高中数学选修2-3学案全册

高二数学选修2-3学案 本册主编：*** 审核：***
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）
※
学习目标

1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.

※
课前预习
1、预习目标
准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。
2、预习内容
分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m
1
种不同的方法 ,在第二类方
式,中有m
2
种不同的方法，……，在第n类方式,中有m
n< br>种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=
种不同的方法.
分步计数原理：完成一件事,需要分成n个 ，做第1步有m
1种不同的方法，做
第2步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n< br>种不同的方法,那么完成这件事共有
N= 种不同的方法。
3、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容




预习自测
1 从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选
结果？








2一次会议共 3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数
共有多少？








第1页

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二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：分类计数原理
问题1：P2思考题1

分析：给座位编号的方法可分____类方法?
第一类方法用 ，有___ 种方法;
第二类方法用 ，有___ 种方法;
∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.



新知：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有< br>m
种方法，在第2类方案中有
n
种
不同的方法，那么，完成这件工作共 有
m?n
种不同的方法.



试试：一件工作可以用2 种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2
种方法完成，从中选出1人来完成这项 工作，不同选法的种数是 .





反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？



探究任务二：分步计数原理
问题2：P3思考题2
分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部分是 ，有____种编法，第二部分
是 ，有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，
所以，不同的号码一共有 个.
新知：分步计数原理－乘法原理：
完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有
m
种不同的方法，完成第2步有
n
种不同的方
法，那么，完成这件工作共有< br>m?n
种不同方法。

试试：P4例2









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反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？

※ 典型例题

例1 P2例1







变式：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个 专业可以选择，B大
学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有
6?4?10
种.这种算法对吗？








小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中 任何一种方法都可以
完成这件事.

例2 P5例3





变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边 墙上的指定位置，问
共有多少种不同的选法？







小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理 针对的是
分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.

※ 课堂练习P6练习







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三、总结提升
※ 学习小结

1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？


2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产 品有4种，外地产品有7种，要买1台这种
型号的电视机，有 种不同的选法.




2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种
不同选法.


3. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.



※
课后作业
1.P12习题1.1 1，2，3，4，5




2.乘积
?
a
1
?a
2< br>?????a
n
??
b
1
?b
2
????? b
n
?
展开后，共有 项.






(选做)3. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号
盘可以组成 个四位数号码.





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§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）
学习目标

1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；
2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；
3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
6
~ P
10
，找出疑惑之处）
复习：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？



预习自测：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8 人、9人，他们自愿组成
数学兴趣小组.
⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？
⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？








二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：两个原理的应用
问题：P6例题5






新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进 行仔细分析，正确选择是分类还是
分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最 后用加法原理求和；分步要做到“步
骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.

试试：
积
?
a
1
?a
2
?a
3
??
b
1
?b
2
?b
3
??
c< br>1
?c
2
?c
3
?c
4
?
展开后共 有多少项？












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反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.
※ 典型例题

例1 P7例题6









变式：P7例题7










小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.
例2 P7例题8















变式：随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部
门出台了一种汽车牌照组成办法，每 一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯
数字，并且3个字母必须合成一组出 现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上
牌照？














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※ 动手试试

练1. 某商场有6个门 ，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种
不同的进出商场的方式 ？







练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）





三、总结提升
※ 学习小结

1. 正确选择是分类还是分步的方法


2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.




学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.


2. 某电话 局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9
之间的一 个数字，那么这个电话局最多有 个.




3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同的
分数，可以构成 个不同的真分数.



4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.



5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每 人限报其中的一个运动队，不同的报名
种数是 .





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课后作业
1.P13 1，2




2.设
x,y?N
?
，
x?y?4
，则在直角坐标系中满足条件的点
M
?
x,y
?
共有 个；





3.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合
C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.






4. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .









（选做）5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.









（选做）6.甲乙丙3位同学选修课 程，从3门课程中，甲选修2门，乙丙各选修1门，则不同的选修方案






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§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（3）--两个原理的应用
※学习目标
能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分部乘法计数原理解决一些简单的实际问题
※要点自测
1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数， ________个五位数．



2．商店里有15种上衣，18种裤子 ，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_______种不同的选法．要买上
衣、裤子各一件，共有__ _______种不同的选法．


3．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上 标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字
之积不小于20的情形有_______ 种．






※例题精选
例1：将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种


变式：1。
将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）．
A．种 B． 种 C．18种 D．36种


2。有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有-------种可能
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例2：有5种不同的颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色
（1） 共有多少种不同的涂色方法？
（2） 若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？


1 2


3 4







变式：把一个圆分成3个扇形，现用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻的扇形颜色互 不相同，问
有多少种不同的涂法？









例3：某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬 手完成。如果第一棒火炬手只能从
甲乙丙三人中产生，最后一棒只能只能从甲乙两人中产生，则不同的传 递方案共有------种。









变式：在由数字1，2，3，4，5，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于 23145小于43521的数共有
多少个？








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学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
当堂检测：
1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有
（ ）
A. 7 B. 5 C. 12 D. 35



2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？







3. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数 字各不相同，首末两位数字相同，这样的5
位数共有（ ）个
A. 480 B. 240 C. 96 D. 48








4.8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？








5.3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种住宿方法？







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课后作业：
1．已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为A
、
B的值，则表示不同直线的条数是（ ）
A．2



2．集合A
、
B的并集A∪B = {a
1
，a
2
，a
3
}，当A≠B时，(A, B)与(B, A)视为不同的对，则这样的对(A, B)
共有多少个？



3．用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红 色小球，若
每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？



4．集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问A到B的不同映射f共有多少个? B到A的不同映射g共有多
少个?




