历届国际高中数学竞赛题-高中数学交集课件
选修2-2基本知识、方法考点总结
一、导数复习:
1.平均变化率:
函数的平均变化率
?
函数值的改变量
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
自变量的改变量
?x
?
x??x
?
?x
注1:其中
?x
是自变量的改变量,可正,可负,但不可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2.函数的瞬时变化率
?
lim
?x?0
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?<
br>
?lim
?x?0
?x
?
x??x
?
?x
注1:当
函数值的改变量
存在极限时,极限值叫做瞬时变化率,并把这个变化率叫做导
数,即:
lim
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?f'
?
x
?
?x?0
?x
自变量的改
变量
或记作
y'
x
注2:函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度
?x?0
3.导数定义:
l
im
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?f'
?
x
?
,导数概念易考,所以必须理解
?x
导函数
不定积分
4.八个求导公式:
函数
y?c
y?x
n
n?N
*
y'?0
??
y'?nx
n?1
y'?
?
x
?
?1
y'?a
x
lna
强记
n
x
?
dx?
1
n?1
x?c
n?1
y?x
?
?
x?0,
?
?0,
?
?
Q
?
y?a
x
?
a?0,a?1
?
?
n??1
?
a
x
?
adx?
lna
?c
x
y?e
x
y'?e
x
?
edx?e
xx
?c
y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?
y'?
y?lnx
y?sinx
1
强记
xlna
1
y?
x
1
?
x
dx?lnx?c
y'?cosx
y'??sinx
符号不要忘记
?
cosxdx?sinx?c
?
sinxdx??cosx?c
y?cosx
5.导数的几种应用:
(1) 求曲线在某点的切线斜率及其切线方程(分两类):
?
x,f
?
x
?
?
处的切线方程为:y-f(x)=f
(x)(x-x)
2
曲线过点(m,n)的切线方程:设切点为
?
x,f<
br>?
x
?
?
? 表达出y-f(x)=f ○
1
曲线在
点○
00
000
00
0
(x
0
)(x-x
0
) ?代入点(m,n)
(2)
? 求出x
0
?
f(x
0
)及f (x
0
)
?最后代入y-f(x
0
)=f
(x
0
)(x-x
0
)即可
求单调区间: 解
f'
?
x
?
?0
得
f
?
x
?
增区间
,解
f'
?
x
?
?0
得
f
?
x<
br>?
减区间(注意:单调区间一定写成区
间形式,且不能并起来)
已知函数单调性求参数范围(单调性的逆向问题):首先转换成恒成立问题(等号不能少);再分离参数于一端
,
求另一端的最值。
附:常见最值求法:换元法(千万注意新元范围),二次函数值域问题(
画图分析),均值不等式,分离常数
思想
(4)求极值、最值: (最值定理:连续函数在闭
区间上一定有最大、最小值)求极值和最值的过程都需要画表格,切
记【优点:明确变化状态表的地位,
认识变化状态表的重要性—一表在手,性质全有】;
(5)证明不等式、比较大小:证明f(x)>g
(x)先构造函数F(x)=f(x)-g(x)只需证F(x)
min
>0
(3)
二、积分复习(导数的逆运算)
1、积分定义:
?
ab
f
?
x
?
dx
?lim
【其中
n<
br>??
?
f
?
?
i
?
i
?1
n
b
?
a
。此时称函数在区间
[a,b]
上可积。
n
f
?
x
?
叫做被积函数,
a
叫积分下限,b
叫积分上限,
f
?
x
?
dx
叫做被积式】
,则有:
?
x
?
,
g
?
x
?<
br>均可导(可积)2、常见的导数和定积分运算公式:若
f
和差的导数运算
<
br>?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
'?f'
?
x
?
?g'
?
x
?
?
?
f
?
x
?
g
?
x
?
?
?
'?f'
?
x
?
g?
x
?
?f
?
x
?
g'
?
x
?
积的导数运算
特别地:
?
Cf
?
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?
商的
导数运算
?
f
?
x
?
?
f'
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g'
?
x
?
(记准了)
??
'?
g
2
?
x
?
?
g
?
x
?
?
特
别地:
?
?g'
?
x
?
1
?
?
