高中数学综合复习

高中数学综合复习3
学校:___________姓名：___________班 级：___________考号：___________


一、选择题（题型注释）
1． 抛掷一个骰子，落地时向上的点数是
3
的倍数的概率是
A． B． C．
1
6
1
3
12
D．
23
【答案】B
【解析】解：抛掷一个骰子，所有的情况为6种，那么落地 时向上的点数是
3
的倍数的
情况有2种，利用古典概型概率得到为13，选项B
2． 在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
4< br>?a
6
?a
8
?a
10
?a
12
? 120
，则
a
9
?
A．14 B．15 C．16
【答案】C
D．17
1
a
11
的值为
3
【解析】因为
{a
n
}
为等差数列，所以
a
4
?a
6
?a
8< br>?a
10
?a
12
?5a
8
?120
，则< br>a
8
?a
1
?7d?24
，所以
1121422a
9
?a
11
?a
1
?8d?(a
1
?10d)?a
1
?d?(a
1
?7d)??24?16
，故选C
333333
3．下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的 数，
那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的是

A. c > x
【答案】A
【解析】
B. x > c C. c > b D. b > c

试题分析：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较x与b的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，
∵条件成立时，保存最大值的变量X=C，故在空白处填c > x，故选A
考点：本题考查了程序框图的运用
点评：程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有 ：①分支的条件②循环的条
件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽 略点是：
不能准确理解流程图的含义而导致错误．
4．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )

A．36 B．108 C．72 D．180
【答案】B
【解析】
试题分析 ：几何体为下面是底边长为6，高为2的正四棱柱，上面是底边长为6，高为
3的正四棱锥，体积为V?6?6?2??6?6?3?108
.
考点：三视图、三棱锥、四棱柱体积公式.
5．已知函数
f(x)??x?log
2
1
3
1?x
11
?1
，则
f()?f(?)
的值为
22
1?x
1

3
A．
2
B．
?2
C．
0
D．
2log
2
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设知：f
?
?
1
?
?
?
2
??
11 1
?
1
?
f
?
?
?
???log
2
?1??log
2
3?1?2
，故选A．
2232
??
考点：函数的奇偶性及对数的运算．
6．已知数列
{ a
n
}
中，
a
1
?1
，且
A．28

【答案】B
【解析】
1
a
n?1
?
1
a
n
?3(n?N
?
)
，则
a
10＝( )
D. 33 B． 128 C.133

< br>由题意知，
?
?
1
?
1
公差是3的等差数列，所以< br>?1?(10?1)?3?28
，
?
为首项是1，
a
10?
a
n
?
故
a
10
＝128
7．三直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则a的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】
考点：过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标．
分析：先求4x+3y=10， 2x-y=10的交点，代入直线ax+2y+8=0，即可得到a的值．
解：解方程组
4x+3y=10，
2x-y=10，
得交点坐标为（4，-2），
代入ax+2y+8=0，得a=-1．
故选B
rr
rr
8．已 知向量
a?(1,2n)
，
b?(m?n,m)
，
(m?0,n?0 )
，若
a?b?1
，则
m?n
的最
小值为（ ）
A．
2
B．
2?1
C．
3?1
D．
3

【答案】C
【解析】
试题分析：∵
rr
a?b?1
(m?n)
2
?m?n?2mn?1,由m?0,n?0?m?n≥2m n?mn≤?(m?n)
2

4
?2(m?n)?2≥0?m?n≤?1?3(舍)或m?n≥3?1
，所以，
m?n
的最小值是
3?1
．
考点：向量的数量积、基本不等式.
9．如果等差数列
{a
n
}< br>中，
a
3
?a
4
?a
5
?12,那么a1
?a
2
?L?a
7
?

