2019春安徽省高中教科研联盟高二(下)期末数学试卷(文科)

2019
春安徽省高中教科研联盟高二（下）期末数学试卷
（文科）

一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

已知集合
A={-2
，
-1
，
0< br>，
1}
，
B={x|-2
＜
x
＜
1}
，则
A∩B=
（ ）
A.


B.


C.


D.


2.



=
（ ）
A.


B.


C.


D.



3.

下面是< br>2015
年至
2018
年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的柱状 图：

注：人口出生率
=
年出生人口
年平均人口
×100%
人口死亡率
=
年死亡人口
年平均人口
×100%
人口自然增长率
=
人口
出生率
-
人口死亡率

下面说法正确的是（ ）
A.
2016
年我国二孩政策的全面实施后
,
人口出生率不断提升
B.
2015
年以来
,
随着医疗水平不断提升
,
我国人口死亡率 显著下降
C.
2016
年以来
,
我国人口增速逐渐放缓
D.
2018
年人口较
2017
年减少
4.

已知双曲线
C
：






=1
（
b
＞
0
）的顶点到渐近线的距离为


，则
b=
（ ）


A.
2


B.
4

C.



D.




5.

将函数
y=sin
（
x+

）图象上所有点的横坐标伸长到 原来的
2
倍（纵坐标不变），再
向右平移

个单位得到的图象对应的解析式是（ ）

A.











A.





B.








C.








B.




D.












D.





=
（ ） 6.

?
A BCD
中，
E
为
CD
中点，
F
为
BE中点，则







C.



7.

函数
y=

的部分图象大致为（ ）
第1页，共13页

A.

B.

C.

D.

8.

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
（ ）


A.




B.




C.




D.








，

＜


则满足
f
=


9.

已知函数
f
（
x
）
，（
x
）＞
f
（
x+< br>
）的
x
的取值范围是（ ）

，


A.






C.








B.




D.





10.

已知圆
C
与直线< br>y=2x+1
相切于点
A
（
0
，
1
），圆心 在直线
x-2y=0
上，则圆
C
的方
程为（ ）
A.









C.






B.









D.






11.

在边长为
6
的正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点< br>M
是
DD
1
中点，点
N
是
B
1C
1
的中点，
过点
A
，
M
，
N
的平面与
C
1
D
1
交于点
P
，则
PC< br>1
的长为（ ）
A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

x
12.

已知直线
y=ax+b
与曲线
y=xe
相切，则
a+b的取值范围是（ ）
A.




B.




C.




D.




二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

命题
“
?
x
∈（
0
，< br>+∞
），
1nx≤x-1”
的否定为
______
．

z=3x+y
的最小值为
______
．
14.

设
x
，
y
满足约束条件


，则




恰有一个零点，则
a
的取值范围为
______
．
15.

已知函数
f
（
x
）
=



2
16.

椭圆
+y=1< br>的右顶点为
A
上顶点为
B
直线
y=kx
（
k
＞
0
）与椭圆在第一象限的交点



为
P
，与直线
AB
交于点
Q
过
P
作
x
轴垂线垂足为
R
，则

的最大值为
______
．
三、解答题（本大题共
6
小题，共
70.0
分）
第2页，共13页

17.

记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．已知
a
2
=-1
，
S
4
=0
．

（
1
）求
{a
n
}
的通项公式；

（
2
）记
b
n
=








18.

△
ABC
的内 角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
已知





．








，求数列
{b
n
}
的前
n
项和T
n
．
（
1
）求角
C
的大小；

（
2
）若
c=


，
a+b=3
，求
AB
边上的高
h
．







19.

