高中数学排列与组合

10.2 排列与组合
一、填空题
1.将4名大学生分配到3个乡镇去当村 官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案
有_____种(用数字作答).
C
2
?C
1
?C
1
421
A
2
2
解析 分两步完成:第一步将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有;
第二步将分好的三组分配到3个乡 镇,其分法有
A
3
3
,所以满足条件得分配的方案
C
2?C
1
g
C
1
421
?A
3
?36< br>3
A
2
2
有种.
答案 36
2.用1,2, 3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有
两个相邻，则不同的排 法种数为_______种．
解析 第一步，先将1,3,5分成两组，共C
3
2< br>A
2
2
种方法；第二步，将2,4,6排成一
排，共A
33
种方法；第三步：将两组奇数插到三个偶数形成的四个空位，共有
A
4
2
种方法.综上共有C
3
2
A
2
2
A
3
3
A
4
2
＝3×2×6×12＝432(种).
答案 432
3．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中
选 派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只
能从事前两项工作，其余三 人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
________．
2
解析 若四人 中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有A
2
2
A
3
＝12(种 )；若四
13
人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：C
1
2< br>A
2
A
3
＝24(种)，由分类
计数原理知不同的选派方案共 有36种．
答案 36
4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务 活动，每人
从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙
不会 开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方
案的种数是_______种 ．

解析 考虑特殊元素(位置)优先安排法．
23
第一类：在丙、 丁、戊中任选一位担任司机工作时有C
1
3
C
4
A
3
＝108.
3
第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C
2
3
A
3
＝18，
∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.
答案 126
5．某校开设
A
类选修课3门，
B
类选修课 4门，一位同学从中共选3门．若要
求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种 ．
解析 法一 可分两种互斥情况：
A
类选1门，
B
类选2门或< br>A
类选2门，
B
类
选1门，共有C
3
C
4< br>＋C
3
C
4
＝18＋12＝30(种)选法．
3
法二 总共有C
3
7
＝35(种)选法，减去只选
A类的C
3
＝1(种)，再减去只选
B
类的
1221
C< br>3
4
＝4(种)，共有30种选法．
答案 30
6．某外商计划在 4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的
项目不超过2个，则该外商不同的投资方案 有________种．
解析 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A3
4
种方法；
若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城 市两项共
2322
C
2
3
A
4
种方法，由分类计数 原理共A
4
＋C
3
A
4
＝60种方法．
答案 60
7．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做
A
，
B
，
C
，
D
，
E
五个操作实验，每位同学上、下午 各做一个实验，且不重复，若上午不能做
D
实验，下午不能做
E
实验，则不同 的安排方式共有_______种．
解析 根据题意得，上午要做的实验是
A
，B
，
C
，
E
，下午要做的实验是
A
，
B
，
C
，
D
，且上午做了
A
，
B
，
C
实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4
3
位同学中任选一 人做
E
实验，其余三人分别做
A
，
B
，
C
实验，有C
1
4
·A
3
＝24种安
排方式．再安排下午，分 两类：①上午选
E
实验的同学下午选
D
实验，另三位同
学对
A
，
B
，
C
实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有
N
1
＝1×2＝2种；
②上午选
E
实验的同学下午选
A< br>，
B
，
C
实验之一，另外三位从剩下的两项和
D
一共 三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式
有
N
2＝C
1
3
·3＝9种，于是，不同的安排方式共有
N
＝24×( 2＋9)＝264种．
答案 264种

8．有5名男生和3名女生，从中选 出5人分别担任语文、数学、英语、物理、
化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的 选法共有________
种(用数字作答)．
解析 由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A
4

7
＝840种．
答案 840
9．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺 序出去执行任务．要求甲、乙两车
必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方 法(填数字)．
解析 先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C
2
5
种选法， 连同甲、乙共4辆车，排
列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C
4
种，最后安
222
排其他两辆车共有A
2
2
种方法，∴不同 的调度方法为C
5
·C
4
·A
2
＝120种．
2
答案 120
10．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本 ．若将其并排
摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是________．
222223
解析 A
5
5
－2A
2
A
3
A
2
－A
2
A
2
A
3
＝48.
答案 48
11．将4名新来的同学分配到
A
、
B
、C
三个班级中，每个班级至少安排1名学生，
其中甲同学不能分配到
A
班 ，那么不同的分配方案有________种．
解析 将4名新来的同学分配到
A
、
B
、
C
三个班级中，每个班级至少安排一名学
3212
生有 C
2
其中甲同学分配到
A
班共有C
2
因此满足条
4
A
3
种分配方案，
3
A
2
＋C
3
A
2
种方案．
32212
件的不同方案共有C
2
4
A
3
－C
3
A
2
－C
3
A
2＝24(种)．
答案 24
12．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每 辆车上分别有1名司机
和2名售票员，则可能的分配方案数为________．
2244
解析 将8名售票员平分为4组，有C
2
8
C
6< br>C
4
÷A
4
，再分配司机有A
4
，由此得分配
22
方案数为C
2
8
C
6
C
4
.
22
答案 C
2
8
C
6
C
4
< br>13.已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素，构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为 .
解析 若不考虑限定条件，确 定的点的个数为C
1
1
C
2
1
C
3
1A
3
3
＝36，但集合B、C中有
相同元素1，由5,1,1三个数确定 的相同的点有三个.