A．14
C．35
【答案】D
【解析】
B．21
D．28
（ ）
10．在区间
?
?1,1
?
上随机取一个数
x
，使
cos
A.
?
x
2
的值介于
2
到1之间的概率为 ( )
2
112
2
B. C. D.
323
?
【答案】B
【解析】分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出 cos
?
x< br>2
的值介

于
2
到1之间对应线段的长度，再将其代入几 何概型计算公式进行求解．
2
解答：解：在区间[-1，1]上随机取一个数x，
即x∈[-1，1]时，要使 cos
?
x
2
的值介于
2
到1之间，
2
?
?
x
?
≤≤，
2
44
11
∴-≤x≤ ，区间长度为 1，
22
需使 -
由几何概型知 cos
?
x
2
的值介于
2
1
到1之间的概率为
2
2
故选B．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线 段长度、面积、体积等，
而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均 为：求
出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几
何度量”N，最后根据P=
N
?
A
?
求解
．

N
6
13
7
12
8
9
11．容量为
100
的样本数据，依次分为
8
组，如下表：
组号 1 2 3 4 5
频数 10 13
3x

x

15
则第三组的频率是（ ▲ ）
A．0.28 B．0.12 C．0.15 D． 0.21
【答案】
D

【解析】


二、填空题（题型注释）
e
x
?ae
?x
12 ．设函数
f(x)?
是奇函数，则实数
a
的值为 ．
x
2
【答案】
?1
．
【解析】
e
x< br>?ae
?x
试题分析：由函数
f(x)?
是奇函数得：
f(? x)??f(x),x?0
即
2
x
e
?x
?ae
x
e
x
?ae
?x
??(x?0)

22
( ?x)x
?(a?1)(e
x
?e
?x
)?0
对一切不为零 的实数都成立，所以有
a?1?0?a??1
，故
应填入－1．
考点：函数的奇偶性．

xx
13．在同一直角坐标系下作
y ?a和y?log
a
(a?0且a?1)
的图象，有下面四种判断：
①两支图象可能无公共点
②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线
y?x
上
③若两支图象有公共点，则公共点个数可能1个，不可能2个
④若两支图象有公共点，则公共点个数最多可能有3个
以上这四种判断中，错误的判断共有 个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
xx
试题分析：由于
y?a和y?log
a
(a ?0且a?1)
互为反函数，所以它们的图象关于
x
轴对称.当
a?1
时，两函数图象无公共点；当
0?a?1
时，两函数图象的交点在直线
y?x
上；由于两函数均为单调函数且在各自的定义域单调性相同，因此两函数图象的
交点数不可能多于1
；故错误的判断有①④，选
B
.
考点：1.反函数；2.指数函数、对数函数的图象和性质.
14．若
tan
?
?2
，则
cos2
?
=
【答案】
?

【解析】略
15．在区间[－1，1]上随机取一个 数x，则cos
【答案】
3
5
?
x
2
的值介于0到
1
之间的概率为________．
2
1

3
【 解析】0≤cos
1
?
?
x
?
?
?
x在区间[－1，1]上的解应满足≤≤和－≤≤－
2222
322
22
?
x1
?
，解得≤x≤1或－1≤x≤－.所以0≤cos≤的概率是P＝
33 22
3
≤
?
x
?
?
2
??
2?
?
1－+--(-1）
????
??
1
?
?
3
??
3
?
?
＝
.
1-(-1）3

三、解答题（题型注释）
16．已知关于x的方程
（1）求
（2）求m的值．
【答案】（1）
【解析】
试题分析：解：依题得：sinθ+cosθ=
的值；
的两根为sinθ和cosθ：
3?13
（2）
22< br>3?1
m
，sinθ?cosθ=∴（1）
2
2

=sinθ+cosθ=
3?1

2
（2）（sinθ+cosθ）=1+ 2sinθ?cosθ，∴(
2
3?1
2
3
m
)=1+2∴ m=．
22
2
考点：三角函数的化简求值
点评：本题考查了三角函数的化 简求值以及韦达定理，根据韦达定理得出sinθ+cosθ，
sinθ?cosθ是解题的关键，属于 中档题
17．如右图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点.
（Ⅰ）求证；AD∥OC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值.

