高中数学启发教育随笔-高中数学课堂教学实录
课时作业(一)
一、选择题
1．函数
y
＝
x＋
x
在
x
＝1到
x
＝1＋Δ
x
之间的
平均变化率为( )
A．Δ
x
＋2
B．2Δ
x
＋(Δ
x
)
C．Δ
x
＋3
D．3Δ
x
＋(Δ
x
)
答案 C
2．物体做直线运动所
经过的路程
s
可表示为时间
t
的函数
s
＝
s
(
t
)＝2
t
＋2，则在一小
段时间[2,2＋Δ
t]上的平均速度为( )
A．8＋2Δ
t
C．7＋2Δ
t
答案 A
3．设函数
y
＝
f
(
x
)，当自变量
x
由
x
0
改
变到
x
0
＋Δ
x
时，函数的改变量Δ
y
为( )
A．
f
(
x
0
＋Δ
x
)
C．
f
(
x
0
)·Δ
x
答案 D
Δ
y
2
4．已知函数
f
(
x<
br>)＝2
x
－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δ
x,
2＋Δ
y
)，则等
Δ
x
于( )
A．4
C．4＋2Δ
x
答案 C
解析
Δ
y
＝
f
(1＋Δ
x
)－
f
(1)
＝[2(1＋Δ
x
)－4]－(2·1－4)
＝[2(Δ
x
)＋4Δ
x
－2]－(－2)
＝2(Δ
x
)＋4Δ
x
.
Δ
y
∴＝Δ
x
Δ
x
＋4Δ
x
＝2Δ
x
＋4.
Δ
x
2
2
2
2
22
2
2
2
2
B．4＋2Δ
t
D．－8＋2Δ
t
B．
f
(
x
0
)＋Δ
x
D．<
br>f
(
x
0
＋Δ
x
)－
f
(
x
0
)
B．4
x
D．4＋2(Δ
x
)
2
5．某质点沿直线运动的方程为
y
＝－2
t
＋1，则该质
点从
t
＝1到
t
＝2时的平均速度为
( )
A．－4
C．6
答案 D
B．－8
D．－6
解析
v
＝
y
2－
y
1
＝－6.
t
2
－
t
1
2
6．已知函数
f
(
x
)＝－x
＋
x
，则
f
(
x
)从－1到－0.9的平均
变化率为( )
A．3
C．2.09
答案 D
1
23
7．在
x
＝1附近，取Δ
x
＝0.3，在四个函数①
y
＝
x
、②
y
＝
x
、③
y
＝
x
、④
y
＝中，平
B．0.29
D．2.9
x
均变化率最大的是( )
A．④
C．②
答案 B
1
2
1
8．已知曲线
y
＝
x
和这条曲线上
的一点
P
(1，)，
Q
是曲线上点
P
附近的一点，则点Q
44
的坐标为( )
11
22
A．(1＋Δ
x
，(Δ
x
))
B．(Δ
x
，(Δ
x
))
44
11
22
C．(1＋Δ
x
，(Δ
x
＋1))
D．(Δ
x
，(1＋Δ
x
))
44
答案 C
二、填空题
9．将半径为
R
的球加热，若球的半径增加Δ
R
，则球的表面积增加量Δ
S
等于________．
答案
8π
R
Δ
R
＋4π(Δ
R
)
10．一质点的运动
方程是
s
＝4－2
t
，则在时间段[1,1＋Δ
t
]上相应
的平均速度
v
与Δ
t
满足的关系式为________．
答案
v
＝－2Δ
t
－4
解析
Δ
s
＝[4－2(1＋Δ
t
)]－(4－2·1)
＝4－2－4Δ
t
－2(Δ
t
)－4＋2
＝－4Δ
t
－2(Δ
t
)，
Δ
s
－4Δ
t
－Δ
t
v
＝＝
Δ
t
Δ
t
2
2
2
2
22
2
2
B．③
D．①
＝－4－2Δ
t
.
11．某物体按照
s
(
t)＝3
t
＋2
t
＋4的规律作直线运动，则自运动始到4
s时，物体的
平均速度为________．
答案 15
解析 <
br>v
(
t
)＝
st
4
＝3
t
＋2＋，
tt
4
∴
v
(4)＝3×4＋2＋＝15.
4
1
12．已知函数
f
(
x
)＝，则此函数在[1,1＋Δ
x<
br>]上的平均变化率为________．
x
1
答案 －
1＋Δ
x
解析
Δ
yf
＝
Δ
x
＋
Δ
x
－
f
Δ
x
1
－1
1＋Δ
x
－1
＝＝.
Δ
x
1＋Δ
x
13．已知圆的面积
S
与其半径
r
之间的函数关
系为
S
＝π
r
，其中
r
∈(0，＋∞)，则当
半径
r
∈[1,1＋Δ
r
]时，圆面积
S
的平均变化率为___
_____．
答案 2π＋πΔ
r
三、解答题
14.
2
甲、乙两人走过的路程
s
1
(
t
)，
s
2
(
t
)与时间
t
的关系如图，试比较两人的平
均速度哪个
大？
解析 由图像可知
s
1
(
t
0<
br>)＝
s
2
(
t
0
)，
s
1
(0)>
s
2
(0)，则
所以在从0到
t
0
这段时
间内乙的平均速度大．
15.
s
1
t
0
－
s<
br>1
t
0
<
s
2
t
0
－
s<
br>2
t
0
，
婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均
变化率．
解析 第一年婴儿体重平均变化率为
11.25－3.75
＝0.625(千克月)；
12－0
第二年婴儿体重平均变化率为
14.25－11.25
＝0.25(千克月)．
24－12
16．已知函
数
f
(
x
)＝2
x
＋1，
g
(
x
)＝－2
x
，分别计算在下列区间上
f
(
x
)及<
br>g
(
x
)的平均
变化率．
(1)[－3，－1]；
(2)[0,5]．
答案 (1)
f
(
x
)在区间[－3，－1]
上的平均变化率为2，
g
(
x
)在区间[－3，－1]上的平
均变化
率为－2.
(2)
f
(
x
)在区间[0,5]上的平均变化率为2
，
g
(
x
)在区间[0,5]上的平均变化率为－2.
?重点班·选做题
17．动点
P
沿
x
轴运动，运动方程为
x
＝10
t
＋5
t
，式中
t
表示时间(单
位：s)，
x
表示
距离(单位：m)，求在20≤
t
≤20＋Δt
时间段内动点的平均速度，
其中(1)Δ
t
＝1，
(2)Δ
t
＝0.1； (3)Δ
t
＝0.01.
答案
(1)215 ms (2)210.5 ms (3)210.05 ms
2
课时作业(二)
一、选择题
1．已知函数
y
＝
f
(
x
)在
x
＝
x
0
处的导数为11，
则
lim
Δ
x
→0
fx
0
－Δ
x－
fx
0
＝( )
Δ
x
B．－11 A．11
C.
1
11
1
D．－
11
答案 B
2．函数
f
(
x
)在
x
＝0可导，则lim
h
→
a
fh
－
fa
＝( )
h
－
a
B．
f
′(
a
)
D．
f
(
h
)
A．
f
(
a
)
C．
f
′(
h
)
答案 B
Δ
y2
3．已知函数
y
＝
x
＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(
1＋Δ
x,
2＋Δ
y
)，则lim
＝
Δ
x
Δ
x
→0
( )
A．2
C．2＋Δ
x
答案 A
4．设
f
(
x
)为可导函数，且满足lim
x
→0
B．2
x
D．2＋Δ
x
2
f
－
f
2
x
－2
x
＝－1，则
f
′(1)的值为( )
A．2
C．1
答案 B
二、填空题
B．－1
D．－2
5．一个物体的运动方程为
S<
br>＝1－
t
＋
t
，其中
S
的单位是米，
t的单位是秒，那么物体
在3秒末的瞬时速度是________．
答案 5米秒
6．函数
y
＝(3
x
－1)在
x
＝
x
0
处的导数为0，则
x
0
＝________.
1
答案
3
解析 Δ
y
＝
f
(
x
0
＋Δ<
br>x
)－
f
(
x
0
)＝(3
x
0＋3Δ
x
－1)－(3
x
0
－1)＝18
x
0
Δ
x
＋9(Δ
x
)－
6Δ
x
，
∴
Δ
y
＝18
x
0
＋9Δ
x
－6.
Δ
x
222
2
2
Δ
y
1
∴lim
＝18
x
0
－6＝0，∴
x
0
＝.
Δ
x
3
Δ
x
→0
7．设
f
(
x
)＝<
br>ax
＋4，若
f
′(1)＝2，则
a
＝________.
答案 2
解析
Δ
y
＝
f
(1＋Δ
x
)－
f
(1) ＝
a
(1＋Δ
x
)＋4－
a
－4＝
a
Δ
x
.
Δ
y
∴
f
′(1)＝lim
＝lim
a
＝
a
.
Δ
x
Δ
x
→
0Δ
x
→0
又
f
′(1)＝2，∴
a
＝2. 8．质点
M
按规律
s
＝2
t
＋3做直线运动(位移单位
：m，时间单位：s)，则质点
M
的瞬
时速度等于8
ms时的时刻
t
的值为________．
答案 2
解析
设时刻
t
的值为
t
0
，则
Δ
s
＝
s
(
t
0
＋Δ
t
)－
s
(
t<
br>0
)＝2(
t
0
＋Δ
t
)＋3－2
t
0
－3
＝4
t
0
·Δ
t
＋2·(Δ
t
)， Δ
s
Δ
s
＝4
t
0
＋2Δ
t
，lim ＝4
t
0
＝8，∴
t
0
＝2(s)．
Δ
t
Δ
t
Δ
t
→0
2
22
21
f
9．已知
f
(
x
)＝，则lim
x＋Δ
x
－
f
Δ
x
的值是________．
Δ
x
→0
1
答案 －
4
10.
如图，函数
f
(
x
)的图像是折线段
ABC
，其中A
，
B
，
C
的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)
，
则
f
(
f
(0))＝________；
lim <
br>Δ
x
→0
f
＋Δ
x
－
f
Δ
x
＝______.
答案 2；－2
三、解答题
11．设
f<
br>(
x
)＝
x
，求
f
′(
x
0
)，
f
′(－1)，
f
′(2)．
答案
f
′
(
x
0
)＝2
x
0
，
f
′(－1)＝－2
，
f
′(2)＝4
2
12．某物体运动规律是
S<
br>＝
t
－4
t
＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0?
答案
t
＝2
解析 Δ
S
＝(
t
＋Δ
t
)－4(
t
＋Δ
t
)＋5－(
t
－4
t
＋5)
＝2
t
Δ
t
＋(Δ
t
)－4Δ
t
，
2
22
2
v
＝lim
Δ
t
→0
Δ
S
＝2
t
－4＝0，∴
t
＝2.
Δ
t
13．若
f
′(
x
0
)＝2，求lim k
→0
fx
0
－
k
－
fx
0
的值．
2
k
解析
令－
k
＝Δ
x
，∵
k
→0，∴Δ
x
→0.
则原式可变形为lim
Δ
x
→0
fx
0
＋Δx
－
fx
0
－2Δ
x
1
f
＝－lim
2
Δ
x
→0
x
0
＋Δ
x
－
fx
0
Δ
x
11
＝－
f
′(
x
0
)＝－×2＝－1
.
22
?重点班·选做题
14．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
?
?
3
t
＋2
s
＝
?
?
29＋
t
－
2
?
2
t
， ①
t
②
求：(1)物体在
t
∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度
v
0
；
(3)物体在
t
＝1时的瞬时速度．
解析
(1)∵物体在
t
∈[3,5]内的时间变化量为Δ
t
＝5－3＝2，
物体在
t
∈[3,5]内的位移变化量为
Δ
s
＝3×5＋2－(3×3＋2)＝3×(5－3)＝48，
Δ
s
48
∴物体在
t
∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(ms)．
Δ
t
2
(2)求物体的初速度
v
0
即求物体在
t
＝0时的瞬时速度．∵物体在
t
＝0附近的平均变化
率为
Δ
sf
＝
Δ
t
＝
29＋
＋Δ
t
－
f
Δ
t
2
2222
－
2
＋Δ
t
－3]－29－
Δ
t
＝3Δ
t
－18，
Δ
s
∴物体在
t
＝0处的瞬时变化率为lim ＝lim (3Δ<
br>t
－18)＝－18，即物体的初速度
Δ
t
Δ
t
→0
Δ
t
→0
为－18 ms.
(3)物体在
t
＝1时的瞬时速度即为函数在
t
＝1处的瞬时变化率．
∵物体在
t
＝1附近的平均变化率为
Δ
sf
＋Δ
t
－
f
Δ
t
＝
Δ
t
＝
29＋＋Δ
t
－3]
2
－29－－
2
Δ
t
＝3Δ
t
－12，
∴物体在
t
＝1处的瞬时变化率为
lim
Δ
s
Δ
t
＝lim
(3Δ
t
－12)＝－12.
Δ
t
→0Δ
t
→0
即物体在
t
＝1时的速度为－12 ms.
课时作业(三)
一、选择题
1．设
f
′(
x
0
)＝0，则曲线<
br>y
＝
f
(
x
)在点(
x
0
，
f
(
x
0
))处的切线( )
A．不存在
B．与
x
轴平行或重合
C．与
x
轴垂直
D．与
x
轴斜交
答案 B
2.
已知函数
y
＝
f
(
x
)的图像如右图所示，则
f
′(
x
A
)与
f
′(
x
B
)的大小关系是(
A．
f
′(
x
A
)>
f
′(
x
B
)
B．
f
′(
x
A
)<
f
′(
x
B
)
C．
f
′(
x
A
)＝<
br>f
′(
x
B
)
D．不能确定
答案 B
3．已知曲线
y
＝
f
(
x
)在点
P
(x
0
，
f
(
x
0
))处的切线方程为2
x
＋
y
＋1＝0，那么(
A．
f
′(
x
0
)＝0
B．
f
′(
x
0
)<0
)
)
C．
f
′(
x
0
)>0
答案
B
D．
f
′(
x
0
)不能确定
4．设曲线y
＝
ax
在点(1，
a
)处的切线与直线2
x
－
y
－6＝0平行，则
a
等于( )
2
A．1
B.
1
2
C．－
1
2
D．－1
答案 A
5．如果曲线
y
＝
f
(
x
)在
点(
x
0
，
f
(
x
0
))处的切线方程为
x
＋2
y
－3＝0，那么(
A．
f
′(
x
0
)>0
B．
f
′(
x
0
)<0
C．
f
′(
x
0
)＝0
D．
f
′(
x
0
)不存在
答案 B
6．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若
f
′(
x
0
)不存在，则曲线
y
＝
f
(
x
)在点(
x
0
，
f
(
x
0
))处无切线
D．若曲线
y
＝
f
(
x
)在点(
x
0，
f
(
x
0
))处有切线，则
f
′(
x
0
)不一定存在
答案 D
7．在曲线
y
＝
x
2
上切线的倾斜角为
π
4
的点是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C．(
11
4
，
16
)
D．(
11
2
，
4
)
答案 D
8．设
f
(
x
)＝
2
，则lim
fx
－
fa
xa
－
x
等于( )
x
→
a
A．－
2
a
B.
2
a
C．－
2
a
2
D.
2
a
2
答案 D
22
解析 lim
x
－
a
22
a
－
x
＝lim
ax
＝
a
2
.
x
→
ax
→a
9．若
f
(
x
)＝
x
3
＋
x
－1，
f
′(
x
0)＝4，则
x
0的值为(
)
A．1 B．－1
)
C．±1
答案 C
解析
f
′(
x
0)＝lim
Δ
x
→0
D．±33
fx
0＋Δ
x
－
fx
0
Δ
x
3
＝lim
Δ
x
→0
x
0
＋Δ
x
3
＋
x
0＋Δ
x
－1－
x
0＋
x
0－1
Δ
x
2
＝lim[3
x<
br>0＋1＋3
x
0·Δ
x
＋(Δ
x
)]
Δ<
br>x
→0
2
＝3
x
0＋1＝4.解得
x
0＝±
1.
10．已知曲线
y
＝2
x
上一点
A
(1,2
)，则
A
处的切线斜率等于( )
A．2
C．6＋6·Δ
x
＋2·(Δ
x
)
答案 D
二、填空题
1
11．已知函数
y
＝
f
(
x
)的图像在点
M
(1，
f
(1))处的切线方程是
y＝
x
＋2，则
f
(1)＋
f
′(1)
2
＝________.
答案 3
115
解析
f
′(1)＝，
f
(1)＝×1＋2＝，∴
f
(1)＋
f
′(1)＝3.
222
三、解答题
12．求曲线
y
＝2
x
－x
在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与
x
轴、
y
轴所
围成的
平面图形的面积．
答案
x
＋
y
＋2＝0；2
13．若曲线
y
＝2
x
上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．
解析 ∵
y
′|
x
＝
x
0＝lim
Δ<
br>x
→0
2
3
3
2
3
2
B．4
D．6
x
0＋Δ
x
3
－2
x
3
0
2
＝6
x
0，
Δ
x
∴6
x
0
＝6.∴
x
0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．
14．已知曲线C
：
y
＝
x
，求在曲线
C
上横坐标为1的点处
的切线方程．
解析
将
x
＝1代入曲线
C
的方程得
y
＝1，
∴切点
P
(1,1)．
Δ
yx
＋Δ
x
－
x
∵
y
′＝lim ＝lim
Δ
x
Δ
x
Δ
x
→0Δ
x
→0
33
3
3
x
Δ
x
＋3
x
Δ
x
＝lim
Δ
x
Δ
x
→0
2
22
＋Δ
x
3
＝lim[3
x
＋3
x
Δ
x
＋(Δx
)]＝3
x
，
Δ
x
→0
22
∴<
br>y
′|
x
＝1
＝3.
∴过
P
点的切线方程为
y
－1＝3(
x
－1)，
即3
x
－
y
－2＝0.
?重点班·选做题
15
．点
P
在曲线
y
＝
f
(
x
)＝
x
＋1上，且曲线在点
P
处的切线与曲线
y
＝－2
x
－1相切，
求点
P
的坐标．
解析 设
P
(
x0
，
y
0
)，则
y
0
＝
x
0
＋1.
2
22
f
′(
x
0
)＝lim
Δ
x
→0
x
0
＋Δ
x
2
＋1－<
br>x
0
＋
Δ
x
2
＝2
x
0
.
所以过点
P
的切线方程为
y
－
y
0
＝2<
br>x
0
(
x
－
x
0
)，
即
y
＝2
x
0
x
＋1－
x
0
.
而此直线与曲线
y
＝－2
x
－1相切，
所以切线与曲线
y
＝－2
x
－1只有一个公共点．
由{
y
＝2
x
0
x
＋1－
x
0
，
2
2
2
2
y
＝－2
x
2
－1，
得
2
x
＋2
x
0
x
＋2－<
br>x
0
＝0.
即Δ＝4
x
0
－8(2－
x
0
)＝0.
±237
解得
x
0
＝，
y
0
＝.
33
237237
所以点
P
的坐标为(，)或(－，)．
3333
22
22
课时作业(四)
一、选择题
1．下列结论中不正确的是( )
A．若
y
＝
x
，则<
br>y
′|
x
＝2＝32
B．若
y
＝
C．若<
br>y
＝
1
，则
y
′|
x
＝2＝－
2<
br>
2
4
x
1
x
2
5
，则
y
′|
x
＝1＝－
2
x
D．若
y<
br>＝cos
x
，则
y
′|
x
＝
π
2<
br>＝－1
答案 B
解析 ∵
y
＝
1
x
＝<
br>x
－
1
2
，∴
y
′＝－
131
2<
br>·
x
－
2
＝－
2
xx
.
∴
y
′|
x
＝2＝－
12
42
＝－
8
.
2．若曲线
y
＝
x
4
的一条切线
l
与直线
x
＋4
y
－8＝0垂直，则
l
的方程为( )
A．4
x
－
y
－3＝0
B．
x
＋4
y
－5＝0
C．4
x
－
y
＋3＝0
D．
x
＋4
y
＋3＝0
答案 A
解析
∵
l
与直线
x
＋4
y
－8＝0垂直，
∴
l
的斜率为4.∵
y
′＝4
x
3
， <
br>∴由切线
l
的斜率是4，得4
x
3
＝4，∴
x
＝1.
∴切点坐标为(1,1)．
∴切线方程为
y
－1＝4(
x
－1)，
即4
x
－
y
－3＝0.故选A.
3．已知曲线
y
＝
x
2
1
4
－3ln
x
的一条切线的斜率
为
2
，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1
D.
1
2
答案 A
解析
y
′＝
1<
br>2
x
－3
1131
x
，由
2
x
－<
br>x
＝
2
.
得
x
＝3或
x
＝－2.
由于
x
>0，所以
x
＝3.