故所求的个数为36－3＝33.
答案 33
二、解答题
14．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
解析 (1)4＝4 096；
?
C
6
C
4
C
2
C
1
3
?
(2)
?
22
＋C
6
?
A
4< br>4
＝1 560；
?
A
2
A
2
?
(3)C
4
＋4＝10；或C
5
＝10(隔板法)；
?
3 21
C
6
C
4
C
2
4
?
(4)< br>?
C
6
C
3
C
1
＋
3
＋C
6
?
A
3
4
＝2 160.
A
3
??
15．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同
的选法 ？
(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；
( 4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
5
解析 (1)C
5
12
－C
7
＝771；
1423
(2 )C
5
7
＋C
5
C
7
＋C
5
C< br>7
＝546；
3
(3)C
2
2
C
10
＝120；
23
(4)C
5
12
－C
2
C
10
＝672；
5
(5)C
5
12
－C
10
＝540.
222
23
2211
6
16．已知集合
M
＝{－3，－2， －1,0,1,2}，
P
(
a
，
b
)表示平面上的点(a
，
b
∈
M
)，
问：
(1)
P
可表示平面上多少个不同的点？
(2)
P
可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)
P
可表示多少个不在直线
y
＝
x
上的点？
解析 (1)确定平面上的点
P
(
a
，
b
)可分两步完成：
第一步确定
a
的值，共有6种确定方法；

第二步确定
b
的值，也有6种确定方法．
根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步 完成：第一步确定
a
，由于
a
＜0，所以有3种
确定方法；
第二步确定
b
，由于
b
＞0，所以有2种确定方法．
由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
(3)点
P
(< br>a
，
b
)在直线
y
＝
x
上的充要条件是a
＝
b
.
因此
a
和
b
必须在集合< br>M
中取同一元素，共有6种取法，
即在直线
y
＝
x
上的点有6个．
由(1)得不在直线
y
＝
x
上的点共有36－6＝30个．
17．在
m
(
m
≥2)个不同数的排列
p
1
p< br>2
…
p
m
中，若1≤
i
＜
j
≤m
时
p
i
＞
p
j
(即前面某
数大于后 面某数)，则称
p
i
与
p
j
构成一个逆序，一个排列的全部 逆序的总数称为
该排列的逆序数．记排列(
n
＋1)
n
(
n
－1)…321的逆序数为
a
n
.如排列21的逆序
数
a< br>1
＝1，排列321的逆序数
a
2
＝3，排列4 321的逆序数
a
3
＝6.
(1)求
a
4
、a
5
，并写出
a
n
的表达式；
a
n
a
n
＋1
(2)令
b
n
＝＋，证明2
n
＜
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
＜2n
＋3，
n
＝1,2，….
a
n
＋1
a
n
解析 (1)由已知条件
a
4
＝C＝10，
a
5
＝C＝15，则
a
n
＝Cn
＋1
＝
1
?
a
n
a
n
＋1
nn
＋2
?
1
?
(2)证明
b
n＝＋＝＋＝2＋2
?
－
a
n
＋1
a
n
n
＋2
n
?
nn
＋2
?
∴
b
1< br>＋
b
2
＋…＋
b
n

111111111
??
1－＋－＋－＋…＋－＋－
?
＝2
n
＋2
?
32435
n
－1
n
＋1
nn
＋2
??
11
??
3
－－
?
， ＝2n
＋2
?
?
2
n
＋1
n
＋2
?
∴2
n
＜
b
1
＋
b
2
＋…＋< br>b
n
＜2
n
＋3.
18. 2位男生和3位女生共5位同学 站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有
且只有两位女生相邻,则共有多少种不同的排法?
解析 方法一:从3名女生中任取2人”捆”在一起记作A(A共有
C
3
2< br>A
3
2
=6种不同
排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲 、乙;则男生甲必须在A、B之
2
5
2
6
2
nn
＋ 1
2
.

间(若甲在A、B两端,则为使A、B不相邻,只有把男生乙 排在A、B之间,此时就
不能满足男生甲不在两端的要求),此时共有
6?2?12
种 排法(A左B右和A右B
左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有
1 2?4?48
种不
同排法.
方法二:同方法一,从3名女生中任取2人”捆”在一 起记作A(A共有
C
3
2
A
2
2
=6种
不 同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端
可分三类情况:
22
A
2
=24种不同排法; 第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在 中间,共有
6A
2
第二类:”捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一 种排法,此时
共有
6A
2
2
=12种不同排法;
第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间”捆绑”A和男生甲也只有一种排法.
此时共有
6A
2
2
=12种不同排法,
故三类之和为24+12+12=48种不同排法.