高中数学选修2-1、2-2、2-3知识总结

选修2-1
第一章 常用逻辑用语
1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系：
② 逆否命题同真同假
2. 充分条件与必要条件
p
是
q
的充要条件：
p?q

p
是
q
的充分不必要条件：
p?q,q?p

p
是
q
的必要不充分条件：
q?p,p?q

p
是
q
的既充分不必要条件：
p靠q,qp

原命题
若p则q
互 逆
互 否
逆命题
若q则p
互
否
为 逆
为 逆
互 否
互
否
逆否命题
若
?q
则
?p

3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化


互 逆
逆否命题
若
?q
则
?p

椭圆
与两个定点的距离和等于常
双曲线
与两个定点的距离差的绝
对值等于常数
抛物线
定义
数
2a (2a?|F
1
F
2
|)

2a (2a?|F
1
F
2
|)

与一个定点和一条定
直线的距离相等
标准方程
x
2
y
2
??1(a?b?0)

a
2< br>b
2
x
2
y
2
??1(a,b?0)

a
2
b
2
y
2
?2px(p?0)

图形

顶点坐标
对称轴
(±a,0),(0,±b)
x轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b
(±
a?b
,0)
22

(±a,0)
x轴，实轴长2a
y轴，虚轴长2b
(±
a?b
,0)
22

(0,0)
x轴
焦点坐标
(
p
,0)
2
e＝1
c
离心率
a
cb
2
e??1?
2
?0?e?1
?

aa
cb
2
e??1?
2?
e?1
?

aa
准线
a
2
x??

c
a
2
x??

c
x??
p

2

渐近线
第二章 圆锥曲线与方程
1.

y??
b
x

a

三种圆锥曲线的性质（以焦点在
x
轴为例）
2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲
线的定义 ，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦
点构成的焦点 三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求
有关抛物线的最值 问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何
意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆 锥曲线的位置关系有三种情况：相交、
相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二 次方程（注意在和双曲线和抛物线方
程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离 的充分必要条件分别是
??0
、
??0
、
??0
.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的
位置关 系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要 适用中点问题，设而不求：
x
1
?x
2
y?y
2
y ?y
?2x
0
,
1
?2y
0
,
21
?k
）
22x
2
?x
1
（2）有关弦长问题，应注意运 用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
① 直线具有斜率
k
，两个交 点坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)

2
AB?1?
k
2
x
1?x
2
?(1?
k
2
)
?
?
(x1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
?
?1?
1
y
1
?y
2

k
2
② 直线斜率不存在,则
AB?y
1
?y
2
.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（
k
1
k
2
??1
）
注: 1.圆锥曲线， 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练
掌握方程组理论，又关注图 形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线 中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二
是建立不等式，通 过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、
点差 法（适用求弦中点轨迹）、参数法等。
第三章 空间向量与立体几何

1. 空间向量及其运算
①
②
③
a?a?a?x
1
2?y
1
2
?z
1
2
d
??
????< br>,
共线向量定理：
ab?a?
?
b
(b?0)
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2< br>?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
222

共面向量定理：
p,a,b共面?p?xa?yb(x,y?R)
；
四点共面
MP?xMA?yMB(x,y?R)

④ 空间向量基本定理
p?xa?yb?zc(x,y,z?R)
（不共面的三个向量
a,b,c
构 成一组基
底，任意两个向量都共面）
2. 平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（
a,b
是a,b的方向向量，
n
是平面
?
的法向量）
线线平行：
ab
?
ab
线面平行：
a
?
?a?n

面面平行：
?

?
?n
1
n
2

3. 夹角问题
线线角
cos
?
?|cos?a,b?|?
?
|a?b|
（注意异面直线夹角范围
0?
?
?
）
2
|a||b|
|a?n|

|a||n|
线面角
sin
?
?|cos?a,n?|?
二面角
|cos
?
|?|cos?n
1
,n
2
?|?
|n
1
?n
2
|
（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；
|n
1
||n
2
|
③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的 方向），只需说明二面角大小，无
需说明理由））
4. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P到平面
?
的距离
d?
选修2-2
第一章 导数及其应用
1. 平均变化率
|PA?n|
（其中
A
是平面
?
内任一点，
n
为平面
?
的法向 量）
|n|
?y
f(
x
0
??x)?f(
x0
)
?