4．在下列函数中，值域不是[－2，2]的函数共有( )
①
y
＝(sin
x
)′＋(cos
x
)′
②
y
＝(sin
x
)′＋cos
x
③
y
＝sin
x
＋(cos
x
)′
④
y
＝(sin
x
)′·(cos
x
)′
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析
②、③、④不是．
5．质点沿直线运动的路程和时间的关系是
s
＝
5
t
，则质点在
t
＝4时的速度是( )
A.
1
B.
1
5
3
22
C.
1
D.
5
3
102
1
2
5
3
2
5
答案 B
1
5
3<
br>2
10
1
432
6．已知物体的运动方程是
s
＝t
－4
t
＋16
t
(
t
表示时间，
s
表示位移)，则瞬时速度为
4
0的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
C．2秒、8秒或16秒
答案 D
二、填空题
7．下列结论中正确的是________．
1
①
y
＝ln2，则
y
′＝
2
12②
y
＝
2
，则
y
′|
x
＝3
＝－
x
27
③
y
＝2，则
y
′＝2ln2 ④
y
＝log
2
x
，则
y
′＝
答案
②③④
8．设
f
(
x
)＝
x
－3
x－9
x
＋1，则不等式
f
′(
x
)<0的解集为___
_____．
答案 (－1,3)
1
9．设直线
y
＝
x
＋
b
是曲线
y
＝ln
x
(
x
>0
)的一条切线，则实数
b
的值为________．
2
答案 ln2－1
10．过原点作曲线
y
＝e的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为
________．
答案 (1，e)，e
11．已知
P
(－1,1)，
Q
(2,4)是曲线
y
＝
x
上的两点，则与直线
P
Q
平行的曲线
y
＝
x
的切
线方程是________．
答案 4
x
－4
y
－1＝0
4－1
解析
k
＝
2－－
＝1，又
y
′＝2
x
，
22
32
B．0秒、2秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
xx
1
x
ln2
x
11
令2
x
＝1，得
x
＝，进而
y
＝，
24
11
∴切线方程为
y
－＝1·(
x
－)，
42
即4
x
－4
y
－1＝0.
12．已知
f
(
x
)＝cos
x
，
g
(
x
)＝
x
，解不等式
f
′(
x
)＋
g
′(<
br>x
)≤0的解集为________．
π
答案
{
x
|
x
＝2
k
π＋，
k
∈Z}
2
解析
f
′(
x
)＝－sin
x,
g
′(
x
)＝1，
∴不等式
f
′(
x
)
＋
g
′(
x
)≤0，即－sin
x
＋1≤0.
∴
sin
x
≥1，又sin
x
≤1，∴sin
x
＝1.
π
∴
x
＝2
k
π＋，
k
∈Z.
2
三、解答题
13．如果曲线
y
＝
x
＋
x
－3的某一条切线与直线
y
＝3
x
＋4平行，求切点坐标与切线方
程．
答案
切点坐标为(1，－1)，切线方程为3
x
－
y
－4＝0
π114．求曲线
y
＝sin
x
在点
A
(，)处的切线方程
．
62
解析
∵
y
＝sin
x
，∴
y
′＝cos
x
.
ππ33
∴
y
′|
x
＝＝cos＝，
k
＝
.
6622
13π
∴切线方程为
y
－＝(
x
－)．
226
化简得63
x
－12
y
＋6－3π＝0.
15．(1)求过曲线
y
＝e上点
P
(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直
的直线方程；
1
5
(2)曲线
y
＝
x
上一点M
处的切线与直线
y
＝－
x
＋3垂直，求此切线方程．
5
解析 (1)∵
y
′＝e，
∴曲线在点
P
(1
，e)处的切线斜率是
y
′|
x
＝1
＝e.
1
∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为
k
＝－.
e
1
∴所求直线方程为
y
－e＝－(
x
－1)，
e
即
x
＋e
y
－e－1＝0.
(2)∵切线与
y
＝－
x
＋3垂直，∴切线斜率为1.
又
y
′＝
x
，令
x
＝1，∴
x
＝±1. <
br>∴切线方程为5
x
－5
y
－4＝0或5
x
－5
y
＋4＝0.
44
2
2
x
x
?重点班·选做题
16．下列命题中正确的是________．
①若
f
′(
x)＝cos
x
，则
f
(
x
)＝sin
x
②若
f
′(
x
)＝0，则
f
(
x)＝1
③若
f
(
x
)＝sin
x
，则
f
′(
x
)＝cos
x
答案 ③
解析 当<
br>f
(
x
)＝sin
x
＋1时，
f
′(
x
)＝cos
x
，
当
f
(
x
)＝2时
，
f
′(
x
)＝0.
17．已知曲线方程为
y
＝
x
，求过
A
(3,5)点且与曲线相切的直线方程．
解析 解法一
设过
A
(3,5)与曲线
y
＝
x
相切的直线方程为
y
－5＝
k
(
x
－3)，即
y
＝
kx＋5－3
k
.
?
?
y
＝
kx
＋5－
3
k
由
?
2
?
y
＝
x
，
?
2
2
2
得
x
－
kx
＋3
k
－5＝0.
Δ＝
k
－4(3
k
－5)＝0，
整理得(
k
－2)(
k
－10)＝0.
∴
k
＝2或
k
＝10.
所求的直线方程为
2<
br>x
－
y
－1＝0,10
x
－
y
－25＝0.
解法二 设切点
P
的坐标为(
x
0，
y
0)，
由
y
＝
x
，得
y
′＝2
x
.
∴
y
′|
x
＝
x
0＝2
x
0.
5－
y
0
由已知
kPA
＝2
x
0，即＝2
x
0.
3－
x
0
又
y
0＝2
x
0，代入上式整理，得
x
0＝1或
x
0＝5.
∴切点坐标为(1,1)，(5,25)．
∴所求直线方程为2
x
－
y
－1＝0,10
x
－
y
－25＝0.
2
2
课时作业(五)
一、选择题
1．函数
y
＝2sin
x
cos
x
的导数为(
)
A．
y
′＝cos
x
C．
y
′＝2(sin
x
－cos
x
)
22
B．
y
′＝2cos2
x
D．
y
′＝－sin2
x
答案 B
解析
y
′＝(2sin
x
cos
x
)′
＝2(sin
x
)′·cos
x
＋2sin
x
(cos<
br>x
)′
＝2cos
x
－2sin
x
＝2cos2
x
. <
br>2．函数
f
(
x
)＝
A.
C.
1
3
x
＋2
x
＋1
－3
x
－2
x
3<
br>＋2
x
＋1
2
22
1
的导数是( )
x
＋2
x
＋1
3
2
B.
D.
3
x
＋2
3
x
＋2
x
＋
1
－3
x
3
x
＋2
x
＋1
2
2<
br>2
22
答案 C
－
解析
f
′(
x
)＝
2
x
3
＋2
x
＋1′－3x
－2
＝
3
x
3
＋2
x
＋1
2
x
＋2
x
＋1
2
.
3．函数
y
＝(
x
－
a
)(
x
－
b
)在
x
＝
a
处的导数为( )
A．
ab
C．0
答案 D
解析
y
′＝(
x
－
a
)′(
x
－
b
)＋(
x
－
a
)·(
x<
br>－
b
)′，
∴
y
′＝2
x
－(
a
＋
b
)，
y
′|
x
＝
a
＝2a
－
a
－
b
＝
a
－
b
.
4．函数
y
＝
x
·ln
x
的导数是( )
A．
x
C．ln
x
＋1
答案 C
1
解析
y
′＝
x
′·ln
x
＋
x
·(ln
x
)′＝ln
x
＋
x
·＝ln
x
＋1.
1
B.
B．－
a
(
a
－
b
)
D．
a
－
b
x
D．ln
x
＋
x
x
cos
x
5．函数
y
＝的导数是( )
x
sin
x
A．－
2
x
B．－sin
x
D．－C．－
x
sin
x
＋cos
x
x
2
x
cos
x
＋cos
x
x
2
答案 C
cos
x
解析
y
′＝(
)′＝
x
x
x
－cos
x
x
2
x
＝
－
x
sin
x
－cos
x
.
2
x
6．曲线
y
＝
x
x
－2
在点(1，－1)处的切线方程为( )
B．
y
＝－3
x
＋2
D．
y
＝－2
x
＋1
A．
y
＝
x
－2
C．
y
＝2
x
－3
答案 D
7．已知f
(
x
)＝
ax
＋3
x
＋2，若
f<
br>′(－1)＝4，则
a
的值是( )
A.
C.
19
3
13
3
B.
D.
16
3
10
3
32
答案 D
10
2
解析
f
′(<
br>x
)＝3
ax
＋6
x
，
f
′(－1)＝3<
br>a
－6＝4，
a
＝.
3
2
3
8．设点P
是曲线
y
＝
x
－3
x
＋上的任意一点，点<
br>P
处切线倾斜角为α，则角α的
3
取值范围是( )
?
2
?
A.
?
π，π
?
?
3
?
?
π
??
5
?
C.
?
0，
?
∪
?
π，π
?
2
??
6
??
答案 D
2
B.
?
?
π
，
5
π
?
?
?
26
?
?
π
??
2
?
D.
?
0，
?
∪
?
π，π
?
2
??
3
??
解析
由
y
′＝3
x
－3，易知
y
′≥－3，即tanα≥－3.
π2
∴0≤α<或π≤α<π.
23
9．函数
y
＝的导数是( )
cos
x
A.
C.
1＋
x
cos
x
cos
x
＋
x
2
cos
x
B.
D.
cos
x
－
x
sin<
br>x
2
cos
x
cos
x
＋
xsin
x
2
cos
x
x
答案 D
解析
y
′＝
x
′cos
x
－
x
cos
x
2
2
x
＝
cos
x
＋
x
sin
x
.
2
cos
x
10．已知
f<
br>(
x
)＝
x
＋2
xf
′(1)，则
f
′(0)等于( )
A．0
C．－2
答案 B
B．－4
D．2
解析
f
′(
x
)＝2
x
＋2
f
′(1)， <
br>令
x
＝1，得
f
′(1)＝2＋2
f
′(1)，∴<
br>f
′(1)＝－2.
∴
f
′(0)＝2
f
′(1)＝－4.
1
x11．已知
f
()＝，则
f
′(
x
)＝( )
x
1＋
x
A.
C.
1
1＋
x
1
＋
x
2
1
B．－
1＋
x
D．－
1
＋
x
2
答案 D
1
x
11
解析 ∵
f
()＝＝，
∴
f
(
x
)＝.
x
1＋
x
1
x
＋1
＋1
x
2
∴
f
′(
x
)＝－
1
＋
x
.
2
12．设函数
f
(
x
)＝
g
(
x
)＋
x
，曲线
y
＝
g
(
x
)在点(1，
g
(1))处的切线方程为
y
＝2
x
＋1，
则曲线
y
＝
f
(
x
)在点(1，
f
(1))处的切线的斜率为( )
A．4
C．2
答案 A
解析 依题意得
f
′(
x
)＝
g
′(
x
)＋2
x
，
f
′(1)＝<
br>g
′(1)＋2＝4，选A.
二、填空题
13．曲线
y
＝
x
＋3
x
＋6
x
－10的切线中，斜率最小的切线方程为_
_____________．
答案 3
x
－
y
－11＝0
解析
y
′＝3
x
＋6
x
＋6＝3(
x<
br>＋1)＋3≥3，
当且仅当
x
＝－1时取等号，当
x
＝－1
，时
y
＝－14.
∴切线方程为
y
＋14＝3(
x
＋1)，即3
x
－
y
－11＝0.
π1
2
14
．设
f
(
x
)＝
ax
－
b
sin
x
，且
f
′(0)＝1，
f
′()＝，则
a
＝__
______，
b
＝________.
32
答案 0 －1
解析
f
′(
x
)＝2
ax
－
b
cos
x
，
∴
f
′(0)＝－
b
＝1.
22
32
1
B．－
4
1
D．－
2
f
′()＝2
a
·－
b
·cos＝，
得
a
＝0，
b
＝－1.
π
3
π
3
π
3
1
2
三、解答题
15．求下列函数的导数．
(1)
f
(
x
)＝(
x
＋1)(2
x
＋8
x
－5)；
1＋
x
1－
x
(2)
f
(
x
)＝＋；
1－
x<
br>1＋
x
ln
x
＋2
(3)
f
(
x<
br>)＝.
2
x
32
x
解析 (1)∵
f
′(
x
)＝[2
x
＋8
x
－5
x
＋2
x
＋8
x
－5]′，
∴
f
′(
x
)＝1
0
x
＋32
x
－15
x
＋4
x
＋8. <
br>1＋
x
1－
x
(2)∵
f
(
x
)＝
＋＝
1－
x
1＋
x
＝
2＋2
x
4
＝－2，
1－
x
1－
x
－
x
－
x
2
432
5432
＋
x
1－
x
2
＋－
x
1－
x
2
4－
∴
f
′
(
x
)＝(－2)′＝
1－
x
x
＝
x
4<
br>－
x
2
.
ln
x
2ln
x
2(3)
f
′(
x
)＝(
2
＋
2
)′＝
(
2
)′＋(
2
)′
xxxx
·
x
－l
n
x
·2
x
x
x
2
＝＋
4
12
x
2
－2
x
x
4
x
2
－2
x
x
x
＝
＝
－2ln
xx
＋<
br>x
4
1－2ln
x
＋
x
－
x
3
3
x
.
2
16．已知
函数
f
(
x
)＝2
x
＋
ax
与
g
(
x
)＝
bx
＋
c
的图像都过点
P
(2,0)，且在点
P
处有公
共切线，求
f
(
x
)、
g
(
x
)的表达式．
解析 ∵
f
(
x
)＝2
x
＋
ax
的图像过点
P
(2,0)， <
br>∴
a
＝－8.∴
f
(
x
)＝2
x
－
8
x
.∴
f
′(
x
)＝6
x
－8. 对于
g
(
x
)＝
bx
＋
c
的图像过点
P
(2,0)，则4
b
＋
c
＝0.
又
g
′(
x
)＝2
bx
，∴
g
′(2)＝4
b
＝
f
′(2)＝16.
∴
b
＝4.∴
c
＝－16.
∴
g
(
x
)＝4
x
－16.
综上可知，
f
(
x
)＝2
x
－8
x
，
g
(<
br>x
)＝4
x
－16.
17．若直线
y
＝
k
x
与曲线
y
＝
x
－3
x
＋2
x
相
切，求
k
的值．
解析 设切点坐标为(
x
0
，
y
0
)，
y
′|
x
＝
x
0
＝3x
0
－6
x
0
＋2＝
k
.
若
x
0
＝0，则
k
＝2.若
x
0
≠0，由
y
0
＝
kx
0
，得
k
＝.
2
3
2
32
2
2
32
3
y
0
x
0
∴3
x
0
－6
x
0
＋2＝，
2
x
3
3
0
－3
x
0
＋2
x0
即3
x
－6
x
0
＋2＝.解之，得
x
0
＝.
x
0
2
2
0
2
y
0<
br>x
0
3
2
31
∴
k
＝3×()－6×＋2＝
－.
224
1
综上，
k
＝2或
k
＝－.
4
?重点班·选做题
18．已知曲线
S
：
y
＝3
x
－
x
及点
P
(2,2)，则过点
P
可向
S
引切线，其切线条数为( )
A．0
C．2
答案
D
解析 显然
P
不在
S
上，设切点为(
x
0，<
br>y
0)，
由
y
′＝3－3
x
，得
y
′|
x
＝
x
0＝3－3
x
0.
切线方程为y
－(3
x
0－
x
0)＝(3－3
x
0)(<
br>x
－
x
0)．
∵
P
(2,2)在切线上，
∴2－(3
x
0－
x
0)＝(3－3
x
0)(2－
x
0)，
即
x
0－3
x
0＋2＝0.
∴(
x
0－1)(
x
0－2
x
0－2)＝0.
由
x
0－1＝0，得
x
0＝1.
由
x
0－2
x
0－2＝0，得
x
0＝1±3.
∵有三个切点，∴由
P
向
S
作切线可以作3条．
19．曲
线
y
＝
x
(
x
＋1)(2－
x
)有两条平
行于
y
＝
x
的切线，则两切线之间的距离为________．
答案
16
2
27
32
2
2
32
32
32
22
3
B．1
D．3
解析
y＝
x
(
x
＋1)(2－
x
)＝－
x
＋
x
＋2
x
，
y
′＝－3
x
2
＋
2
x
＋2，令－3
x
2
＋2
x
＋2＝1，得
x
1＝1或
x
2＝－.
114
∴两个切点分别为(1,2)和(－，－)．
327
5
切线
方程为
x
－
y
＋1＝0和
x
－
y
－＝0.
27
5
|1＋|
27
162
∴
d
＝＝.
27
2
1
3
1．已知直线
l1为曲线
y
＝
x
＋
x
－2在点(1,0)处的切线，<
br>l
2为该曲线的另一条切线，
且
l
1⊥
l
2.
(1)求直线
l
1，
l
2的方程；
(2)求由直线
l
1，
l
2和
x
轴所围成的三角形的面积．
分析 (1
)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的
1
导数值即为过此
点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用
S
＝
a
·
h
即可完成．
2
解析 (1)因为
y
′＝2
x
＋
1，则直线
l
1
的斜率
k
1＝2×1＋1＝3，则直线
l<
br>1的方程为
y
＝3
x
－3，设直线
l
2过曲线
y
＝
x
＋
x
－2上的点
B
(
b
，
b
＋
b
－2)，则
l
2的方程为
22
2
y
＝(2
b
＋1)
x
－
b
2
－
2.
12
因为
l
1⊥
l
2，则有2
b
＋
1＝－，
b
＝－.
33
122
所以直线
l
2的方
程为
y
＝－
x
－.
39
y
＝3
x
－3
?
?
(2)解方程组
?
122
y
＝－
x
－，
?
39
?
1
x
＝
?<
br>?
6
得
?
5
y
＝－
?
?
2
.
15
所以直线
l
1和
l
2
的交点坐标为(，－)，
l
1，
l
2与
x
轴交点的坐标分别
为(1,0)，(－
62
221255125
，0)．所以所求三角形的面积
S
＝××|－|＝.
323212
课时作业(六)
一、选择题
1．若
f
(
x
)＝(
x
＋1)，则
f
′(
0)等于( )
A．0
C．3
答案 D ππ
2．若
f
(
x
)＝sin(2
x
＋)，则
f
′()等于( )
66
A．0
C．2
B．1
D．3
B．1
D．4
4
答案
A
3．
y
＝cos(2
x
＋3)的导数是( )
A．
y
′＝3cos(2
x
＋3)
B．
y
′＝6cos(2
x
＋3)
C．
y
′＝－3cos(2
x
＋3)·sin(2
x
＋3)
D．
y
′＝－6cos(2
x
＋3)·sin(2
x
＋3)
答案 D
2
2
2
2
3
?
π1
?
2
4．函数
y
＝sin
x
的图像在
?
，<
br>?
处的切线的斜率是( )
?
64
?
A.3
1
C.
2
答案 D
分析 将函数
y
＝si
n
x
看作是由函数
y
＝
u
，
u
＝sin<
br>x
复合而成的．
解析
∵
y
′＝2sin
x
cos
x
，
πππ3
∴
y
′|
x
＝＝2sincos＝.
6662
3
1
5．
y
＝sin的导数是( )
22
B.
D.
3
3
3
2
x
3
2
1
A．－
2
sin
x
x
x
3
2
2
B．－
2
sin
2
xx
31
2
1
C．－
2
cos·sin
xx
D.
312
2
sin·sin
2
xxx
答案 C
6．曲线
y
＝ln(2
x－1)上的点到直线2
x
－
y
＋3＝0的最短距离是( )
A.5
C．35
答案 A
2
解析
y
′＝＝2，∴
x
＝1.∴切点坐标为(1,0)．
2
x
－1
|2×1－0＋3|
由点到直线的距离公式，得
d
＝＝5. <
br>22
2＋1
7．设
y
＝
f
(2)可导，则
y
′等于( )
A．
f
′(2)ln2
C．－2·
f
′(2)ln2
－
x
－
x
－
x
－
x
B．25
D．0
B．2·
f
′(2)ln2
D．－2·
f
′(2)log2e
－
x
－
x－
x
－
x
答案 C
1
x
2
2
8．曲线
y
＝e
在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
9
2
A.e
2
C．2e
答案 D
1
x
2
1
解析 ∵
y
′＝·e ，
2
1
2
∴切线的斜率
k
＝
y
′|
x
＝4
＝e.
2
1
22
∴切线方程为
y
－e＝e(
x
－
4)．
2
∴横纵截距分别为2，－e，∴
S
＝e，故选D.