?
'?
g
2
?
x
?
?
g
?
x
?
?
复合函数的导数
y'
x
?y'
u
?u'
x
(易错处)对两层复合必须熟悉,能口算
?
和差的积分运算 <
br>b
a
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
dx?
?
a
f
?
x
?
dx?
?
a
g
?
x
?
dx
bb
特别地:
b
?
b
a
kf
?
x
?
dx?k
?
f
?
x
?
dx<
br>
a
c
b
积分的区间可加性
?
a
f
?
x
?
dx?
?
a
f
?
x
?<
br>dx?
?
c
b
f
?
x
?
dx
3、微积分基本定理:如果
F'
?
x
?
?f
?
x
?
,且
b
a
f
?
x
?
在
[a,b]
上可积,则
b
dx
?
F
?
x
?
a
?
F
?
b
?
?
F
?
a
?
,
?
f
?
x
?
【其中<
br>F
?
x
?
叫做
f
?
x
?
的
一个原函数,因为
?
F
?
x
?
?C
?
'?
F'
?
x
?
?f
?
x
?
】
关键在
于正确利用求导公式寻求被积函数的一个原函数
4定积分的应用
(1)
用积分的几何意义求面积:
基本步骤为①画图形
?
②求交点
?
③写
积分
?
④算面积 注意:根据情况灵活选择用x型或y型求面积
或利用几何意义求特殊的积分:
(2)定积分在物理中的应用:
1
位移的导数为速度,速度的导数为加速度:s(t)=v(t);v(t)=a(t)
反之s(t) =
2
v
(
○
dt
v(t)=
?
t
)
t
1
2
变力做功:
w
?
○
?
3
0
9?
x
2
dx
t
?
t
t
2
1
a
(
t
)
dt
?
a
b
F
(
x
)
dx
这里F(x)是关于位移x的函数
三、推理与证明
1.合情推理(1)归纳
推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;
2.演绎推理:是从一般性的原
理(定义,性质定理,判定定理,公理,公式等)出发,推出某个特殊情况下的结论,我们
把这种推理称
为演绎推理,又称为逻辑推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。
3.三段论:三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提,小前提,结 论
4、综合法:由因导果
用此法需要审清每个已知条件及隐含条件,全盘考虑,更有赖于学生的解题方法经验
5、分析法:执果索因,由结论入手寻求其成立的充分条件,俗称逆推
6、反证法步骤: 假
设命题的反面成立,以此为依据结合已知条件经过演绎推理,推出矛盾,从而说明假设不成立,即原
命题
成立。难在矛盾的不可预知性
常见否定词表(理解性的看看即可,不用抄):
正面
词语
否定
词语
正面
词语
否定
词语
不是 不都是 不全是 某些
等于
(?)
大于
(?)
小于
(?)
至多 至少 至多
一个
至少
两个
任意
两个
某
两个
任意
至少
一个
一个
没有
存在
n
个
至少
n
个
至多
不等于
(?)
是
不大于
(?)
都是
不小于
(?)
全是
n?1
个
所有
n?1
个
任意
某个
7、数学归纳法
解题步骤:一个与自然数相关的命题,如果(1)当
n
取第一个值
n
0
时命题成立;(2)在假设当
n?k
?
k?N
?
,k?n
0
?
时命题成立的前提下,推出当
n?k?1
时命题也成立,那么可以断定,
这个命题对
n
取第一个
值后面的所有正数成立。
1
必须理解原命题
含义○
2
初始值并不都是1开始的○
3
两凑:凑假设,凑结论(得具有目标意
识) 注意事项:○
难在由n=k到n=k+1命题的变化
数学归纳法易和数列结合考察
四、复数复习
1、基本概念
⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即
i
2
??1
.
⑵复数及其相关概念:
① 复数:形如a +
bi的数(其中
a,b?R
);实数:当b = 0时的复数a + bi,即a;
② 虚数:当
b?0
时的复数a + bi;纯虚数:当a =
0且
b?0
时的复数a + bi,即bi.
③ 复数a +
bi的实部与虚部:a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)
④
复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示,其分类:
?
?
?
整
数
?
?
有 理
数
?
?
实数(b?0)
?
?
