高中数学实验课-高中数学教程排列组合
高中数学选修2-2知
识点总结(精华版)
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数学选修2-2知识点总结
一、导数
1.函数
的平均变化率为
?y
?x
?
?f
?x
?
f(x2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
x
?
2
?x
1
?x
注1:其中?x
是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函
数
y?f(x)
在
x?x
?y
??x)?f(x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
00
)
?x?0
?x
?
?
lim
x?0
?x
,则
称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数,记作
f
'
(x
0
)
或<
br>y
'
|
?y
x?x
0
)
0
,即f
'
(
x
(x
0
)
=
?
li
m
f
0
??x)?f(x
x?0
?x
?
?
lim
x?0
?x
.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;
5、常见的函数导数
函数 导函数
y?c
y'?
0
y?x
n
?
n?N
*
?
y'?nx
n?1
y?a
x
?
a?0,a?1
?
y'?a
x
lna
y?e
x
y'?e
x
y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?
y'?
1
xlna
y?lnx
y'?
1
x
y?sinx
y'?cosx
y?cosx
y'??sinx
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6、常见的导数和定积分运算公式:若
f
?
x
?
,
g
?
x
?
均可导(
可积),则有:
和差的导数运算
积的导数运算
?
f(x)?g(x)<
br>?
?f
'
(x)?g
'
(x)
'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
特别地:
?
?
Cf
?
x?
?
?
'?Cf'
?
x
?
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)<
br>(g(x)?0)
?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'
商的导数运算
复合函数的导数
微积分基本定理
?
1
?
?g'(x)
特别地:
?
?'?
2
gxgx
????
??
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
?
f
?
x
?
dx?
a
b
(其中
F'
?
x
?
?f
?<
br>x
?
)
和差的积分运算
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
kf(x)dx?k<
br>?
f(x)dx(k为常数)
特别地:
?
a
12<
br>a
1
a
2
bb
aa
bbb
积分的区间可加性
?
b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
f'(x)
②令
f'(x)
>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;
[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域。
(2)
求函数f(x)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=0的根
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(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小
开区间,并列成表
格,检查
f
(x)
在方程根左右的值的符号,如果
左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大
值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;
如果左右不改变符号,那么f(x)在这
个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个是最大值
,最小的一个是最小值。
[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 (“以直代曲”的思想)
10.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1
dx
?
b
?
a
a
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?<
br>,则
?
f
(
x
)
dx
?0
a
b
①推广:
?
[f
1
(x)?f
2
(
x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(
x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)
aaaa
bbbb
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L?
?
f(x)dx
aac
1
c
k
b
c
1
c
2
b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取
负值,还可能是0.
(
l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形
面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x
轴下方时,定积分的
值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;
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(3)当位于
x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分
的值为0,且等于x轴上方
图形的面积减去下方的图形的面
积.
12.物理中常用的微积分知识(1)位移
的导数为速度,速度
的导数为加速度。(2)力的积分为功。
二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
.......
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
....
14.归纳推理的思维过程大致如图:
实验、观察
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳
推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检
验,因此,它不能作为数学
证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起<
br>点,帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义:
根据两个(
或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或
相同,这样的推理称为类比
推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
....
17.类比推理的思维过程
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概括、推广 猜测一般性结论
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观察、比较
18.演绎推理的定义:
联想、类推 推测新的结论
演绎推理是根据已
有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法
则得到新结论的推理过程。演绎推
理是由一般到特殊的推理。
....
19.演绎推理的主要形式:三段论
20.“三段论”可以表示为:①大前题:M是P②小前提:S是M ③结论:S是P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;
③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件
或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的
真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推
出
要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换
前面的条件或者一定成立的
式子,可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式:要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件.
分析法和综合法常结合
使用,不要将它们割裂开。
24反证法:是指从否定的结论
出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误
的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
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(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)从矛盾判定假设不正确
...
,即所求证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 反义词 原结论词 反义词
至少有一个 一个也没有 对所有的x都成立 存在x使不成立
至多有一个 至少有两个
对任意x不成立 存在x使成立
至少有n个 至多有n-1个 p或q
?p
且
?q
至多有n个 至少有n+1个 p且q
?p
或
?q
27.反证法的思维方法:正难则反
....
28.归缪矛盾
(1)与已知条件
....
矛盾:
(2)与已有公理、定理、定义
..........
矛盾;
(3)自相
..
矛盾.
29.数学归纳法(只能证明与正整数
...
有关的数学命题)的步骤
(1
)证明:当n取第一个值
....
nN
?
0
?
n
0
?
?
时命题成立;
(2)假设当n=k (k∈N
*
,且
k≥n
0
)时命题成立,证明当n=k+1
.....
时命题也成立.
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确
[注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念:形如a+bi
.
...
的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
a
叫实部,
b
叫虚部,
数
集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫做复数集。
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规定:
a?bi?c?di?
a=c且,
....
b=d
...
强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。
?
实数 (b?0)
?
31.数集的关系:
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)
虚数
(b?0)
?
?
?
?
纯虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面
:根据复数相等的定义,任何一个复数
z?a?bi
,都可以由一个有序实数对
(a,
b)
唯一确定。
由于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系中的点一一对
应,因此复数集与平面直角坐标
系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的
平面叫做复平
面,
x
轴叫做实轴,
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都表示
实数,除了原点外,虚轴上的点都
表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的
模(也叫绝对值)
记作
z或a?bi
。由模的定义可知:
z?a?bi?a<
br>2
?b
2
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的
加、减法法则:
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
,则z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。
注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
..
②复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法法则:
a?bi(a?bi)(c
?di)ac?bdbc?ad
???i
其中
c?di
叫做实数化因子 c?di(c?di)(c?di)c
2
?d
2
c
2
?
d
2
36.共轭复数:两复数
a?bi与a?bi
互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z
?R
(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
??
1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;
2
(
7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
?
??i
?
1?i1?i
?
2
?
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(9)
设
?
?
?1?3i
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
2
?0
,
?
3n?1
?<
br>?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
2
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