高中数学复习专题-矩阵与行列式

高中数学复习专题-矩阵与行列式
专题八、矩阵与行列式

1.矩 阵：
m?n
个实数
a
ij
,
i
?1,2,?,m
;
j
?1,2,?,
n
排成
m
行
n
列的矩形数表
?
a
11
?
?
a
12A?
?
?
?
?
a
?
m1
a
1 2
?
a
1n
?
?
a
22
?
a2n
?
叫做矩阵。记作
A
m?n
，
m?n
叫做 矩阵的维数。
?
?
?
a
n2
?
a
mn< br>?
?
矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。
?
a
1
x?b
1
y?c
1

?< br>ax?by?c
22
?
2
3.线性方程组矩阵的三种变换：
①互换矩阵的两行；
②把某一行同乘（除）以一个非零的数；
③某一行乘以一个数加到另一行。
变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。
4.矩阵运算：加法、减法及乘法
（1）矩阵的和（差）：记作： （）.
运算律：加法交换律：；加法结合律：（）（）
（2）矩阵与实数的积：设
?
为任意实数，把矩阵A的所有元素与
?
相乘得到的矩阵叫做矩阵
A与实数
?
的乘积矩阵，记作：
?
A.
1 7

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运算律：分配律：
?
?< br>A?B
?
?
?
A?
?
B
；
(
?
?
?
)A?
?
A?
?
A
；
结合律：
?
??
?
A?
?
?
?
A
?
?
?
?
?
A
?
；

（3）矩阵 的乘积：设A是
m?k
阶矩阵，B是
k?n
阶矩阵，设C为
m?n< br>矩阵。如果矩阵C
中第i行第j列元素
C
ij
是矩阵A第i个行向量与 矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵
叫做A与B的乘积，记作：
××
k
×
n
.
运算律：分配律：
A(B?C)?AB?AC
，< br>(B?C)A?BA?CA
；
结合律：
?
?
AB
?
?
?
?
A
?
B?A
?
?
B
?
，
?
AB
?
C?A
?
BC< br>?
；
注意：矩阵的乘积不满足交换律，即
AB?BA
。
5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：
?
a
1
x? b
1
y?c
1
设二元一次方程组（*）
?
（其中
x ,y
是未知数，
a
1
,a
2
,b
1
,b< br>2
是未知数的系数
ax?by?c
22
?
2
且不全为 零，
c
1
,c
2
是常数项）
用加减消元法解方程组（*）:
c
1
b
2
?c
2
b
1
?
x?
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
当
a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
时，方程组（*）有唯一解：
?
，
ac?ac
21
?
y?
12
?
a
1< br>b
2
?a
2
b
1
?
引入记号
a1
a
2

b
1
b
2
表示算式
a
1
b
2
?a
2
b
1
，即
a< br>1
a
2

b
1
b
2
?a
1
b
2
?a
2
b
1
．
从而引出行列式的 相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列
式的元素、对角线法则等。
记
D?
a
1
a
2

b
1
b
2
，
D
x
?
c
1
c
2

b
1
b
2
，
D
y
?
a1
a
2

c
1
c
2
，则：
①当
D?
a
1
a
2

b
1b
2
=
a
1
b
2
?a
2
b< br>1
?0
时，方程组（*）有唯一解，
?
x?
?
?< br>可用二阶行列式表示为
?
?
y?
?
?
D
x< br>D
.
D
y
D
②当0时，
D
x
?D
y
?0
，方程组（*）无穷组解；
③当0时，
D
x
?0,orD
y
?0
，方程组（*）无解。
系数行列式
D?

a
1
a
2
b
1
b
2
也为二元一次方程组解的判别式。

2 7

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6.三阶行列式
（1）三阶行列式的展开方法：
①对角线方式展开：