为了庆祝 新中国成立
70
周年，弘扬爱国主义精神激发广大学生的爱国热情，某校
特举办
“
庆祝新中国成立
70
周年近代历史知识竞赛
”
参赛学生成绩按性 别统计如表
规定成绩落在
[80
，
100
）的为获奖者．
分组

频数

性别

男生

女生

[50
，
60
）

1

0

[60
，
70
）

1

2

[70
，
80
）

1

5

[80
，
90
）

23

11

[90
，
100
）

4

2

（
1
）在成绩落在
[90
，
100< br>）的学生中任选
2
人，求恰有一名男生的概率；

（
2
）由以上统计数据填写下面列联表并判断能否有
95%
的把握认为该校学生是否
获奖 与性别有关？


获奖者

非获奖者

合计

男生

女生

合计












2
附表及公式：
K=

；

p
（
K
2
≥k
0
）

0.15

k







2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

第3页，共13页

20.

在四棱锥
P-ABCD
中，底面
ABCD
为菱形，
AB=2
，∠
BCD=60°
，侧面
PBC
为等边
三角形，
M
，
N
分别
BC
，
PA
的中点．

（
1
）证明：
BC
⊥
PD
；

（
2
）若平面
PBC
⊥平面
ABCD
，求四面体
DP MN
的体积．








2
21.

设抛物线
C
：
y
=4x
的焦点为
F
，过
F
的直线
l
与
C
交于< br>A
，
B
两点．

（
1
）若
|AF| =2|BF|
，求直线
l
的斜率；

（
2
）设线段
AB
的垂直平分线交
x
轴于点
D
，求证：
|AB| =2|DF|
．







22.

已知函数
f
（
x
）
=1nx+ax
．

（
1
）讨论
f
（
x
）的单调性；

2
（
2
）当
a
＞
0
时，关于
x
的方程
f
（
x
）
=ax
有唯一解，求
a
的 值．







第4页，共13页

答案和解析

1.
【答案】
C

【解析】解：∵集合
A={-2
，
-1
，
0
，
1}
，
B={x|-2
＜
x
＜
1}
，

∴
A∩B={-1
，
0}
．

故选：
C
．

利用交集定义直接求解．

本题考查 交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．

2.
【答案】
A

【解析】解：

=


．

故选：
A
．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．



3.
【答案】
C

【解析】解：对于
A
，
2016
年以来，人口出生率并不是不断提升的，
A
错误；

对于
B
，
2015
年以来，我国人口死亡率并没有显著下降，
B
错误；

对于
C
，由图形知，
2016
年以来，我国人口增 速逐渐放缓，
C
正确；

对于
D
，由图形不能得出
2018
年人口较
2017
年减少，
D
错误．

故选：
C
．

根据题意结合图形，分析题目中的选项是否正确即可．

本题考查了利用柱状图分析数据特征的应用问题，是基础题．

4.
【答案】
D

【解析】解：双曲线
C
：



2
，
0
），




=1
（
b
＞
0
）的顶点为（
±


2y=0
，

渐近线方程为
bx±
由题意可得距离
d=



=


，

解得
b=2


，

故选：
D
．

设出双曲线的顶点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．

本 题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，
以及方程思想，属于 基础题．

5.
【答案】
B

【解析】解：将函数
y=sin
（
x+

）图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不
变），

可得
y=sin
（

+

）的图象；

再向右平移

个单位，得到的图象对应的解析式为
y=sin
（

-

+

）
=sin
（

+

），

故选：
B
．

第5页，共13页

由题意利用函数
y=Asin
（
ωx+φ
）的图象变换规律，得出结论．

本题主要考查函数
y=A sin
（
ωx+φ
）的图象变换规律，属于基础题．

6.
【答案】
D

【解析】解：如图，























根据题意：







=


．
=




故选：
D
．









，








，




可以先画出图形，根据条件可得出：并且










．

进行向量的数乘运算即可得出


考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．

7.
【答案】
A

D
，
1
＞
x
＞
0
时，
y′=
【解析】解：函数
y=

是奇函数，排除选项
B
、
＞
0
，

所以< br>0
＜
x
＜
1
时，函数是增函数，排除选项
C
．

故选：
A
．

判断函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数判断函数的单调性即可．

本题考查函 数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用是判断函数的图象
的基本方法．








=


8.
【答案】
C

【解析】解：根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余
部分，

如图所示；

则该几何体的表面积是

2
S=2×2
2
+4×2×


-π?1
+π?1?







