高中数学中的c-高中数学简单的三视图
数学选修2-1
第一章:命题与逻辑结构
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
2、真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.
3、若原命题为“若
p<
br>,则
q
”,它的逆命题为“若
q
,则
p
”.
若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?p
,
则
?q
”.
若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的
否命题为“若
?q
,则
?p
”。
4、四种命题的真假性:
原命题
真
真
假
假
5、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)如果要判断一命题的真假,可以转化为其逆否命题的真假性.
6、若
p?q<
br>,则
p
是
q
的充分条件,
q
是
p
的
必要条件.
若
p?q
,则
p
是
q
的充要条件(充
分必要条件).
7、逻辑连接词
(1)用联结词“且”把命题
p
和命题<
br>q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.
当
p
、
q
都是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
、
q<
br>两个命题中有一个命题
是假命题时,
p?q
是假命题.
(2)用联结
词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
、
q
两
逆命题
真
假
真
假
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
假
假
个命题都是假命题时,
p?q
是假命题.
(3)对一个命题
p
全盘否定,得到一个新命题,记作
?p
. 若
p
是真命题,则
?p
必是假命题;若
p
是假命题,则
?p
必是真命题.
8、全称量词与特称量词
(1)短语“所有的”、“任
意一个”、“每一个”在逻辑中通常称为全称量词,
用“
?
”表示.
(2)
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“
?
”
表示.
9、全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题称为全称命题.
(2)含有存在量词的命题称为特称命题.
10、全称命题与特称命题的否定
(1
)全称命题的否定:
p
:
?x??
,
p
?
x
?
,它的否定
?p
:
?x??
,
?p
?
x
?
。
全称命题的否定是特称命题。
(2)特称命题的否定
p:
?x??
,
p
?
x
?
,它的否定
?
p
:
?x??
,
?p
?
x
?
。
特
称命题的否定是全称命题。
第二章:圆锥曲线
1、求曲线的方程(点的轨迹方程)的步骤:
建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系;②设动点
M
?
x,
y
?
及其他的点;③找出满足限制条
件的等式;④将点的坐标代入等式;⑤化简方程,
并验证
2、椭圆的定义:
平面内与两个定点
F
1
,
F<
br>2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
)的点的轨迹
称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距。
3、椭圆的几何性质:
焦点的位
置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
y
2
x
2
?2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?b,0
?
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、<
br>F
2
?
c,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2<
br>?b
2
?
,
a
最大
关于x轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
a
2
x??
c
a
2
y??
c
准线方程
4、双曲线的定义:
平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离之差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的
点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲
线的焦距。
MF
1
?MF
2
?2a
?
2a?2c
?
5、双曲线的几何性质:
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
a
2
x??
c
x2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
2
ab
x??a
或
x?a
,
y?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
y??a
或
y?a
,
x?R
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?0,a
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、<
br>F
2
?
c,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2<
br>?b
2
?
,
c
最大
关于x轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
a
2
y??
c
准线方程
渐近线方程
6、等轴双曲线
y??
b
x
a
y??
a
x
b
(1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
(2)表达式:
x
2
?y
2
?
?
(
?
?0)
(3)性质:
e?2
渐近线方程:
y??x
两渐近线互相垂直
7、抛物线的定义:
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定
点
F称为抛物线的焦点,定直线
l
称为抛物线的准线.
8、过抛物线的焦点作垂直于
对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
,称为
抛物线的“通径”,即
???2p
.
9、抛物线的几何性质:
y
2
?2px
y
2
??2px
x
2
?2py
x
2
??2py
标准方程
?
p?0
?
图形
顶点
对称轴
?
p
?
F
?
,0
?
?<
br>2
?
?
p?0
?
?
p?0
?
?
p?0
?
?
0,0
?
x
轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
?
?
p
??
F
?
0,?
?
2
??
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
y?
p
2
准线方程
离心率
范围
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
e?1
x?0
x?0
y?0
y?0
第三章:空间向量
1、空间向量的概念:
?
1
?
在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小.
uuur
uuur
,记作
??
.
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模(或长度)
?
4
?
模
(或长度)为
0
的向量称为零向量;模为
1
的向量称为单位向量.
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量,记作
?a
.
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、空间向量的加法和减法:
rr
r
?
1
?
求两
个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.
?
2
?
求两个向
量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任
uuur
r
uuur<
br>r
uuur
r
r
取一点
?
,作
???a,
???b
,则
???a?b
.
rr
3、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量,称为向量的数乘
运算.
rr
当
?
?0
时,
?
a
与
a
方向相同;
rr
当
?
?0
时,
?
a
与
a
方向相反;
r
rrr
当
?
?0时,
?
a
为零向量,记为
0
.
?
a
的
长度是
a
的长度的
?
倍.
4、空间任意两个向量,数乘运算满足分配律及结合律.
r
r
r
r
rr
分配律:
?
a?b?
?
a?
?
b;结合律:
?
?
?
a
?
?
?
???
a
.
??
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,
则这些向量称为共
线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
rr
rr
r
6、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量
a
,
bb
?0
,
ab
的充要
??
r
r
条件是存在实数
?