?x?x
2. 导数（或瞬时变化率）
f< br>?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x0
)

?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
导函数(导数)：
f
?
(x)?lim

?x?0
?x

3. 导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x
0
处的导数
f
?
(x
0
)就是曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线的斜
率，即k＝
f
?< br>(x
0
)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C为常数)； ②(
x
?
)′＝
?
x
?
?1
(x＞0，
?< br>?Q
)； ③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx； ⑤(e
x
)′＝e
x
； ⑥(a
x
)′＝a
x
lna(a＞0，且a≠1)；
1
1
⑦
(lnx)?
； ⑧
(log
a
x)?
(a＞0，且a≠1)．
xlna
x
(2)导数的运算法则：
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③
[
u( x)u
?
(x)v(x)?u(x)
?
v
?
(x)
]
?
?(v(x)?
?
0)
.
v(x)v
2
(x)
5. 设函数
u?
?
(x)< br>在点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
处有导数
y?
u
?f?
?
u
?
，则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处也有导数，且
y'
x
?y'
u
?u'
x

6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的 积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的选
取，以及区间的分割.微积分基本定理
?b
a
f(x)dx?F(x)|
b
?F(b)?F(a)
.
a
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性 （1）设函数
y?f(x)
在某个区间（a，b）可导，如果
f
(x)< br>?0
，则
f(x)
在此区间上为增函数；
如果
f
(x )?0
，则
f(x)
在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间内恒有f
(x)?0
，则
f(x)
为常数。
★反之，若已知可导函数
y?f(x)
在某个区间上单调递增，则
导函数
y?f(x)
在某个 区间上单调递减，则
求单调性的步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)?0或f'(x)?0
；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间 形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能
用“”连结。
'
'
'
f'(x)
?
0
，且不恒为零；可
f'(x)
?
0
，且不恒为零.

8. 极值与最值
对于可导函数
f( x)
，在
x?a
处取得极值，则
f'(a)?0
.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若
f(x)
在开区间
(a,b)
有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)=0
；
③ 检验
f'(x)=0
的根的两侧的
f'(x)
符号（一般通过列表）
求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某
就是最 大或者最小。
9. 恒成立问题 “
f(x)?a?f(x)
max
?a< br>”和“
f(x)?a?f(x)
min
?a
”，
注意参数的取值中“=”能否取到。
例2 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx ?8c
在
x?1,x?2
处取得极值。
（1）求
a,b
的值；
（2）若对于任意的
x?[0,3]
，都有
f(x)?c
成立，求c的取值范围。
（答：(1)a=-3,b=4;( 2)
c?(??,?1)
2
32
(9,??)
）
第二章 推理与证明
1. 分清概念：合情推理与演绎推理
2. 综合法 分析法的步骤规范
3. 反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论
4. 数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤
例2 已知
a?b?c?0，求证：ab?bc?ca?0

选修2－3
第一章 计数原理
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1< br>种不同的方法，在
第二类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有 M
N
种不同的方法，那么完成这件事情
共有M
1
+M
2+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第< br>二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同的方法.那么完成 这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不
同的方法。
3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成 一列，叫做从n个不同元素中
．．．．．．
取出m个元素的一个排列

4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的
m
一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示。
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
5、公式
mm?1
A
n?nA
n?1
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!


6、组合：从
n
个不同的元素中任取< br>m
(
m≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出< br>m
个元素
的一个组合。
m
m
A
A
n??
1)
1
?
(n?
?
m
m
?
?
1)
1)
m
m
n!
n!
n(n)
?(n
n
n
n(
7、公式：
C
C
?
?< br>m
?C?
?C?
n
n
m
m
m
!!
!(
!
n?
?
m
m
)!
)!
A
A
(n
m
m

m
m

m< br>m
n
n
n?m
C
m
n
?C
n
;

n0n1n?12n?22rn?rrnn

(a?b )?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…?Cb
nnnnn
8、二项式定理：
rn ?rr
9、二项式通项公式
展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)
r?1n

1 m
C
m?
n
?C
m
?C
nn?1

第二章 随机变量及其分布
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的
不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等
表示。
2、离散型随机变量：在上面的 射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按
一定次序一一列出，这样的随机变量 叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x< br>1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分
布列
4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．

5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：


其中06、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N )
件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

则它取值为k时 的概率为
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?(k?0, 1,2,
n
C
N
,m)
，
7、条件概率：对任意事件A和 事件B，在已知事
件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概
率.记作P(B|A)，读 作A发生的条件下B的概率
8、公式：
P(AB)
P(B|A)?,P(A)?0.
P(A)

9、相互 独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相
互独 立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是 一个随机变量．如
果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n 次独立重复试验中
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq
（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是
离散型随机变量。
13、两点分布数学期望：
E(X)=np
M
.
N
15 、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+（x
2
-Eξ)
2
·P
2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均
方差，简称方差。
14、超几何分布数学期望：E（X）=
n?
17.正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?

1
e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2< br>,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?

则其分布叫正态分布
记作：N(?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当 曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为
渐近线，向它无限靠近．
④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散；
?
越小，
曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
19. 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?< br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外
取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概 率事件.也就是说,通常认为这
些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
第三章 统计案例
1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：

x
1

x
2

总计

y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计

a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独 立性检验来考察两个变量是否有关系，并且
能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中 的数据算出随机变量K^2的值（即K
的平方） K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为 样本容量，K
2
的值越大，
说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时，X与Y无关； K
2
>3.841时，X与Y有95% 可能性有关；K
2
>6.635时X与Y有99%
可能性有关
2、回归分析
?
?a?bx
回归直线方程
y
1
x
?
y
?
n
?
其中
b?
1
22
?
x?
n
(
?
x )
?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)
,
?
a?y?bx

SS
?
(x?x)
2
x

选修2－3知识点
第二章 计数原理
知识点：
2、分类 加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1
种不同的方法，在第二类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有M
N
种不同 的方法，那么完成这件事情
共有M
1
+M
2
+……+M
N< br>种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有 m1种不同的方法，做第
二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N不同的方法.那么完成这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不
同的方法。 3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中< br>．．．．．．
取出m个元素的一个排列
4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n )个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的
m
一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示。
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?