5.用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？数字不重复的三位数的奇数？
（2）可以组成多少个小于1200的自然数？






（选做）6. 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3 人会小号，从中
选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？






第12页
B．12 C．22 D．25

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§1.2.1. 排列
（1）

※
学习目标
1. 了解排列、排列数概念的来源；
2. 了解排列数公式的推导，并能推导排列数公式，会做无附加条件的排列问题；
3. 能熟练准确进行排列数的计算
※
课前预习
仔细阅读课本P14—P17相关内容，思考下面问题：
问题1：从甲、乙、丙、丁4名同学 中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参
加下午的活动，有多少种不同的选法 ？


问题2：由数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？


这两个问题从字面上看是没有任何关系的，但我们在计算方法数时，计算公式又是 一致的，这里面到
底有什么联系？你还能不能提出类似的问题，这此问题可不可以淡化实际背景（不再考 虑四个人，2项活
动或是4个数字等），这两个问题可进一步抽象成为与问题实际背景无关的一类数学问 题，如果我们将一
个实际问题中所考察的对象给一个名称（数学中叫元素，这个名称与构成集合对象是同 名的），那么这两
个貌似无关问题就可以归结为一个问题，即 。
结论： 排列的定义
概念形成
1、元素： 。
2、排列：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的
．．．
排成一列，叫做 从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列。
．．．．
说明：（1）排列的定义包括两个方面：① ②按一定的 排列（与位置有关）
（2）两个排列相同的条件：①元素 ，②元素的排列 也相同
预习自测
（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里
（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；
（3）从10名学生中选2名学生干部；
上述问题中哪个是排列问题？为什么？





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※
新课导学
新知1 排列数
课前预习中的两个问题可抽象为：从4个不同元素中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列， 共有
多少种不同的排列方法？
在实际计数中，我们经常会遇到这样的问题：从若干个不同元素 （比如
n
个）中，任取部分（比如
m
m
（
m?n
） 个）元素的所有排列的个数，叫做
n
个元素中取出
m
元素的排列数，在数学中 用符号
A
n
表示
思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

试试
(1) 从4个不同元素a，b, c，d中任取2个的排列数是
(2) 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是
(3) 从n个不同元素中取出3个元素的排列数
(4) 从n个不同元素中取出m（
m?n
）个元素的排列数是


新知2 排列数公式
223m
阅读课本P，想一想
A
4
，
A
n
，
A
n
的值是多少？更一般的
A
n
呢？
推导排列数公式使用的是 原理。
m
排列数公式：
A
n
?

排列数公式的特征是： ，你是怎么记忆的？

新知3 全排列
特别地，从n个不同元素中全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
n
A
n
?
，记
n!?n?(n?1)?...?2?1


如果使用阶乘这一记号，排列数公式可有另一种形式
m
?n(n?1)?...?n(?m?1)?nn(?1?)...?n?(m?

A
n
(n?m)(n?m?1)?...??21
1)

?

(n?m)(n?m?1)?...??21
规定 0! =1 .想一想为什么？
思考：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？从形式上看，第 二个公式的结构明显比
第一外公式要简单，是不是在排列数的计算中，用第二个比较方便呢？


※ 典型例题

42
104
例1．计算：⑴
A
10
; ⑵
A
18
; ⑶
A
10
.
?A
4
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变式：计算下列各式：
⑴
A







mm?1m
例2. 求证：
A
n
?mA?A
nn?1
．
2
15
; ⑵
A
6
6
⑶
A?2A
3
8
2
8
; ⑷
A
8
8
.
6
A
6

分析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。






反思：你能用计数原理直接解释例2 中的等式吗？将抽象的排列数还原为实际问题，把枯燥的公式还原为
有趣的实例，构造一个计数问题的模 型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，也是一种证明的方
法哦！并且对公式的记忆有很大的帮 助。

例3. 课本P18 例2


例4. 课本P18 例3



分析：注意排列公式应用的条件，
排列数公式只能用在 从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，
对元素可能相同的情况不能使用。



课堂练习P20练习3、5、6


※
概括总结
1. 排列数的定义
2. 排列数公式及其全排列公式.
3. 是排列的特征
4.两个排列数公式的用途：乘积形式多用于 ，阶乘形式多用于 。
你认为本节课的主要内容是________________________________ ________________________

※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
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A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
当堂检测
：

32
1．计算：
5A
5
?4A
4
?
;

1234
2. 计算：
A
4
?A
4
?A
4
?A
4
?
；

2
3．已知
A
n
?56
，那么
n?
；

4．5人站成一排照相，共有 种不同的站法；

5．从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.