=8+8


+π
．

故选：
C
．

根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余部分，

第6页，共13页

结合图中数据求得该几何体的表面积．

本题考查了由三视图想象出直观图，以及空间想象力，识图能力及计算能力．

9.
【答案】
B

，

＜

- ∞
，
0
）上，
f
（
x
）为减函【解析】解：根据题 意，函数
f
（
x
）
=


，在（

，

数，在（
0
，
+∞
）上，
f（
x
）为增函数，

对于
f
（
x
）＞
f
（
x+

），分
3
种情况讨论：

①x
＜
x+

＜
0
，即
x
＜
-

时，
f
（
x
）在（
-∞
，
0
）上为减函数，满足
f（
x
）＞
f
（
x+

），符
合题意；

②x
＜
0≤x+
，即
-
≤x
＜
0
时，
f
（
x
）＞
f（
x+
），则有＞
2
（
x+
）
-2
， 即
2x+1
＞，解可

得：

≤x
＜
-1
＜
x
＜
0
；

③0≤x
＜
x+

，即
x≥0
时，
f（
x
）在（
0
，
+∞
）上为增函数，不能满足
f
（
x
）＞
f
（
x+

），
不符合题意；

综合可得
x
的取值范围为（
- ∞
，
-1
）；

故选：
B
．

根 据题意，由函数的解析式分析函数的单调区间，对于
f
（
x
）＞
f< br>（
x+

），分
3
种情况
讨论：
①
，
x
＜
x+

＜
0
，即
x
＜
-

时，
②
，
x
＜
0≤x+

，即
-

≤x
＜
0
时，
③
，0≤x
＜
x+

，即
x≥0
时，求出
x
的取值范围，综合即可得答案．
< br>本题考查分段函数的应用，注意分析
f
（
x
）的单调性，属于基础题．

10.
【答案】
A

【解析】解：设圆心坐标为（a
，
b
），半径为
r
，







．则







，解得










则












．

22∴圆
C
的方程为（
x-1
）
+
（
y-

）
=

．




故选：
A
．

设圆心坐标为（
a
，
b），半径为
r
，由题意可得关于
a
，
b
的方程组，求解
a
，
b
的值，
再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求．< br>
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的方程的求法，是基础题．

