高中数学-选修2-2(2)

高中数学试题
选修（2-2 ）综合测试题
、选择题（每题小题 5 分）
1.设y=
x
2

—
X
,则
x
? ［0,1］上的最大值是（ ）
1
A 0 B — C
1
D
1
4
4
为（ ）
2
2.若质点P的运动方程为 S（t）=2t
2
+t （ S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速 度
A （
—8
,
-


A 2米秒
）B （
—
』，二）C（
—8
,
—
二）
U
（二，+
8
） D （ ，+
8
）
3
B 3
米秒
3 3
C 4
米秒 D 5
5
3
）处切线的倾斜角为（
3
米秒
3
3
3
450
A
30o
B C
135o
4.函数y=— 2
x
+
x
3
的单调递减区间是（

（
3.曲线
y= —
1
3
x
—2在点
—
1
,

D
）
150o

5.
y= x
3
+1
上一点（-
1, 0）
,且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是
过曲线
（）

1
3

6.曲线
y
=

3
1

3 3
x
在点
（1,
）
处的切线与直线
x
+
y
-
3
=
0
的夹角为

3
B
45o
3
A
30o
C
60o
D
90o
A y = 3x + 3 B y=—+3 C y = - —
-
D y =
-
3x
-
3

值分别为（
A — 3, 2 B
8.
7.已知函数
f （x）
=
x
3
+a
x
2
+b的图象在点
）.
— 3, 0 C 3, 2
D 3,
x x 1
已知
f （x）
=a
x
3
+3
x
2
+2,若
fl
P （1,0）处的切线与直
线
）
3x+y=0平行.则a、b的
1）
=4,则 a 的值等于（
19

10 16 13
3
函数
y
=
x
3

—
）
3
9.
12
x
+16在［—3,3］上的最大值、最小值分别是（
A 6 , 0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 16
10. 已知a>0,函数
y= x
3
-a
x
在
1

［1 , +
s ）
上是单调增函数，则
A 0 B 1 C 2 D 3
a的最大值为（ ）
11. 已知
f（x）
=2
x
3
-6
x
2
+m（ m为常数），在［-2 , 2］上有最大值3,则此函数在［-2 , 2］上的
最小值为（ ）
A -37 B -29 C -5 D -11
12. 已知
f(x)
=
x
+
x
,且 x
i
+X
2
<0, x
2
+X
3
<0, x
3
+x
i
<0 贝
9(
A f(x
i
)+f(x
2
)
+f(x
3
)
>0 B f(x
i
)+f(x
2
)
+f(x
3
)
<0
f(x
l
)+f(x
2
) + f(x
3
)符号不能确定.
二、 填空题(每小题 4分)
13. 过抛物线y=
f(X)
上一点A (1 , 0)的切线的倾斜角为 45°则『(
1)
= _________________ .
14. 函数
f(x)
=
x
3

— 3
x
的递减区间是 ___________
15. 过点P( — 1,2)且与曲线『= 3
x
2

— 4
x
+2在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是
)
C f(x
i
)+f(x
2
)
+f(x
3
)=0 D
16
?函数
f(x)
=
x
(1
— x)在［0,1］上的最大值为 _______________ .
三、 解答题
17. 已知函数
f (x)
=a
x
4
+b
x< br>2
+c的图像经过点(0,1)，且在
x
=1处的切线方程是 y=
x
— 2.
求
f (x)
的解析式；12分
18. 证明：过抛物线 y=a(x — xj(x — X
2
)
(a
丰
0, x
1
< x
2
)上两点 A(X
1
,0),B(x
2
,0)的切线与x轴 所成
的锐角相等。12分
19. 已知
f(x)
=a
x
3
+b
x
2
+cx (a 0)在 x= ± 1 时取得极值且 f (1) = -1
试求常数a、b、c的值并求极值。12分
20. 已知函数
f (x)
=
a
x
3