※
课后作业
P27习题A组1，3，4，5
































第16页

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§1.2.1. 排列（2）
※
学习目标

1．掌握排列数公式；
2. 使用排列数公式解决一些简单的应用问题（包括元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法等）.
※
课前预习
复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同
的条件是 相同， 也相同
复习2：排列数公式：
m
＝
（
m,n?N
?
,m?n
）
A
n
n
全排列数：
A
n
＝ ＝ .
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是
探究：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
对于这样的问题，由 于数0和三位数的首位的特殊性，就不能直接用排列数解决了。如果在需排列的
元素中的某些元素有特殊 要求，或是某个位置有特殊要求，此时可先考虑此元素或此位置的排列方法，再
考虑其它元素的排列办法 叫元素分析法或位置分析法。
本题用元素分析法就是，0不能在百位，是特殊元素，可先排0，再排其 它元素，因此三位数中可以有
0也可无0，所以分为有0，无0两类计算：（1）有0，则0可在个位或 十位, 共有 种排法；（2）
无0，则有 种方法。
若用位置分 析法，因百位不可为0，可先确定百位，那么个位、十位就没有要求了，再排其它位，方法
数就是：
元素分析法与位置分析法是处理附加条件的排列问题的基本分析方法。

预习自测
1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

2．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8

3. 个位数与十位数之和为奇数的两位数有 （ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
第17页
B．24 C．48 D．120

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※
新课导学
探究任务：
进一步解决特殊排列问题的基本方法
例1. 6名男生和2名女生排成一排，
（1）若2名女生必排首位或末位，有多少种不同的排法？
（2）若2名女生既不在首位也不在末位，有多少种不同的排法？





小结 ：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：优先安置受限制的元 素，然后再考虑
一般对象的安置问题，常用方法如下：
（1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理．
（2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理．
（3）当问题的反面简单明了时，可采用间接法，从“对立事件”出发用减法
．
元素分析法与位置分析法是分析排列问题的基本方法，但在一些排列问题时，我们必须掌握一定的解
题技巧，下面来研究两种常见的相邻排列和分离排列问题的处理方法。

例2． 6名男生和2名女生排成一排，
（1）若2名女生排在一起，有多少种不同的排法？
（2）若2名女生不相邻，有多少种不同的排法？








变式：4男4女排成一排，
（1）同性者相邻，有多少种不同的站法？
（2）同性者不能相邻，有多少种不同的站法？



小结：（1）若要求某些元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法 ”就是首先将要求排在相邻位置上
的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元 素的排列。
第18页

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（2）若要求某些元素分分离，常采用“插空法”。所谓插 空法就是首先安排一般元素，然后再将
受限制元素插人到允许的位置上．
例3 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数？









变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，
（1）能组成多少个没有重复数字的四位奇数？
（2）能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？








※ 动手试试

练1.从4种蔬菜品种中 选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？







练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？






※ 学习小结

1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.

2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.


※ 知识拓展

有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；
（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人.
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※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测：
1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
2．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）
84444
A．
A
8
种 B．
A
8
种 C．
A
4
·
A
4
种 D．
A
4
种
3．现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.
4．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种， 那么不同的试种方
法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．96种
5．在高一、高二级进行的演讲比赛中， 两个年级各派3名代表，年级间轮流发言，那么不同的发言顺序
共有（ ）
A．36种

B．72种 C．108种 D．720种
※
课后作业
1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？























第20页

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§1.2.2. 组合（1）
※
学习目标
1. 理解组合、组合数的概念；
2. 清楚排列与组合的区别与联系，可推导组合数计算公式，会做无附加条件的组合问题.
3. 能准确简便进行组合数的计算
※
课前预习
仔细阅读课本P21—P23相关内容，思考下面问题
1．排列定义中对元素有什么要求?
2．下面两个问题中的区别是，其中 是排列问题。
（1）从甲，乙，丙3名同学中选出2人去参加一项活动，求不同的选法种数。
（2）从甲，乙，丙3名同学中选出2人担任正副班长，求不同的选法种数。
思考：这两个问题区别是什么？联系又是什么？能不能把问题（1）转化为问题（2）处理？
3.思考：组合的定义是什么？与排列与什么区别？怎么判断一个问题是排列还是组合？


试试：试写出集合
?
a,b,c,d,e
?
的所有含有2 个元素的子集，这是排列还是组合问题？



预习自测
判断下列问题是排列问题还是组合问题？
（1）a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？
（2）a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？






反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；
排列与组合有何关系？



第21页

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※
新课导学
探究任务一．组合数的概念：
类比排列数的定义，可以得到组合数的定义
从
n
个 元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的 组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
m
个元素的组合数．用 符号
C
n
表示．

．．．
探究任务二 组合数公式 一个自然的想法，组合数的计算能不能化为我们学过的排列数来计算。先回到课前预习（2）从甲，
乙，丙3名同学中选出2人担任正副班长，求不同的选法种数。对这个排列问题我们可以不妨用分步计数
2
乘法原理来做。第一步：先从三人中选两人出来，不安排职务，有
C
3
种方 法；第二步：再将选出来的两
222
个人安排正副班长职务，有
A
2
种方法，那么有
C
3
种方法
?A
2
2
3
2
2
2
3
，即所以
C?A?A
A
3
2C?
2

A
2
2
3
m
一般地：
C
n
＝ ＝

0
规定：
C
n
?
1

※ 典型例题

7
25
例1：计算：（1）
C
7
（2）
C
7
； （3）
C
10







反思：观察（1）（2）的结果，你 会得到什么结论？能不能构造一个事件解释？这个结论对你在今后进行
组合数的计算时有什么帮助？









练习：课本P25第5、6题





第22页

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例2.课本P23例6.










例3. 课本P24例7










练习：P25练习3、4题






小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元 素有关，与顺序无关，要正确区分
排列与组合.