②按某一行(或列)展开法：

a
11
a
21
a
31
a
11
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
=
a
11
a
22
a
33
?a
12
a
23
a
31
? a
13
a
21
a
32
?a
11
a
23
a
32
?a
12
a
21
a
33
?a
13
a
22
a
31

a
33
a
22
a
32
a
23
a
33
a
12

a
21
a
31
a
23
a
33
a
13
a
21
a
31
1?1
a
22
a
32

记
M
11
?
a
2 2
a
32
a
23
a
33
，
A
11
?(?1)M
11
，
M
12
?
a
21a
31

a
23
a
33
，
A< br>12
?
(?1)
1?2
M
12
，
M
13
?
a
21
a
31

a
22
a
32
，
A
13
?(?1)
1?3
M
13
，
称
M
1j
为元素
a
1j
的余子式，即 将元素
a
1j
所在的第一行、第
j
列划去后剩下的元素按原来顺序< br>组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称
A
1j
为元素
a
1j
的代数余子式，
A
1j
?(?1)
1?j
M
1j
（
j?1,2,3)
。
a
11
则三阶行列 式就可以写成
D
=
a
21
a
12
a
22< br>a
32
a
13
a
23
=
a
11< br>A
11
?a
12
A
12
?a
13
A
13
，
a
33
a
31
这就是说，一个三阶行列式 可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。
上式称为三阶行列式按第一行展开的展 开式。类似地，若将
D
按别的行或列的元素整理，同样
可得行列式按任一行(列)展开 式。
（2）三阶行列式的性质：
①行、列依次对调，行列式的值不变，即

②两行(或两列)对调，行列式的值变号，如

3 7

高中数学复习专题-矩阵与行列式
③某行(或列)所有元素乘以数k，所得行列式的值等于原行列式值的k倍，如

④某两行(或两列)的元素对应成比例，行列式的值为零。
⑤某行(或列)的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如

⑥某行(或列)的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列)的对应元素上，行列式的值不变，如

性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式
对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。
(x
2
,y
2
)
、
(x
3
,y
3
)
，
7.
用三阶 行列式求三角形的面积：若
?ABC
三个顶点坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
则
S
?ABC
x
1
1?x
2
2
x
3
y
1
1
x
1< br>y
2
1
，所以
A
、
B
、
C
三点共线的充分必要条件为
x
2
y
3
1
x
3
y
1
1
y
2
1?0
.

y
3
1
8.三元一次方程组的解法：
?
a
1x?b
1
y?c
1
z?d
1
?
a
i< br>、b
i
、c
i
、(i?1,2,3)
是设三元一次方程组 (
﹡
)
?
a
2
x?b
2
y?c2
z?d
2
，其中
x,y,z
是未知数，
?
a x?by?cz?d
333
?
3
未知数的系数，且不全为零，
di
(i?1,2,3)
是常数项。

下面用加减消元法解方程组
(
﹡
)
：

a
1
我们把方程组
(
﹡
)
的系数行列式记为
D?
a< br>2
b
1
b
2
b
3
c
1
c< br>2
，用
D
的元素
a
1
、a
2
、a< br>3
的代数余子式
c
3
a
3
A
1
、A
2
、A
3
依次乘以方程组
(
﹡
)
的各方程 ，得

a
1
A
1
x?b
1
A
1< br>y?c
1
A
1
z?d
1
A
1
a
2
A
2
x?b
2
A
2
y?c
2
A
2
z?d
2
A
2
，

a
3
A
3
x?b
3
A
3
y?c< br>3
A
3
z?d
3
A
3


将这三个式子相加，得：

(a
1
A
1
x?a2
A
2
?a
3
A
3
)x?(b
1A
1
?b
2
A
2
?b
3
A
3
)y?(c
1
A
1
?c
2
A
2
? c
3
A
3
)z?d
1
A
1
?d
2
A
2
?d
3
A
3
①

其中①式中
x
的系数恰为
(
﹡
)
的系数行列式
D
。< br>

由于
y与z
的系数分别是
D
的第一列元素的代 数余子式的乘积之和，因此
y与z
的系数①都为零。
4 7

高中数学复习专题-矩阵与行列式
d
1
①式的常数项可表示为

D
x
?d
2
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
，于是①式可化简为
D?
。

c
3
d
3< br>类似地，用
D
的元素
b
1
、
b
2
、
b
3
的代数余子式
B
1
、
B
2
、
B
3
依次乘以方程组（
*
）的各方程，
可推得
D?
；用
D
的元素
c
1
、
c
2
、c
3
的代数余子式
C
1
、
C
2
、C
3
依次乘以方程组（
*
）的各方
程，可推
D?