3
ax
2

x 1
.
a的取值范围.
(
1 )若
f (x)
在
(—3
+
s)
上是增函数，求
⑵
若
f (x)
在x=X
1
及x=X
2
(X
1
, x
2
>0)处有极值，且1<-
1

< 5,求a的取值范围。12分
X
2
X
21. 已知函数
f (x)
=ax
3
+cx+d(a
丰
0)在 R上满足
f ( x)
=—
f (x)
,
当x=1时
f (x)
取得极值—2.
(1)求
f(x)
的单调区间和极大值;
2

⑵
证明：对任意X
1
,X
2
? ( — 1,1),不等式丨
f(X
1
) f (x
2
) I
<4恒成立.14分
22. 如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成 一个无盖
的方底盒子.
3

(1)问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积
V
i
是多少？
(2 )上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案,
使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积
v
2
>y 14分
答案:1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14. [ - 1,1] 15. 2x- y+4=0 16.
2.3
提示：1.A f(1)=f(0)=0 最大
2. D ?
S
=4t+1 ???当t=1时的瞬时速度为 5米秒
3.选
C： f

(
x)
=
— x
2
? f

( 1)
=
—
1 即 tan
a
=
—
1
?a
=135o

4.选
B
T
y
=— 2+3
x
<0, ?—
2
<
x
<
.6
1
(x+1)即
C
答案 5. C
? y 3x
2

?该点处的切线斜率为 3,.?.所求直线方程为 y= —
6. 选
D： y
=
x
2
,
y
|
x=1
=1, ?切线斜率为
90o
2
3
1,又直线斜率为—1 ?两直线垂直.??夹角为
7. A
? f (x)
=3
x
+2ax，切线的斜率 k=3+2a , 3+2a= -3 ? a=-3 又
T
f (1) =a+b+仁0 ?
b=2，故选A
8. 选
B
T
f

(x)
=3a
x
2

+6
x f

( 1)
=3a— 6? a=一
3
9. 选B
T
y
=3
x
2

— 12,由
y
=0得
x
=± 2当
x
=± 2,
x
= ± 3时求得最大值32,最小值0 10. Dv
f

(x)
=3
x
2

— a，?若
f (x)
为增函数，贝
U f

(x)
>0 即 a<3
x
2
要使 a<3
x
2
,
x
? [1,+ g
)
，上恒成立，?
a
w
3故选D
11. A 令
f

(x)
=0 得
x
=0 或
x
=2，而 f(0)=m,f(2)=
f(0)>f(2)>f( — 2) ? m=3
— 8+m,f( — 2)= — 40+m 显然
最小值为f( — 2)= — 37故选A
12. B
■ f

(x)
=3
x
2
+1,
A
f

(x)>o.?.f (x)
在上是增函数，且
f (x)
是奇函数，
4

? f(x
i
)2
)
,

3
f(x
2
2
)3
)
, f(x
3
)i
)
A
f(x
i
)+f(x
2
)
+f(X
)< — [f(x
i
)+f(x
)
+f(X
3
)]
即 f(x
i
)+f(x
2
)+f(x
3
)
<0 故选 B
13. 由题意可知切线斜率为 1，由导数定义知
f
=1
14.
? f

(x)
=3
x
2

— 3
A
令 3
x
2

— 3<0 解得—K
x
< 1
15.
? y
=6
x
—
4
A
k=
y
|
X
=1
=2
A
直线方程为 y — 2=2(
x
+1)即 2
x
— y+4=0
16.
v f (x)
=
x
—
x
3