9．
若函数
f
(
x
)的导函数
f
′(
x
)＝<
br>x
－4
x
＋3，则函数
f
(
x
＋1)的单调
递减区间是( )
A．(2,4)
C．(1,3)
答案 D
解析 由
f
′(
x
)＝
x
－4
x
＋3＝(
x
－1)(
x
－3)知，当
x
∈(1,3)时，<
br>f
′(
x
)<0.函数
f
(
x
)
在
(1,3)上为减函数，函数
f
(
x
＋1)的图像是由函数
y
＝
f
(
x
)图像向左平移1个单位长度得到
的，所以(0,2)为
函数
y
＝
f
(
x
＋1)的单调减区间．
10．函
数
f
(
x
)＝
a
sin
ax
(
a
∈R)的图像过点
P
(2π，0)，并且在点
P
处的切线斜率为4，
则
f
(
x
)的最小正周期为( )
A．2π
C.
π
2
B．π
D.
π
4
2
2
22
2
B．4e
D．e
2
2
B．(－3，－1)
D．(0,2)
答案 B
解析
f
′(
x
)＝
a
cos
ax
，∴
f
′(2π)＝
a
cos2π
a
.
又a
sin2π
a
＝0，∴2π
a
＝
k
π，k
∈Z.
∴
f
′(2π)＝
a
cos
kπ＝4，∴
a
＝±2.
2π
∴
T
＝＝π.
|
a
|
二、填空题
11．函数
y
＝ln(2x
－4)的导函数是
y
′＝________.
2
2
22
答案
2
x
x
2
－2
310
12．设函数
f
(
x
)＝(
1－2
x
)，则
f
′(1)＝________.
答案 60
13．若
f
(
x
)＝(
x
－1)·e
答案
x
·e
x
－1
x
－1
，则
f
′(
x
)＝________.
ax
14．设曲线
y
＝e在点(0,1)处的切线与直线
x
＋2
y
＋1＝0垂直，则
a
＝________.
答案 2
解析 由题意得
y
′＝
a
e，
y
′|
x
＝0
＝
a
e
ax
a
×0
＝2，
a
＝2.
π
sin(3
t
＋)，则物体在时刻
t
＝0时，速
6
15．一物体作阻尼运动，运动规律为<
br>x
＝e
度为________，加速度为________．
答案
335
－1；63－
22
－2
t
三、解答题
1
6．已知
f
(
x
)＝(
x
＋1＋
x
)，求
210
f
f
.
1
2
22
解析
(1＋
x
)′＝[(1＋
x
) ]′
11
－ －
22
1
22
＝(1＋
x
)
·2
x
＝
x
(1＋
x
) ，
2
1
－
2
292
∴
f
′(
x<
br>)＝10(
x
＋1＋
x
)·[1＋
x
(1＋
x
) ]
x
＋1＋
x
2
＝10·
2
1
＋
x
10
.
∴
f
′(0)＝10.又
f
(0)＝1，∴
22
f
f
＝10.
22
17．求证：双曲
线
C
1：
x
－
y
＝5与椭圆
C
2：4x
＋9
y
＝72在第一象限交点处的切线互
相垂直．
证明 联
立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3,2)．
C
1在第一象限的部分对
应
的函数解析式为
y
＝
x
－5，于是有：
1
2<
br>x
2
－
x
2
y
′＝[(
x
－5)
]′＝＝，
2
2
x
－5
x
2
－5
2
3
∴
k
1＝
y
′|
x
＝3＝.
2
C
2在第一象限的部分对应的函数解析式为
y
＝
4
2
8－
x
.
9
8
－
x
9
2
x
＝－.
24
2
318－
x
8－
x
9
∴
y
′＝
2
2
∴
k
2＝
y
′|
x
＝
3＝－.
3
∵
k
1·
k
2＝－1，∴两切线互相垂直．
?重点班·选做题
18．曲线
y
＝ecos3
x
在(0,
1)处的切线与
l
的距离为5，求
l
的方程．
解析 由题意知 <
br>2
x
y
′＝(e
2
x
)′cos3
x
＋e
2
x
(cos3
x
)′
＝2ecos3
x
＋3(－sin3
x
)·e
＝2ecos3
x
－3esin3
x
，
∴曲线在(0,1
)处的切线的斜率为
k
＝
y
′|
x
＝0
＝2. <
br>∴该切线方程为
y
－1＝2
x
?
y
＝2
x<
br>＋1.
设
l
的方程为
y
＝2
x
＋
m
，
|
m
－1|
则
d
＝＝5.
5
解得
m
＝－4或
m
＝6.
当
m
＝－4时，
l
的方程为
y
＝2
x
－4；
当m
＝6时，
l
的方程为
y
＝2
x
＋6. 综上，可知
l
的方程为
y
＝2
x
－4或
y＝2
x
＋6.
2
x
2
x
2
x
2
x
课时作业(七)
一、选择题
1．函数
f
(
x
)＝2
x
－sin
x
在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
C．有最大值
答案 A
2．函数
f
(
x
)
＝5
x
－2
x
的单调递减区间是( )
2
B．是减函数
D．有最小值
A．(
1
5
，＋∞)
B．(－∞，
1
5
)
C．(－
1
5
，＋∞)
D．(－∞，－
1
5
)
答案 B
3．函数
y
＝
x
ln
x
在区间(0,1)上是(
)
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，
11
e
)上是减函数，在(
e
，1)上是增函数
D．在(0，
1
e)上是增函数，在(
1
e
，1)上是减函数
答案 C
解析
f
′(
x
)＝ln
x
＋1，当0<
x
<<
br>1
e
时，
f
′(0)<0；
当
1
e
<
x
<1时，
f
′(
x
)>0.
4．函数y
＝4
x
2
＋
1
x
的单调增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(
1
2
，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－
1
2
)
答案 B
解析
y
′＝
8
x
－
11
x
2
，令
y
′＞0，得8x
－
x
2
＞0，
即
x
3
＞
11
8
，
∴
x
＞
2
.
5．若函数
y
＝
a
(
x
3
－
x
)的递减区间为(－
3
3
，<
br>3
3
)，则
a
的取值范围是(
A．
a
＞0
B．－1＜
a
＜0
C．
a
＞1
D．0＜
a
＜1
答案 A
解析
y
′＝
a(3
x
2
－1)，解3
x
2
－1＜0，得－
3
3
＜
x
＜
3
3
.
∴
f
(
x
)＝
x
3
－
x
在(－
3
3<
br>，
3
3
)上为减函数．
)
又
y
＝
a
·(
x
－
x
)的递减区间为(－
∴<
br>a
＞0.
6.
3
33
，)．
33
<
br>已知
f
′(
x
)是
f
(
x
)的导函
数，
y
＝
f
′(
x
)的图像如图所示，则
f
(
x
)的图像只可能是
( )
答案 D
解析 从
y
＝
f
′(
x
)的图像可以看出，在区间(
a，
a
＋
b
2
)内，导数值递增；在区(
a
＋<
br>b
2
，
a
＋
ba
＋
b
b
)
内，导数值递减，即函数
f
(
x
)的图像在(
a
，)内越来
越陡峭，在(，
b
)内越来越
22
平缓．
7．函数
f(
x
)＝(
x
－3)e的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
C．(1,4)
答案 D
B．(0,3)
D．(2，＋∞)
x
解析
f
′(
x)＝e＋(
x
－3)e＝e(
x
－2)，
由
f
′(
x
)>0，得
x
>2.∴
f
(
x
)
在(2，＋∞)上是增函数．
二、填空题
4
3
8．若函数
y＝－
x
＋
bx
有三个单调区间，则
b
的取值范围是__
______．
3
答案 (0，＋∞)
4
32
解析 若函数y
＝－
x
＋
bx
有三个单调区间，则其导数
y
′＝－4
x
＋
b
＝0有两个不相
3
等的实数根，所以
b
>0.
9．若函数
f
(
x
)＝
x
－
＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数
p
的取值范围是________．
x
2
答案 [－1，＋∞)
解析
f
′(
x)＝1＋
2
≥0对
x
>1恒成立，即
x
＋
p<
br>≥0对
x
>1恒成立，∴
p
≥－
x
(
x>1)．∴
xxx
pp
p
x
22
p
≥－1.
1
3
1
2
10．若函数
y
＝
ax
－
ax
－2
ax
(
a
≠0)在[－1,2]上为增函数，则
a
∈________.
32
答案 (－∞，0)
解析
y
′＝
ax
－
ax
－2
a
＝
a
(
x
＋1)(
x
－2)>0，
∵当
x
∈(－1,
2)时，(
x
＋1)(
x
－2)<0，
∴
a
<0.
2
x
－
a
11．
f
(
x
)＝
2
(
x
∈R)在区间[－1,1]上是增
函数，则
a
∈________.
x
＋2
答案 [－1,1]
－
x
＋
ax
＋2
解析
y
′＝2·， <
br>x
2
＋
2
－
x
＋
ax
＋2
∵
f
(
x
)在[－1,1]上是增函数，∴
y
′在(－1,
1)上大于等于0，即2·≥0.
x
2
＋
2
∵(
x
＋2)＞0，
∴
x
－
ax
－2≤0对
x
∈(－1,1)恒成立．
令
g
(
x
)＝
x
－
ax
－2，
?
?
g
则
?
?
g
?
2
2
22
2
2
2
－
，
?
?
1＋
a
－2≤0
即
?
?
1－
a
－2≤0，
?
∴－1≤
a
≤1.
即
a
的取值范围是[－1,1]．
三、解答题
12．已知
f
(
x
)＝
ax
＋3
x
－
x
－1在R上是减函数，求
a
的取值范围．
32
解析 ∵
f
′(
x
)＝3
ax
＋6
x
－1，又
f
(
x
)在R上递减，
∴
f
′(
x
)≤0对
x
∈R恒成立．
即
3
ax
＋6
x
－1≤0对
x
∈R恒成立，显然
a<
br>≠0.
?
?
3
a
＜0
∴
?
?Δ＝36＋12
a
≤0，
?
2
2
2
∴
a
≤－3.
即
a
的取值范围为(－∞，－3]．
13
．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋(
x
≠0，常
数
a
∈R)．若函数
a
x
f
(
x
)在[
2，＋∞)上是单调递增的，求
a
的取值范围．
a
2
x
3
－
a
解析
f
′(x
)＝2
x
－
2
＝
2
，
xx
要使
f
(
x
)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则
f
′(
x
)≥0在
x
∈[2，＋∞)时恒成立，
2
x
－
a
即≥0在
x
∈[2，＋∞)时恒成立．
2
3
x
∵
x
>0，∴2
x
－
a<
br>≥0，∴
a
≤2
x
在
x
∈[2，＋∞)上恒成立．
∴
a
≤(2
x
)
min
.
∵
x
∈[2，＋∞)，
y
＝2
x
是单调递增的，
∴(2
x
)
min
＝16，∴
a
≤16.
当
a
＝16时，
2
x
－16
f
′(x
)＝≥0(
x
∈[2，＋∞))有且只有
f
′(2)＝0.
2
3
3
3
3
33
x
∴
a
的取值范围是
a
≤16.
14．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋1，
a
∈R.
(1)讨论函数
f
(
x
)的单调区间；
21
(2
)设函数
f
(
x
)在区间(－，－)内是减函数，求
a
的取
值范围．
33
解析 (1)对
f
(
x
)求导，得
32
f
′(
x
)＝3
x
2
＋2
ax＝3
x
(
x
＋
a
)．
①当
a
＝0时，
f
′(
x
)＝3
x
≥0恒成立．
∴
f
(
x
)的递增区间是(－∞，＋∞)；
2
②
当
a
>0时，由于
f
′(
x
)分别在(－∞，－α)和(0
，＋∞)上都恒为正，所以
f
(
x
)的
3
22
递增
区间是(－∞，－
a
)，(0，＋∞)；由于
f
′(
x
)在
(－
a,
0)上恒为负，所以
f
(
x
)的递减
33
2
2
3
2
区间是(－
a,
0)；
3
2
③当
a
<0时，在
x
∈(－∞，0)和
x
∈(－
a
，＋∞)上均有
f
′(
x
)>0，∴
f
(
x
)的递增区
3
222
间是(－∞，0)，(
－
a
，＋∞)；在(0，－
a
)上，
f
′(
x)<0，
f
(
x
)的递减区间是(0，－
a
)．
333
212
(2)由(1)知，(－，－)?(－
a,
0)，
333
22
∴－
a
≤－.∴
a
≥1.
3
3
1
3
1
2
15．若函数
f
(
x
)＝
x
－
ax
＋(
a
－1)
x
＋1在区间
(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)
32
上为增函数，试求实数
a
的
取值范围．
分析 本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力．
解析
∵
f
′(
x
)＝
x
－
ax
＋
a<
br>－1，令
f
′(
x
)＝0，
解得
x
＝1或
x
＝
a
－1.
当
a
－1≤1，即
a
≤2时，函数
f
(
x
)在(1，
＋∞)上为增函数，不符合题意．
当
a
－1>1，即
a
>2时，函
数
f
(
x
)在(－∞，1)上为增函数，在(1，
a
－1)
上为减函数，
在(
a
－1，＋∞)上为增函数．
而当
x
∈(1,4)时，
f
′(
x
)<0；
当
x
∈(6，＋∞)时，
f
′(
x
)>0.
∴4≤
a
－1≤6，即5≤
a
≤7.
∴
a
的取值范围是[5,7]．
2
x
2＋
ax<
br>－2
a
16．已知
f
(
x
)＝在区间[1，＋∞)上
是增函数，求实数
a
的取值范围．
2
x
解析 因为
f(
x
)＝
x
－＋，所以
f
′(
x
)＝
1＋.
x
2
x
2
又
f
(
x
)在
[1，＋∞)上是增函数，
所以当
x
∈[1，＋∞)时，恒有
f
′
(
x
)＝1＋≥0，
x
2
即
a
≥－
x<
br>2，
x
∈[1，＋∞)．所以
a
≥－1.
故所求
a
的取值范围是[－1，＋∞)．
1
32
17．已
知函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋
b
x
，且
f
′(－1)＝0.
3
(1)试用含
a
代数式表示
b
；
(2)求
f
(
x
)的单调区间．
分析 可先求
f
′(
x
)，再由
f
′(－1)＝0
，可得用含
a
的代数式表示
b
，这时
f
(
x
)中只
2
aaa
a
含一个参数
a
，然后令
f
′(
x
)＝0，求得两根，通过列表，求得
f
(
x
)的单调区间，并注意分
类讨论．
解析 (1)依题意，得
f
′
(
x
)＝
x
＋2
ax
＋
b
.
由
f
′(－1)＝0，得1－2
a
＋
b
＝0.∴
b<
br>＝2
a
－1.
1
32
(2)由(1)，得
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋(2
a
－1)x
.
3
故
f
′(
x
)＝
x
＋2
ax
＋2
a
－1＝(
x
＋1)(
x
＋
2
a
－1)．
令
f
′(
x
)＝0，则
x
＝－1或
x
＝1－2
a
.
①当
a
>1时，1－2
a
<－1.
当
x
变化时，
f
′(
x
)与
f
(
x
)的变化情
况如下表：
2
2
x
f
′(
x
)
f
(
x
)
(－∞，1－2
a
)
＋
单调递增
(1－2
a
，－1)
－
单调递减
(－1，＋∞)
＋
单调递增
由此得，函数
f
(
x
)的单调增区间为(－∞，1－2
a<
br>)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－
2
a
，－1)．
②当a
＝1时，1－2
a
＝－1，此时
f
′(
x
)
≥0恒成立，且仅在
x
＝－1处
f
′(
x
)＝0，故
函数
f
(
x
)的单调增区间为R.
③当
a
<1
时，1－2
a
>－1，同理可得函数
f
(
x
)的单调增区间
为(－∞，－1)和(1－2
a
，
＋∞)，单调减区间(－1，1－2
a)．
综上：当
a
>1时，函数
f
(
x
)的单
调增区间为(－∞，1－2
a
)和(－1，＋∞)，单调减区
间为(1－2
a
，－1)；
当
a
＝1时，函数
f
(
x
)的单调增区间为R；
当
a
<1时，函数
f
(
x
)的单调增区间为(－∞
，－1)和(1－2
a
，＋∞)，单调减区间为(－
1,1－2
a
)
．
?重点班·选做题
18．设函数
f
(
x
)＝
1
(
x
>0且
x
≠1)．
x
ln
x(1)求函数
f
(
x
)的单调区间；
1
x
a
(2)已知2
>
x
对任意
x
∈(0,1)成立，求实数
a
的取值范围．
ln
x
＋1
解析
(1)
f
′(
x
)＝－
22
.
x
ln<
br>x
1
若
f
′(
x
)＝0，则
x
＝.
e
1
当
f
′(
x
)>0，即0<<
br>x
<时，
f
(
x
)为增函数；
e
1
当
f
′(
x
)<0，即<
x
<1或
x
>
1时，
f
(
x
)为减函数．
e
1
所以
f
(
x
)的单调增区间为(0，)，
e
1
单调减区间为[，1)和(1，＋∞)．
e
1
x
a
1
(2)在2
>
x
两边取对数，得ln2>
a
ln
x
.
x
a
1
由于0<
x
<1，所以>.①
ln2x
ln
x
1
由(1)的结果知：当
x
∈(0,1)时，
f
(
x
)≤
f
()＝－e.
e
为使①式对所有
x
∈(0,1)成立，
当且仅当>－e，即
a
>－eln2.
ln2
a
课时作业(九)
一、选择题
1．函数
f
(
x
)＝
x
＋3
x
＋3
x
－
a
的极值点的个数( )
A．2
C．0
答案 C
解析
f
′(
x
)＝3
x
＋6
x
＋3＝3(
x
＋2
x
＋1)＝3(
x
＋
1)≥0恒成立．
f
(
x
)单调，故无极值
点．
2．函数
f
(
x
)的定义域为开区间(
a
，
b
)，
导数
f
′(
x
)在(
a
，
b
)内的图像如
图所示，则函
数
f
(
x
)在开区间(
a
，
b
)内有极小值点( )
222
32
B．1
D．由
a
确定
A．1个
C．3个
答案 A
B．2个
D．4个
解析
导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点．
3．若函数
y
＝e＋
m
x
有极值，则实数
m
的取值范围( )
A．
m
>0
C．
m
>1
答案 B
解析
y
′＝e＋<
br>m
，则e＋
m
＝0必有根，∴
m
＝－e<0.
4．当函数
y
＝
x
·2取极小值时，
x
＝( )
A.
1
ln2
1
B．－
ln2
D．ln2
x
xxx
x
B．
m
<0
D．
m
<1
C．－ln2
答案 B
解析 由y
＝
x
·2，得
y
′＝2＋
x
·2·ln2.
令
y
′＝0，得2(1＋
x
·ln2)＝0.
1
x
∵2＞0，∴
x
＝－.
ln2
5．函数f
(
x
)＝
x
－3
bx
＋3
b
在(0,1)内有极小值，则( )
A．0＜
b
＜1
C．
b
＞0
答案 A
解析
f
(
x
)在(0,1)内有极小值，则
f
′(
x
)＝3
x
－3
b
在(0,1)上先负后正，∴
f
′(0)＝
－3
b
＜0.
∴
b
＞0，
f
′(1)＝3－3
b
＞0，∴
b
＜1.
综上，
b
的范围为0＜
b
＜1.
6．已知
f(
x
)＝
x
＋
ax
＋(
a
＋6)x
＋1有极大值和极小值，则
a
的取值范围为( )
A．－1＜
a
＜2
C．
a
＜－1或
a
＞2
答案 D
解析 <
br>f
′(
x
)＝3
x
＋2
ax
＋(
a
＋6)，
∵
f
(
x
)有极大值和极小值，
∴
f
′(
x
)＝0有两个不等实根．
∴Δ＝4
a
－4·3(
a
＋6)＞0，即(
a
－6)(
a
＋3
)＞0，
2
2
32
2
3
xxx
x
B．<
br>b
＜1
1
D．
b
＜
2
B．－3＜
a
＜0
D．
a
＜－3或
a
＞6
解得
a
＞6或
a
＜－3.
7．已知函数<
br>f
(
x
)＝
x
－
px
－
qx
的图像与
x
轴相切于(1,0)，则极小值为( )
A．0
5
C．－
27
答案 A
解析
f
′(
x
)＝3
x
－2
px
－
q
，
由题知
f
′(1)＝3－2
p
－
q
＝0.
又
f
(1)＝1－
p
－
q
＝0，
联立方程组，解得
p
＝2，
q
＝－1.
∴
f(
x
)＝
x
－2
x
＋
x
，
f
′(
x
)＝3
x
－4
x
＋1.
由
f
′(
x
)＝3
x
－4
x
＋1＝0，
1
解得
x
＝1或
x
＝.
3
经检验知
x
＝1是函数的极小值点．
∴
f
(<
br>x
)
极小值
＝
f
(1)＝0.
8．三次函数当x
＝1时，有极大值4，当
x
＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则
此函数可能是( )
A．
y
＝
x
＋6
x
＋9
x
C．
y
＝
x
－6
x
－9
x
答案 B
解析 三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，
∴此
函数可设为
f
(
x
)＝
x
＋
bx
＋
cx
.