分
数
?
?
复 数a?bi(a,b?R)
?
小数)
?
无理数(无限不循环
?
虚 数(a?0)
?
虚
数(b?0)
?
纯
?
?
虚 数(a?0)
?
非
纯
?
⑶两个复数相等的定义:
a?bi?c?di?a?
c且b?d(其中,a,b,c,d,?R)特别地a?bi?0?a?b?0
.
⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.
22
222
*若
a,b,c?C
,则
(a?b)?(b?c)?(c?a)?0
是
a?b?
c
的必要不充分条件.(当
(a?b)?i
,
(b?c)
2
?1,(c?a)
2
?0
时,上式成立)
2、复数与坐标、方程
⑴复平面内的两点间距离公式:
d?z
1
?z
2
.
其中
z
1
,z
2
是复平面内的两
点
z
1
和z
2
所对应的复数,
d表示z
1
和z
2
间的距离.
由上可得:复平面内以
z
0
为圆心,<
br>r
为半径的圆的复数方程:
z?z
0
?r
(
r?0)
.
⑵常见曲线方程的复数表示形式:
①
z?z
0
?r表示以z
0
为圆心,r为半径的圆的方程. ②<
br>z?z
1
?z?z
2
表示线段
z
1
z
2
的垂直平分线的方程.
③
z?z
1
?z?z
2
?2a(a?0且2a?z
1
z
2
)表示以Z
1
,Z2
为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若
2a?z
1
z
2,此方程表示线段
Z
1
,Z
2
).
④
z?z
1
?z?z
2
?2a(0?2a?z
1
z
2
),
表示以
Z
1
,Z
2
为焦点,实半轴长为a的双曲线方
程(若
2a?z
1
z
2
,
此方程表示两条射线).
⑶绝对值不等式:设
z
1
,z
2
是不等于零的复数,则
①
z
1
?z
2
?z
1
?z
2<
br>?z
1
?z
2
.②
z
1
?z
2?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.仅仅了
解,实数范围内的也有类似不等式
3. 共轭复数的性质:
z
1
?z2
?z
1
?z
2
(和的共轭等于共轭的和)
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
(差的共轭等于共轭的差)
?
z
1
?
?
z
2
?
?
z
1
?
?
z?z?z
1
?z
2
(
z
2
?0
)
(商的共轭等于共轭的商)
12
(
积的共轭等于共轭的积)
?
z
2
?
z
n
?(z)<
br>n
以上性质课本上没有但如果了解有时会方便计算(仅仅了解即可)
22
(以
下必须掌握)
z?z?2a
,
z?z?2bi
(
z?
a +
bi)
z?z?|z|?|z|
(最易错)
4、复数的四则运算:若两个复数z
1
=a
1
+b
1
i,
z
2
=a
2
+b
2
i,
(1)加法:z
1
+z
2
=(a
1
+a
2
)+(b
1+b
2
)i; (2)减法:z
1
-z
2
=(
a
1
-a
2
)+(b
1
-b
2
)i; <
br>(3)乘法:z
1
·z
2
=(a
1
a
2-b
1
b
2
)+(a
1
b
2
+a2
b
1
)i(按多项式展开即可)
z
1
(aa?b<
br>1
b
2
)?(a
2
b
1
?a
1b
2
)i
?
12
z
2
a
2
2
?b
2
2
(4)除法:
(类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化:分子分母同时乘以分母的共轭复数);
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)复数的乘方
n?
z?z?z?z...z(n?N)
①复数的乘方:
????
?
n
②对任何
z
,
z
1
,z
2
?C
及
m,n?N
?
(非零自然数)
有
n<
br>z
m
?z
n
?z
m?n
,(z
m
)
n
?z
m?n
,(z
1
?z
2
)
n
?z
n
1
?z
2
②注:a以上结论不能拓
展到分数指数幂的形式,即不是对任意m,n都成立的,因此易编制“正误辨析”
b在实数集成立的
|x|?x
2
. 当
x
为虚数时,
|x|
?x
2
,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
5.复数
z
是实数及纯虚数的充要条件(易考):
①
z?R?z?
z
.②若
z?0
,
z
是纯虚数
?z?z?0
.
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