※ 学习小结

1. 正确理解组合和组合数的概念

2.组合数公式：
n!
A
n
m
n(n?1)(n?2)( n?m?1)
m
(n,m?N
?
,且m?n)
或者：
C< br>n
?
C?
m
?
m!(n?m)!
A
m
m!
m
n
你认为本节课的主要内容是_____________________ ___________________________________


※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差


第23页

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当堂检测
：

1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．
2. 设集合
A?
?
a,b,c,d,e
?
,B ?A
，已知
a?B
，且
B
中含有3个元素，则集合
B
有
个.

3
3. 计算
：
C
10
=
.
r
4. 组合数
C
n
（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
r+1
r
-
1
n
r
-
1r
-
1r
-1
A．
C
B．(n+1)(r+1)
C
C．nr
C
D．
C

n+1
n
-
1
r
n
-
1n
-
1n
-
1< br>5. 写出从
a,b,c,d,e
中每次取3个元素且包含字母
a
，不 包含字母
b
的所有组合

※
课后作业
课本P27习题1.2 第2，9，10，11题





























第24页

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§1.2.2 组合（2）
※
学习目标

mn?m
1．了解组合数的一个性质C
n
并能利用其进行组合数计算；
?C
n
2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的有限制条件的组合应用问题；
3．了解解决相同元素的分配问题（名额分配）的隔板法。
※
课前预习
阅读课本P25—P26探究前的内容。
复习1：从

个 元素中取出
?
m?n
?
个元素 一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个组合；从 个 元素中取出
?
m?n
?
个元素的 组合的个数，叫做从
n
个不同元素
中取出
m
个元素的组合数．用符号 表示.
．．．

复习2： 组合数公式：

m
＝ ＝
C
n
思考：高二（1）班有60名同学，
⑴ 从中选出8名同学组成班级篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出52名同学不参加班级篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？




mn?m
组合数的性质1：
C
n
．
?C
n
一般地，从n个不同元素中取出
m
个元素后，剩下
n ?m
个元素．因为从n个不同元素中取出m个元
素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的 每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的
．．．．
mn?m
组合数 ，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：
C
n

?C
n





预习自测
18
1. 计算：
C
20
=
2. 平面内有10个点，任意3点不在一条直线上，这10个点可以构成 个三角形。

3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有 种选法，若要求每个学生至
第25页

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少从中选学3门，共有 种选法

※
新课导学
探究任务1：有限制条件的组合应用问题
例1.课本P24例8







概念辨析：对于本例的（3），有同学说除了课本所给的两种方法外，还可以这样思考，为保证一定有< br>2
112
次品，先从两件次品中选取一件有
C
2
种方法，再从 剩下99件产品的选出两件，有
C
99
，共有
C
2
C
99
种方
式，这样做对吗？由此我们在解决排列组合问题中选取元素时要注意什么？



变式：已知集合
A?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
，求
（1）含有5个元素的A的子集个数
（2）含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的A的子集个数。


例2 ：平面内有10个点，恰好有4个点在一条直线上，其余的任意3点都不在一条直线上，这10个点可
以 构成多少个三角形？
分析：按元素分析的思想，将4个在一条直线上的点作为特殊元素优先考虑，那么 可以将10个点分
成两类：第一类是共线的4个点，第二类是其余不共线的六个点。那么要能构成三角形 可以从第一类取2
个点，第二类取1个点；或是从第一类取1个点，第二类取2个点；或是从第二类取3 个点。当然，另一
个角度就是从对立面考虑，想一下，任取三个点不能构成三角形的情形有多少种？



探究任务2：相同元素的分配问题
例3. 某校高二年级有 6个班级，现要从中选出8人组成高二年级篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规
定每班至少要选1人参 加，这8个名额有多少种不同的分配方案？
第26页

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分析：名额分配问题，名额之间没有区别，第一 种想法就是先每个班分1个，那么还剩下2个名额，
这两个名额可以全部给1个班，有 种方法，也可以给两个班，每班1人有 ，故分配方案有
种
另一方面，由于名额之间没有区别，可以把它们视作是排成一排的8个相同的小球，要把这8个小球
分 开成6段，且每段至少一个小球，为达到这个目的，我们把这8个球拉开，每两个球之间空出一个位置，
两端不留位置，共7个位置，现在要把这7个位置中放入5个隔板，则每一种放法把这8个球都能分成6
5
段，得到的结果对应于一种分配方案，故有
C
7
?21
种放法，这 样的方法叫隔板法。
如果例3中，将选出8人改为选出9人，其余条件不变，你再用上面的两 种方法再做一次，体会隔板
法处理相同元素的分配问题的优势。




变式1. 将10个相同的小球放入4个盒子，每盒不空，有有 不同的方法。
变式2. 10个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，要求每个盒 子里的球数不少于该盒
子的编号数，问有 不同的方法

※ 学习小结

mn?m
1. 公式
C
n
的组合意义及适用范围；
?C
n
2. 组合问题 同类元素的选取一般要一次选够，不要追加元素，不然会构成顺序关系而变成排列问题造成
重复；
3. 隔板法在解决相同元素的分配问题的作用
你认为本节课的主要内容是________ ________________________________________________


※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
：

n2n-3
1.
若
C
12
，则
n?


?C
12
2. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
3.

