高中数学选修2-1模块综合检测(含详解)

高中数学选修2-1模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，< br>只有一项是符合题目要求的．)
1．命题“任意的x∈R,2x
4
－x
2
＋1<0”的否定是 ( )
A．不存在x∈R,2x
4
－x
2
＋1<0
2
B．存在x
0
∈R,2x
4
0
－x
0
＋1 <0
2
C．存在x
0
∈R,2x
4
0
－x
0
＋1≥0
D．对任意的x∈R,2x
4
－x
2
＋1≥0
2
解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x
0
∈R,2x
40
－x
0
＋1≥0.
答案：C
x
2
y2
1
2．设椭圆
2
＋
2
＝1(m>n>0)的右焦点与 抛物线y
2
＝8x的焦点相同，离心率为，则此
mn2
椭圆的方程为





2



2






( )
x
2
y
2
A.＋＝1
1216
x
2
y
2
C.＋＝1
4864

x
2
y
2
B.＋＝1
1612
x
2
y
2
D.＋＝1
6448
m
2
－n
2
1
解析：抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m－n.又 ＝，所以可解得m＝4，n＝2 3，
m
2
x
2
y
2
故椭圆的方程为＋＝1.
1612
答案：B
3．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 ( )
5 3
A.
2
C.
37

2












B.
21

2
3 5
D.
2
解析：由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2) ．
又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0.
5
∴2n＝5，n＝.
2
∴|a|＝
答案：D
4．a<0是方程ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负数根的 ( )
253 5
1＋4＋＝.
42

第 1 页 共 10 页

A．必要不充分条件
C．充分必要条件










B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
1
解析：因为a＝0时， 方程ax
2
＋2x＋1＝0变成2x＋1＝0，这时方程根为x＝－，所以
2
“方程ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负数根”不能推出“a<0”；另一方面，当a<0时 ，Δ＝4－
1
4a>0，∴方程一定有两个不相等的实数根，又两根之积为<0，∴方程的根一 定是一正根一
a
负根，所以“a<0”能推出“方程ax
2
＋2x＋1＝0至 少有一个负数根”．
答案：B
y
2
5．设F
1
，F2
分别是双曲线x－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且
PF
1
·
PF
2
9
2
＝0，则|
PF
1
＋
PF
2
|＝
A.10
C.5
















( )
B．2 10
D．2 5
解析：设|PF
1
|＝m，|PF
2
|＝n，
∵
PF
1
·
PF
2
＝0，∴
PF
1
⊥
PF
2
，
∴m
2
＋n
2
＝4c
2
＝40.
∵|< br>PF
1
＋
PF
2
|
2
＝|
PF1
|
2
＋|
PF
2
|
2
＋2
PF
1
·
PF
2
＝40，
∴|
PF
1
＋
PF
2
|＝2 10.
答案：B
6．已知平行六面体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两
夹角都是60°， 则对角线AC
1
的长为
A.3
C.6










( )
B．2
D．22
1
解析：由题意知
AB
·< br>AD
＝
AB
·
AA
1
＝
AD
·AA
1
＝，
2
∴
AC
1
＝(
AB< br>＋
AD
＋
AA
1
)
2

＝
AB
＋
AD
＋
AA
1
＋2
AB
·
AD
＋2
AB
·
AA
1
＋2
AD
·
AA
1
＝6，
∴|
AC
1
|＝6.
答案：C
x
2
y
2
7．已知点F
1
，F
2
分别是双曲线
2
－
2
＝1的左、右焦点，过F
1
且垂直于x 轴的直线与
ab
双曲线交于A，B两点.若△ABF
2
为等边三角形，则该双 曲线的离心率e为 ( )
22
2
2

第 2 页 共 10 页

A.3
C．2










B.3或
D．3
3

3
解析：如图，令x＝－c， c
2
y
2
b
2
则
2
－
2＝1，∴y＝±，
a
ab
b
2
∴|AF
1
|＝.
a
因△ABF
2
为等边三角形，
∴∠AF
2
F
1
＝30°.
b
2
a
3
∴tan ∠AF
2
F
1
＝＝，
2c3
3b
2
＝2c，即 3(e
2
－1)＝2e，
a
解得e＝ 3.
答案：A
x
2
y
2
8．已知F
1
(－3,0)，F
2
(3,0)是椭圆
m
＋< br>n
＝1上的两个焦点，点P在椭圆上，∠F
1
PF
2
2π＝α.当α＝时，△F
1
PF
2
面积最大，则m＋n的值是
3
A．41
C．9














B．15
D．1


( )
1
解析 ：由S△F
1
PF
2
＝|F
1
F
2
|·y
P

2
＝3y
P
，知P为短轴端点时，△F
1PF
2
面积最大.
2π
此时∠F
1
PF
2
＝，
3
得a＝m＝2 3，b＝n＝3，
故m＋n＝15.
答案：B
9．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE
和SC所成 的角等于