则
f
′(
x
)＝3
x
＋2bx
＋
c
.
?
?
f
由题设知
??
f
?
?
?
b
＝－6，
解得
?
?
c
＝9.
?
3
2
32
32
32
2
322
2
32
4
B．－
27
D．1
B．
y
＝
x
－6
x
＋9
x
D．
y
＝
x
＋6
x
－9
x
32
32
＝3＋2
b
＋
c
＝0，
＝27＋6<
br>b
＋
c
＝0.
2
∴
f
(
x
)＝
x
－6
x
＋9
x<
br>.
∴
f
′(
x
)＝3
x
－12
x
＋9＝3(
x
－1)(
x
－3)．
可以验证当
x
＝1时，函数取得极大值4；当
x
＝3时，函数取得极小值0，满足条件．
9．设
f
(
x
)＝
x
(
ax
＋
b
x
＋
c
)(
a
≠0)在
x
＝1和
x
＝－1处均有极值，则下列点中一定在
x
轴上的是( )
A．(
a
，
b
)
B．(
a
，
c
)
2
2
C．(
b
，
c
)
答案 A
D．(
a
＋
b
，
c
)
解析
f
′(
x
)＝3
ax
＋2
bx＋
c
，由题意知
x
＝1和
x
＝－1是方程3
a
x
＋2
bx
＋
c
＝0的两
2
b
根，则1－
1＝－，得
b
＝0.
3
a
二、填空题
22
x<
br>2
＋
a
10．若函数
f
(
x
)＝在
x
＝1处取得极值，则
a
＝________.
x
＋1
答案 3
解析
f
′(
x
)＝<
br>＝
2
x
x
2
＋
a
2
x
＋－
x
＋
a
x
＋
2
2
x
＋
x
＋－
x
＋
a
x
＋
2
x
2
＋2
x
－
a
＝，
x
＋
2
因为
函数
f
(
x
)在
x
＝1处取得极值，
3－
a
所以
f
′(1)＝＝0，解得
a
＝3. <
br>4
11．设函数
f
(
x
)＝
x
·(
x
－
c
)在
x
＝2处有极大值，则
c
＝_____
___.
答案 6
解析
f
′(
x
)＝3
x<
br>－4
cx
＋
c
，
∵
f
(
x
)在
x
＝2处有极大值，∴
f
′(2)＝0，即
22
2
c
2
－8
c
＋12＝0，解得
c
1＝2，
c
2＝6.
当
c
＝2时，则
f
′(
x
)
＝3
x
－8
x
＋4＝(3
x
－2)(
x
－
2)．
当
x
＞2时，
f
′(
x
)＞0，
f
(
x
)递增不合题意，
∴
c
≠2，∴
c
＝6.
2
12．已知
函数
f
(
x
)＝
x
＋
bx
＋
cx
，其导函数
y
＝
f
′(
x
)的图像经过点(1,0
)，(2,0)，如
图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的
编号)
3
(1)当
x
＝时函数取得极小值；
2
32
(2)
f
(
x
)有两个极值点；
(3)
c
＝6；
(4)当
x
＝1时函数取得极大值．
答案 (1)
解析
f
′(
x
)的符号为正→负→正，
则
f
(
x
)的单调性为增→减→增．
草图如右图．
三、解答题
13．设
x
＝1和
x
＝2是函数
f<
br>(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋1的两
个极值点．
(1)求
a
和
b
的值；
(2)求
f
(
x
)的单调区间．
解析 (1)
f
′(
x
)＝5
x
＋3
ax
＋
b
，
由题意知
f
′(1)＝5＋3
a
＋
b
＝0， 42
53
f
′(2)＝2
4
×5＋2
2
×3<
br>a
＋
b
＝0.
25
解得
a
＝－，
b
＝20.
3
(2)
由(1)知
f
′(
x
)＝5
x
－25
x
＋
20＝5(
x
－1)(
x
－4)＝5(
x
＋1)(
x
＋2)(
x
－1)(
x
－2)．
当
x
∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，
f
′(
x
)>0， <
br>当
x
∈(－2，－1)∪(1,2)时，
f
′(
x
)
<0.
因此，
f
(
x
)的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1
,1)，(2，＋∞)；
f
(
x
)的单调递减区
间是(－2，－1)
，(1,2)．
14．一个三次函数
y
＝
f
(
x
)，当
x
＝3时取得极小值
y
＝0，又在此函数的曲线上点(1,8)
处的切线经过点(3,0)，求函数
f
(
x
)的表达式．
解析
由题意，点(3,0)在曲线上，故可设
y
＝
a
(
x
－3)
＋
b
(
x
－3)＋
c
(
x
－3)． ∵当
x
＝3时，
y
取得极小值，∴
y
′|
x<
br>＝3＝0.
而
y
′＝3
a
(
x
－3)＋2
b
(
x
－3)＋
c
，把
x
＝3代入得c
＝0.
∴
y
＝
a
(
x
－3)＋<
br>b
(
x
－3)，
32
2
32
4222y
′＝3
a
(
x
－3)
2
＋2
b(
x
－3)．
∵曲线过点(1,8)，∴－8
a
＋4
b
＝8.①
∵曲线在点(1,8)处的切线经过点(3,0)，
∴该切线的斜率
k
＝
8
＝－4.
1－3
另一方面
，应有
k
＝
y
′|
x
＝1，
从而12
a
－4
b
＝－4.②
由①②两式解得
a
＝1，
b
＝4.
∴
y
＝(
x
－3)＋4(
x
－3)，即
y
＝
x
－5
x
＋3
x
＋9.
15．已知函数
f
(
x
)＝
x
－
a
ln
x
(
a
∈R
)
(1)当
a
＝1时，求函数
f
(
x
)在点x
＝1处的切线方程；
(2)求函数
f
(
x
)的极值；
(3)若函数
f
(
x
)在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定
a
的取值范围．
1
2
解析 (1)当
a
＝1时，
f
(
x<
br>)＝
x
－ln
x
，
f
′(
x
)＝2
x
－，
2
3232
x
f
′(1)＝1，又
f
(1)＝1，∴切线方程为
y
＝
x
.
(2)定义域为
(0，＋∞)，
f
′(
x
)＝2
x
－，当
a
≤0时，
f
′(
x
)>0恒成立，
f
(
x
)不存在
极值．
当
a
>0时，令
f
′(
x)＝0，得
x
＝
∴当
x
＝
2
a
2a
2
a
，当
x
>时，
f
′(
x
)>0，当
x
<时，
f
′(
x
)<0,
222
a
x
2
aaaa
时，
f
(
x
)有
极小值－ln.
2222
(3)∵
f
(
x
)在(2，＋∞
)上递增，∴
f
′(
x
)＝2
x
－≥0对
x
∈(2，＋∞)恒成立，即
a
≤2
x
恒成立．∴
a
≤8.
ln
x
16．求函数
f
(
x
)＝的极值．
a
x
2
x
分析
首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的
极值点，进而求出极值．
ln
x
解析
函数
f
(
x
)＝的定义域为(0，＋∞)，
x
1－ln<
br>x
由导数公式表和求导法则，得
f
′(
x
)＝.
2
x
令
f
′(
x
)＝0，解得
x
＝e.
下面分两种情况讨论：
(1)当
f
′(
x
)>0时，0<
x
(2)当
f
′(
x
)<0时，
x
>e.
当
x
变化时，
f
′(
x
)与
f
(
x
)的变化情况如下表：
x
f
′(
x
)
f
(
x
)
(0，e)
＋
e
0
1
e
(e，＋∞)
－
↘
1
故当
x
＝e时函数取得极大值，且极大值为
f
(e)＝.
e
17．已知函数
f
(
x
)＝3
ax
－2
(3
a
＋1)
x
＋4
x
.
1
(1)当
a
＝时，求
f
(
x
)的极值；
6
(2)若
f
(
x
)在(－1,1)上是增函数，求
a
的取值范围．
解析 (1)
f
′(
x
)＝4(
x
－1)(3
ax
＋3
ax
－1)．
1
2当
a
＝时，
f
′(
x
)＝2(
x
＋2
)(
x
－1)，
f
(
x
)在(－∞，－2)内单调减，在(
－2，＋∞)
6
内单调增，在
x
＝－2时，
f
(
x
)有极小值．
所以
f
(－2)＝－12是
f
(
x
)的极小值．
(2)在(－1,1)上，
f
(
x
)单调增加，当且仅当
f
′(
x
)＝4(
x
－1)(3
ax
＋3
a
x
－1)≥0，即
3
ax
＋3
ax
－1≤0，①
(ⅰ)当
a
＝0时①恒成立；
(ⅱ)当
a
＞0时①成立，
当且仅当3
a
·1＋3
a
·1－1≤0.
1
解得
a
≤.
6
1
2
3
a3
a
(ⅲ)当
a
＜0时①成立，即3
a
(
x<
br>＋)－－1≤0成立，当且仅当－－1≤0.解得
a
≥
244
4
－.
3
41
综上，
a
的取值范围是[－，]．
36
?重点班·选做题
2
2
2
2
42
a
3
3
2
18．已知函数
f
(
x
)＝
x
－
x
＋(
a
＋1)
x
＋1，其中
a<
br>为实数．
32
(1)已知函数
f
(
x
)在
x
＝1处取得极值，求
a
的值；
(2)已知不等式
f
′(
x
)>
x
－
x
－
a
＋1对任意
a
∈(0，＋∞)都成立，求实数
x
的取值范围．
解析 (1)
f<
br>′(
x
)＝
ax
－3
x
＋
a
＋1，
由于函数
f
(
x
)在
x
＝1时取得极值，所以f
′(1)＝0，即
a
－3＋
a
＋1＝0，∴
a
＝1.
2
2
(2)方法一 由题设知：
ax
－3
x
＋
a
＋1>
x
－
x
－
a
＋1对任意
a
∈(0，＋∞)都成立，
即
a
(
x
＋2)－
x
－2
x
>0对任意
a
∈(0，＋∞)都成立．
设
g
(
a
)＝
a
(
x
＋2)－<
br>x
－2
x
(
a
∈R)，则对任意
x
∈R，<
br>g
(
a
)为单调递增函数(
a
∈R)．
所以对任意
a
∈(0，＋∞)，
g
(
a
)>0恒成立的充分必要条件是
g
(0)≥0，即－
x
－2
x
≥0，
∴－2≤x
≤0.
于是
x
的取值范围是{
x
|－2≤
x
≤0}．
方法二 由题设知：
ax
－3
x
＋
a
＋1>
x
－
x
－
a
＋1对任意
a
∈(0，＋∞)都成立
，
即
a
(
x
＋2)－
x
－2
x
>0对任意
a
∈(0，＋∞)都成立．
22
22
2
22<
br>22
22
x
2
＋2
xx
2
＋2
x<
br>于是
a
>
2
对任意
a
∈(0，＋∞)都成立，即2
≤0.所以－2≤
x
≤0.
x
＋2
x
＋2
所以
x
的取值范围是{
x
|－2≤
x
≤0}．
1．已知函数
f
(
x
)在点
x
0处连续
，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点
x
0附近的左侧
f
′(
x
)＞0，右侧
f
′(
x
)＜0，那么
f
(
x
0)是极小值
C．如果在点x
0附近的左侧
f
′(
x
)＞0，右侧
f
′(
x
)＜0，那么
f
(
x
0)是极大值
D．如果在
点
x
0附近的左侧
f
′(
x
)＜0，右侧
f
′(
x
)＞0，那么
f
(
x
0)是极大值
答案
C
2．根据图像指出下列函数的极值点．
4
①
y
＝
x
＋(
x
≠0)；
x
②
y
＝|lg|
x
－1||.
答案
①(2,4)极小值点，(－2，－4)极大值点．
②(0,0)，(2,0)极小值点．
3．求函数
y
＝
x
3
－2
x
－
2
的极值．
解析 ∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且
y
′＝
＝0，得
x
1
＝－1，
x
2
＝2.
∴当
x
变化时，
y
′，
y
的变化情况如下表： <
br>x
－
2
x
＋
3
x
－
，令
y
′
x
y
′
y
(－∞，－1)
＋
－1
0
极大值
(－1,1)
－
↘
(1,2)
＋
2
0
非极值
(2，＋∞)
＋
3
故当
x
＝－1时，
y
有极大值，为－.
8
课时作业(十)
一、选择题
1．函数
f
(
x
)＝
x
－3
x
(－1<
x
<1)( )
A．有最大值，但无最小值
C．无最大值，也无最小值
答案 C
2
．函数
y
＝
x
＋
x
在区间[－1,0]上的最小值是(
)
A．0
1
C.
2
答案 B
1
2
11
解析
y
＝(
x
＋)－，对称轴
x
＝－∈[－1,0]，
242
1
∴
y
min＝－.
4
3．函数
f
(
x
)＝
x
(1－
x
)在[0,1]上的最大值
为( )
A.
C.
23
9
32
9
B.
22
9
2
2
3
B．有最大值，也有最小值
D．无最大值，但有最小值
1
B．－
4
D．－2
3
D.
8
答案 A
解析
f
′(
x<
br>)＝1－3
x
，令
f
′(
x
)＝0，得
x<
br>＝±
∵
f
(0)＝0，
f
(1)＝0，
f
(
23
∴
f
(
x
)max＝.
9
4．函数
y
＝＋
x
－3
x
－4在[0,2]上的最小值是( )
3
17
A．－
3
10
B．－
3
2
3
.
3
323323
)＝，
f
(－)＝－，
3939
x
3
2
C．－4
答案 A
解析
y
′＝
x
＋2
x
－3，
2
64
D．－
3
令
y
′＝0，得
x＝－3或
x
＝1，∵
x
∈[0,2]，∴
x
＝1. <
br>1710
∵
f
(0)＝－4，
f
(1)＝－，
f(2)＝－，
33
17
∴
y
min＝－，选A.
3
5．已知函数
f
(
x
)、
g
(
x
)均为[
a
，
b
]上的可导函数，在[
a
，
b]上连续且
f
′(
x
)<
g
′(
x
)
，
则
f
(
x
)－
g
(
x
)的最大
值为( )
A．
f
(
a
)－
g
(
a
)
C．
f
(
a
)－
g
(
b
)
答案 A
解析 令
h
(
x
)＝
f
(x
)－
g
(
x
)，
x
∈[
a
，
b
]，
则
h
′(
x
)＝
f
′
(
x
)－
g
′(
x
)<0.
∴
h
(
x
)是[
a
，
b
]上的减函数．
∴
h
(
x
)
max
＝[
f
(
x
)－
g
(
x
)]
max
＝
f
(
a)－
g
(
a
)．故选A.
二、填空题
3
6
．函数
f
(
x
)＝
x
＋在[2，＋∞)上的最小值为___
_____．
B．
f
(
b
)－
g
(
b
)
D．
f
(
b
)－
g
(
a
)
x
7
答案
2
7．已知
a
>0，函数
f
(
x
)＝
x
－
ax
在[1，＋∞)上是单调函数，
则
a
的最大值是________．
答案 3
8．函数
f
(
x
)＝
ax
－4
ax
＋
b
(
a
>0)(
x
∈[1,4])的最大值为3，最小值为－6，则
ab
＝
________.
答案 1
9．若不等式
x
－4
x
>2－
a
对任意实数
x
都成立，则
a
的取值范围是
________．
答案 (29，＋∞)
10．
f
(
x
)＝2
x
－6
x
＋
m
在[－2,2]上有最大值3，则<
br>f
(
x
)在[－2,2]上的最小值为
________．
答案 －37
解析
f
′(
x
)＝6
x
－12
x
，令
f
′(
x
)＝0，得
x
1＝
0，
x
2＝2.
∵
f
(－2)＝
m
－40，f
(0)＝
m
，
f
(2)＝
m
－8，∴
m
为最大值．
2
32
43
43
3
又最大值为3，∴
m
＝3，∴最小值为
f
(－2)＝－37.
三、解答题
1
2
11．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋ln
x
.
2
(1)求函数
f
(
x
)在区间[1，e]上的最大、最小值；
2
3
(2)求证：在区
间(1，＋∞)上，函数
f
(
x
)的图像在函数
g
(
x
)＝
x
图像的下方．
3
1
解析
(1)由已知
f
′(
x
)＝
x
＋，
x
当
x
∈[1，e]时，
f
′(
x
)＞0，
所以函数
f
(
x
)在区间[1，e]上单调递增．
所以函
数
f
(
x
)在区间[1，e]上的最小、最大值分别为
f
(
1)、
f
(e)．
1ee
因为
f
(1)＝，
f<
br>(e)＝＋1，所以函数
f
(
x
)在区间[1，e]上的最大值为＋1
，最小值
222
1
为.
2
1
2
2
31
2
(2)设
F
(
x
)＝
x
＋ln<
br>x
－
x
，则
F
′(
x
)＝
x
＋－2
x
＝
23
x
1，所以
F
′(
x<
br>)＜0.
所以函数
F
(
x
)在区间(1，＋∞)上单调递减，
1
又
F
(1)＝－＜0，
6
所以，在区间(1，＋∞)上
F
(
x
)＜0，
1
2
2
3
即
x
＋ln
x
＜
x.
23
2
3
所以函数
f
(
x
)的图
像在函数
g
(
x
)＝
x
图像的下方．
3
12．已知
a
是实数，函数
f
(
x
)＝
x
(
x
－
a
)．
(1)若
f
′(1)＝3，求a
的值及曲线
y
＝
f
(
x
)在点(1，
f
(1))处的切线方程；
(2)求
f
(
x
)在区间[0,2]上的最大值．
解析
(1)
f
′(
x
)＝3
x
－2
ax
，
因为
f
′(1)＝3－2
a
＝3，所以
a
＝0.
又当
a
＝0时，
f
(1)＝1，
f
′(1)＝3，
所以曲线
y
＝
f
(
x
)在(1，
f
(1))处的切线方程为
3
x
－
y
－2＝0.
2a
(2)令
f
′(
x
)＝0，解得
x
1
＝0，
x
2
＝.
3
2
2
22
－
x
＋
x
＋2
x
2
x
.因为
x
＞
2
a
当≤0，即
a
≤0时，
f
(<
br>x
)在[0,2]上单调递增，从而
3
f
(
x
)<
br>max
＝
f
(2)＝8－4
a
.
2
a当≥2，即
a
≥3时，
f
(
x
)在[0,2]上单调递
减，从而
3
f
(
x
)
max
＝
f
(0)＝0.
2
a
2
a
当0<<2，即0<
a
<3时，
f
(
x
)在[0，]上单调递减，
33
2
a
在[，2]上单调递增，从而
3
f
(<
br>x
)
max
＝
{
8－4
a
，0<
a
≤2，，2<
a
<3.
，
a
>2.
综上所述，
f
(
x
)
max
＝
{
8－4
a
，
a
≤2，13．已知函数
f
(
x
)＝
a
ln
x
＋
bx
的图像在点(1，－3)处的切线的方程为
y
＝－2
x
－1.
1
(1)若对任意
x
∈[，＋∞)有
f
(
x
)≤
m
恒成立，求实数
m
的取值范围；
3
(
2)若函数
y
＝
f
(
x
)＋
x
＋2在区间
[
k
，＋∞)内有零点，求实数
k
的最大值．
解析
(1)∵点(1，－3)在函数
f
(
x
)图像上，
∴－3＝
a
ln1＋
b
，∴
b
＝－3.
∵
f
′(
x
)＝－3，由题意
f
′(1)＝－2，
即
a
－3＝－2，∴
a
＝1.∴
f
(
x<
br>)＝ln
x
－3
x
.
1
∴
f
′(
x
)＝－3.
2
a
x
x
1
当
x
∈[，＋∞)时，
f
′(
x<
br>)≤0，
3
1
∴
f
(
x
)在[，＋∞)为减函数．
3
11
∵
f
max
(
x
)＝
f
()＝ln－1＝－ln3－1.
33
1
若任意
x
∈[，＋∞)，
使
f
(
x
)≤
m
恒成立，
3
∴
m
≥－ln3－1，即实数
m
的取值范围为[－ln3－1，＋∞)．
(2
)
f
(
x
)＝ln
x
－3
x
的定义域为(
0，＋∞)，
∴
y
＝ln
x
－3
x
＋
x
＋2，
x
∈(0，＋∞)．
12
x
－3
x
＋1
∴
y
′＝－3＋2
x
＝.
2
2
x
x
1
令
y
′＝0，得
x
＝1，
x
＝.
2
x
y
′
y
1
(0，)
2
＋
增
1
2
0
极大
1
(，1)
2
－
减
2
1
0
极小
(1，＋∞)
＋
增
而
y
|
x
＝1
＝0，∴
x
＝1为
y
＝ln
x
－3
x
＋
x
＋2，
x
∈(0，＋∞)的最右侧的一个零点，故
k
的最大值为1.