平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段 条
；
以其中每2个点为端点的向量最多可
构成 个。
4. 凸五边形对角线有 条。
第27页

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5．两条直线
a,b
相交于点A，从直线
a
中取异于点A的4个点，再从直线
b
中取异于点A的5个点，从
这 10个点选取3个可以构成 个三角形。

※
课后作业
1.以正方体的8个顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有 个






n
128
2.
若
C
n
，求
C
21
的值

?C
n








3．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛 时一
个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？




4. 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙 两位教师不能同时参加，则邀请的不同
方法有 （ ）
A．84种



















第28页
B．98种 C．112种 D．140种

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§1.2.2 组合（3）
※
学习目标

1．熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题；
2．了解对排列组合综合问题，一般要“先分类，后分步”
3．了解简单的不同元素的分配问题的解法。
※
课前预习
m
复习1：
A
n
＝
m
＝ ＝
C
n
mm
与
C
n
关系公式是
A
n

复习2：
组合数的性质1： ．
预习自测
1．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男 、女医生都有，则不同的组
队方案共有（ ）
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
2．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加 社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有
________________种
※
新课导学
探究任务一：排列组合的混合问题
例１．从６名男老师和４ 名女老师中，选出３名男老师和２名女老师去５所学校工作，一共有多少种分配
方案？
分析：可分三步完成。选3名男老师有 种，选2名女老师有 种，对选出的5人分配到5所
学校有 种，根据乘法原理，有 种


32
辨析：
A
6
A
4
正确吗？为什么？


变式：从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志， 分别到四个不同的工厂
第29页

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调查，不同的分派方法有 （ ）
A．100种 B．400种 C．480种 D．2400种

小结：排列组合混合问题，解题的关键是要合理分步。一般说来，先组合后 排列容易做到合理，使解答
不重不漏。




探究任务二：简单的不同元素的分配问题
例2. 将4名学生分配到3个不同的科技小组，每组至少1人，求满足条件的分配方案数？





变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？



总结：将
n?1
个不同小球放入
n
个不同的盒子，每盒不 同的放法数是不同元素的分配问题中一个非常重要
的模型，一定要掌握并能分析原理。




小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .










※ 学习小结

1. 正确区分排列组合问题

2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
你认为本节课的主要内容是____ __________________________________________________ __
第30页

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※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差


※ 当堂检测
：

1．要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是 ；
2．有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；
3． 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个无重
复数字的五位数。
4．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小 王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、
导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前 两项工作，其余三人均能从事这四项工作，
则不同的选派方案共有
Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种
5．从5名外语系大学生中选派4名同学 参加奥运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参
加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的 选派方法共有 种。
















第31页

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※
课后作业
1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小 题，在第2题的3个小题中选做2个
小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？









2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.
⑴ 如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？
⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？
⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？
⑷ 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？




< br>3.校运动会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到铅球、跳远、跳高三个不同的< br>场地服务，每个场地至少分配一人.若甲要求不到跳高场地，那么不同的分配方案有 种



















第32页

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§1.3.1 二项式定理
※
学习目标
1. 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
※
课前预习
仔细阅读课本P29~ P31相关内容，思考下面问题：
探究（a+b）
3
、（a+b）
4
的展开式
问题1：（a
1
+ b
1
）(a
2
+b
2
) (a
3
+ b
3
)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？


问题2：将上式中，若令a
1
=a
2
=a
3
=a, b
1
=b
2
= b
3
=b,则展开式又是什么？


合作探究一：合并同类项后，为什么a
2
b的系数是3？


问题3：（a+b）
4
的展开式又是什么呢？

1234
4 4323
结论：（a+b）
4
= C
0
4
a+ C
4
ab+ C
4
a b+ C
4
ab+ C
4
b
2
预习自测
1. 写出（p+q）
7
的展开式；


2.求
?
2a?3b
?
展开式中的第3项系数和二项式系数.


6
?
3
1
?
?
3. 写出
?
x?
??
的展开式的第r+1项；
3
2x
??


4、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有
（1+x）
n
=_____ __________________________________

n
※
新课导学
探究任务一： 二项式定理
问题4：（a+b）
n
的展开式又是什么呢？
合作探究二: (1) 将（a+b）
n
展开有多少项？
第33页

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（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？
（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？
（4）如何确定“a”、“b”的系数？





新知：
0n1n?1rn?rr
nn
(a?b)
n
?C< br>n
a?C
n
ab?????C
n
ab?
????C< br>n
b
（
n?N
?
）
上面公式叫做二项式定理.


二项式定理的公式特征
（1）项数：_______;
（2 ）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到__ ____；
（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；
（4）通项:T
k+1
=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为__ ____；
n
（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（
a
＋
b
）的二项展开式。

试试：写出
(1?x)
6
?
，
⑴ 展开式共有 项，
⑵ 展开式的通项公式是 ；
⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .

反思：
(a?b)
n
的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？




基本题型一：利用
(a?b)
n
的二项展开式解题
例1 求
(2x?
1
x
)
6
的展开式。
分析：为了方便，可以先化简后展开.









基本题型二：利用通项公式解题
例2 ⑴ 求
(1?2x)
展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
⑵ 求
(x?



第34页
7
1
9
)
展开式中
x
3
的系数.
x

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变式：求
(
x3
9
?)
展开式中的常数项和中间项.
3
x








小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.
※ 动手试试

1. ⑴ 求
?
2a?3b
?
展开式中的第3项系数和二项式系数.










