高中数学选修2-1综合测试题及答案

选修2-1综合测试题
一、选择题
1、已知
a
、
b
为实数,则
2
a
?2
b
是
log2
a?log
2
b
的 ( )
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、给出命题: 若函数
y?f(x)
是幂函数,则函数
y?f(x)
的图象不过第四象限.在 它的逆命题、
否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
??
3、已知函数
f(x )?sinx?2xf
?
()
,则
f
?
()?
( )
3
3
3
11
A.
?
B. 0 C.
?
D.
2
22
4、如果命题“p且q”是假命题,“非p” 是真命题,那么 ( )
A.命题p 一定是真命题 B.命题q 一定是真命题
C.命题q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题q 一定是假命题
2
5< br>、已知命题
p:?x?
?
1,2
?
,x?a?0
,< br>命题
q:?x?R,x
2
?2ax?2?a?0
,
若命题“
p?q
”
是真
命题
,
则实数
a
的取值范围是
( )
A.
(??,?2]{1}
B.
(??,?2][1,2]
C.
[1,??)
D.
[?2,1]

A
1
B
1
6．如图ABCD－ A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，B
1
E
1
＝D
1
F
1
＝，则BE
1
与DF
1
所成角的余
4
弦值是( )
15
A．
17
183
B． C． D．
2172
7．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那
么二面角B－ AP－C的余弦值为( )
A．
2

2
B．
375
C． D．
377< br>x
2
y
2
y
2
x
2
8、我们把由半 椭圆
2
?
2
?1(x?0)
与半椭圆
2
?
2
?1(x?0)
ab
bc
合成的曲线称作“果圆”(其中
a
2
?b
2
?c
2
,
a?b?c?0
).如图,< br>设点
F
0
,F
1
,F
2
是相应椭圆的焦点, A
1
、A
2
和B
1
、B
2
是“果圆”与< br>x,y轴的交点,若△F
0
F
1
F
2
是边长为1的等 边三角,则a,b的值分

别为( )A.
7
,1
B.
3,1
C.5,3 D.5,4
2
x
2
y
2
9、设
F
1和
F
2
为双曲线
2
?
2
?1
(
a?0,b?0
)的两个焦点, 若
F
1
，F
2
,
P(0,2b)
是正三角形的三
ab
个顶点,则双曲线的离心率为( )
A.
35
B.
2
C. D.3
22
10、设斜率为2的直线
l
过抛物线y
2
?ax(a?0)
的焦点F,且和
y
轴交于点A,若△OA F(O为坐
标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.
y
2
??4x
B.
y
2
??8x
C.
y
2
?4x
D.
y
2
?8x

11．已知长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝BC＝1，AA
1＝2，E是侧棱BB
1
的中点，则直线AE与平
面A
1
ED1
所成角的大小为( )
A．60° B．90°C．45° D．以上都不正确
12、平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
πππ3π
A．
6
B．
4
C．
3
D．
4

二、填空题
13． 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1 ,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝，若向量ka＋b与ka－
2b互相垂直，则k的值为 ________．
14． 已知向量a＝(cos θ，sin θ，1)，b＝(3，－1,2)，则|2a－b|的最大值为________．
x
2y
2
x
2
y
2
15、已知椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
与双曲线
2
?
2
?1
(m?0,n?0)
有相同的焦点
(?c,0)
和
abmn
(c,0 )
,若
c
是
a
、
m
的等比中项,
n
2
是
2m
2
与
c
2
的等差中项,则椭圆的离心率 是 .
16、现有下列命题:
①命题“
?x?R,x
2< br>?x?1?0
”的否定是“
?x?R,x
2
?x?1?0
”;
②若
A?
?
x|x?0
?
,
B?
?
x|x??1
?
,则
A(?
R
B)
=
A
;
③函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)(
?< br>?0)
是偶函数的充要条件是
?
?k??
④若非零向量
a,b
满足
a
=
?
b,
b
=
?
a
(
?
?R
),则
?
=1.
其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
?
(k?Z)
;
2

1
17、( 12分)设命题p:不等式
2x?1?x?a
的解集是
{x??x?3}
;命 题q:不等式
4x?4ax
2
?1
的
3
解集是
?< br>,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.
18、(12分)已知向量b与向量a= (2,-1,2)共线，且满足a·b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量b及k
的值. < br>19、(12分)如图所示,已知圆O
1
与圆O
2
外切,它们的半径分 别为3、1,
圆C与圆O
1
、圆O
2
外切。(1)建立适当的坐标系 ,求圆C的圆心的轨迹
方程；(2)在(1)的坐标系中,若圆C的半径为1,求圆C的方程。
20、(12分)某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造
平面图形为矩形,面积 为126m
2
的厂房,工程条件是:
①建1m新墙的费用为a元;②修1m旧墙的费 用为
的新墙的费用为
a
元,经讨论有两种方案:
2
a
元;③拆去1m的旧墙,用可得的建材建1m
4
y
·
O
2