14．(2010·江西高考)设函数
f
(
x
)＝ln
x
＋ln(2－
x
)＋
ax
(
a
>0)．
(1)当
a
＝1时，求
f
(
x
)的单调区间； <
br>1
(2)若
f
(
x
)在(0,1]上的最大值为，求
a
的值．
2
解析
函数
f
(
x
)的定义域为(0,2)，
f
′(
x
)＝－＋
a
.
x
2－
x
－
x
＋2
(1)当
a
＝1时，
f
′(<
br>x
)＝，所以
f
(
x
)的单调递增区间为(0，2)，单调递
减
x
－
x
区间为(2，2)．
(2)当
x
∈(0
,1]时，
f
′(
x
)＝
2－2
x
＋
a<
br>>0，
x
－
x
2
11
1
即
f(
x
)在(0,1]上单调递增，故
f
(
x
)在(0,
1]上的最大值为
f
(1)＝
a
，因此
a
＝.
2
1
1．函数
f
(
x
)＝
x<
br>＋在
x
>0时有( )
x
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
答案 A
2．设
a
∈R，若函数
y
＝e＋3
x
，
x
∈R有大于零的极
值点，则( )
A．
a
>－3
1
C．
a
>－
3
答案 B
3．函数
y
＝
x
－3
x
－9
x
(－2<
x
<2)有( )
A．极大值5，极小值－27
32
ax
B．
a
<－3
1
D．
a
<－
3
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
答案 C
1
2
4．曲线
y
＝
x
＋4ln
x
上切线斜率的极小值为________．
2
答案 4
44
解析 ∵
x
>0，
y
′
＝
x
＋.令
g
(
x
)＝
x
＋，
xx
4
又∵
g
′(
x
)＝1－
2
＝0，得
x
＝2.
x
4
在(0,2)上
g
(
x<
br>)＝
x
＋单调递减，
x
4
在(2，＋∞)上
g(
x
)＝
x
＋单调递增，
x
∴
g
(
x
)的极小值为
g
(2)＝4.
5．函数
f
(
x
)＝
x
－3
ax
＋
a
(
a
>0)的极大值为正数，极小值为负数，则
a
的取
值范围是
________．
答案 (
2
，＋∞)
2
22
32
解析 ∵
f
′(
x
)＝3x
－3
a
(
a
>0)，
∴
f
′(<
br>x
)>0时，得
x
>
a
或
x
<－
a
；
f
′(
x
)<0时，得－
a
<
x
<
a
.
∴当
x
＝
a
时，
f
(
x
)有极小值，
x
＝－
a
时，
f
(
x
)有极大值．
a
－3
a
＋
a
<0，
?
?
33
由题意得：
?
－
a
＋3
a
＋
a
>0，
?
?
a
>0，
3
33
解得
a
>
2
.
2
6．函数
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
在
x
＝1处有极值
－2，则
a
、
b
的值分别为________、________.
答案 1 －3
解析
因为
f
′(
x
)＝3
ax
＋
b
，
所以
f
′(1)＝3
a
＋
b
＝0.①
又
x
＝1时有极值－2，所以
a
＋
b
＝－2.②
由①②解得
a
＝1，
b
＝－3.
7．求下列函数的极值．
(1)
f
(
x
)＝
x
－12
x
；
(2)
f
(
x
)＝
x
e.
解析
(1)函数
f
(
x
)的定义域为R.
2－
x
3<
br>2
f
′(
x
)＝3
x
2
－1
2＝3(
x
＋2)(
x
－2)．
令
f
′(
x
)＝0，得
x
＝－2或
x
＝2.
当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(
x
)的变化
情况如下表：
x
f
′(
x
)
f
(
x
)
(－∞，－2)
＋
－2
0
极大值
(－2,2)
－
↘
2
0
极小值
(2，＋∞)
＋
从表中可以看出
，当
x
＝－2时，函数
f
(
x
)有极大值，
且
f
(－2)＝(－2)－12×(－2)＝16；
当
x
＝2时，函数
f
(
x
)有极小值，
且
f
(2)＝2－12×2＝－16.
(2)函数
f
(
x
)的定义域为R.
3
3
f
′(
x
)＝2
x
e
－
x
＋
x
2
e
－
x
(－
x
)′＝2
x
e<
br>－
x
－
x
2
e
－
x
＝
x<
br>(2－
x
)e
－
x
.
令
f
′(<
br>x
)＝0，得
x
＝0或
x
＝2.
当
x变化时，
f
′(
x
)，
f
(
x
)的变
化情况如下表：
x
f
′(
x
)
f
(
x
)
(－∞，0)
－
↘
0
0
极小值
(0,2)
＋
2
0
极大值
(2，＋∞)
－
↘
从表中可以看
出，当
x
＝0时，函数
f
(
x
)有极小值，且
f<
br>(0)＝0；
4
当
x
＝2时，函数
f
(
x
)有极大值，且
f
(2)＝
2
.
e
2
3
2
8．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
bx＋
cx
＋2在
x
＝－2和
x
＝处取得极值．
3
(1)确定函数
f
(
x
)的解析式；
(2)求函数
f
(
x
)的单调区间．
22
22
解析 (1)
f
′(
x
)＝3
x
＋2
bx
＋
c
.因为在
x
＝－2和
x＝处取得极值，所以－2，为3
x
33
22
b
－2＋＝－
?
?
33
＋2
bx
＋
c
＝0的两个根，所以?
2
c
－2×
?
?
3
＝
3
，
所以
f
(
x
)＝
x
＋2
x
－4<
br>x
＋2.
2
2
(2)
f
′(
x
)
＝3
x
＋4
x
－4.令
f
′(
x
)>0，
则
x
<－2或
x
>，所以函数
f
(
x
)的
单调递增区间
3
22
为(－∞，－2)，(，＋∞)；令
f
′(x
)<0，则－2<
x
<，所以函数
f
(
x
)
的单调递减区间为(－
33
32
所以
?
?
b＝2
?
?
?
c
＝－4.
2
2，)．
3
9．设
a
为实数，函数f
(
x
)＝
x
－
x
－
x
＋<
br>a
.
(1)求
f
(
x
)的极值；
(2)
当
a
在什么范围内取值时，曲线
y
＝
f
(
x
)与
x
轴仅有一个交点？
解析
(1)
f
′(
x
)＝3
x
－2
x
－1.
1
令
f
′(
x
)＝0，则
x
＝－或
x
＝1.
3
当
x
变化时，
f
′(
x<
br>)、
f
(
x
)的变化情况如下表：
2
32
x
f
′(
x
)
f
(
x
)
1
(－∞，－)
3
＋
↘
1
－
3
0
极大值
1
(－，1)
3
－
1
0
极小值
(1，＋∞)
＋
↘
15
所以
f
(
x
)的极大值是
f
(－)＝＋
a
，极小值是
f(1)＝
a
－1.
327
(2)函数
f
(
x
)＝
x
－
x
－
x
＋
a
＝(
x
－1)(
x
＋1)＋
a
－1，
由此可知，
x
取足够大的正数时，
有
f
(
x)>0，
x
取足够小的负数时，有
f
(
x
)<0， <
br>所以曲线
y
＝
f
(
x
)与
x
轴至少
有一个交点．
15
由(1)知
f
(
x
)
极大值<
br>＝
f
(－)＝＋
a
，
f
(
x
)极小值
＝
f
(1)＝
a
－1.
327
∵曲线
y
＝
f
(
x
)与
x
轴仅有一个交点， <
br>∴
f
(
x
)
极大值
<0或
f
(x
)
极小值
>0.
55
即＋
a
<0或
a
－1>0.∴
a
<－或
a
>1，
2727
5
∴当
a
∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线
y
＝
f(
x
)与
x
轴仅有一个交点．
27
10．设
a
为实数，函数
f
(
x
)＝e－2
x
＋2
a
，
x
∈R.
(1)求
f
(
x
)的单调区间与极值；
(2)求证：当<
br>a
>ln2－1且
x
>0时，e>
x
－2
ax
＋1.
解析 (1)由
f
(
x
)＝e－2
x
＋
2
a
，
x
∈R，知
f
′(
x
)＝e－2，
x
∈R.
令
f
′(
x
)＝0，得
x
＝ln 2.
于是当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(x
)的变化情况如下表：
xx
x
2
322
x
x
f
′(
x
)
(－∞，ln 2)
－
ln 2
0
(ln 2，＋∞)
＋
f
(
x
)
单调递减↘
2(1－ln2＋
a
)
单调递增
故
f
(
x
)的单调递减区间是(－∞，ln
2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f
(
x
)在
x
＝ln2
处取得极小值，极小值为
f
(ln2)＝2(1－ln2＋
a
)．
(2)证明：设
g
(
x
)＝e－
x
＋2<
br>ax
－1，
x
∈R，
于是
g
′(
x
)＝e－2
x
＋2
a
，
x
∈R.
由(1)知当
a
>ln2－1时，
g
′(
x
)取最小值为
g′(ln2)＝2(1－ln2＋
a
)>0.
于是对任意
x
∈
R，都有
g
′(
x
)>0，所以
g
(
x
)
在R内单调递增．
于是当
a
>ln2－1时，对任意
x
∈(0，＋
∞)，都有
g
(
x
)>
g
(0)．
而
g
(0)＝0，从而对任意
x
∈(0，＋∞)，都有
g
(
x<
br>)>0.
即e－
x
＋2
ax
－1>0，故e>
x<
br>－2
ax
＋1.
x
2
x
2
x
x
2
课时作业(十一)
一、选择题
π
1．函数
f
(
x
)＝
x<
br>＋2cos
x
在区间[－，0]上的最小值是( )
2
π
A．－
2
C.
π
＋3
6
B．2
D.
π
＋1
3
答案 A
2
．函数
f
(
x
)＝
x
－3
x
＋3
x
(－1<
x
<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也无最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
答案 C
3．函数
f
(
x
)＝ln
x
－
x
在(0，e]上的最大值为( )
A．－1
C．0
答案 A
4．设函数
f
(
x
)在定义域内可导，
y
＝
f
(
x
)的图像如下图，则导数
y
＝
f
′(
x
)的图像可能
为下图中的( )
B．1
D．e
32
答案 D
5．已知对任意实数x
有
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
g
(－
x
)＝
g
(
x
)，且
x
>0，
f
′(
x
)>0，
g
′(
x)>0，
则
x
<0时( )
A．
f
′(
x
)>0，
g
′(
x
)>0
C．
f
′
(
x
)<0，
g
′(
x
)>0
答案 B <
br>6．函数
f
(
x
)＝
x
cos
x
的
导函数
f
′(
x
)在区间[－π，π]上的图像大致是( )
B
．
f
′(
x
)>0，
g
′(
x
)<0 <
br>D．
f
′(
x
)<0，
g
′(
x
)
<0
答案 A
解析 ∵
f
(
x
)＝
x
cos
x
，∴
f
′(
x
)＝cos
x<
br>－
x
sin
x
.
∴
f
′(－
x<
br>)＝
f
′(
x
)，∴
f
′(
x
)为
偶函数．
∴函数图像关于
y
轴对称．
由
f
′(0)＝1可排除C、D选项．
而
f
′(1)＝cos1－sin1<0，
从而观察图像即可得到答案为A.
二、填空题
1
2
1
7
．函数
f
(
x
)＝
x
－(
x
<0)的最小
值是________．
2
x
3
答案
2
8．函数f
(
x
)＝
x
＋2
ax
＋1在[0,1]上的
最小值为
f
(1)，则
a
的取值范围为________．
答案
(－∞，－1]
解析
f
′(
x
)＝2
x
＋2
a
，
2
f
(
x
)在[0,1]上的最小值为
f
(1)，说明
f
(
x
)在[0,1]上单调递减，
∴
x
∈[0,1]时
f
′(
x
)≤0恒成立．
∴
a
≤－
x
，∴
a
≤－1.
1
x
π
9．函数
f
(
x
)＝e(sin
x
＋
cos
x
)在区间[0，]上的值域为________．
22
11
2
答案 [，e ]
22
2
ππ11
x
解析 ∵
x
∈[0，]，∴
f
′(
x
)＝ecos
x
≥0，∴
f
(0)≤
f<
br>(
x
)≤
f
()．即≤
f
(
x
)≤
e .
2222
10．直线
y
＝
a
与函数
y＝
x
－3
x
的图像有三个相异的交点，则
a
的取值范围
是________．
答案 (－2,2)
解析
f
′(
x)＝3
x
－3，令
f
′(
x
)＝0，可以得
x
＝1或－1.
∵
f
(1)＝－2，
f
(－1)＝2，∴－
2<
a
<2.
11．已知
f
(
x
)＝－
x
＋
mx
＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数
f
(
x
)的极大值，则
m
的取值范围是________．
答案
[－4，－2]
解析
f
′(
x
)＝
m
－2x
，令
f
′(
x
)＝0，得
x
＝.
2
由题设得∈[－2，－1]，故
m
∈[－4，－2]．
2
三、解答题
12．求下列各函数的最值：
(1)
f
(
x
)＝sin2
x
－
x
，
x
∈[－
－
x
2
2
3
n
n
m
m
ππ，]；
22
(2)
f
(
x
)＝e－e，
x<
br>∈[0，
a
]，
a
为正常数．
x
解析 (1)因为
f
(
x
)＝sin2<
br>x
－
x
，所以
f
′(
x
)＝2cos2x
－1.
ππ
又
x
∈[－，]，令
f
′(<
br>x
)＝0，
22
ππ
解得
x
＝－或
x
＝.
66当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(x
)的变化情况如下表：
x
－
π
2
π
(－，
2
ππ
由上表可得函数
f
(
x
)的最大值为，最小值为－.
22
111＋e
xx
(2)
f
′(
x
)＝
(
x
)′－(e)′＝－
x
－e＝－
x
.
eee
当
x
∈[0，
a
]时，
f
′(
x
)<0恒成立，
即
f
(
x
)在[0，
a
]上是减函数．
故当
x
＝
a
时，
f
(
x
)有最小值
f
(
a
)＝e－e；
当
x
＝0时，
f
′(
x
)有最大值
f
(0)＝e－e＝0.
13．已知
f
(
x
)＝
x
－
x
－
x
＋3，x
∈[－1,2]，
f
(
x
)－
m
<0恒成立
，求实数
m
的取值范围．
解析 由
f
(
x
)－<
br>m
<0，即
m
>
f
(
x
)恒成立，
知
m
>
f
(
x
)
max
. 32
－00
－
a
2
x
a
f
′(
x
)＝3
x
2
－2
x
－1，令
f
′(<
br>x
)＝0，
1
解得
x
＝－或
x
＝1. <
br>3
186
因为
f
(－)＝，
f
(1)＝2，
f
(－1)＝2，
f
(2)＝5，
327
所以
f
(
x
)的最大值为5，故
m
的取值范围为(5，＋∞)．
1
2
x
14．设函数
f
(
x
)＝
x
e.
2
(1)求
f
(
x
)的单调区间；
(2)若当
x
∈[－2,2]时，不等式
f
(
x
)>m
恒成立，求实数
m
的取值范围．
1
2
x
e
解析 (1)
f
′(
x
)＝
x
e＋
x
e＝
x
(
x
＋2)． 22
x
x
e
由
x
(
x
＋2)>0，解
得
x
>0或
x
<－2.
2
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为
f
(
x
)的增区间．
e
由
x
(
x
＋2)<0，得－2<
x
<0
.
2
∴(－2,0)为
f
(
x
)的减区间．
∴
f
(
x
)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；
单调减区间为(－2,0)．
e
(2)令
f
′(
x
)＝
x
(
x
＋2)＝0，得
x
＝0或
x
＝－2.
2
2
2
∵
f
(－2)＝
2
，<
br>f
(2)＝2e，
f
(0)＝0，
e
∴
f
(
x
)∈[0,2e]．
又∵
f
(
x
)>
m
恒成立，∴
m
<0.
故
m
的取值范围为(－∞，0)．
1
15．设函数
f(
x
)定义在(0，＋∞)上，
f
(1)＝0，导函数
f
′(
x
)＝，
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋
f
′(
x
)．
2
x
x
x
x
(1)求
g
(
x
)的单调区间和最小值；
1<
br>(2)讨论
g
(
x
)与
g
()的大小关系．
x
1
解析 (1)由题设易知
f
(
x
)＝lnx
，
g
(
x
)＝ln
x
＋，
x∴
g
′(
x
)＝
x
－1
.令
g
′(
x
)＝0，得
x
＝1.
x
2
当
x
∈(0,1)时，
g
′(
x
)<0，故(0,1)是
g(
x
)的单调减区间．
当
x
∈(1，＋∞)时，
g<
br>′(
x
)>0，故(1，＋∞)是
g
(
x
)的单调增
区间．
∴
x
＝1是
g
(
x
)的唯一极值点，且为
极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为
g
(1)＝
1.
1
(2)
g
()＝－ln
x
＋
x
， x
11
设
h
(
x
)＝
g
(
x
)－
g
()＝2ln
x
－
x
＋，
xx<
/p>
x
－
则
h
′(
x
)＝－
x<
br>2
2
.
1
当
x
＝1时，
h
(1)
＝0，即
g
(
x
)＝
g
()．
x
当x
∈(0,1)∪(1，＋∞)时，
h
′(
x
)<0，
h
′(1)＝0，
∴
h
(
x
)在(0，＋∞)内单调递减．
1
当0
<
x
<1时，
h
(
x
)>
h
(1)＝0，
即
g
(
x
)>
g
()；
x
1
当
x
＝1时，
g
(
x
)＝
g
()；
x
1
当
x
>1时，
h
(
x
)<
h
(1)＝0，即
g
(
x
)<
g
()．
x
16．已知函数
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
cx
在点
x
0
处取得极小值－4，使其导函数
f
′(
x
)>0的
x
的取值范围为(1,3)．
(1)求<
br>f
(
x
)的解析式及
f
(
x
)的极大值；
(2)当
x
∈[2,3]时，求
g
(
x
)＝
f
′(
x
)＋6(
m
－2)
x
的最大值．
解析 (1)由题意知
f
′(
x
)＝3
ax
＋2<
br>bx
＋
c
＝3
a
(
x
－1)(<
br>x
－3)(
a
<0)，
∴在(－∞，1)上
f
′(
x
)<0，
f
(
x
)是减函数，在(1,3)上
f
′(
x
)>0，
f
(
x
)是增函数，在
(
3，＋∞)上
f
′(
x
)<0，
f
(
x
)
是减函数．
因此
f
(
x
)在
x
0
＝1处
取得极小值－4，在
x
＝3处取得极大值．
2
32
a
＋<
br>b
＋
c
＝－4，
?
?
＝3
a
＋2<
br>b
＋
c
＝0，
∴
?
f
?
＝27a
＋6
b
＋
c
＝0.
?
f
解得
a
＝－1，
b
＝6，
c
＝－9.
∴
f
(
x
)＝－
x
＋6
x
－9
x
.
32
∴
f
(
x
)在
x
＝3处取得极大值
f
(3)＝0.
(2)
g
(
x
)＝－3(
x
－1)(
x
－3)＋6(
m
－2)
x
＝－3(
x
－2
mx
＋3)，
2
g
′
(
x
)＝－6
x
＋6
m
＝0，得
x
＝m
.
①当2≤
m
≤3时，
g
(
x
)
max
＝
g
(
m
)＝3
m
－9；
②当
m
<2时，
g
(
x
)在[2,3]上是递减的，g
(
x
)
max
＝
g
(2)＝12
m
－21；
③当
m
>3时，
g
(
x
)在[
2,3]上是递增的，
g
(
x
)
max
＝
g
(3)＝18
m
－36.
12
m
－21
?
?
2
因此
g
(
x
)
max
＝
?3
m
－9
?
?
18
m
－36
2
m
m
m
，
，
17．设函数
f
(
x
)＝
tx
＋2
tx
＋
t
－1(
x
∈R，
t
>0)．
(1)求
f
(
x
)的最小值
h
(
t
)；
(2)
若
h
(
t
)<－2
t
＋
m
对
t<
br>∈(0,2)恒成立，求实数
m
的取值范围．
解析 (1)∵
f(
x
)＝
t
(
x
＋
t
)－
t
＋
t
－1(
x
∈R，
t
>0)，
∴当
x
＝－
t
时，
23
22
f
(
x
)取最小值
f
(－
t
)＝－
t
3＋
t
－1，
即
h
(
t
)＝－
t
＋
t
－1.
(2)令
g
(
t
)＝
h
(
t
)－
(－2
t
＋
m
)＝－
t
＋3
t
－1－m
.