11.
【答案】
C

【解析】解：如上图示，延长
AM
与
A
1
D
1

的延长线交
于点
E
，

连接
EN
交
D
1
C
1
于点
P
，

∴过点
AMN
的平面就是平面
ANE
，

易知△
ADM
≌△
ED
1
M
，

第7页，共13页

∴
DE=3
，
ME=MA
，

∴< br>DE
∥
NC
1
，
DE=NC
1
，

∴△
D
1
PE
≌△
C
1
PN
，< br>
∴
PD
1
=PC
1
，

∵
D
1
C
1
=6
，

∴
PC
1
=3
．

故选：
C
．

做出正方体，延长
AM
与
A
1
D
1
的延 长交于点
E
，连接
EN
，与
D
1
C
1
交于点
P
即可求
PC
1

的
长．

本题考查截面的做法，三角形全等的判定，考查空间想象能力，属于基础题．

12.
【答案】
D

x
【解析】解：设直线
y= ax+b
与曲线
y=xe
相切
m
于
M
（
m
，
me
），

xx
由
y=xe
导数为y′=
（
x+1
）
e
，

m
可得切线的斜率为（
m+1
）
e=a
，

mm
2
m
又
am+b=me
，可得
b=me- am=-me
，

a+b=e
m
（
m+1-m
2
），

22
=e
m
f
（
′m
）
=e
m
由f
（
m
）（
m+1-m
），（
2-m-m
），

当
m
＞
1
或
m
＜
-2
时，
f′
（
m
）＜
0
，
f
（
m< br>）递减；

当
-2
＜
m
＜
1
时，< br>f′
（
m
）＞
0
，
f
（
m
）递增．

-2
即有
f
（
m
）在
m=-2
处取得极小值
-5e
，

由图象可得
m=1
处取得极大值且为最大值
e
．

则
a+b≤e
．

故选：
D
．

xm
设直线
y=ax+b
与曲线
y=xe
相切于
M
（
m
，
me
），求出函数的导数，求得切线的斜率，
mm
2 2
由切点在直线上，可得
a+b=e
（
m+1-m
），由
f
（
m
）
=e
（
m+1-m
），求出导数和单
调区间，可得极大值，且为最大值，可得所求范围．

本题考查导数的运用：求切线的斜率和 单调区间、极值和最值，考查构造函数和化简整
理的运算能力，属于中档题．

13.
【答案】
“
?
x
∈（
0
，
+∞
） ，
1nx
＞
x-1”

【解析】解：命题
“
?< br>x
∈（
0
，
+∞
），
1nx≤x-1”
的否 定为

“
?
x
∈（
0
，
+∞
），
1nx
＞
x-1”
．

故答案为：
“
?< br>x
∈（
0
，
+∞
），
1nx
＞
x- 1”
．

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．

本题考查了全称量词命题与存在量词命题的应用问题，是基础题．

14.
【答案】
-3

第8页，共13页

【解析】解：由约束条件


作出可行域如图，




联立

，解得
A
（
-2
，
3
），


化目标函数
z=3x+y
为
y=-3x+z
，

由 图可知，当直线
y=-3x+z
过
A
时，直线在
y
轴上的截 距最小，
z
有最小值为
3×
（
-2
）
+3=-3< br>．

故答案为：
-3
．

由约束条件作出可行域，化 目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最
优解的坐标代入目标函数得答案．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

15.
【答案】
[-2
，
0
）
[1
，
+∞
）


x
【解析】解：由
e-1=0
，可得
x=0
，
< br>2
由
x+x-2=0
，可得
x=-2
或
1
，

可得
a=0
或
0
＜
a
＜
1时，
f
（
x
）有两个零点
0
，
1
；< br>
若
a
＜
-2
时，
f
（
x
）有两个零点
-2
，
1
；

若
f
（
x
）的零点只有一个零点
0
，可得
a≥1
；

若
f
（
x
）的零点只有一个零点
1
，得
a
＜
0
，且
-2≤a
＜
1
；

可得
-2≤a
＜
0
或
a≥1
，

故答案为：
[-2
，
0
）
[1
，
+∞
）．

求得
f
（
x< br>）的零点，讨论
a=0
，
a
＞
0
，
a
＜
0
，结合恰有一个零点，可得
a
的范围．

本题考查分段函数的零点个数，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．


16.
【答案】




2
【解析】解：椭圆
+y=1
的右顶点为
A
（


，
0
），



上顶点为
B
（
0
，
1
），

AB
的方程为
x+


y=


，

联立直线
y=kx
，可得
Q
（
可得< br>|AQ|=














，），













=



，












2
由
y=kx
和椭圆
+y=1
联立，可得P
（

，
k




），

|PR|=k



，
k
＞
0
，则

=







，

第9页，共13页

由（




2

）
=







=1+


≤1+










=2
，

当且仅当
k=

上式取得等号，



可得

=








≤
，




即有

的最大值为

．



故答案为：

．


求得椭圆的右顶 点和上顶点，以及
AB
的方程，联立
y=kx
解得
Q
的坐标 ，求得
AQ
的长，
y=kx
和椭圆方程联立，可得
P
的坐标 ，化简

，运用基本不等式即可得到所求最大值．

本题考查椭圆的方 程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立求交点，以及两点的距离公
式的运用，考查运算能力，属于中档 题．