( )
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝3，SA＝2，

第 3 页 共 10 页

可以求得SO＝
2 3333332
，则B(，，0)，A(，－，0)，C(－，，0)，S(0,0，)．
22222222
因为E为SA的中点，
∴E(
332
，－，)．
444
3332
，－，)，
444
32
∴
BE< br>＝(－
3
SC
＝(－
2
，
2
，－
2
)．
SC
＝－1，|
BE
|＝2，|
SC
|＝2， ∵
BE
·
所以cos〈
BE
，
SC
〉＝
BE与SC所 成角为60°.
答案：C
10．若抛物线y
2
＝2x上两点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)关于直线y＝x ＋b对称，且y
1
y
2
＝－1，
则实数b的值为






5
B.
2
1
D．－
2
( )
－1
1
＝－，
2
2×2
5
A．－
2
1
C.
2

解析：法一：直线AB的斜率为
y
1
－y
2
y
1
－y
2
k
AB
＝＝＝－1，
x
1
－x< br>2
1
2
1
2
y－y
2
1
2
2
22
即y
1
＋y
2
＝－2，y
2
1＋y
2
＝(y
1
＋y
2
)－2y
1
y
2
＝6.
2
x
1
＋x
2
y
1< br>＋y
2
y
2
1
＋y
2
线段AB的中点为(， )＝(，－1)
224
3
＝(，－1).
2
5
代入y＝x＋b，得b＝－.
2
法二：设直线AB的方程为y ＝－x＋m
，
与y
2
＝2x联立，消去x得
y
2
＋2y－2m＝0.
y
1
＋y
2
＝ －2，y
1
y
2
＝－2m.
1
由y
1
y
2
＝－1得m＝.
2
设AB的中点为M(x
0
，y
0
)，
则y
0
＝
y
1
＋y
2
＝－1，
2

第 4 页 共 10 页

3
x
0
＝m－y
0
＝.
2
3
又M(，－1)在y＝x＋b上，
2
5
∴b＝－.
2
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11 ．命题“?x
0
∈R,2x
2
0
－3ax
0
＋9＜ 0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
2
解析：∵?x
0
∈R,2x
0
－3ax
0
＋9＜0为假命题，
∴?x∈R,2x
2
－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a
2
－4×2×9≤0，即a
2
≤8，
∴－22≤a≤22.
答案：[－22，22]
x
2
y
2
12．在双曲线
2
－
2
＝1上有一点P，F
1
， F
2
分别为该双曲线的左、右焦点，∠F
1
PF
2
ab＝90°，△F
1
PF
2
的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_ _______．
解析：不妨设点P在右支上，则2|PF
1
|＝|PF
2
|＋|F
1
F
2
|.又|PF
1
|－|PF
2
|＝2a，∴|PF
1
|＝2c
－2a，|PF
2
|＝ 2c－4a.又|PF
1
|
2
＋|PF
2
|
2＝4c
2
，∴e
2
－6e＋5＝0.又e＞1，∴e＝5.
答案：5
13．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E.,F分别是BB
1
,CD的中点，则EF与平面CDD
1
C
1
所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则E(2,0,1)，F(1,2,0)，
→
∴EF＝(－1,2，－1). →→→
又平面CDD
1
C
1
的一个法向量为OD＝(0,2,0 )，cos〈EF，OD〉
466
＝＝，故所求角的正弦值为.
3
6×2
3
答案：
6

3
→
14．设O是坐标原点， F是抛物线y
2
＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与
→
x轴正向的夹角为60°，则|OA|为________．
p
解析：如图，设A的横坐标为x＋(x＞0)，
2
→
则|AF|＝2x.

第 5 页 共 10 页

由抛物线的定义得
pp
2x＝x＋，x＝，
22
3p3p
∴A的坐标为(，3p)或(，－3p)，
22
21
→
∴|OA|＝p.
2
答案：
21
p
2
三、解答题(本大题共4小题，满分5 0分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
15．(本小题满分12分)已知 命题p：关于x的方程4x
2
－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有
两个子集，命题q ：1－m≤x≤1＋m，m＞0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的
取值范围．
解：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
对于命题p，依题意知
Δ＝(－2a)
2
－4·4(2a＋5)＝4(a< br>2
－8a－20)≤0，
∴－2≤a≤10.
令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，
m＞0}，
∴PQ，
m＞0，
?
?
即
?
1－m＜－2，?
?
1＋m≥10，
解得m≥9.

m＞0，
??
或
?
1－m≤－2，
?
?
1＋m＞10.