由
g
′(
t
)＝－3
t
＋3＝
0，得
t
＝1或
t
＝－1(舍去)．
当
t
变化时
，
g
′(
t
)，
g
(
t
)的变化情况如下
表：
2
3
3
t
g
′(
t
)
g
(
t
)
(0,1)
＋
1
0
极大值1－
m
(1,2)
－
↘
∴
g
(
t
)在(0,2)内有最大值
g
(1)＝1－
m
，
h
(
t
)<－2
t
＋
m
在(0,2)内恒成立，即
g
(
t
)<0在(0,2)内恒成立，
即1－
m
<0，解得
m
>1，所以<
br>m
的取值范围为(1，＋∞)．
1
2
18．已知函数
f(
x
)＝
ax
－
b
ln
x
＋在
x
＝
x
0
处取得极小值1＋ln2，其导函数
f
′(x
)的
2
图像如图所示．求
x
0
，
a
，
b
的值．
1
解析
由图可知
x
0
＝.
2
1
∴当
x
＝时，<
br>f
(
x
)极小值为1＋ln2.
2
111
∴
a
－
b
ln＋＝1＋ln2.
422
∴
a
＋4
b
ln2＝2＋4ln2.①
又∵
f
′(
x
)＝2
ax
－，
11
∴
f
()＝2
a
×－2
a
＝0.
22
∴
a
＝2
b
.②
由①②解得
b
＝1，
a
＝2.
b
x
课时作业(十二)
一、选择题
1．一周长为
l
的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的( )
A.
3
C.
4
答案 C
解析
设半径为
r
，则弧长为
l
－2
r
.
11
l
S
扇
＝·弧长·半径＝(
l
－2
r
)·
r
＝－
r
2
＋
r
.
222
令
S
′
扇
＝－2
r
＋＝0，得
r
＝.
24<
br>2．以长为10的线段
AB
为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10
C．25
答案 C
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为( )
A.
203
cm
3
B．100 cm
D.
20
cm
3
B．15
D．50
l
l
B.
6
D.
8
l
l
ll
C．20 cm
答案 A
4．
海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为
30海里时，当速度为
10海里时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)
都是每小时400元．如果甲、
乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总
费用最低，它的航速应为( )
A．30海里时 B．25海里时
C．20海里时
答案
C
二、填空题
D．10海里时
5．如图，两个工厂
A
、
B
相距0.6
km，变电站
C
距
A
、
B
都是0.5 km，计划铺设动力
线，
先由
C
沿
AB
的垂线至
D
，再与
A<
br>、
B
相连，
D
点选在距
AB
________km处
时，动力线最短．
答案
3
10
解析 设
CD
⊥
AB
，垂足为
E
，
DE
的长为
x
km.
由
AB
＝0.6，
AC
＝
BC
＝0.5，
得
AE
＝
EB
＝0.3.
∴
CE
＝
AC
2－
AE
2＝0.52－0.32＝0.4.
∴
CD
＝0.4－
x
.
∴
AD
＝
BD
＝
AE
2＋
DE
2＝0.32＋
x
2＝0.
09＋
x
2.
∴动力线总长
l
＝
AD
＋
BD
＋
CD
＝20.09＋
x
2＋0.4－
x
.
2
x
2
x
－0.09＋
x
2
令
l
′＝2·－1＝＝0
，
20.09＋
x
20.09＋
x
2
即2
x－0.09＋
x
2＝0.解得
x
＝
当
x
＜3
.(∵
x
＞0)
10
33
时，
l
′＜0；当
x
＞时，
l
′＞0.
1010
3
时有最小值．
10
∴
l
在
x
＝
6．内接于半径为
R
的球且体积最大的圆柱体的高为______．
答案
23
R
3
22
解析
作轴截面如右图，设圆柱高为2
h
，则底面半径为
R
－
h
.
圆柱体体积为
V
＝π(
R
－
h
)·2
h<
br>＝2π
Rh
－2π
h
.
令
V
′＝0，得2π
R
－6π
h
＝0.
∴
h
＝
323
R
，即当2
h
＝
R
时，圆柱体的体积最大．
33
22
2223
三、解答题
7．当圆柱形金属罐的表面积为定值
S
时，应怎样制作，才能使其容积最大？
解析 设圆柱的高为
h
，底面半径为
R
，
S
－2
π
R
2
则
S
＝2π
Rh
＋2π
R
，∴
h
＝.①
2π
R
2
11
223
∴<
br>V
＝π
Rh
＝
R
(
S
－2π
R)＝
RS
－π
R
.
22
1
2
∴V
′(
R
)＝
S
－3π
R
.
2令
V
′(
R
)＝0，得
S
＝6π
R
，
代入①式中
6π
R
－2π
R
h
＝＝2
R
.
2π
R
∴
h
＝2
R
时，圆柱的容积最大．
8．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为
x
(
x
≥10)层，那么每平方
米的平均建筑费用为560
＋48
x
(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费
用最少，该楼房应建为多少层？
购地总费用
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
建筑总面积
解析
设楼房每平方米的平均综合费用为
f
(
x
)元，
2 160×10
000
则
f
(
x
)＝(560＋48
x
)＋
2 000
x
22
2
10 800
*
＝560＋48
x
＋(
x
≥10，
x
∈N)，
x
f
′(
x
)＝48－
10 800
.
2
x
令
f
′(
x
)＝0，得
x
＝15.
当
x
>15时，
f
′(
x
)>0；
当10<
x
<15时，
f
′(
x
)<0.
因此，当
x
＝15时，
f
(
x
)取最小值
f
(15)＝2 000(元)．
答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
9．甲、乙两地相距s
千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过
c
千米时，已
知汽车
每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度
v
(千
米时)的平方成正比，比例系数为
b
(
b
>0)；固定部分为
a元．
(1)把全程运输成本
y
(元)表示为速度
v
(千米时)
的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解析 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
y
＝<
br>a
·
＋
bv
·＝
s
(＋
bv
)，
∴所求函数及其定义域为
y
＝
s
(＋
bv
)，v
∈(0，
c
]．
(2)由题意
s
、
a、
b
、
v
均为正数．
由
y
′＝
s<
br>(
b
－
2
)＝0，得
v
＝
①若
②若
2
s
v
s
v
s
v
a
v
a
v
a
v
a
.但
v
∈(0，
c
]．
b
a
≤
c
，则当
v
＝
b
a
时，全程运输成本
y
最小；
b
a
>
c
，则v
∈(0，
c
]，此时
y
′<0，即
y
在(0
，
c
]上为减函数．所以当
v
＝
c
时，
b
y
最小．
综上可知，为使全程运输成本
y
最小．
当
当<
br>a
≤
c
时，行驶速度
v
＝
b
a
><
br>c
时，行驶速度
v
＝
c
.
b
a
；
b
10．(2010·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙
需
要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6
万元．该建筑物每年的能源消耗费用
C
(单位：万元)与隔热层厚度
x<
br>(单位：cm)满足关系：
C
(
x
)＝
k
(0≤x
≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设
f
(
x)为隔热层建
3
x
＋5
造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求
k
的值及
f
(
x
)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用
f
(
x
)达到最小，并求最小值．
解析 设隔热层厚度为
x
cm，由题设，每年能源消耗费用为
C
(
x
)＝，再由
C
(0)
3
x
＋5
＝8，得
k
＝40，因此
C
(
x
)＝
40
.而建造
费用为
C
1
(
x
)＝6
x
.
3
x
＋5
k
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f
(
x
)＝20
C
(
x
)＋
C<
br>1
(
x
)＝20×
(2)
f
′(
x
)＝6－
2 400
x
＋
40800
＋6
x
＝＋6
x
(0≤
x
≤10)．
3
x
＋53
x
＋5
2 400
x
＋
22
，令
f
′(
x
)＝0，即＝6，
25
解得
x
＝5，
x
＝－(舍去)．
3
当0<
x
<5时，
f
′(
x
)<0，当5<
x<10，
f
′(
x
)>0，故
x
＝5是
f(
x
)的最小值点，对应的最
800
小值为
f
(5)＝
6×5＋＝70.
15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
课时作业(十三)
一、选择题
1．函数f(x)＝x在区间
?
2
?
i－1
，
i
?
上( )
?
n
??
n
A
．f(x)的值变化很小
B
．f(x)的值变化很小
C
．f(x)的值不变化
D
．当n很大时，f(x)的值变化很小
答案
D
2．
当n很小时，函数f(x)＝x在区间
?
2
?
i－1
，
i<
br>?
上的值可以用( )近似代替( )
n
?
?
n
?
B
．f()
2
n
A
．f()
1
n
C
．f()
答案
C
i
n
D
．f(0)
3．在求由x＝a，x＝b(a
成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是(
)
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
A
．1
C
．3
答案
A
B
．2
D
．4
4．将区间[a，b]n等分，则自左向右第i(其中i＝1,2，…，n)个区间应该是( ) <
br>?
A
.
?
，
B
.
?
ii＋1
?
n
?
?
n
?
?
i－1
，<
br>i
?
?
n
??
n
?
?
?
?
b－ab－a
i，a＋
nn
b－a
n
－
＋
C
.
?
a＋
D
.
?
a＋
?
?
?
b－a
?
，a＋i
n
?
?
答案
D
5．已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t
0
所走过的路程为(
)
A
.gt
2
0
C
.gt
2
0
答案
C
1
2
1
3
B
．gt
2
0
D
.gt
2
0
1
4
6．直线x＝a，x
＝b(a
＝( )
1
A
.
?
f(ξ
i
)·
n
i＝1
b－a
C
.
?
f(ξ
i
)·
n
i＝1
n
nn
B
.
lim
n→∞
?f(ξ
i＝1
n
1
1
)·
n
D
.
lim
n→∞
?
i＝1
b－a
·f(ξ
i
)
n
答案
D
7．已知直线l：y＝ax＋b和曲线
C：y＝ax＋b，则由直线l和曲线C所围成的平面图
形(图中阴影部分)只可能是( )
2
答案
A
二、填空题
8．设f(x)的图
像在[a，b]上是连续不间断的，若将[a，b]n等分，在第i个小区间上
任取ξ
i
，则第i个小曲边形的面积可近似地写为________．
答案
b－a
·f(ξ
i
)
n
2
9．计算抛物线y＝x
与直线x＝1，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，若取f(x)在区间
?
i－1
，<
br>i
?
(i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点
i
处的函数值f
(
i
)，则曲边梯形的面积
?
n
?
n
?
n
n
?
S的过剩近似值为________．
111
答案 (1＋)(1＋)
3n2n
1
10．下列图形中，阴影所表示的曲边梯形的面积等于的是_______
_．
3
答案 ①③④
11．汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间
t所行驶的路程s＝vt.如果汽车作匀
变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t＋2(单位：<
br>km
h
)．若该汽车在1≤t≤2这段时
间行驶的路程可用一个平面图
形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．
答案
t＝1，t＝2，v＝0，v＝t＋2
三、解答题
2
2
1
2．求直线x＝2，y＝0和曲线y＝x所围成的曲边梯形的面积．
2
解析 (1)分割：把
区间[0,2]等分成n个小区间，第i个小区间的长度为，过各分点
n
作x轴的垂线，把曲边
梯形分割成n个小曲边梯形．
(2)以直代曲：当n很大时，区间长度很小，小曲边梯形近似于小矩形
，第i个小矩形
2i
的高度用f()代替(i＝1,2，…，n)．
n
(3)求和：各矩形面积之和
n
2i2i
2
2
S
n
＝
?
f()Δx＝
?
()
nnn
i＝1i＝1
n
2
8
22
8
2
＝
3
(1＋2＋…＋n)＝
3
·
nn
811
＝(1＋)(1＋)．
3n2n
＋
6
＋
88
(4)逼近：当n趋向于＋
∞时，S
n
趋向于，所以曲边梯形的面积S＝.
33
13．某汽车在公路上
变速行驶，行驶的速度与时间t满足v(t)＝t＋2(
km
h
)，计算这<
br>辆汽车在时间段1≤t≤2内行驶的路程．
2
?
i－1
，1＋
i
?
，解析 将区间[1,2]
等分成n个小区间，每i个小区间为
?
1＋
其长度为Δt
nn
???
1
＝.
n
i－1
当n很大时，以v(1＋)为第i个小区
间上的行驶速度，并以各小区间上的路程之
n
和S
n
近似代替总路程S.则
i－11
S
n
＝
?
f(1＋)·
nn
i＝1
1
n
?
＝
?
?n
i＝1
?
1
n
?
＝
?
?
n
i＝1
?
i－1
＋
n
－
2
n<
br>2
n
2
＋2
?
?
?
＋
－
n
＋3
?
?
?
1
2
1
?
22
＝
?
3n＋
2
[0
＋1＋2＋…＋
n
n
?
－
?
?
?
2
]＋
1
[0＋2＋4＋6＋…
＋
n
－
＝3＋
－
6n
2
－n－1<
br>＋.
n
－
6n
2
S＝
lim
S
n
＝
lim
?
3＋
n→∞n→∞
?
?－n－1
?
13
＋
?
＝.
n
?
3
13
∴这段时间行驶的路程为
km
.
3
课时作业(十四)
一、选择题
1．定积分
?
b
f(x)
d
x的大小是( )
?
a
A
．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξ
i
的取法无关
B
．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξ
i
的取法无关
C
．与f(x)以及ξ
i
的取法有关，与区间[a，b]无关
D
．与f(x)以有ξ
i
的取法和区间[a，b]都有关
答案
A
2．设连续函数f(x)>0，则当a
bf(x)
d
x的符号( )
?
a
A
．一定是正的
C
．当0
A
B
．一定是负的
D
．以上都不对
3．求由曲线y＝
e<
br>，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分量，
则积分区间为( )
x
A
．[0，
e
2
]
C
．[1,2]
答案
B
4．下列值等于1的积分是( )
B
．[0,2]
D
．[0,1]
A
.
?
1
x
d
x
?
0
B.
?
1
(x＋1)
d
x
?
0
?
0
C
.
?
1
d
x
0
1
?
2
D.
?
1
1
d
x
答案
D
5．设f(x)＝x＋x，则
?
2
f(x)
d
x的值等于(
)
3
?
-2
A
．0
B
．8
C
.
?
2
f
(
x
)d
x
?0
D．2
?
2
0
f
(
x
)d
x
?
答案 A
6．已知
?
t
x
dx
＝2，则
?
0
－t
x
d
x
等于(
)
?
0
?
A．0
C．－1
答案 D
B．2
D．－2
n
n
→∞
2
1＋
2
n
2
＋
2
n
＋
n
n2
等于( )
B．2
?
2
ln
x
d
x
A.
?
2
(ln
x
)d
x
?
1
?
1
C．2
?
2
ln(
x
＋1)dx
?
1
D.
?
2
[ln(1＋
x
)]d
x
2
?
1
答案
D
8．已知定积分
?
6
f
(
x
)d
x<
br>＝8，且
f
(
x
)为偶函数，则
?
6
f(
x
)d
x
＝( )
?
0
?
-6
A．0
C．12
答案 B
9．下列命题中不正确的是( )
B．16
D．8
A．若
f
(
x
)是连续的奇函数，则
?
a
f
(
x
)d
x
＝0
?
－a<
br>B．若
f
(
x
)是连续的偶函数，则
?
a
f
(
x
)d
x
＝2
?
a
0
f
(
x
)d
x
?
?
－a
C．
若
f
(
x
)在[
a
，
b
]上连续且恒正，
则
?
b
f
(
x
)d
x
>0
?<
br>a
D．若
f
(
x
)在[
a
，
b]上连续，且
?
b
f
(
x
)d
x
>0
，则
f
(
x
)在(
a
，
b
)上恒正
?
a
答案 D
二、填空题
π
10．由
y
＝sin
x
，
x
＝0，
x
＝，
y
＝0所
围成图形的面积写成定积分的形式是________．
2
答案
?
π
sin
x
d
x
?
2
?
0
11．由直线
y
＝
x
＋1和抛物线
y
＝
x
所围成的图形的面积用定积分表示为________．
2
?
1－5
2
答案
?
2
(1＋
x
－
x
)d
x
?
1＋5
?
2
12．定积分
?
b
c
d
x
(
c
为常数)的几何意义是________．
?
a
答案 表示由直线
x
＝
a
，
x
＝
b
(
a
≠
b
)，
y
＝0和
y
＝
c
所围成的矩形的面积
13．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
图1 图2
图3
(1)
S
′＝________(图1)；
(2)
S
′＝________(图2)；
(2)
S
′＝________(图3)．
答案 (1)
三、解答题
14．用定积分的意义求下列各式的值．
(1)
?
1
?
-1
4－
x
d
x
； (2)
?
2
2
x
d
x
.
2
?
-1
分析 由题目可获取以下主要信息：①求定积分；②用定积分的几何
意义求．解答本题
可先根据被积函数和积分区间画出图像，然后依据定积分的几何意义求解．
解析
(1)由
y
＝4－
x
可得
2
x
2
＋
y
2
＝4(
y
≥0)，其图像如图
．
?
?
-1
1
π
2
4－
x
d<
br>x
等于圆心角为的弓形面积
CDE
与矩形
ABCD
的面积之和
．
3
S
弓形
＝××2
2
－×2×2sin
＝
S
矩形
＝
AB
·
BC
＝23，
∴?
1
1π
23
1
2
π
3
2π
－3，
3
?
-1
4－
x
d
x
＝23＋<
br>2
2π2π
－3＝＋3.
33
(2)由直线
x<
br>＝－1，
x
＝2，
y
＝0以及
y
＝2
x所围成的图形，如图所示．
?
2
x
d
x
表示由直线<
br>x
＝－1，
x
＝2，
y
＝0以及
y
＝2x
所围成的图形在
x
轴上方的面积
?
-1
减去在
x
轴下方的面积，
2×41×2
∴
?
2
2
x<
br>d
x
＝－＝4－1＝3.
22
?
-1
2
规律方法 (1)正确画出图形是求解的关键．
(2)当平面图形有部分或全部在
x
轴下方时，要注意定积分的正确表示．
ee
3
15．已知
?
e
x
d
x
＝，
?
e
x
d
x
＝，求下列定积分：
2
?
4
?
00
24
(1)
?
e
(2
x
＋
x
)d
x
；
(2)
?
e
(2
x
－
x
＋1)d
x
.
33
?
0
?
0
解析
(1)
?
e
0(2
x
＋
x
)d
x
3
?
e
＝2
?
e
x
d
x
＋
?
e
x
d
x
＝e＋.
4
??
32
00
4
(2)
?
e
(2
x
－
x
＋1)d
x
3
?
0
ee
＝2
?
e
x
d
x
－
?
e
x
d
x
＋
?
e
1d
x
＝－＋
e.
22
???
3
000
42
?重点班·选做题
5
16．比较
?
π
sin
x
d
x
与?
π
sin
x
d
x
的大小．
?
2<
br>?
2
?
0
?
0
π
解析
因为
x
∈(0，)，0
<1，
2
所以sin
x
.
π
5
而且当
x
＝0与时sin
x
＝sin
x
.
2
5
由定积分的几何意义知
?
π
sin
xd
x
<
?
π
sin
x
d
x
.
?
2
?
2
5
?
0
?
0
课
时作业(十五)
一、选择题
1.
?
4
(x＋x－30)
d
x＝( )
23
?
2
A
．56
C
.
答案
C
56
3
B
．28
D
．14
56
?
1
3
1
4
?<
br>4
1
33
1
4423
解析
?
4
(
x＋x－30)
d
x＝
?
x＋x－30x
?
|
2
＝(4－2)＋(4－2)－30(4－2)＝.
4
343
?
3?
?
2
故选
C
.
2．若
?
1
(2x＋k)
d
x＝2，则k等于( )
?
0
A
．0
C
．2
答案
B
3．下列定积分值是0的是( )
B
．1
D
．3
A
.
?
2
x
sin
x
d
x
?
－2
?
－2
B
.
?
2
x
2
cos
x
d
x
?
－2
?
－2
C
.
?
2
(x
2
＋x
4
)
d<
br>x
答案
D
D
.
?
2
2(
x
3
＋5x
5
)
d
x
解析
利用当f(x)是奇函数时，
?
a
f(x)
d
x＝0
?<
br>－
a
当f(x)是偶函数时，
?
a
f(x)
d
x＝2
?
a
f(x)
d
x.
?
－
a<
br>?
0
4．函数y＝
?
x
cos
t
d
t的导数是( )
?
0
A
．
cos
x
C
．
cos
x－1
B
．－
sin
x
D
．
sin
x
答案
A
?
π
5．
?
2
(1＋
cos
x)
d
x等于( )
?
?
－
π
2
A
．π
C
．π－2
答案
D
B
．2
D
．π＋2
?
π
?
π
解析
?
2
(1＋
cos
x)
d
x＝2
?
π
(1
＋
cos
x)
d
x＝2(x＋
sin
x) <
br>?
2
?
2
?
?
?
0
?
0<
br>?
－
π
2
＝π＋2.
6．若F′(x)＝x，则F(x)的解析式不正确的是( )
2
＝2(
π
＋1)
2
A
．F(x)＝x
3
B
．F(x)＝x
3
C
．F(x)＝x
3
＋1
D
．F(x)＝x
3
＋c(c为常数)
答案
B
7.
?