17.
【答案】解：（
1
）
Sn
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．已知a
2
=-1
，
S
4
=0
．

设首项为
a
1
，公差为
d
，

则：











，

，

解得：



所以：
a
n
=-3+2
（
n-1
）
=2n-5
，

（
2
）由于：
a
n
=3n-5
，

所以：











，

所以：T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
，
=















，

=




．


【解析】（
1
）首先利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式．

（
2
）利用（
1
）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，
主要考 察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．


18.
【答案】解：（
1
）△
ABC
中，


，则

+

=+1
；


222
∴
a
+b-c=ab
，





∴
cosC=







==
，





又
C
∈
[0
，
π]
，

∴
C=

；

（
2
）由
c=


，
a+b=3
，

222
得
c=a+b-2abcosC
，

2
即< br>3=
（
a+b
）
-2ab-2abcos

，



第10页，共13页

∴
3=9-2ab-ab
，

解得
ab=2
，





2×=
；

∴
S
△
ABC
=

absinC=

×


又
S
△
ABC
=

ch=

?


h=

，




解得
h=1
，

即
AB
边上的高为
h=1
．


【解析】 （
1
）根据正弦、余弦定理，化简求得
cosC
和
C
的值；

（
2
）由余弦定理和三角形面积公式，列方程求得
AB
边 上的高．

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是基础题．

19.
【答案】解：（
1
）成绩在
[90
，
100
）内的学生有
6
人，其中男生
4
人，记为
a
、
b< br>、
c
、
d
，女生
2
人，记为
E
、< br>F
；

这
6
人中任选
2
人，所有的基本事件 是
ab
、
ac
、
ad
、
aE
、
a F
、
bc
、
bd
、
bE
、
bF
、
cd
、
cE
、
cF
、
dE
、
dF
、
EF
共
15
种；

其中恰有
1
名男生的基本事件为
aE
、
aF
、
bE
、
bF、
cE
、
cF
、
dE
、
dF
共
8
种，

故所求的概率为
P=

；

（
2
）由题意填写列联表，如下；


获奖者

非获奖者

合计

男生

27

3

30




女生

13

7

20

=4.6875
＞
3.841
；

合计

40

10

50

2
由表中数据，计算
K=
所以有
95%
的把握认为该校学生是否获奖与性别有关．


【解析】（
1
）由题意利用分层抽样法求出基本事件数，求出对应的概率值；

2
（
2
）由题意填写列联表，计算
K
，对照临界值得出结论 ．

本题考查了列举法求古典概型的概率，以及独立性检验的应用问题，是基础题．

20.
【答案】解：（
1
）证明：∵
在四棱锥
P-ABCD
中，底面
ABCD
为菱形，
AB=2
，∠
BCD=60°< br>，

侧面
PBC
为等边三角形，
M
，
N分别
BC
，
PA
的中点．

∴
PM
⊥
BC
，
DM
⊥
BC
，

∵
PM∩DM=M
，

∴
BC
⊥平面
PDM
，

∵
PD
?平面
PDM
，∴
BC
⊥
PD
．

（2
）解：∵平面
PBC
⊥平面
ABCD
，
PM
⊥
BC
，

∴
PM
⊥平面
ABCD
，

以
M
为原点，
MC
为
x
轴，
MD
为
y
轴，MP
为
z
轴，建立空间直角坐标系，

M
（
0
，
0
，
0
），
D
（
0
，


，
0
），
P
（
0
，
0
，


），
A
（
-2
，


，
0
），
N
（
-1
，


，


），


第11页，共13页

=
（
-1
，


，


），


=
（
1
，
0
，
0
），

平面
PDM
的法向量



点
N
到平面
PMD
的距离
d=







=1
，


S
△
PDM
=

=





=

，

∴四面体
DPMN
的体积：

V=

△
=

=
．




【 解析】（
1
）推导出
PM
⊥
BC
，
DM
⊥
BC
，从而
BC
⊥平面
PDM
，由此能证明
BC< br>⊥
PD
．
（
2
）推导出
PM
⊥平面
ABCD
，以
M
为原点，
MC
为
x
轴，
M D
为
y
轴，
MP
为
z
轴，建
立空间直角坐 标系，利用向量法能求出四面体
DPMN
的体积．