A
f

(x)
=1 — 3
x
2
=0得
x
=
3
可知当
x
=
3
时函数值为最大值，最
3
大值是
32
3
9
17. 解：由题意可知 f(0)=1 , f(1)= — 1,
f (1)
=1, .......... ................. 6 分
c 1
4a 2b 1

c
1
解之得
a

5
a b c




1



b
............. .
11 分
2
9

2
f (x)
5
4
=
X
X 1
.
2 2

9
2
1
............ 12 分

2

18. 证明：
v
y= a(x — xj(x — x
2
)
=ax — a(x
1
+ X
2
)
x+a x
1
x
2
. ........................ 3 分
A
y
=2ax— a(x
1
+X
2
) . ....... 6 分
A
k
1
=
y
|
x=
X
1
=a(x
1
— X
2
) k
2
=
y
|
x=
X
2
=a(x
2
— x 9 分
设两切线与x轴所成锐角为
B
1
和
B
2
则 tan
B
1
= | a(x
1
— X
2
) | = | a | (x
2
— X
1
)
>0, tan
B
2
= | a(x
2
— X
1
) | = | a | (x
2
— X
1
)
>O 11
分
A
tan
B
1
= tan
B
2
. ................. .. 12 分
19.解：
f

(x)
=3a
x
2
+2bx+c, . ............. 3 分
v f (x)
在x=± 1时取得极值
A
x= ± 1是
f

(x)
=O即3a
x
2
+2bx+c=0的两根 ............. 6分
3a 2b c 0(1)
3a 2b c 0(2)
2
v
f
(
1
)
= -1
A
.
a+b+c=-1
(
3
)
由(
1
), (2), (
3
) 得
a
=
—
, b=0 , c= — ................. 9 分
2
5

f(x)
=
13
x
3

2 2 2
3
x,「.
f

(x)
= (x - 1) (x+1)
当 x<-1 或 x>1 时，
f

(x)
>0,当-1f

(x)
<0
??? f (x)
在(-g, -1 )及(1, +
s)
上是增函数，在(-1 , 1 )是减函数 ................... 11分
? ??当x= -1时函数取得极大值 f (-1 ) =1
当x=1时函数取得极小值f (1) = -1 ................. 12分
2
20............... .................................................. ........................... 解：
(
1)
T f (x)
=ax -2ax+1
???当a=0时，，
f (x)
=1>0,故结论成立 ....................
2
分
分
...….1 分
当 a>0 时,[
f (x)
]
min
=
f (1)
=1
—
a》0,
?
a
w
1 即 0w
1. ........................ ..4
当a<0时
，
f(x)
在(0,+
g
)上不恒大于或等于 0,故舍去 .......... ...... ..5
综上得a的取值范围是0
w
a< 1.
2
分
1
a
(2) 令
f (x)
=ax — 2ax+ 仁0,由题知其二根为 X
1
, X
2
且 x计X
2
=2, X
1
X
2
= ........... ..7 分
x
1

-1< —
w
5 - - X
1
w
2 — X
2
w
5x
1
X
2
1
? X
1
(
2 — X
2
)
=
1
- -
w
X
1
<1 .................... ..9 分
3
八
1
a
2

? =— (X
1
— 1) +1 ............ ..11 分
a
5 1 g
- w
丄

<1 ??? 19 a 5
3 2
21.解：(1)由
f( x)
=—
f (x)
(x ? R)得.d=0 ?
f (x)
= ax +cx ,
f (x)
=ax +c. ...............................
2
分
a c 0
由题设f(1)= — 2为
f (x)
的极值,必有
f (1)
=0 ? 解得a=1,c= — 3
3a c 0
?
f (x)
=3x
2
— 3=3(x — 1)(x+1) 从而
f (1)
=
f ( 1)
=0. .........................
4
分
当x? (
—g
, — 1)时
，
f (x)
>0则
f (x)
在
(
一
g
, — 1)上是增函数； ..........
5
分
在x? ( — 1,1)时
，
f (x)
<0则
f (X)
在
(
—1,1)上是减函数 ...........
6
当x? (1,+
g
)时
，
f(X)
>0则
f (X)
在(1,+
g
)上是增函数 ...............
7
分
分
6