6
1
??
2. ⑴ 求
?
x
2
?
?
的展开式中的常数项；
2x
??
nn
3
⑵ 若
?
1?2x
?
的展开式中第6项与第7项的系数相等，求
n
及
?
1?2x
?
展开式中含
x
的项．











9
※
概括总结
1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.
2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.

你认为 本节课的主要内容是_________________________________________ _______________

※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
第35页

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A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差




当堂检测
：

1.
?
a?2b
?
的展开式中第3项的二项式系数为 ； 第3项系数为 ；
2.
(x?1)
10
展开式的第6项系数是（ ）
65
65
(A)
C
10
(B)
?C
10
(C)
C
10
(D)
?C
10

11
3. 在
?
1?2x
?
的展开式中，含
x
项的系数是 ；
3
6

1
??
4. 在
?
3
a?
?
的展开式中，其常数项是 ；
a
??

5.
?
x?a
?
的展开式中倒数第4项是 .
12
5
※
课后作业

1. 求
(1?2x)
15
展开式的前4项；





2. 求
2a
3
?3b
2






??
10
展开式中第8项；
?
2x
?
?
3. 求
?
?
x
4
?
?
的展开式中的常数项.
??







6
?
1
?
5
x??
4.（04年全国卷）
?
??展开式中
x
的系数是 .
x
??


8




第36页

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1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
※
学习目标
1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；
2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；
3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。
※
课前预习
预习教材P
32
~ P
35
，找出疑惑之处
复习1：写出二项式定理的公式：

r
⑴ 公式中
C
n
叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号
表示 ，通项为展开式的第 项.

⑵ 在
(a?b)
n
展开式中，共有 项，各项次数都为 ，
a
的次数规律是 ，
b
的次数规律是 ，各项系数分别是 .

?
2
?
x??
复习2：求
?
??
展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
x
??

基础知识梳理
二项式系数的三个性质：
1.对称性是指
r
2.增减性：当r满足 时，
C
n
是增函数；
10
3.最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数时，
展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 .

预习自测
1. ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）
② 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （用符号表示即可）

2. 若
?
1?2x
?
?a< br>0
?a
1
x?a
2
x
2
?????a
7
x
7
，
7
11
10
则
a
1
?a
2
?????a
7
?
，
a
1< br>?a
3
?a
5
?a
7
?
，
a
0
?a
2
?a
4
?a
6
?
.

※
新课导学

探究任务一：杨辉三角
问题1 ：在
(a?b)
展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
n
?
a?b
?
1

第37页

高二数学选修2-3学案 本册主编：*** 审核：***
?
a?b
?
2

?
a?b
?
3

?
a?b
?
4

?
a?b
?
5

?
a?b
?
6


新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是

探究任务二 二项式系数的性质
r问题2：设函数
f
?
r
?
?C
n
，函数的定义 域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例）

新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴
是 .

试试：
① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
② 若
a?b
n
的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相
等，则n＝ .

反思：为什么二项式系数有对称性？

⑵ 增减性与最大值 ：
提示：（1）讨论
C
n
与
C
n
（2）讨论
k
k?1
6
??
的大小关系。
(n?k?1)
k
与1的大小关系。





结论：
从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二
项式系数都取得最大值.

n
试试：
(a?b)
的各二项式系数的最大值是

⑶ 各二项式系数的和：
012n
CCCC
+++…+
nnn
=？
思考：
n
分析：赋值法的应用。

结论：
n
01rn
在
(a?b)
展开式中，若
a?b?1
，则可得到
C
n< br>?C
n
?????C
n
?????C
n
?

第38页

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12rn
即
C
n
? C
n
?????C
n
?????C
n
?


基本题型一：增减性与最值问题
例1求
?
1?2x
?
的展开式中系数最大的项
．






11
变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大
的项.




n
小结：在
(a?b)
展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同， 可以利用通项公式，找到二项式系
数和项系数的关系来达到目的.

基本题型二：二项式系数有关问题
例2 证明：在
(a?b)
n
展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.






13511
变式：⑴ 化简:
C
11
< br>?C
11
?C
11
?????C
11
012n
⑵ 求和：
C
n
.
?2C
n
?2
2
C
n
?????2
n
C
n
10







小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加
法.

※
概括总结
1. 二项式系数的三个性质


2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
你认为本节课的主要内容是____________________________________ ____________________



※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
第39页

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当堂检测
：

1
??
1. 在
?
x?
?
的展开式中，系数最大的项是第 项；
x
??

2. 在
?
1?x
?
的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项；

12
3. 计算
3
10
?3
9
C
10
?3
8
C
10
?< br>
9
12
99
9
?3C
10
?1
=
2
4. 若
?
1?2x
?
?a
0
?a1
x?a
2
x??a
9
x
9
，则
a
1
?a
2
??a
9
＝ ；

01n
C
n
?C
n
?????C
n
5. 化简：
0
?

1n?1
C
n?1
?C
n
?????C
?1n?1

※
课后作业

1. ⑴ 求
?
?
x3
?
?
展开式的中间一项；
?
?
3
x
?
??
12
⑵ 求
xy?yx












n
??
15
展开式的中间两项.
2. 已知
?
1?x
?
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等 ，求这两项的二项式系数.

