本题考查线线垂直的证明 ，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间
的位置关系等基础知识，考查了推理能力与 计算能力，是中档题．


21.
【答案】解：（
1
）抛物线
C
：
y
2
=4x
的焦点为
F
（< br>1
，
0
），

由题意可知，直线
l
的斜率存在，设为
k
，

设< br>AB
所在直线方程为
y=k
（
x-1
），

2222
联立抛物线方程，得
kx-
（
2k+4
）
x+k= 0
．

解得
x
A
=







，
x
B
=







．

由
|AF|=2|BF|
，得
x
A
+1=2
（
x
B< br>+1
），

∴
x
A
=2x
B
+1
，即

2


；

解得
k=±
（
2）证明：由（
1
）可得中点
M
（












=2?







+1
，

，

），







设
AB
的垂直平分线的方程为
y-

=-

（
x-
令
y=0
，可得
D
（
3+


，
0
），

又
F
（
1
，
0
），可得
|DF|=2+


，




），

|AB|=x
A
+x
B
+2=2+

+2=2
（
2+

）
=2|DF|
，


则
|AB|=2|DF|
．



第12页，共13页

【解析】（
1
）由题意画出图形，设出
A
、
B
所在直线方程，与抛物线方程联立，由抛物
线焦半径公式及已 知列式求得
k
；

（
2
）求得
AB
的中点
M
的坐标，设
AB
的垂直平分线方程，可令
y=0
，求得< br>D
的坐标，
进而得到
|DF|
，再由抛物线的定义可得
|AB |
，即可得证．

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考 查计算能力，是中
档题．

22.
【答案】解：（
1
）f′
（
x
）
=

+a
．（
x
＞
0
）．

a≥0
时 ，
f
（
′x
）
+∞
）＞
0
，函数
f
（
x
）在（
0
，
上单调递增．

a＜
0
时，
f′
（
x
）
=






．



可得函数
f
（
x
）在

，



上单调递增，
在


，



上单调递减．

2
（
2
）当
a
＞
0
时，关于
x
的方程
f
（
x
）
=ax，


化为：
a
（
x-1
）
=
令
g
（
x
）
=
g′
（
x
）=




．

，（
x
＞
0
）．




，可得：函数
g
（
x
）在（
0
，
e
）上单调递增，在（
e
，
+∞
）上单调递减．如
图所示：

2
当
a
＞
0
时，关于
x
的方程
f
（
x
）
=ax
有唯一解．

经过验证可得：
x=1
是上述方程的一个实数根．

∴直线
y=a
（
x-1
）必然与曲线
g
（
x
）相切于点（
1
，
0
）．

∴
a=g′
（
1
）
=1
．


【解析】（
1
）
f′
（
x
）
=

+a
．（
x
＞
0
）．对
a
分类讨论即可得 出函数
f
（
x
）的单调性．

2
（
2）当
a
＞
0
时，关于
x
的方程
f
（< br>x
）
=ax
，化为：
a
（
x-1
）
=



．令
g
（
x
）
=


，（< br>x
2
＞
0
）．利用导数研究其单调性即可得出图象．当
a＞
0
时，关于
x
的方程
f
（
x
）=ax
有
唯一解．经过验证可得：
x=1
是上述方程的一个实数根．可得 直线
y=a
（
x-1
）必然与曲
线
g
（
x
）相切于点（
1
，
0
）．即可得出
a
．

本题考查了利用导数研究函数的单调性及其切线方程、方程与不等式的解法、分类讨论
方法，考 查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．



第13页，共13页