?
f ( 1)
=2为极大值 .........9分
7

⑵
由
⑴
知
,
f (x)
=
x
3
3x
在［—1,1］上是减函数
,
且
f (x)
在［—1,1］上的最大值
M=
f ( 1)
=2,在
[—1,1]上的最小值 m= f(2)= — 2. ....................
1
2 分
对任意的 X
1
,X
2
? ( — 1,1),恒有丨
f (xj f (x
2
)
I
1
4 分.
22.解：(1)设切去的正方形边长为
x
，则焊接成的盒子的底面边长为 4— 2
x
，高为
x
.所
以
2
3 2
V
1
=(4 — 2
X
) ?
x
=4(
x
— 4
x
+4
X
),(0<
x
<2) .................... 5 分
2
二
V
1

=4(3
x
— 8
x
+4). .......... 6 分
2 2 2
令
V
1
=o得
x1
=
3
,x

2
=
2
(舍去)而
V
1
=
12(
x
—

-
)(< br>x
—
2)
又当
x
<-时，
V
1
>< br>0,

当
2
<
x
<2时，
V
1

<0
A
当
x
=
2
时盒子容积最大，最大容积
V
1
是
128
.........................................
9分
3 3 27
方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为 1的小正方形；如图b,将切下的
小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图 c再焊成盒子

1 1




图b 图c
新焊成的盒子的容积
V
2
为：3
x
2
x< br>仁6,显然
V
2
>
V
1
故此方案符合要求。 ........ 14分
高中新课标数学选修(2-2 )综合测试题
、选择题
2
1、函数
y x
在区间
［1,2］
上的平均变化率为( )
(A)
2
(B)
3
(B)
4
(D)
5
答
案：
(B)
2曲线
y
x
3
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x
2
所围成的三角形的面积为 (
(A)
8
7
5

、 、
4


(B)—
(C)

3



3
(D)-
3

答案：(
A)
3
;


3、已知直线
y kx
是
y In x
的切线，贝
U k
的值为( )
8

)

（A）
1
(A)
V 1(S
1
(B)
答案：
S
4
)
R
（A）
S
2
S
3
V
扣
bi ,b

(C(D)
4、设
)
1,a
ai
是一等比数列的连续三项，则
S
4
)
R
S
2
S
3
e
(B )-
)
e
2 (C -
e
V

①增函数的定义是大前
(D)
S
2
S
3
S
4
)
R
4
V
的值分别为（
(S
1
S
2
S
3
a,b

S
4
) R

答
(B)
案:
(A)
7、数列
1,2,2,3,3,3,4,4,44



(B)
的第
50
项是（

1
-,b
)
2

(A)
8
(C)
答案：
（C）
(B)
9
(C)
(D)
10
(D)
11
、
3
2
3
答案:
(C)；
由
(b
ai)

2
bi
2ab
b
2

1
~2
5、方程
x
2

(A)
2 2i
(4
i)x 4
(B) 2
ai 0(a
R）
有实根
b
，且
(C)
a bi
，
(D
)
2 2i
2i
2i
2 2i
答案：（
A）
;
b
2

4b 4
b 2
a 2
，则
z 2
6、已知三角形的三边分别为
a,b,c
,
内切圆的半径为
r
,
则三角形的面积为
S
i
, S
2
, S
3
, S
4
b c）r
；四面体的四个面的面积分别为
，
内切球的半径为
R
。类比三角形的
8、在证明
f（x） 2x 1
为增函数的过程中， 有下列四个命题: 提；
面积可得四面体的体积为（
②增函数的定义是小前提；③函数
f （x） 2x 1
满足增函数的定义是小
前提；④函数
f（x） 2x 1
满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（
9

（A）①②
答案：（C）
9、若
a,b R
，则复数
（a
2

（B）②④

（C）
①③

（D）
②③
4a 5)
（b

2b 6）i
表示的点在（

）
（A）在第一象限

（B）在第二象限

（C）在第三象限
答案：（D）；由
a
4a 5
在第四象限；
10、用数学归纳法证明不等式“

（D）在第四象限
2
(a 2)