因此，实数m的取值范围是{m|m≥9}．
x
2
y
2
16．(本小题满分12分)已知F
1
，F
2
是椭圆
2＋
2
＝1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原
ab
点，点P(－1，
2
→→
)在椭圆上，且PF
1
·F
1
F
2
＝0，
2
⊙O是以F
1
F
2
为直径的圆，直线l ：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两
点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
→→
2
(2)当OA·OB＝时求k的值．
3
解：(1)依题意， 可知PF
1
⊥F
1
F
2
，

第 6 页 共 10 页

11
∴c＝1，
2
＋
2
＝1.
a2b
又a
2
＝b
2
＋c
2
，
所以可解得a
2
＝2，b
2
＝1，c
2
＝1，
x
2
2
∴椭圆的方程为＋y＝1.
2
(2)直线l：y＝ kx＋m与⊙O：x
2
＋y
2
＝1相切，
则
|m|
＝1，即m
2
＝k
2
＋1.
2
k＋1
2
x
?
?
2
＋y
2
＝1，
由
?
得(1＋2k
2
)x
2
＋4kmx＋2m2
－2＝0.
?
?
y＝kx＋m，
直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A( x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)． < br>∴Δ＞0?k
2
＞0?k≠0，x
1
＋x
2
＝－2m
2
－2
x
1
x
2
＝，
1＋2k
2
m
2
－2k
2
1－k
2
∴y
1
y
2
＝(kx
1
＋m)(kx
2
＋m)＝kx1
x
2
＋km(x
1
＋x
2
)＋m＝＝，
1＋2k
2
1＋2k
2
22

4km
，
1＋2k
2
1＋k
2
→→
OA·OB＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝1.
2
＝，∴k＝±
1＋2k
3
17．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB＝1，A C＝AA
1
＝ 3，
∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A
1
C；
(2)求二面角A－A
1
C－B的正切值大小．
解：法一：(1)∵三棱柱 ABC－A
1
B
1
C
1
为直三棱柱，
∴AB⊥AA
1
.
在△ABC中，
AB＝1，AC＝ 3，∠ABC＝60°.
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC
1
A
1
.
又A
1
C?平面ACC
1
A
1
，∴AB⊥A
1
C.
(2)如图，作AD⊥A
1
C交A
1
C于D点，连接BD，
又AB⊥A
1
C.
2

第 7 页 共 10 页

∴A
1
C⊥平面ABD，
∴BD⊥A
1
C，
∴∠ADB为二面角A－A
1
C－B的平面角.
在Rt△AA
1
C中，
3× 3
AA
1
·AC
6
AD＝＝＝.
A
1
C2
6
AB
6
在Rt△BAD中，tan ∠ADB＝＝，
AD
3
∴二面角A－A
1
C－B的正切值为
6
.
3
法二：(1)∵三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1< br>为直三棱柱，
∴AA
1
⊥AB，AA
1
⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝ 3，∠ABC
＝60°.由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A
1
(0,0，3)，
∴
AB
＝(1,0,0)，
A
1
C
＝(0，3，－ 3).
∵
AB
·
A
1
C
＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0，
∴AB⊥A
1
C.
(2)取m＝
AB
＝(1 ,0,0)为平面AA
1
C
1
C的法向量．设平面A
1
BC 的法向量n＝(x，y，z)，
?
BC
＝0，
?
n·
?
－x＋3 y＝0，
则
?
∴
?

?
3y－3z＝0，
?
?
n·
A
1
C
＝0，


∴x＝3y，y＝z.令y＝1，则n＝(3，1,1)，
∴cos 〈m，n〉＝

＝
15
＝，
222222
5
?3?＋1＋1·1＋0＋0
1－?
6
，
3
6
.
3
15
2
10
?＝，
55
3×1＋1×0＋1×0
m·n

|m|·|n|
∴s in〈m，n〉＝
∴tan〈m，n〉＝
∴二面角A－A
1
C－B的正切值为

第 8 页 共 10 页

x
2
y< br>2
18.(本小题满分14分)(2012·安徽高考)如图，点F
1
(－c, 0)，F
2
(c,0)分别是椭圆C：
2
＋
2
ab
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F
1
作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F
2
作
a
2
直线PF
2
的垂线交直线x＝
c
于点Q.


(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.
b
2
a
－0
b
2
b
2
解：(1)法一：由条件知，P(－c，
a
). 故直线PF
2
的斜率为kPF
2
＝＝－.
2ac
－c－c
2ac2ac
2
因为PF
2
⊥F
2
Q，所以直线F
2
Q的方程为y＝
2
x－
2
.
bb
a
2
故Q(
c
，2a).
a
2
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
c
x
2
y
2
故椭圆方程为＋＝1.
43
a
2
b
2
法二：设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，). < br>ca
因为△PF
1
F
2
∽△F
2
MQ，所以
b
2
a
|PF
1
||F
1
F
2< br>|
＝.
|F
2
M||MQ|
即
2c
＝，解得|MQ|＝2a. < br>a|MQ|
c
－c
2
2
a
?
?
c< br>＝4，
所以
?
解得a＝2，c＝1.
?
2a＝4，
?
x
2
y
2
故椭圆方程为＋＝1.
43
a
2
x－
c
y－2a
c
(2)直线PQ的方程为
2
＝
2
，即y＝x＋a.
a
ba
－2a－c－
ac

第 9 页 共 10 页

将上式代入椭圆方程得，x
2
＋2cx＋c
2
＝0，
b
2
解得x＝－c，y＝
a
.
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.







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