在独立重复试验概率公式中，若将事件
A
发生的次数设为
X
，事件
A
不发生的
概率为
q?1?p
，则在
n
次独立重复试验中，事 件
A
恰好发生
k
次的概率为
P
?
X?k
?
?C
k?k
n
p
k
q
n
，其中
k ?0,1,2,?n
。于是得到
X
的分布列
X
0 1 … …
k
n
P
…
C
00n
C
11n?1
n
pq
n
pq
C
k
n
p
k
q
n?k
…
C
nn0
n
pq
由于表中的第二行恰好是二项式展开式
?
p?q
?
n
?C
0
p
0
qn
?C
11n?1
?C
22n?2kkn?knn0
nn
pq
n
pq?
?
?C
n
pq?
?
?C< br>n
pq
各对应项的值，称这样的离散型随机变量
X
服从参数 为
n,p
的二项分布，记作
X~B
?
n,p
?
。
25.什么是离散型随机变量的数学期望？
2
答：一般地，设一个
离散型随机变量
X
所有可能的取值是
x
1
,x
2
,
?x
n
，这些值对应的
概率是
p
1
,p
2
,?p
n
，则
E
?
X
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n<
br>叫做这个离散型随机变量
X
的均
值或数学期望（简称期望）。
26.
二点分布的数学期望是多少？答：
E
?
X
?
?p
。
27.二项分布的数学期望是多少？答：
E
?
X
?
?np
。
28.超几何分布数学期望是多少？答：
E
?
X
?
?<
br>nM
N
。
29.什么是离散型随机变量的方差？
答：一般地，设一
个离散型随机变量
X
所有可能的取值是
x
1
,x
2
,?x
n
，这些值对应的
概率是
p
2
1
,p
2
,?p
n
，则
D
?
X
?
?
?
x
1
?E
?
X
??
p
1
?
?
x
2
?E
?
X
??
2
p
2<
br>???
?
x
n
?E
?
X
??
2p
n
叫做这个离散
型随机变量
X
的方差。
离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小
（离散程度）。
30.二点分布的方差是多少？答：
D
?
X
?
?pq
。
31.二项分布的方差是多少？答：
D
?
X
?
?np
q
?
q?1?p
?
。
32什么是标准差？答：
D
?
X
?
的算术平方根
D
?
X
?
叫做离散型
随机变量
X
的标准差。
33.什么是正态分布？
答：正态变量概率密度曲线
函数表达式：
f
?
x
?
?
1
?
?
x?
?
?
2
2
?
2
2
?
?
?
e,x?R
，其中
?
,
?
是参
数，且
?
?0,???
?
???
。如下图：
数学选修2-3第三章统计案例知识点必记
34.什么是回归分析，它的步骤是什么？
答：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
其步骤：收集数据
?
作散点图
?
求回归直线方程
?
利用方程进行预报.
35. 线性回归模型与一次函数有什么不同？
答：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一
般形式.
36. 什么是残差？
答：样本值与回归值的差叫残差，即
e
?
i
?y
i
?y
?
i
.
37.什么是残差分析？ <
br>答：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面
的分析工作称为
残差分析.
38.如何建立残差图？
答：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体
重估计值等为横坐标，作出
的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区
域中，
说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归
方程的
预报精度越高.
39.建立回归模型的基本步骤是什么？
答：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
（2）画出确定
好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是
否存在线性关系等）；
（3）
由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性
回归方程y＝bx＋a）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果后分析残差图是
否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随
机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有
误，或模型是否合适等。
40.什么是总偏差平方和？答：所有单个样本值与样本均值差的平方和，<
br>n
SST?
?
(y
i
?y)
2
i?1
n
41.什么是残差平方和？答：回归值与样本值差的平方和，即.
SSE?
?
(y
?
2
i
?y
i
)
i?1
44.什么是回归平方和？答：相应回归值与样本均值差的平方和，即
n
SSR?
?
(y
?
i
?y)
2
.
i?1
3
?
n
(y
i
?y
?
i
)
2
45.什么是相关指数？答：
R
2<
br>?1?
i?1
?
n
(y
2
i
?y
)
i?1
46.非线性回归模型的方程是什么？
y?e
bx?a
47.如何根据观测数据判断两变量的相关性？
①根据观测数据计算由K
2
＝
n（ad－bc）
2
答：
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 给出的检验随
机变量K
2
的值k，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能
性越大.
②当得到的观测数据
a
，
b
，
c
，d
都不小于5时，可以通过查阅下表来确定断言
“
X
与
Y
有关系”的可信程度.
P
（
K
2
≥
k
）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
0.020.010.00
5 0 5
0.001
k
0.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.82
5
8 3 2 6 1 4 5 9 8
说明：当观测数据
a
，
b
，
c
，
d
中有小于5时，需采用很复杂的精确的检验方法.
48.常用临界值有哪些？
得到
K
2
的观察值
k
常与以下几个临界值加以比较：
如果
k?2.706
，就有
90
0
0
的把
握因为两分类变量
X
和
Y
是有关系；
如果
k?3.841
就有
95
0
0
的把握因为两分类变量X
和
Y
是有关系；
如果
k?6.635
就有99
0
0
的把握因为两分类变量
X
和
Y
是有关
系；
如果低于
k?2.706
，就认为没有充分的证据说明变量
X
和
Y
是有关系．
4