2
1 0
，
b
2b

2
6
2
(b 1)

5 0
,知
1
n 1
1 1
n 2
)
13(
2）
”时的过程中，
(n
2n 24


由
n k
到
n k 1
时，不等式的左边（
1
（A）增加了一项

2(k 1)
1
2k 1

（B）增加了两项
■

1
2k 1
1
2(k 1)
(C)
增加了两项
1
，又减少了 -
2（k 1）
1
，又减少了一项一
k
(D)
增加了一项
1)
答案：（C）;
k 1
32
11、如图是函数
f
（
x
）
x bx cx d
的大致
图象，则
x-
2
x
；
等于（
(A
)
(C)
(B)
(D)
12
3
(0,0),(1,0),(2,0)
知
f(x) x(x 1)(x 2)
经比较可得
答案:
(C);
提示，由图象过

x
1

x
2

2
3,c

3 2
2,d
0
，即
f (x)
x
3
3x
2
2x
，由
f

(x) 3x
2

6x
x
1
x
2

12、对于函数
f（x） x 3x
，给出下列四个命题：①
f （x）
是增函数，无极值；②
f （x）
是减函数，有极值；③
f （x）
在区间
,0］
及
［2, ）
上是增函数；④
f（x）
有极大值为
0
，
）
（C）
3
（ D）
4
（
极小值
4
;其中正确命题的个数为（
（A）
1
（ B）
2
10

答案：（B）;其中命题③与命题④是正确的。
、填空题
13、函数
f(x) x
3

答案：
3,
17
14、若
Z
1
3x 1
在闭区间
［
3,0］
上的最大值与最小值分别为:
丄，则
z
的值为
3i
Z
2
1

Z
i
答案:
Z
2
得-
22.
i
;提示，由
Z
1
1
3i
，
5
&，得丄—
1
Z
1
10
3 . i
10
又由
Z
2

z
2
50
—i
，那么
50
z Z
2
2 11i
Z
1
50
15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:

是 _______ . _____
答案：
a
n
2n 1
16、物体A的运动速度
v
与时间
t
之间的关系为
v 2t 1
（
v
的单位是
ms
，
t
的单位 是
s
），
物体B的运动速度
v
与时间
t
之间的关系为
v 1 8t
，两个物体在相距为
405
m
的 同一直线上同时相
向运动。则它们相遇时， A物体的运动路程为：
t
t
答案：
72m
;提示，设运动
ts
时两物体相遇，那么
（
2t
0
9
1)dt (1 8t)dt 405
0
得
t 9
，由于
（
2t 1）dt 72
，得相遇时A物体运动
72m
；
0
三、解答题
17
、已知复数
z
1
, z
2
满足
10z
；

5z
|
2
Z
1
Z
2
，且
z
1

2
Z
2
为纯虚数，求证：
3
乙
z
2
为
实数
证明：由
10z
：

5z
；

2z
1
z
2
，得
10z： 2z
1
z
2
5z； 0
，
2 2 2 2 2
即
(3
乙
Z
2
) (
Z
1
2
Z
2
)
0
，那么
(3z
1
Z
2
) (Z
1
2
Z
2
)
[(Z
1
2z
2
)i]
11

由于，
z
1
2z
2
为纯虚数，可设
z
1
2z
2
bi(b R
且
b 0)
所以
(3z
1
z
2
)
2
b
2
，从而
3z
1
z
2
b
12

故
3z
i
Z
2
为实数
18、求由
y sinx
与直线
y

2 2x
3
所围成图形的面积
y sin x
解：由
2 2x
y
2
x
3
4
y
_2
4
_
x 0
或
[
3
y 0
3
T
，
0]
上的面积，再计算出
，本题的图形由两部分构成，首先计出
[0,]
上的面积，然后两者相加即可；于是