2 2
1
3
1
3
1
32x
1＋x
?
0
2
d
x＝( )
B
．6
D
．1
A
．4
C
．3
答案
A
1
22
1
2
解析
∵(1＋x)′＝(1＋x)－1·(1＋x)′
22
＝
2x
21＋x2
＝
2
2x
x
1＋x
2
，
x
1－x
2
2
d
x＝21＋x
2
|
0
2
∴
?
2
?
0
1＋x
2
d
x＝2
?
2
2
2
?
0
＝2(1＋8－1)＝4.故选
A
.
x＋1
8.
?
d
x等于( )
?
x
5
3
A
．8－
ln
5
3
B
．8＋
ln
5
3
C
．16－
ln
答案
B
x＋11
解析
?
d
x＝
?
5
x
d
x＋
?
5
d
x
?
x??
x
5
333
2
5
3
D
．16＋<
br>ln
5
3
1
255
＝x
|
3
＋
ln
x
|
3
2
122
5
＝(5－3)＋
ln
5－
ln
3＝8＋
ln
，故选
B
.
23
1
x
9．m＝
?<
br>1
ed
x与n＝
?
e
d
x的大小关系是( )
??
x
01
A
．m>n
C
．m＝n
答案
A
解析
m＝
?
1
ed
x＝
e
|
0
＝
e
－1，
xx1
B
．m
．无法确定
?
0
1
e
n＝
?
e
d
x＝
ln
x
|
1
＝1，则m>n.
?
x
1
1
10．(2010·湖南高考)
?
4
d
x等于( )
?
x
2
A
．－2
ln
2
C
．－
ln
2
答案
D
1
4
解析
?
4
d
x＝
ln
x
|
2
＝
ln
2.
?
x
2
B
．2
ln
2
D
．
ln
2
11.
?
5π
(
e
－
sin
x)
d
x等于( )
x
?
0
A
．
e
5π
－1
C
．
e
5π
－3
答案
C
B
．
e
5π
－2
D
．
e
5π
－4
解析
?
5π
(
e
－
sin
x)
d
x＝
?
5π
ed
x－
?
5π
sin
x
d
x
xx?
0
0
?
0
?
0
＝
e
|
0
＋
cos
x
|
0
＝
e<
br>－
e
＋
cos
5π－
cos
0
＝
e
－1－1－1
＝
e
－3.
5π
5
π
5π
x5π5π
12．(
?
b
sinx
d
x)′等于( )
?
a
A
．
sin
x
C
．
cos
b－
sin
a
答案
D
13.
?
2
ed
x值等于( )
|x|
B
．－
cos
x
D
．0
?－2
A
．
e
2
－
e
－2
C
．2
e
2
－2
答案
C
二、填空题
B
．2
e
2
D
．
e
2
＋
e
－2
－2
14．
如果
?
1
f(x)
d
x＝1，
?
2
f(x
)
d
x＝－1，那么
?
2
f(x)
dx
＝____
____.
?
0
?
0
?
1
答案 －2
解析 ∵
?
2
f(x)
d
x＝
?
1
f(x)
d
x＋
?
2
f(x)
d
x，
?
0
?
0
?
1
∴1＋
?
2
f(x
)
d
x＝－1.
?
1
∴
?
2
f(x)
d
x＝－2. ?
1
15．已知函数f(x)＝3x＋2x＋1，若
?
1
f(x
)
d
x＝2f(a)成立，则a＝________.
2
?
－1
1
答案 或－1
3
解析
∵(x＋x＋x)′＝3x＋2x＋1，
∴
?
1
f(x)
d
x＝(x＋x＋x)
|
－1
321
322
?
－1
＝(1＋1＋1)－(－1＋1－1)＝4.
又2f(a)＝6a＋4a＋2，
∴6a＋4a＋2＝4，即3a＋2a－1＝0，
1
解得a＝或a＝－1.
3
?
?
x，0≤x≤1，
16．设f(x)＝
?
?
?
2－x，1
22
2
则
?
2
f(x)
d
x等于________．
?
0
5
答案
6
2
17．若
?
b
d
x＝6，则b＝________.
?
x
e
答案
e
?重点班·选做题
4
lg
x，x>0，
?
?
18
．(2011·陕西)设f(x)＝
?
x＋
?
a
3t
2d
t，x≤0，
?
?
?
0
若f[f(1)]＝1，则a
＝________.
答案 1
1．若F(x)满足F′(x)＝
sin
x，则F(x)的解析式一定是( )
A
．F(x)＝
cos
x
C
．F(x)＝1－
cos
x
答案 D
B
．F(x)＝－
cos
x
D
．F(x)＝－
cos
x＋c(c∈R)
解析 因为(－cos
x
＋
c
)′＝－(cos
x
)′＋
c
′＝
sin
x
＋0＝sin
x
，所以
F
(
x
)
＝－cos
x
＋
c
(
c
∈R)．故选D.
2．求
?
3
－3(|2x＋3|＋|3－2x|)
d
x.
?
解析 ∵|2x＋3|＋|3－2x|
?
?
＝
?
6
?
?
4x
?
-3
－4x
3
－3≤x<－，
2
，
3
3
－≤x<
22
3
2
∴
?
3
(|2x＋3|＋|3－2x|)
d
x
课时作业(十六)
一、选择题
1
1．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )
x
A
．
ln
2
C
．1＋
ln
2
答案
A
B
．
ln
2－1
D
．2
ln
2
1
解析 画出曲线y＝(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示的
阴影
x
部分面积．
∴S＝
?
2
1
?<
br>x
d
x＝
ln
x
|
2
1
＝
ln
2－
ln
1＝
ln
2.故选
A
.
1
2．若两曲线y＝x
2
与y＝cx
3
(c>0)围成的图形面积是
2
3
，则c＝( )
A
．1
B
.
1
2
C
.
3
2
D
．2
答案
B
3．由曲线y＝
e
x
，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于(
)
A
．
e
4
－
e
2
B
．
e
4
C
．
e
3
－
e
2
D
．
e
2
答案
A
4．由曲线y＝x
2
，y＝x
3
围成的封闭图形面积为( )
A
.
1
1
12
B
.
4
C
.
1
7
3
D
.
12
答案
A
5．由直线x＝－2，x＝2，y＝0及曲线y＝x
2
－x所围成的平面图形的面积为(
A
.
16
3
B
.
17
3
)
C
.
答案
B
8
3
D
.
5
3
解析
画出直线x＝－2，x＝2，y＝0和曲边y＝x－x，则所求面积S为图中阴影部分
的面积．
2
∴S＝
?
－2(x－x)
d
x＋
?<
br>?
?
?
0
?
0
2
| |
1
2
－
d
x
?
?
1
3
1
2
?
2
＋
?
2
(x－x)
d
x＝
?
x－x
?
2
?
?
?
?
3
1
|
0
－2
＋
??
1
x
3
－
1
x
2
?
1
?
＋
?
1
x
3
－
1
x
2
?
2
＝0－
?
－
8<
br>－2
?
＋
??
1
－
1
??
＋
?
8
－2
?
－
?
1
－
1
?＝
14
＋
1
＋
5
＝
17
.
?
?
3
0
??
1
?
3
???
32
?
??
3
??
32
?
3663
2
?
2
?
?????
3
???????????
故选
B
.
6.
?
3
|x－4|
d
x＝( )
2
?
0
A
.
C
.
答案
C
7．若
?
k
(2x－3x)
d
x＝0，则k＝( )
2
21
3
23
3
B
.
D
.
25
3
22
3
?
0
A
．0
C
．0或1
答案
B
B
．1
D
．以上都不对
8．设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则
2
?
f(－x)
d
x的值等于( )
?
1
m
A
.
C
.
答案
A
2
3
5
6
B
.
D
.
1
6
1
2
二、填空题
9.
?
a
a－x
d
x＝________.
?
－a
1
2
答案 πa
2
10．由曲线y＝x－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积等于________．
答案
11.
22
3
2
22
(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的
概率
为________．
1
答案
3
π
12．由y＝
co
s
x，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是________．
2
答案
?
π
cos
x
d
x
?
2
?
0
解析
由定积分的定义和几何意义可知S＝
?
π
cos
x
d
x.
?
2
?
0
三、解答题
13.
π5
求曲线y＝
sin
x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如
右图)．
24
解析 S＝
＝1＋2＋1－
2
.
2
2
2
＝3－
?重点班·选做题
14．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．
解析
(1)∵y＝f(x)是二次函数且f′(x)＝2x＋2，
∴设f(x)＝x＋2x＋c.
又f(x)＝0有两个等根，
∴4－4c＝0，∴c＝1，∴f(x)＝x＋2x＋1. <
br>1
2
(2)y＝f(x)的图像与两坐标所围成的图形的面积S＝
?
0
－1(x＋2x＋1)
d
x＝.
3
?
15．已知f(a)＝
?
1
(2ax－ax)
d
x，求f(a)的最大值．
22
2
2
?
0
2a
3
1
221
解析
f(a)＝(x－ax)|
0
，
32
2a1
2
12
2
2
∴f(a)＝－a＝－(a－)＋.
32239
22
∴当a＝时，f(a)的最大值是.
39
1．已知f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，
?
1
f(x)
d
x＝－2，求a、
2
?
0
b、c的值．
解析 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝0＝b，a＋c＝2.
又
?
1
f(x)
d
x＝－2，
?
0
1
3
1
21
∴
?
1
(ax＋c)
d
x＝(ax＋cx)|
0
＝a＋c＝－2.
33<
br>?
0
b＝0，
?
?
a＋c＝2，
∴有
?1
?
?
3
a＋c＝－2.
求得a＝6，b＝0，c＝－4.
课时作业(十七)
一、选择题
1．一
物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：
s
，v单位：
m
s
)
的速度运动，则该物体在3
s
～
6
s
间的运动路程为( )
A
．46
m
C
．87
m
答案
B
B
．46.5
m
D
．47
m
?
3
2
?
6
解析 s＝
?
6
(3
t＋2)
d
t＝
?
t＋2t
?
|
3
<
br>?
2
?
?
3
?
27
?
＝(54＋1
2)－
?
＋6
?
＝46.5
(
m
)．故选
B
.
?
2
?
2．以初速40
m
s
竖直向上抛一物体，t
s
时刻的速度v＝40－10t，则此物体达到最
高时的高度为( )
2
A
.
160
m
3
40
3
B
.
m
D
.
m
20
3
80
3
C
.
m
答案
A
解析 由v＝40－10t＝0，得t＝4，t＝2.
10
3
?
2
?
2
∴h＝
?
2
(4
0－10t)
d
t＝
?
40t－t
?
|
0
3
??
?
0
22
80160
＝80－＝(
m
)．故选
A
.
33
3．一物体在力F(
x)＝3x－2x＋5(力单位：
N
，位移单位：
m
)作用力下，沿与力F(
x)相
同的方向由x＝5
m
直线运动到x＝10
m
处做的功是(
)
2
A
．925
J
B
．850
J
C
．825
J
答案
C
解析 W＝∫
5
F(x)
d
x＝∫
5
(3x－2x＋5)
d
x
＝(x－x＋5x)
|
5
3210
10102
D
．800
J
＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(
J
)．故选
C
.
4．若某质点的初速度v(0)＝1，其加速度a(t)＝6t，做直线运动，则质点在t＝2
s
时的瞬时速度为( )
A
．5
C
．9
答案
D
B
．7
D
．13
解析 v
(2)－v(0)＝
?
2
a(t)
d
t＝
?
26t
d
t＝3t
|
0
＝12，
22
?0
?
0
所以v(2)＝v(0)＋3×2＝1＋12＝13.故选
D.
5．已知物体自由下落的速率为v＝gt，则某物体做自由落体从t＝0到t＝t
0<
br>所走的路
程为( )
2
A
.gt
2
0
C
.gt
2
0
答案
C
二、填空题
1
2
1
3
B
．gt
2
0
D
.gt
2
0
1
6
6．一列车沿直线轨
道前进，刹车后列车速度为v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进
________米才能停车
．
答案 405
7.
右图中阴影部分的面积S＝______.
答案
16
3
x
2
816
解析
由图知，S＝
?
[(5－x)－1]
d
x＝(4x－)
|
0
＝(8－)－0＝.
333
?
2
0
2
3
8．由曲线y＝x＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________
．
2
答案
19
3
22
xy
9．椭圆＋＝1所围区域的面积为________．
169
答案 12π
三、解答题
10．某物体做直线运动，速度为v＝1
＋t(
m
s
)，求该物体自运动开始到10
s
末所经
过的路程，并求物体前10
s
内的平均速度．
23
10
2323
解析
?
10
1＋t
d
t＝(1＋t)|
0
＝(11－1)，平均速度＝(11－1)．
3232302
?
0
11．设有一长25
cm
的弹簧，若加以100
N
的力，则弹簧伸长到30
cm
，又已知弹簧伸
长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25
cm
伸长到40
cm
所作的功．
解析
设x表示弹簧伸长的量(单位：
m
)，
F(x)表示加在弹簧上的力(单位：
N
)．
由题意F(x)＝kx，
且当x＝0.05
m
时，F(0.05)＝100
N
，即0.05k＝100.
∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x.
∴将弹簧由25
cm
伸长到40
cm
时所作的功为
W＝∫
0
2 000x
d
x＝1 000x
|
0
＝22.5(
J
)．
?重点班·选做题
12．已知
甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙
车的速度曲线分别为v<
br>甲
和v
乙
(如右图所示)．那么对于图中给定的t
0
和t1
，下列判断中一
0.1520.15
定正确的是( )
A
．在t
1
时刻，甲车在乙车前面
B
．t
1
时刻后，甲车在乙车后面
C
．在t
0
时刻，两车的位置相同
D
．t
0
时刻后，乙车在甲车前面
答案
B
<
br>13．一物体A以速度v＝3t＋2(t的单位：s，v的单位：
m
s
)，在一条直线上运动，在
此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8
m
处以v＝8t的速度与A同向运
动，设n
s
后两物体相遇，则n的值为________．
答案 4
s
2
1．一物体在变力F(x)＝5－x(力单位：
N
，位移单位：
m
)作用下，沿与F(x)成30°方
向做直线运动，则由x＝1
m
运动到x＝2
m
时F(x)做的功为( )
2
A
.3
J
C
.
43
J
3
B
.
23
J
3
D
．23
J
答案
C
3
2
解析 W＝
?
2
F(x)
cos
30
°
d
x＝
?
2
(5－x)
d
x
2
??
11
＝
31
32
3743
(5x－x)
|
1
＝(5－)＝(
J
)．故选
C
.
23233
3
6t
，2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，如果已知产量的
变化率a＝
那么从3小时到6小时这段时间内的产量为( )
A
.百件
C
．(6＋32)百件
答案
D
1
2
B
．(3－
3
2)百件
2
D
．(6－32)百件
课时作业(十八)
一、选择题
1.
下列表示图中f(x)在区间[a，b]的图像与x轴围成的面积总和的式子中，正确的是
(
)
A
.
?
b
f(x)
d
x
?
a
b
fx
d
x
??
?
B
.
??
a
?
C
.
?
c
1
f(x
)
d
x＋
?
c
2
f(x)
d
x＋
?
b
f(x)
d
x
?
a
?
c
1
?
c
2
D
.
?
c
1
f(x)d
x－
?
c
2
f(x)
d
x＋
?b
f(x)
d
x
?
a
?
c
1
?
c
2
答案
D
1
2．若
?
a
(2x＋)
d
x＝3＋
ln
2，则a的值是( )
x
?
1
A
．6
C
．3
答案
D
B
．4
D
．2
?
π
3．
?
2
(1＋
cos
x)
d
x等于( )
?
?
－
π
2
A
．π
C
．π－2
答案
D
B
．2
D
．π＋2
17
4．f(x)是一次函数，且
?<
br>1
f(x)
d
x＝5，
?
1
xf(x)
d<
br>x＝，那么f(x)的解析式是( )
6
??
00
A
．4x＋3
C
．－4x＋2
答案
A
B
．3x＋4
D
．－3x＋4
1
2
1
1
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，
?
1
(kx＋b)
d
x＝(kx＋bx)|
0
＝k＋b＝5，①
22
?
0
1
3
1
21
17
x(kx＋b
)
d
x＝(kx＋bx)|
0
＝，
?
326
?
1
0
1117
得k＋b＝.②
326
?
k＝4，
?
解①②得
?
?
?
b
＝3.
5．下列各式中正确的是( )
A
.<
?
1
x
2
d
x<1
B
.<
?
1
x
d
x<1
C
.<
?
1
x
3
d
x<1
1<
br>2
?
－1
1
2
?
0
1
2
?
0
D
．0<
?
1
x
d
x<
?
0
1
2
答案
B
解析
图解如图由几何性可知选
B
.
6．由曲线y＝x和直线x＝0，x＝1，y＝t，t
∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为
( )
22
A
.
1
4
B
.
1
3
C
.
12
2
D
.
3
答案
A
解析 如
图S＝t
2
·t－
?
t
x
2
d
x＋
?
1
x
2
d
x－(1－t)t
2
?
，
0
?
t
得S＝f(t)＝
4
32
1
3t－t＋
3
.
∵f′(t)＝4t
2
－2t，
令4t
2
－2t＝0.得t＝
1
2
(t＝0(舍))． <
br>可知当t＝
1
2
时，S最小．最小值为S＝
1
4
，选
A
.
7.
如图，阴影部分的面积是( )
A
．23
B
．－23
C
.
32
3
D
.
35
3
答案
C
8．由
直线x＝
1
2
，x＝2，曲线y＝
1
x
及x轴所围图形的面
积为(
A
.
15
17
4
B
.
4
C
.
1
2
ln
2
D
．2
ln
2
答案
D
)
9．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝
?
b
[g(x)－f(x)]
d
x
S＝
?
8
(22x－2x＋8)
d
x
?
a
?
0
① ②
S＝
?
4
f(x)
d
x－
?
7
f(x)
d
x S＝
?
a
[g(x)－f(x)]
d
x＋
?
1
?
4
?
0
?
b
[f(x)－g(x)]
d
x
?
a
③ ④
A
．①③
C
．①④
答案
D
解析
①应是S＝
?
b
[f(x)－g(x)]
d
x，
B
．②③
D
．③④
?
a
②应是S＝
?
8
22x
d
x－
?
8
(2x－8)
dx，
?
0
?
4
③和④正确．故选
D
.
二、填空题
10．若
?
1
x(a－x)
d
x＝2
，则实数a＝________.
?
0
答案
14
3<
/p>
11．设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2
?
1
f(t
)
d
t，则f(x)＝________.
?
0
答案 x－2 <
br>12．设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，若
?
1
f(x)
dx＝f(x
0
)，(0≤x
0
≤1)，则x
0
的值为_
_______．
2
?
0
答案
3
3
三、解答题
13.
?
5
(|2－x|＋|
si
n
x)|
d
x.
?
1
解析 原式＝
?
5
(|x－2|)
d
x＋
?
5
(|
sin
x
|)
d
x
?
1
?
1
9
＝＋2＋
?
π
sin
x
d
x＋
?
5
(－
s
in
x)
d
x
2
??
0π
919
＝＋2
＋2＋
cos
5＋1＝＋
cos
5.
22
14．已知f(
x)是一个一次函数，其图像过(3,4)，且
?
1
f(x)
d
x＝
1，求f(x)的解析式．
?
0
解析
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，其图像过点(3,4)，
∴4＝3k＋b.
1
2
1
1
1＝
?
1
(kx＋b)
d
x＝(k
x＋bx)|
0
＝k＋b.
22
?
0
1
?
?
k＋b＝1，
从而有
?
2
?
?
3k＋b＝4，
2
6
k＝，
?
?
5
解得
?2
b＝
?
?
5
.
62
∴f(x)＝x＋.
55
?重点班·选做题
15．求c的值，使
?
1
(x＋cx＋c)
d
x最小．
2
?
0
解析
令y＝
?
1
(x＋cx＋c)
d
x
22
?
0
3
＝
?
1
(x＋2cx＋cx＋2cx＋2cx＋c)
d
x
422222
?
0
1
5
1
4
1
23
2
32221
＝(x＋cx＋cx＋cx＋cx＋cx)
|
0
5233
177
2
147
＝＋c＋c，令y′＝c＋＝0，
56336
11
得c＝－，所以当c＝－时，y最小．
44
1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第2秒时刻物体
落地，
已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为________．
3
答案 g
2
1
2
2．在曲线y＝x(x≥0)上某一点
A处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为，
n
试求：
(1)过点A的坐标；
(2)过切点A的切线方程．
解析
如图所示，设切点A(x
0
，y
0
)．
由y′＝2x知
过A点切线方程为y－y
0
＝2x
0
(x－x
0
)且y0
＝x
0
，
即y＝2x
0
x－x
0
.
x
0
令y＝0，得C(，0)．
2
1
设由曲线与过A点的
切线及x轴围成的面积为S，则S＝S
曲线OAB
－S
△ABC
＝.