第40页

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1.3.3 二项式定理的应用（1）
※
学习目标
掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求特定项问题.
※
课前预习
复习1：⑴
(a?b)
n
＝
r
展开式中
C
n
叫做第 项的 系数，通项公式是 ，展开式中共有 项.

⑵ 二项式系数的三个性质：
对称性是指
r
增减性：当r满足 时，
C
n
是增函数；
最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数时，
展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；

3
复习2：求
(x ?)
的展开式中
x
的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数 最
1
x
9
大的项.







预习自测
1.
(2011·广东)x
?
x －
?
的展开式中，x的系数是________(用数字作答)．



3
2. 求
(x?)
的展开式中
x
的系数及它的 二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的
?
?
2
?
7
x
?
4
1
x
9
项.




122nn12n
3. 如果
1?2C
n
?2 C
n
?????2C
n
?81
，则
C
n
? C
n
?????C
n
＝ .



类型一、求特定项和特定项的系数
第41页

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【例1】在
(2x?
1
6
)
的展开式中，求：
x
2
（1）第4项的二项式系数；
（2）第4项的系数；
（3）常数项。
【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。







【总结升华】利用二项式定理展开式通项公式求特定项问题 是高考常见题型，要注意掌握和应用。解决二
项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通 常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的
二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊 情况下方为同一数值。

【变式1】如果在
(x?





【变式2】在
(
5
3?
3
5)
100
的展开式中，有多少个有理项？
1
2
4
x
)n
的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.





【例2】试求下列二项展开式中指定项的系数.
4
（1）(x
2
?
2
?4)
5
的展开式中
x
4
项的系数；
x
（2）
(1?x)
5
(1?2x)
6
的展开式中
x
3
项的系数；
（3）
(1?x)?(1? x)
2
?(1?x)
3
???(1?x)
20
的展开式中< br>x
4
项的系数；
（4）
(x
2
?3x?2)
5
的展开式中x项的系数；
第42页

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（5）
(1?2x?3x
2
)< br>6
的展开式中
x
5
项的系数；
【思路点拨】将多项式转化为二项式，然后再利用二项式定理加以解决。














【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法
（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。
（2）局部展开；
（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；
（4）借助求解组合应用题的思想
举一反三：
【变式1】(x-1)-(x-1) +(x-1)-(x-1)+(x-1)的展开式中，x的系数为____。





【变式2】在
(x?1)(x?1)
8
的展开式中x
5
的系数是（ ）
A. –14 B. 14 C. –28 D. 28







23452
※
概括总结
掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求特定项问题.

你认为本节课的主要内 容是________________________________________________ ________




※
学习评价
第43页

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你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测
：

1
??
5
1.
?
1 ?
?
展开式的
x
系数是 ；
?
2x
?

2. 已知
?
x?1
??ax?1
?
展开式中
x
系数是56，则实数
a
的值为 ；


3. 求
(x
2
?3x?4)
4
的展开式中
x
的系数.





62
3
10
4.?
3x?
3
2
?
100
展开式是关于x的多项式，问展 开式中共有多少个有理项？





※
课后作业

1. (2012年高考广东卷理科10)
(x?


2. (2012年高考福建 卷理科11)
(a?x)
4
的展开式中
x
的系数等于8，则实数a?
_________.


3.(2012年高考安徽卷理科7)
(x?2)(
2
2
1
6
)
的展开式中
x< br>3
的系数为______.（用数字作答）
x
3
1
?1)
5
的展开式的常数项是（ ）
2
x
21世纪教育网

(A)
?3

(B)
?2

(C)
?

(D)
?



4.(2012年高考全国卷理科15)若
(x?)
的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中
的系数为 .





第44页
1
x
n
1
x
2

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1.3.3 二项式定理的应用（2）
※
学习目标
1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；
2. 掌握用“赋值法”求二项展开式系数问题.
类型二、二项式系数的性质
【例3】 已知
(x?
1
2
3
x
)
n
(n?N
?
)
的展开式中奇数项的二项式系 数之和等于512，试求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项；
（3）系数最大的项。
【思路点拨】利用二项式定理展开式性质求解最大项。













【总结升华】
（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一 项的系数，按通常的多项式系数去理解、认
定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合 数。二者在特殊情况下方为同一数值。
（2）这里
(x?
1
2
3< br>x
)
10
展开式中系数绝对值最大的项，实际上是
(x?
1< br>2
3
x
)
10
展开式中系数最大的
项，必要时可适时 转化。
（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运 用认知、列
举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。
备份：
【变式1】
(xx?
项为 ___。


第45页
1
3
x
)
n
的展开式的偶数项的二项式系数之和为128， 则展开式中二项式系数最大的

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【变式2】设
(x?
1
5
2
n
)
展开式的第10项系数最大，求n.
5







类型三、赋值法的应用
【例4】设
(3x?1)
4< br>?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?a< br>3
x
3
?a
4
x
4
.

（ 1）求
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
;

（2）求
a
0
?a
2
?a
4
;

（3）
a
1
?a
3
;

（4）
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
;

（5）求各项二项式系数的和。
【思路解析】二项展开式求各项系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。








第46页

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【总结升华】
1．赋值法 在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a,b,n的恒等式，出除
了正用、逆 用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a,b取相应的特殊值，至于特殊值a,b如何选
取，视 具体问题而定。
2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决， 可以取一个值或
几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意。

【变式】
(1?3x)
9
?a
0
?a
1
x?a2
x
2
??a
9
x
9
,则
|a
1
|?|a
2
|??|a
9
|?
.