【答案】
（Ⅰ）AD∥OC
（Ⅱ）AD·OC=2
【解析】（1） 解：（Ⅰ）证明：如图，连接DB、OD,

Q
BC、CD是⊙O的两条切线
?
BD⊥OC,
??2??3?90?
……2分
又AB为⊙O的直径，
?
AD⊥DB，
?1??2?90?
，
??1??3,?ADPOC
……6分
（Ⅱ）
QAO=OD , ??1??A??3 , 且?ADB??ODC?90?
……8
分
COD , ?AD?OC?AB?OD?2
……12
?RtVBAD:RtV
分
18．已知函数
f(x)?2cos
2
(
?
x?)
.
88
?
（1）把
f(x)
的解析式
f(x)?
Acos(
?
x?
?
)+B的 形式，并用五点法作出
f(x)
在一个
周期上的简图;(要求列表)
（2） 说出
y?cosx
的图像经过怎样的变换
y?f(x)
的图像.
?
个单位得到
4
44
4
?
??
纵坐标不变，横坐标变 为原来的倍得到
y?cos(x?)
的
y?cos(x?)
图像的；
?
444
??
图像；向上平移1个单位得到
f(x)?cos(x?)?1< br>的图像.
44
【答案】（1）
f(x)?cos(x?
（2）
y?cosx
的图像向左平移
)?1
；
【解析】
试题分析：解题 思路：（1）利用二倍角的变形“降次升角”变形即得
Acos(
?
x?
?< br>)?B
的形式，再利用“列表、描点、连线”法进行作简图；（2）利用“平移、伸缩、平移”< br>步骤进行图像变换.规律总结：三角函数的化简，即利用同角三角函数基本关系式、诱
??

导公式、两角和差的三角公式、二倍角公式及其变形化成
Asin(
?
x?
?
)?k
的形式；三
角函数的图像变换一般两个途径：①先左右平移（ 左加右减），再沿横坐标轴进行伸缩
（
?
?1
缩短，
0?
?
?1
伸长），再沿纵坐标轴进行伸缩（
0?A?1
缩短，
A?1伸长）.
最后上下平移（上加下减）；②先沿横坐标轴进行伸缩（
?
?1
缩短，
0?
?
?1
伸长），
再左右平移（左加右减），再沿纵坐标轴 进行伸缩（
0?A?1
缩短，
A?1
伸长）.最后
上下平移（上加下 减）.
注意点：先伸缩后平移时，要注意平移的单位
y?sin(
?
x?< br>?
)?sin[
?
(x?
由
y?sin
?
x
向左或右平移
?
)]
的图像
?
?
个单位.
?
试题解析：(1）
f(x)?cos(x?
??
44
)?1.
列表如下：
?
4
x?
?
4

0
-1
2
?

2
1
1
?

3
0
3
?

2
5
1
2
?

7
2
x

y


f(x)?cos(x?)?1
的简图如下：
44
??
?
?
个单位得到
y?cos(x?)
图像的；纵坐标不变，横
44
4
??
坐标变为原来的倍得到
y?cos(x?)
的图像；向 上平移1个单位得到
?
44
??
f(x)?cos(x?)?1
的图 像.
44
（2）
y?cosx
的图像向左平移
考点：三角恒等变换 、三角函数的图像变换.

??
x
2
y
2
A?< br>?
?
x,y
?
??1
?
x
??
B? x,yy?3
416
??
，19．设集合，则
A?B
的子集的个数< br>??
是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】略
20．如图所示的长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D1
中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与
BD的交点，，M是线段B
1
D
1
的中点．
（1）求证：BM∥平面D
1
AC；