12
1
3
?
x
0
∵S
曲边AOB
＝?
x
0
x
d
x＝x
?
3
?
0
?
2
0
2
2
1
3
＝x
0
，
3
11x
0
1<
br>32
S
△ABC
＝BC·AB＝(x
0
－)·x
0<
br>＝x
0
，
2224
11
3
1
3
x
0
∴＝x
0
－x
0
＝.
123412
解得x
0
＝1，从而A(1,1)切线方程为y＝2x－1.
3．(2013·广州质检)A，B两站相距7.2
km
，一辆电车从A站开往B站，电车开出t
s
3
后到达途中C点，这一段速度为1.2t(
m
s
)，到达C的速度达24
m
s
，从C点到B点前的D
点匀速行驶，从D点开始刹车，经t <
br>s
后，速度为(24－1.2t)
m
s
，在B处恰好停车，试
求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离；
(3)从A到B的时间．
解析 (1)设A到C点经过t
1
s，
由1.2t
1
＝24，得t
1
＝20(
s
)．
∴AC＝
?
20
1.2t
d
t＝0.6t
|
0
＝240 (
m
)．
220
?
0
(2)设从D→B经过t
2
s，
由24－1.2t
2
＝0，得t
2
＝20(
s
)．
∴DB＝
?
20
(24－1.2t)
d
t＝(24t－0.
6t)
|
0
＝240(
m
)．
220
?
0
6
720
从C到D的时间t
3
＝＝280(
s
)，
24
所求A到B的时间为20＋280＋20＝320(
s
)．
1．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自
阴影部分的概率为( )
A
.
C
.
答案
C
1
6
1
4
B
.
D
.
1
7
1
5
解析
利用积分求出阴影部分的面积，应用几何概型的概率计算公式求解．
∵S
阴影
231
2
211
1
＝
?
1
(x－x)d
x＝(x－x)
|
0
＝－＝，又S
322326
?
0
正方形OABC
＝1，∴由几何概型知，
1
6
1
P恰好取自阴影部分的概率为＝.
16
2．(2011·湖南)曲线y＝
sinx1π
－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
sin
x＋
cos
x24
B
.
D
.
2
2
1
2
A
．－
C
．－
2
2
1
2
答案
B
解析 y′＝
＝
cossin
x＋
cosx－
cos
x－
sin
sin
x＋
cos
2<
br>2
sin
x
1
sin
x＋
cos
π1
，故y′
|
x＝＝，
42
π1
∴曲线在点M(，0)处的切线的斜率为.
4
2
3．(2011·江西)若f(x)＝x－2x－4
ln
x，则f′(x)>0的解
集为( )
2
A
．(0，＋∞)
C
．(2，＋∞)
答案
C
B
．(－1,0)∪(2，＋∞)
D
．(－1,0)
4
解析 由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，
x
2x－2x－4
2
即f′(x)＝>0，∴x－x－2>0，
x
解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.
4．(2011·新课标全国)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
(
)
2
A
.
C
.
答案
C
16
3
10
3
B
．4
D
．6
?
y＝x，
解析 由
?
?
y＝x－2，
得其交点坐标为(4,2)．
因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
44
?
[x－(x－2)]
d
x＝
?
(x
－x＋2)
d
x
?
0
?
0
231
22116
4
＝(x－x＋2x)
|
0
＝×8－×16＋2×4＝.
322323
x
5．(2011·
山东)函数y＝－2
sin
x的图像大致是( )
2
答案
C
x
解析 因为y＝－2
sin
x是奇函数，所以其图像
关于原点对称，因此可排除
A
.为求解
2
x11
本题，应先研究＝2
sin
x，即
sin
x＝x，在同一坐标系内作出y
1
＝<
br>sin
x与y
2
＝x的图像，
244
1
如下图，可知
，当x>0时，y
1
＝
sin
x与y
2
＝x只有一个交点，
设其交点坐标为(x
0
，y
0
)，则
4
1111
当
x∈(0，x
0
)时，
sin
x>x，即2
sin
x>x，
此时，y＝x－2
sin
x<0.又f′(x)＝－2
cos
x，
4
222
因此当x>0时，可以有f′(x)>0，也可以有f′(x)<0，即函数有增有减，有多个极
值点，
且极值点呈周期性，因此可排除
B
、
D
，故选
C.
6．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单
位：万件)的函
1
3
数关系式为y＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大
年利润的年产量为( )
3
A
．13万件
C
．9万件
答案
C
1
3
解析
∵y＝f(x)＝－x＋81x－234，
3
B
．11万件
D
．7万件
∴y′＝－x＋81.
令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．
当0
当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．
故当x＝9时，y取最大值．
7．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝
α的取值范围是( )
4
上
，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则
e
＋1
x
2
A
．[
0，)
C
．(，
答案
D
4－4
e
解析 ∵y＝
x
，∴y′＝
x
e
＋1
e
＋
令
e
＋1＝t，则
e
＝t－1且t>1.
－4t＋444
∴y′＝＝
2
－.
2
ttt
1
再令＝m，则0
1
22
∴y′＝4m－4m＝4(m－)－1，m∈(0,1)．
2
xx
x
2
π
4
B
．[，)
D
．[
3π
，π)
4
π
4
π
2
π
2
3π
]
4
.
3
容易求得－1≤y′<0，∴－1≤
tan
α<0，得π≤α<π. 4
8．(2012·新课标全国)曲线y＝x(3
ln
x＋1)在点(1,1)处
的切线方程为________．
答案 y＝4x－3
解析
利用导数的几何意义先求得切线斜率．
3
∵y＝x(3
ln
x＋1)，∴y
′＝3
ln
x＋1＋x·＝3
ln
x＋4.
x
∴k＝y′|
x＝1
＝4.
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
9．(2012·山东)设a
>0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，
则a＝________.
4
答案
9
解析 利用定积分的几何意义求解．
2
S＝
?
a
?
0
33
2
2
2
2
4
a2
x
d
x＝x
|
0
＝a ＝a，∴a＝.
339
32
10．(201
1·广东)函数f(x)＝x－3x＋1在x＝________处取得极小值．
答案 2
解析 由f(x)＝x－3x＋1，可得f′(x)＝3x－6x＝
3x(x－2)． 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(
x)>0，
f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
2
x
11．(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)
e
.
k
322
(1)求f(x)的单调区间；
1
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
e
1
22
x
解析
(1)f′(x)＝(x－k)
e
.
kk
令f′(x)＝0，得x＝±k.
当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，－k)
＋
－k
0
4k
e
2－1
(－k，k)
－
↘
k
0
0
(k，＋∞)
＋
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，k)
－
↘
k
0
0
(k，－k)
＋
－k
0
4k
e
2－1
(－k，＋∞)
－
↘
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
k＋11
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝
e
>，所以不会有
k
e
1
?x∈(0，＋∞)，f(x)≤
.
e
当k<0时，由①知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是
4k
f(－k)＝.
2
e
14k11
所以?x∈(0，＋
∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k<0.
eee
2
2
11
故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
e
2
1．(2012·辽宁)设f(x)＝
ln
(x＋1 )＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，
a
，
b
为常数)，曲线
y3
＝
f
(
x
)与直线
y
＝
x
在(0,0)点相切．
2
(1)求
a
，
b
的值；
(2)证明：当0<
x
<2时，
f
(
x
)<
9< br>x
.
x
＋6
解析 (1)由
y
＝
f
(
x
)过(0,0)点，得
b
＝－1.
3
由
y
＝
f
(
x
)在(0,0)点的切线斜率为，
2
又
y
′|
x
＝0
＝(
得
a
＝0.
(2)证法一 由均值不等式，当
x
>0时，2
1.
记
h
(
x
)＝
f
(
x
)－
1
9
x
，则
x
＋6
154
2
113
＋＋
a
)|
x
＝0
＝＋
a
，
x
＋1
2
x
＋1
2
x
＋<
x
＋1＋1＝
x
＋2，故
x
＋1<＋
2
x
h
′(
x
)＝＋ －
x
＋1
2
x
＋1
x
＋
＝
<＝
2＋
x
＋154
－
x
＋
x
＋
2
x
＋6
x
＋
x
＋
－3
54
x
＋
2
.
－
3
x
＋
x
＋
2
x
＋
令
g
(
x
)＝(
x
＋6)－216(
x
＋1)，则当0<
x
<2时，
g
′(
x
)＝3(
x
＋6)
2
－216<0.
因此
g
(
x
)在(0,2)内是递减函数，又由< br>g
(0)＝0，得
g
(
x
)<0，所以
h
′(
x
)<0.
因此
h
(
x
)在(0,2)内是递减函数，
又
h
(0)＝0，得
h
(
x
)<0.于是
当0<
x
<2时，
f
(
x
)<
9
x.
x
＋6
证法二 由(1)知
f
(
x
)＝ln(
x
＋1)＋
x
＋1－1.
由均值不等式，当
x
>0时，
2
x
＋<
x
＋1＋1＝
x
＋2，故
x
＋1<＋1. ①
2
1－
x
－1＝<0.
x
＋1
x
＋1<
br>x
令
k
(
x
)＝ln(
x
＋1)－
x
，则
k
(0)＝0，
k
′(
x
)＝
故<
br>k
(
x
)<0，即ln(
x
＋1)<
x
.
②
3
由①②，得当
x
>0时，
f
(
x
)
<
x
.
2
记
h
(
x
)＝(
x<
br>＋6)
f
(
x
)－9
x
，则当0<
x
<2时，
h
′(
x
)＝
f
(
x
)＋(
x
＋6)
f
′(
x
)－9
311
<
x
＋(
x
＋6)(＋)－9
2
x
＋1
2
x
＋1
＝
<
＝
1
x＋
1
x
＋
[3
x
(
x
＋1)＋(x
＋6)(2＋
x
＋1)－18(
x
＋1)]
[3<
br>x
(
x
＋1)＋(
x
＋6)(3＋)－18(
x＋1)]
2
(7
x
－18)<0.
x
x
x
＋
因此
h
(
x
)在(0,2)内单调递减，又
h<
br>(0)＝0，
所以
h
(
x
)<0，即
f
(
x
)<
9
x
.
x
＋6
课时作业(十九)
一、选择题
1．关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到个别的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论未必是正确的
答案 D <
br>2．在数列{
a
n
}中，
a
1
＝0，
an
＋1
＝2
a
n
＋2，则猜想
a
n
是
( )
A．2
C．2
n
－2
1
－
2
＋1
B．2－2
D．2
n
＋1
n
n
－1
－4
答案 B
3．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■■
C.
答案 A
4．数列{
a
n}：2,5,11,20，
x,
47，…中的
x
等于( )
A．28
C．33
答案 B
5．
n
个连续自然数按规律排列下表：
B．32
D．127
B．△
D．○
根据规律，从2 010到2
012箭头的方向依次为( )
A．↓→
C．↑→
答案 C
6．已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
na
n
(
n
≥2)，而
a
1
＝1，通过
计算
a
2
，
a
3
，
a
4
，猜想<
br>a
n
等于( )
A.
C.
2
n
＋
2
2－1
n
2
2
B．→↑
D．→↓
B.
D.
n
2
n
＋
2
2
n
－1
答案 B
7．(2010·山东卷)观察(
x<
br>)′＝2
x
，(
x
)′＝4
x
，(cos
x
)′＝－sin
x
，由归纳推理可
得：若定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，记
g
(
x
)为
f
(
x
)的
导函数，则
g
(－
x
)＝
( )
A．
f
(
x
)
C．
g
(
x
)
答案 D
B．－
f
(
x
)
D．－
g
(
x
)
243
8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110
C．1 111 112
答案 B
9
．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以
排成一个正
三角形(如下图)，
B．1 111 111
D．1 111 113
试求第七个三角形数是( )
A．27
C．29
答案 B
二、填空题
10．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第
n
个图形由n
个正方形组成：
B．28
D．30
通过观察可以发现
：第4个图形中，火柴杆有________根；第
n
个图形中，火柴杆有
_____
___根．
答案 13 3
n
＋1
11．(2012·陕西卷)观察下列不等式
13
1＋
2
<，
22
115
1＋
2
＋
2
<，
2331117
1＋
2
＋
2
＋
2
<，
2344
……
照此规律，第五个不等式为________．
．．．
1111111
答案 1＋
2
＋
2
＋
2
＋
2
＋
2
<
234566
12．下面是一系
列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”
表示化学键，按图中结构第n
个图有________个原子，有________个化学键．
答案
4
n
＋2 5
n
＋1
13．从1＝12＋3＋4＝33＋4＋5＋6＋7＝5中，可得一般规律是________．
答案
n
＋(
n
＋1)＋(
n
＋2)＋…＋(3<
br>n
－2)＝(2
n
－1)
14．观察下图中各正方形图案，每条边上
有
n
(
n
≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是
2
2,2
,2
S
，按此规律推出
S
与
n
的关系式为________
．
答案
S
＝4(
n
－1)(
n
≥2)
三、解答题
15．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
π
2cos＝2，
4
π
2cos＝2＋2，
8
π
2cos＝2＋2＋2，
16
……
π
解析 2cos
n
＋1
＝2＋2＋2＋……
2
1119
16．在△
ABC
中，不等式＋＋≥成立；
A
BC
π
111116
在四边形
ABCD
中，不等式＋＋＋≥成立；
ABCD
2π
1111125
在五边形
ABCDE
中，不等
式＋＋＋＋≥成立；
ABCDE
3π
猜想在
n
边形
A1
A
2
…
A
n
中，有怎样的不等式成立？
解析 在
n
边形
A
1
A
2
…
A<
br>n
中，有不等式＋＋…＋≥
111
n
2
n
－π
A
1
A
2
A
n
·(
n
≥3)
1
17．设
f
(
x
)＝
x
，先分别求出
f
(0)＋
f
(1)，
f
(－1)＋
f
(2)，f
(－2)＋
f
(3)，然后
3＋3
归纳出一个一般结论，并给
出证明．
解析 当
x
1
＋
x
2
＝1时，
f
(
x
1
)＋
f
(
x
2
)＝3
.
3
11
证明：
f
(
x
1
)＋
f
(
x
2
)＝＋
3
x
1
＋33
x
2
＋3
＝
1
＋
3
x
1
＋331－
x
1
＋3
3
x
1
＋
3
x
1
＋33＋3·3
x
1
1
1
3
x
1
＋3
＋
3
x
1
3
3＋3
x
1
1
＝
＝
＝
3＋3<
br>x
1
3
3
.
3
x
1
＋3
＝
?重点班·选做题
18．已知：①
tan10°tan20＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan1
0°
＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.③tan20°tan30°＋ta
n30°tan40°＋
tan40°tan20°＝1成立，由此得到一个由特殊到一般的推广，此推
广是什么？
解析 α＋β＋γ＝90°，且α、β、γ都不为90°＋γ·180°(γ∈Z)，则t
anαtanβ
＋tanβ·tanγ＋tanα·tanγ＝1.
证明(略)
课时作业(二十)
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质
②由
直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内
角和都是180°
③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了
④三角形内角和是180°，四
边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出
凸
n
边形的内角和是(<
br>n
－2)·180°(
n
∈N，且
n
≥3)
A．①②
C．①②④
答案 C
2．下列说法正确的是( )
A．类比推理是从一般到一般的推理
B．类比推理是从个别到个别的推理
C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理
D．类比推理是从个别到一般的推理
答案 C
3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
答案 D
4．在等差数列{
a
n
}中，若
a
n<
br>>0，公差
d
≠0，则有
a
4
a
6
>
a
3
a
7
.类比上述性质，在等比数列
{
b
n<
br>}中，若
b
n
>0，公比
q
≠1，则关于
b
5
，
b
7
，
b
4
，
b
8
的一个不等关系正确的是( )
A．
b
5
b
7
>
b
4
b
8
C．
b
5
＋
b
7
<
b
4
＋
b
8
答案 C
二、填空题
5．正方形面积为边长的平方，则立体几何中，与之类比的图形是_______
_，结论是
B．
b
7
b
8
>
b
4
b
5
D．
b
7
＋
b
8
<
b
4
＋
b
5
B．①③④
D．②④
*
________．
答案 正方体 正方体的体积为边长的立方
6．半径为
r
的圆的面积
S
(
r
)＝π
r
，周长
C
(
r
)＝2π
r
，若将
r
看做(0，＋∞)上的变
量，则(π
r
)′＝2π
r
.①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径
R
的球，若将
R
看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：
_______
________________________________；
②式可用语言叙述为______________________________．
4
32
答案 ①(π
R
)′＝4π
R
3
②球的体积函数的导数等于球的表面积函数
7．如图(1)有关系
22
S
△
PA
′
B
′
PA
′·
PB
′
V
P
－
A
′
B
′
C
′
＝，如图(2)有关系：＝________.
S
△
PAB
P
A
·
PBV
P
－
ABC
答案
PA
′·
PB
′·
PC
′
PA
·
PB
·
PC
2
8．在以原点为圆心，半径为
r
的
圆上有一点
P
(
x
0
，
y
0
)，则圆的面
积
S
圆
＝π
r
，过点
P
x
2
y<
br>2
的圆的切线方程为
x
0
x
＋
y
0
y
＝
r
.在椭圆
2
＋
2
＝1(
a
>
b
>0)中，当离心率
e
趋近于0时，短轴
ab
2
b
就趋近于长半轴
a
，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积
S
椭圆
＝__________.
x
2
y
2
类比过
圆上一点
P
(
x
0
，
y
0
)的圆的切线方
程，则过椭圆
2
＋
2
＝1(
a
>
b
>0)
上一点
P
(
x
1
，
y
1
)的
ab
椭圆的切线方程为________．
答案 π
ab
x
1
xy
1
y
＋＝1
a
2
b<
br>2
n
1
9．若数列{
a
n
}是等差数列，
b
n
＝(
a
1
＋
a
2
＋…＋
an
)，则数列{
b
n
}也是等差数列．类比上
述性质，若数列{
c
n
}是各项都为正数的等比数列，则
d
n
＝______
__时，数列{
d
n
}也是等比数
列．
答案
n
c
1
c
2
…
c
n
1
0．已知等差数列{
a
n
}的公差为
d
，前
n
项和
为
S
n
，等比数列{
b
n
}的公比为
q
，
前
n
项积
为
T
n
，类比等差数列的性质，填写等比数列的相
应性质(
m
，
n
，
k
，ω∈N)．
等差数列
等比数列
*
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
a
n
＝
a
m
＋(
n
－
m
)
d
若
m
＋
n
＝
k
＋ω，则
a
n
＋
a
n
＝
a
k
＋<
br>a
ω
若
m
＋
n
＝2ω，则
am
＋
a
n
＝2
a
ω
S
n<
br>，
S
2
n
－
S
n
，
S
3<
br>n
－
S
2
n
构成等差数列
答案
a
n
＝
a
1
·
q
n
－1
a
n
＝
a
m
·
q
n
－
m
a
m
·
a
n
＝
a
k
·
a
ω
a
m
·
a
n
＝
a
2
ω
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
成等比数列
1
1．如图甲，在△
ABC
中，
AB
⊥
AC
，
AD<
br>⊥
BC
，
D
是垂足，则
AB
＝
BD
·
BC
，该结论称为射
影定理．如图乙，在三棱锥
A
?
BC
D
中，
AD
⊥平面
ABC
，
AO
⊥平面
B
CD
，
O
为垂足，且
O
在△
2
BCD
内，
类比射影定理，探究
S
△
ABC
、
S
△
BCO、
S
△
BCD
之间满足的关系式是________．
思路分析 常用方法：
(1)将点扩展为线；
(2)将线(边长)扩展为面(面积)；
(3)将面(面积)扩展为体(体积)．
解析
连接
DO
延长交
BC
于
E
，连接
AE
.
∵
AD
⊥面
ABC，∴
AD
⊥
BC
.
∵
AO
⊥面
AB
C
，∴
AO
⊥
BC
.
∴
BC
⊥面
ADO
，即
BC
⊥面
ADE
.∴
BC
⊥
AE
.
在△
ADE
中，由射影定理，得
AE
＝
E
O
·
ED
.
1111
∴(
BC
·
AE<
br>)(
BC
·
AE
)＝(
BC
·
EO
)(
BC
·
ED
)．
2222
∴
S
△<
br>ABC
＝
S
△
BCO
·
S
△
BCD
.
12．对于大于1的自然数
m
的
n
次幂可用奇数进行如
图所示的“分裂”，仿此，记5
的“分裂”中的最小数为
a
，而5的“分裂”中最大的
数是
b
，则
a
＋
b
＝________.
2
3
2
2
答案 30
三、解答题
3
22
13．观察等式sin20°＋sin40°＋sin20°·sin40°＝；
4
3
22
sin28°＋sin32°＋sin28°·sin32°＝.请写出一
个与以上两个等式规律相同的等
4
式．
解析
∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，
13
而cos60°＝，sin60°＝，
22