※
概括总结

1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；

2. 掌握用“赋值法”求二项展开式系数问题.

你认为本节课的主要 内容是_______________________________________________ _________




※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测
：

1．(2011·安徽)设(x－1)
21
＝a
0
＋a
1
x＋a
2
x
2
＋…＋a
21
x
21
，则a
10
＋a
11
＝________.
第47页

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2.设
(4x?1)
200
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2???a
200
x
200
，求
①展开式中各二项式系数的和；
②展开式中各项系数的和；
③
a
1
?a
3
???a
199
的值
④
a
2
?a
4
???a
200
的值 ⑤
a
1
?a
2
???a
200
的值









※
课后作业

1.
?
1?2x
?
展开式中各项系数的和是 ；




2.
(2012·天津质检)若(1＋x＋x
2
)< br>6
＝a
0
＋a
1
x＋a
2
x
2＋…＋a
12
x
12
，则a
2
＋a
4
＋…＋a
12
＝________.
n




3.二项式(2x－3y)
9
的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．












第48页

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1.3.3 二项式定理的应用（3）
※
学习目标
利用二项式定理展开式解决题型：
（1）证明某些整除问题或求余数；
（2）证明有关不等式；
（3）进行近似计算；
类型四、整除（余数）问题，近似计算
【例6】求91除以100的余数。
分析：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开
后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此 类问题的最常用技巧，余数要为正整数.







【总结升华】解题方法归纳：利用二项式定理，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的 变形，使被
除（数）展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧；由于
(a?b)n
的展开式共有n+1项，故可
能对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的。而 对于整除问题，关键是拆成两项利用二项式定
理展开，然后说明各项是否能被整除。
【变式1】求证：
3





第49页
2n?2
92
?8n?9（n?N
?
）
能被64整除。

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【变式2】求1.01精确到0.001的近似值。










10
类型五、
证明不等式
【例7】利用二项式定理证明
()












1
【变式】若n∈N且n＞1，求证：2＜(1＋)
n
＜3.
n











2
3
n?1
?
2
(n?N
*
,且n?3)
.
n?1
※
概括总结
利用二项式定理展开式解决题型：
（1）证明某些整除问题或求余数；
（2）证明有关不等式；
（3）进行近似计算；

你认为本节课的主要内 容是________________________________________________ ________


※
学习评价
第50页

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你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测
：

1.今天是星期三，再过
8
2009
是星期 .








5．若n是奇数，则
7n
?C
1n?12n?2n?1
n
7?C
n
7???? C
n
7
被9除的余数是 （ ）
A．0 B．2 C．7 D．8





※
课后作业

1. (2012年高考湖北卷理科5)设a∈Z，且0≤a ≤13，若51
2012
+a能被13整除，则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12





2.用二项式定理证明
55
55
?9
能被8整除.









3.利用二项 式定理证明
对于n?N
*
,(1?
1
n
1
n
n
)?(1?
?1
n?1
).
.






第51页

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选修2-3第一章《计数原理》复习
※本章
考纲要求
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；
② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
（2）排列与组合
① 理解排列、组合的概念。
② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。
③ 能解决简单的实际问题。
（3）二项式定理
① 能用计数原理证明二项式定理
② 会用用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题
※
复习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌 握二
项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.

※
课前预习
仔细阅读课本P38—P39相关内容，头脑中形成下面的知识网络：

基础知识梳理
1．加法原理的使用条件是 和 ；

乘法原理的使用条件是 和 .

2．排列中的元素满足的两个条件是 和 ；

组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.

n
3．
(a?b)
＝

展开式中第
r?1
项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个
第52页

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是 ， 和 .
预习自测
1. 有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的
排 法种数有 （ ）
A .2880 B.3080 C.3200 D.3600





2. 一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英 文字母不能相同，不同的牌照号码的个
数是 .






3. 在(1－x)－(1－x)的展开式中，含x的项的系数是 （ ）
A、－5 B、 5 C、10 D、－10





563
※
新课导学
题型一：排列组合问题
例1 有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个 红球记2分，取到1个白球记1分，现从
10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？







变式：三张卡片的正反面 上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，
则三位数的个数为多 少？









题型二：项系数问题
例2 已知
(
3
x
2
?3x
2
)
n
的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中 二项式系数最
大的项

第53页

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变式：⑴
(1?x
3
)(1?x)
10
的展开式中，
x
的系数是











⑵ 求(1－2x)
8
展开式中二项式系数最大的项；








※
概括总结
1. 正确区分排列组合问题：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合；正确使用加法与乘法原理；

2. 熟练掌握二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，区分二项式系数与项系数的关系.

5

※
学习评价
你完成本节学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测
：

1.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有 个；

2. 平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有 个交点；

3. 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部 排在同一层，如果不使同类
的书分开，一共有 种排法；

4. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数,这样的五位数共有 个；

5. 已知集合A＝
?
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
?
，B＝
?
b
1
,b
2< br>,b
3
?
，可以建立从集合A 到集合B的不同映射的个数
是 ，可以建立从集合B到集合A的映射又有 .
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高二数学选修2-3学案 本册主编：*** 审核：***


※
课后作业

1. 已知
1?x
的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值.











2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数
⑴ 能够组成多少个六位奇数？
⑵ 能够组成多少个大于201345的正整数？












??
n
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