,使
a?
?
b
.
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
8、向量共面定理:空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuur
x
,
y
,使
???x???y?
C
;或对空间任一定点
?
,有
??????x???y?C
;
uuuruuuruuuruuur
或若四点
?
,
?
,
?
,
C
共面,则
???x???y???z?C?
x?y?z?1
?
.
uuur
r
uuur
r
r
r
???b
,9、已知两个非零向量
a
和
b<
br>,在空间任取一点
?
,作
???a
,则
????
r<
br>r
r
r
r
r
b
的夹角,称为向量
a
,记作
?a,b?
.两个向量夹角的取值范围是:
?a,b??
?
0,
?
?
.
r
r
?
r
r
r
r
r
r
b
互相垂直,10、对于两个非零向量
a
和
b
,若
?a,b??
,则向量
a
,记作
a?b
.
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
bba
11、已知两个非零向量
a
和,则
abcos?a
,b?
称为
a
,的数量积,记作
?b
.即
r
rr
r
r
r
a?b?abcos?a,b?
.零向量与任何向量的
数量积为
0
.
r
r
r
r
r
r
r
rr
12、
a?b
等于
a
的长度
a
与b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积.
r
r
r
13若
a
,
b
为非零向量,
e为单位向量,则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
;
r
r
r
r
rrr
2
rrr
?
2
?
a?b?a?b?0
;
?
3
?
a?a?a
,
a?a?a
;
r<
br>r
r
a?b
r
r
r
r
r
?
4
?
cos?a,b??
r
r
;
?
5
?
a?b?ab
.
ab
rrrrrrr
14空间向量的运算律:
r
rr
r
?
1
?
a?b?b?a
; r
r
r
r
r
r
?
2
?
??
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;
????
?
3
?
?
r
r
rrr
r
r
a?b?c?a?c?b?c
.
?
r
r
rr
15、空间向量基本定理:若三个向量
a
,
b
,
c<
br>不共面,则对空间任一向量
p
,
r
rrr
存在实数组
?
x,y,z
?
,使得
p?xa?yb?zc
.
r
r
16 、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,
b?
?
x
2
,y<
br>2
,z
2
?
,则
r
r
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
.
r
r
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?<
br>.
r
r
r
?
3
??
a?
?
?
x
1
,
?
y
1<
br>,
?
z
1
?
.
?
4
?
a?
b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
.
r
r
r
r
r
r
?
5
?
若
a
、
b
为非零向量,则
a?b?
a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z<
br>1
z
2
?0
.
r
r
r
r
r
r
?
6
?
若
b?0
,则
ab?a??
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
.
rrr
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
.
r
r
r
xx?yy?zz
a?b
r
?
8
?
cos?a,b??
r
r
?
2
1
2
2
2
12
2
12
22<
br>.
ab
x
1
?y
1
?z
1
?x<
br>2
?y
2
?z
2
?
7
?
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z1
?
,
??
?
x
2
,y
2
,
z
2
?
,则
d
??
????
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?<
br>2
.
uuur
rr
17、直线
l
垂直
?,取直线
l
的方向向量
a
,则向量
a
称为平面
?
的法向量.
r
r
r
r
18、若空间不重合两条直线a
,
b
的方向向量分别为
a
,
b
,则
ab?ab?
r
r
r
r
r
r
a?
?
b
?
?
?R
?
,
a?b?a?b?a?b?0
.
rrr
19、若直线
a
的方向向量为
a
,平面
?
的法向量为
n
,且
a?
?
,则
a
?
?a
?
rrrrrrrrr
?a?n?a?n?0
,
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
. <
br>r
r
r
r
b
,20、若空间不重合的两个平面
?,
?
的法向量分别为
a
,则
?
?
?a
b?
r
r
r
r
r
r
a?
?b
,
?
?
?
?a?b?a?b?0
.
rr
21、设异面直线
a
,
b
的夹角为
?
,方向
向量为
a
,
b
,其夹角为
?
,则有
r
r
a?b
cos
?
?cos
?
?
r
r
.
ab
rr
r
22、设直线
l
的方向向量为
l
,平面
?
的法向量为
n
,
l
与
?
所成的角为
?
,
l
与
r
r
l?n
r
n
的夹角为
?
,则有
sin
?
?cos
?
?
r
r
.
ln
uruururuur
23、设
n
1
,
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
,
?
的法向量,则向量
n
1
,
n
2
的夹
角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角
?
?
l?
?
的平面角为
?
,
uruur
n
1
?n
2
则
cos
?
?
uruur<
br>.
n
1
n
2
uuur
uuur
24、点<
br>?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算.
r
25、在直线
l
上找一点
?
,过
定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
,则定点
?到直
uuur
r
???n
uuuruuur
r
线
l
的距离为
d???cos???,n??
r
.
n
r<
br>26、点
?
是平面
?
外一点,
?
是平面
?<
br>内的一定点,
n
为平面
?
的一个法向量,
uuur
r
???n
uuuruuur
r
则点?到平面
?
的距离为d???cos???,n??
r
.
n
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