，其中

a
1
D
y
?a
2
a
3
d
1
d
2
d
3
c
1
a
1
b
1
b
2
b
3
d
1
a
2

d
3
c
2
，
D
z
? a
2
c
3
a
3
?
D?x?D
x
?
由方程组
?
D?y?D
y
，可见，

对于三元一次方程组（
*
），其系数行列式为
D
，则：
< br>?
D?z?D
z
?
?
?
x?
?
?< br>（
i
）当
D?0
时，方程组（
*
）有唯一解
?
y?
?
?
?
z?
?
D
x
DD
y
D
D
z
D
.
（）当
0
，
D
x
D
y
D
z
?0
时，方程组（
*
）无解；

（）当
0
，
D
x
?Dy
?D
z
?0
时，方程组（
*
）有无穷多解。

?
12
??
2?3
?
,B?
例1.已知
A ?
????
，则
AB?
；
BA?

2131
????







例2.若三阶行列式按第二行展开为


c
a
a
b
?
b
c
a
b
?
b
c
c
a
，求该三阶行列式。
5 7

高中数学复习专题-矩阵与行列式
?
mx?y?z?1
?
例3.求关于x、y、z的方程组
?
x?my?z?m
有唯一解的条件，并把在这个条件下的解求出来。
?
2
?
x?y?mz?m




变式训练：
?
23c
1
?
?
x?2
（1 ）若线性方程组的增广矩阵为
?
?
32c
?
?
，解为
?
y?1
，则c
1
–c
2
=
2
??
?
（2）若三条直线
ax?y?3?0
,
x?y? 2?0
和
2x?y?1?0
相交于一点，则行列式
a
1
1< br>1
3
2
的值为
2?11
3
1
sin
?
x
cos
?
x
的最小正周期为
2
?
， 将
f(x)
的图像向左平移
t
个（3）已知
?
,t?0,< br>函数
f(x)?
单位，所得图像对应的函数为偶函数，则
t
的最小值为
（4）把
x
2
y
2
x
3
y
3
?2
x
1
y
1
x
3
y
3
?4
x
1
y
1
x
2
y
2
表示成一个三阶行列式
（5）若
?ABC
的三个顶点坐标为< br>A(1,?2),B(?2,3),C(?4,?5)
，其面积为
aa
2（6）若
a,b,c
表示
?ABC
的三边长，且满足
b
a?b?c
a?b?c?0
，则
?ABC
是（ ）
a?b?c
b
2
c
2
c
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
（7）若复数
z< br>满足
z?4
1z
?0
,则
z
的值为
（8
）设△
ABC
的内角
A
,
B
,
C< br>所对的边长分别为
a
,
b
,
c
，

若

a?b?c
b
3a
a?b?c
?0
， 则角
C?


6 7

高中数学复习专题- 矩阵与行列式
?1
4m
3
1
0
?m
中第1行第2 列的元素3的代数余子式的值是
?15
，则
2n?1
（9）若三阶行列式2n?1?2
|n?mi|
(其中
i
是虚数单位，
m、n?R< br>)的值是
?
（10）已知数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n,n?N
，则
a< br>1
a
2
a
2
?
a
3
a
4< br>a
4
a
3
a
3
?
a
5
a< br>5
a
4
?
a
6
a
2012
?
a
2014
a
2013
?

a< br>2015
11
?
1nn?1
（11）已知
A?
??
01
?
，定义
A?A
，
A?AA
.

??
（I）求
A
2
,A
3
的值； （）求
A
n
(n?2,n?N
?
)
.






367
（12）已知行列式：
861，计算该行列式第一行的各元素与第三行对应元素的代数余子
2?54
式的乘积，即计算< br>a
1
A
3
?b
1
B
3
?c
1
C
3
的值为
7 7