3
sin x)dx
T
(sin x
0
2 2x
)dx
cosx)
3
~4
(cosx
3
16 (8 3 2 )
8

19、用总长
14.8m
的钢条做一个长方体容器的框架 ?如果所做容器的低面的一边长比另
以一边长多
0.5m
那么高是多少时容器的容积 最大
，
并求出它的最大容积?
解：设该容器低面矩形边长为
xm
,则另一边长为
(x 0.5)m
，此容器的高为
,14.8
h
4
C L C C C
x (x 0.5) 3.2 2x
，
于是，此容器的容积为：
V(x) x(x 0.5)(3.2 2x) 2x
3
2.2x
2
1.6x
，其中
0 x 1.6
2

4
1
，
x
2

(舍去)
由
V (x) 6x
2
4.4x 1.6 0
，得
x
1

15
0
,函数
V(x)
递 因为，
V
，
(x)
在
(0,1.6)
内只有一个极值点，且
x (0,1)
时，
V
，
(x)
增；
x (1,1.6)
时，
V
，
(x) 0
，函数
V(x)
递减；
1 (1 0.5) (3.2 2 1)
1.8米
3
.
1.8m
3


所以，当
x 1
时，函数
V(x)
有最大值
V(1)
即当高为
1.2m
时
，
长方体容器的容积最大，最大容积为
13

20、已知
a 0
，函数
f (x) (x
2
2ax)e
x
.
当
x
为何值时，
f (x)
取得最小值？证明你的结论;
设
f(x)
在
［1,1］
上是单调函数，求
a
的取值范围
解析: (1)略
(2)
由
f

(x)
令
f

(x)
(2x 2a)e
x
(x
2
2ax)e
X

2(1 a)x 2a 0
,得
e
X
[x
2

2(1 a)x
2a]
x
2
a 1
0
即
X
2

X
2
x
1

a
1 a
2

、
1 a
2
，其中
X
1

当
x
变化时,
f
(
x
)
、
f (x)
的变化情况如下表:
(X
1
,X
2
)
X
2
(X
2
,
(,xj X
1

f

(x)

f(x)
当
a 0
时,
极大值
X
1
1
极小值

X
2
f(x)
在
(X
1
, X
2
)
上单调递减;
0,
由此可得：
f (x)
在
［1,1］
上是单调函数的充要条件为
X
2
1
，即
a
3
解得
a

-；
3
即所求
a
的取值范围为
［
,)
；
4
3
21、若
X
i
0(i
1 1
1,2,3, ,n)
，观察下列不等式:
(X
1
X
2
X
3
)(-
1 1
X
1
X
2
?-，请你猜测


(X
1
X
2
)( ) 4
，
X
1
X
2

(X
1
X
2
X
n
)(
1
X-
I
x
2

X
2
丄)将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。
X
n
1
X
n
)(
-
解：将满足的不等式为(治

1
X
2

2
1
X
1
X
n
)

n (n 2)
，证明如下
1
0
当
n 2
时，结论成立；
2
假设
n k
时，结论成立,
即
(X
1
X
2
0




1
X
k
)(—
X
1
1
X
2
X
k
1

) k
2

14

那
么，

当
n k 1
时，区

X
2

X
k


X
k
1
)(-丄
X-
I
X
2


1 1
-)
X
k
X
k
1
1 1

(X
i
x
2


w
1 1
x
k
)(
X
1
x
2

1
)(X
1
X
k
一

X
2
1
X
k
)
X
k 1
X
k 1
(
— —
X
1
X
2
k
2

2
(
X
1
X
2
k
丄）
1
X
)(丄
1
1
) 1 k
2

2k 1 (k 1)
2

X

k
显然，当
n k 1
时，结论成立。
V

X
1
X
2
0 0

田
1
、
2
知对于大于
2
旳整数
n
,
（x
1

X
2

15
X

k
X
n
)(-
丄
X-
I
X
2


丄）
n
2
成立。
X
n