O
1

(1)利用旧墙一段x m(0＜x＜14)为矩形一边;
(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14;
问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好.
y
2
x
2
21、(12分)已知
F
1
、
F
2
分别为椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)的上、下
ab
M
F
1
O

F
·
2
·

x
焦点,其中
F
1
也是抛物线
C
2
:x
2
?4y
的焦点,点
M
是
C
1
与
C
2
在第二象
限的交点,且
|MF
1
|?
5
.
3

(1)求椭圆
C
1
的方程;
(2)已知点
P(1,3)< br>和圆
O
:
x
2
?y
2
?b
2
,过点
P
的动直线
l
与圆
O
相交于不同的两点
A ,B
,在线段
AB
上取一点
Q
,满足:
AP??
?
PB
,
AQ?
?
QB
,(
?
?0
且
?
??1
).求证:点
Q
总在某定直线上.
22、(1 4分)（2011·辽宁高考理科·Ｔ18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，
P D⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
1
PD．
2
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．

参考答案：1.A
2
a
?2
b
?a?b
,当
a?0
或
b?0
时,不能得到
log
2
a?log
2
b
,反之成立.
2.B 原命题为真,其逆命题为假,∴否命题为假,逆否命题为真.
??1??1
3.C 得
f
?
(x)?cosx?2f
?
()
,∴
f
?< br>()??2f
?
()?f
?
()??
.
332332
4.C “非p” 是真命题,命题p 是假命题∴命题q 可以是真命题也可以是假命题.
5.A “
p?q
” 为真,得
p
、
q
为真,∴
a?(x
2
)
min
?1
;△
4a
2
?4(2?a)?0
. 得
a??2
或
a?1
.
6.A 7.C 8.A
OF
2
?b
2
?c
2
?
3
1
,
OF
0
?c?3OF
2
?
,∴
b?1
,
2
2
∴
a
2
?b
2
?c
2
?1?
77
37
,即
a?
,
b?1
.
?
,得
a?
22
44
9.B由
tan
?
6
?
c3
c
?
有
3c
2
?4b
2< br>?4(c
2
?a
2
)
,则
e??2
,故选B .
2b3
a
a
a
10.B 抛物线
y
2
?ax(a?0)
的焦点F坐标为
(,0)
,则直线
l
的方程为y?2(x?)
,
2
4
a1aa
它与
y
轴的 交点为A
(0,?)
,所以△OAF的面积为
||?||?4
,
2
242
解得
a??8
.所以抛物线方程为
y
2
?? 8x
.
11
11
10.D
S
?PTQ
??y? QT?
,∴
QT?
,
Q(x?,0)
,根据导数的几何意义, yy
22
k
PQ
?
5
?y
?
,∴y
2
?y
?
. 11B 12.B 13.－或2 14. 4
2
1
x?(x?)
y
y?0
15.
1
本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得
2
c
2
?a
2
?b
2
?m
2
?n
2
①,
c
2
?am
②,
2n
2
?2m
2
?c
2
③,将①代入③得
2n
2
?3m
2
?n
2
,∴
n?3m,代入③得
c?2m
,再代入②得
a?4m
,得
e?
c 1
?
.
a2
16.②③ 将
b
=
?
a< br>代入
a
=
?
b
得(
?
2
?1
)
a
=0,∴
?
2
?1
,有
?
??1< br>,④错.
1
?
?a?1
??
?a?1
?
1 7.解:由
2x?1?x?a
得
?x?a?1
,由题意得
?
33
?a?2
. ∴命题p:
a?2
.
3
?
?
a?1?3
由
4x?4ax
2
?1
的解集是
?,得
4ax
2
?4x?1?0
无解,

?
a?0
即对
?x?R
,
4ax?4x?1?0
恒成立, ∴
?
,得
a?1
. ∴命题q:
a?1
.
2
??(?4)?4?4a?1?0
?
2
由“p或q”为真命题,得p、q中至 少有一个真命题.
?
a?2
当p、q均为假命题,则
?
?{aa? 1}
,而
?
R
{aa?1}?{aa?1}
.
?
a?1
∴实数a的值取值范围是
(1,??)
.
18.解: ∵a,b共线，∴存在实数λ,使b=λa, ∴a·b=λa
2
=λ︱a︱
2
,解得λ=2.
∴b=2a=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b), ∴(ka+b)·(ka-b)=(ka+2a)·(ka-2a)=0,
即(k
2
-4)︱a︱
2
=0， 解得k=±2.
1 9.解:(1)如图,以
O
1
O
2
所在的直线为
x
轴,以
O
1
O
2
的中垂线
y
所在的直线为
y
轴,建立平面直角坐标系.设圆C的圆心
为
C(x ,y)
,半径为
r
,由
CO
1
?CO
2
?
(r?3)?(r?1)?2
,
得圆C的圆心的轨迹是以
O
1(?2,0)
，
O
2
(2,0)
为焦点,
x
2
y
2
定长为2的双曲线,设它的方程为
2
?
2
? 1
.由
2a?2
,得
a?1
,
ab
·
C
O
O
2