5、公式：
，

n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!

n?

1nmnnn
7、 组合：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一 组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个组合。
m
A
m
n
(
?)
1
?
(n
(
??1)
1)
m
m
n!
n!
A
n
1?)
?
n
m
?m?
n
n
n(
n
7、公式：
C
C
?
?
m
m
?
?
C
C
?
?
n
n
m!m!(n
A
m
m!m!(
?
n
m
?
)!
m)!
A
m
m
m
n
n
mm?1
mmmm?1
An
?nA
A
n?1
?A?A?C?A
m
?mA
m?1
n?m
C
m
n
?C
n
;




1m
C
m?
n
?C
m
n
?C
n?1
n0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…?Cb

nnnnn
8、二项式定理：
rn?rr
9、二项式通项公式
展开 式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)
r?1n
考点：
1、排列组合的运用
2、二项式定理的应用
★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同
学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若
每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同

学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为
A．72 B．108 C．180
★★2．在
(x?
（ ）
D．216
（ ）
1
3
x
)
24
的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
★★3．现有12件商品摆放在货架上 ，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，
若其他商品的相对顺序不变，则不同调 整方法的种数是
A．420 B．560 C．840 D．20160
★★4．把编号为1，2，3，4的 四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有
一封邮件的编号与网址的编号相同 的概率为

1
8
2
★★5．
( x?)
的展开式中
x
的系数为 （ ）
x
A．-56 B．56 C．-336 D．336
第二章 随机变量及其分布
知识点：
3、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的
不同而变 化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等
表示。 < br>4、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按
一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的, 设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i< br>(i=1,2,......）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，简称分
布列
4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．

5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：




其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N )
件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,
n
C
N
,m)
，

其中
m?min
?
M,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*
< br>11、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件
概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
12、公式：
P(AB)
P(B|A)?,P(A)?0.
P(A)

13、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)


14、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是 一个随机变量．如
果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n 次独立重复试验中
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq
（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是
离散型随机变量。
13、两点分布数学期望：E(X)=np
16、超几何分布数学期望：E（X）=
n?
M
.
N
17 、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+（x
2
-Eξ)
2
·P
2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简称方
差。
16、集中分布的期望与方差一览：

两点分布
超几何分布
期望 方差
Dξ=pq，q=1-p
Eξ=p

E
?
?n?
?
服从参数为N,M,n的超几何分布

M
D（X）=np（1-p）* （N-n）（N-1）

N
（不要求）

二项分布，ξ ～ B（n,p）
Eξ=np


1

p

Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）
几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)
17.正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
D
?
?
q
2

p
f(x)?

1
e
2
??
?
(x?
?
)
22
?
2
,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当 曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为
渐近线，向它无限靠近．

④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总 体的分布越分散；
?
越小，
曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
19. 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?< br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外
取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概 率事件.也就是说,通常认为这

些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
考点：
1、概率的求解
2、期望的求解
3、正态分布概念
★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目
A
、科目
B
依次进行，只有当科目
A
成绩合格时，才
可以继续参加科目
B< br> 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项
合格证书，现在某 同学将要参加这项考试，已知他每次考科目
A
成绩合格的概率均为
目
B
成绩合格的概率均为
2
，每次考科
3
1
。假设他在这项考试中不放 弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不
2
影响，记他参加考试的次数为
X
。
(1)求
X
的分布列和均值；
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
★★★2（本小题满分12分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别
是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设
?
表示客 人离开该城市时游览的
景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1）求
?
=0对应的事件的概率； （2）求
?
的分布列及数学期望。
★★★3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。
（1）随机从中取 出2个球，
?
表示其中红球的个数，求
?
的分布列及均值。
（2） 现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖
100元，第二 个奖200元，…，第
k
个奖
k?100
元，取到红球则要罚去前期所有奖金 并结束取球，按
照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。
第三章 统计案例
知识点：
3、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：

x
1

x
2

总计

y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计

a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独 立性检验来考察两个变量是否有关系，并且
能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中 的数据算出随机变量K^2的值（即K
的平方） K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为 样本容量，K
2
的值越大，
说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时，X与Y无关； K
2
>3.841时，X与Y有95% 可能性有关；K
2
>6.635时X与Y有99%
可能性有关
4、回归分析

?
?a?bx
回归直线方程
y
1
x
?
y
?
n
其中b??
1
?
x
2
?
n
(
?
x
2
)
考点：无
?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)
,
?
a?y?bx

SS
?
(x?x)
2
x