（2）求证：D
1
O⊥平面AB
1
C；
（3）求二面角B﹣AB
1
﹣C的大小．

【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）60°
【解析】
试题分析：（1）连接D
1
O，通过证明D
1
O∥BM，去证BM∥平面D
1
AC．
（2）通过证明 OB
1
⊥D
1
O．AC⊥D
1
O ，由线面垂直的判定定理去证D
1
O⊥平面AB
1
C，
（3）在平 面ABB
1
中过点B作BE⊥AB
1
于E，连接EC，证明∠BEC是二面角 B﹣AB
1
﹣C的
平面角，再再直角三角形BEC中求解．
解：（1）连接 D
1
O，如图，∵O、M分别是BD、B
1
D
1
的中点，B D
1
D
1
B是矩形，
∴四边形D
1
OBM是平行四边形，∴D
1
O∥BM．
∵D
1
O?平面D
1
AC，BM?平面D
1
AC，
∴BM∥平面D
1
AC．
（2）连接OB
1
，∵正方形A BCD的边长为2，
∴
22
，
，OB
1
=2，D
1
O=2，
2
则OB
1
+D
1
O=B
1
D
1
，∴OB
1
⊥D
1
O．
∵在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AC⊥BD，AC⊥D
1
D，
∴AC ⊥平面BDD
1
B
1
，又D
1
O?平面BDD
1< br>B
1
，
∴AC⊥D
1
O，又AC∩OB
1
=O，
∴D
1
O⊥平面AB
1
C．
（3）在平面ABB
1
中过点B作BE⊥AB
1
于E，连接EC，
∵CB⊥AB，CB⊥BB
1
，
∴CB⊥平面ABB
1
， 又AB
1
?平面ABB
1
，
∴CB⊥AB
1
，又BE⊥AB
1
，且CB∩BE=B，
∴AB
1
⊥平面EBC，而EC?平面EBC，
∴AB
1
⊥EC．
∴∠BEC是二面角B﹣AB
1
﹣C的平面角．
在Rt△BEC中，，BC=2
∴，∠BEC=60°，
∴二面角B﹣AB
1
﹣C的大小为60°．
点评：本题考查直线和平面位置 关系及其判定，二面角求解，考查转化的思想方法（线
线位置关系转化为线面位置关系）空间想象能力， 计算能力．
rrrr
25
21．已知向量
a?
?
cos< br>?
,sin
?
?
,b?
?
cos
?
,sin
?
?
,a?b?
.
5

（1）求< br>cos
?
?
?
?
?
的值；
5
，求
sin
?
的值.
2213
333
【答案】（1）
cos(
（2）
sin
?
?
.
?
?
?
)?
；
565
（2）若
0?
?
?
?
,?
?
?
?
?0
，且
sin
?
??
【解析】
试题分析：（1）由向量的坐标运算及向量模的定义易表示出a?b
，
a?b
，再由
??
??
?
a?b?< br>?
25
求得
cos(
（2）首先由同角的三角函数关系求出
s in(
?
?
?
)
，
?
?
?
)的值；
5
5
得
cos
?
的值，最后合理的拆分角
?
及和角公式得即可求得结果.
13
rr
解析：(1)
Q
a?
?
cos
?
,sin
?
?
,b?
?
cos
?
,sin
?
?

再由
sin< br>?
??
试题
rr
?a?b?
?
cos
??cos
?
,sin
?
?sin
?
?

rr
?a?b?
?
cos
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
22
?2? 2cos
?
?
?
?
?


rr
25253
Q
a?b?,?2?2cos
?
?
?
?
?
??cos
?
?
?
?
?
?

555

?
?
?0,?0?
?
?
?
?
?

22
34512

Qcos
?
?
?
??
?,?sin
?
?
?
?
?
?
Qsi n
?
??,?cos
?
?
55
1313

,?
(2)
Q0?
?
?
??
sin
?< br>?sin(
?
?
?
?
?
)?sin
?
?
?
?
?
cos
?
?cos
?
?
?
?
?
sin
?

4123
?
5
?
33
?*?*
?
?
?
?

5135
?
13
?
65

考点：向量的坐标运算及向量模的定义；同角的三角函数关系；三角函数的和、差角公
式.