x
O
1
又
c?2
,∴
b
2
?c
2
?a
2?3
.又点
(1,0)
不合题意,且
CO
1
?CO2
?2?0
,知
x?1
.
y
2
?1
(
x?1
). ∴圆C的圆心的轨迹方程是
x?
3
2
(2)令
C(x,y)
,由圆
C
与圆
O
1
、
O
2
相切得
|CO
1
|?4
,
|CO
2
|?2
,
?
(x?2)
2
?y
2
?16
3153
2
15
2
C(,?)(x?)?(y?)?1
. 故
?
,解得,∴圆C 的方程为
22
2222
?
(x?2)?y?4
aa
20.解 :(1)方案:修旧墙费用为x·元,拆旧墙造新墙费用为(4－x)·,
42
2?126x36
?14)a
∴总费用
y?7a(??1)
(0＜x＜14) 其余新墙费用:
(2x?
x4x
∴
y?7a(
x6
2
?)?35a
≥35a,当x＝ 12时,y
min
＝35a.
2
x
a7a252
?16)a
(元) (2)方案,利用旧墙费用为 14·＝(元),建新墙费用为
(2x?
22
x
12621
)?a< br> (x≥14) 总费用为:
y?2a(x?
x2

126x
2
?126
126
设
f(x)?x?
,
(x?14)
,则
f'(x)?1?
2
?
2
xx< br>x
当
x?14
时,
f'(x)?0
,
f(x)
为增函数,∴
f(x)
max
?f(14)?35.5a
.
由
35a?35.5a
知,采用(1)方案更好些. 答:采用(1)方案更好些.
21.解:(1)由
C
2
:x
2?4y
知
F
1
(0,1)
,设
M(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
,因
M
在抛物线
C
2
上,
故
x
0
2
?4y
0
… ①又
|MF
1
|?
26
552
,则
y
0< br>?1?
……②, 由①②解得
x
0
??
,
y
0
?
.而点
M
椭圆
3
3
33
226
2
()
2
()
48
22
33
?1
b?a ?1
…④ 上,故有
2
?
即…③, 又,则
??1
c?1< br>2
22
ab
9a3b
y
2
x
2
由③ ④可解得
a?4
,
b?3
,∴椭圆
C
1
的方程为< br>??1
.
43
22
(2)设
A(x
1
, y
1
),B(x
2
,y
2
)
,
Q(x,y )
,
?
x
1
?
?
x
2
?1?< br>?
由
AP??
?
PB
可得:
(1?x
1,3?y
1
)??
?
(x
2
?1,y
2
?3)
,即
?

y?
?
y?3(1?
?
)
?
12
?
x
1
?
?
x
2
?(1?
?
)x
由
AQ?
?
QB
可得:
(x?x
1
,y?y
1
)?
?
(x
2
?x ,y
2
?y)
,即
?

?
y
1
?
?
y
2
?(1?
?
)y
⑤
?< br>⑦得:
x
1
2
?
?
2
x
2
2
?(1?
?
2
)x
⑥
?
⑧得:
y
1
2
?
?
2
y
2
2
?3y( 1?
?
2
)

两式相加得
(x
1
2?y
1
2
)?
?
2
(x
2
2
?y
2
2
)?(1?
?
2
)(x?3y)
< br>又点
A,B
在圆
x
2
?y
2
?3
上 ,且
?
??1
,所以
x
1
2
?y
1
2
?3
,
x
2
2
?y
2
2
?3

即
x?3y?3
,∴点
Q
总在定直线
x?3y? 3
上.
22.解: 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线
DA为 x轴的正半轴建立空间直角坐标系
D?xyz
.
(Ⅰ)依题意有
Q(1, 1,0)
，
C(0,0,1)
，
P(0,2,0)
，
则< br>DQ?(1,1,0)
，
DC?(0,0,1)
，
PQ?(1,?1, 0)
，所以
PQ?DQ?0
，
PQ?DC?0
，
即 < br>PQ
⊥
DQ
，
PQ
⊥
DC
.且
DQ DC?D
故
PQ
⊥平面
DCQ
.又
PQ
?
平面
PQC
，所以平面
PQC
⊥平面
DCQ
. ……6分

（II）依题意有
B(1,0,1)
，
CB
=
(1,0,0)
，
BP
=
(?1,2,?1)
.
?
x?0,
?
?
n?CB?0,
设
n?(x ,y,z)
是平面
PBC
的法向量，则
?
即
?

?
?
?x?2y?z?0.
?
n?BP?0,
因此可取
n?(0,?1,?2).

?
?
m?BP?0,
m
设是平面
PBQ
的法向量，则
?

?
?
m?PQ ?0.
可取
m?(1,1,1),
所以
cosm,n??
15
.
且由图形可知二面角
Q?BP?C
为钝角
5
15
.

5
故二面角
Q?BP?C
的余弦值为
?