高中数学课程标准2017版PPT-高中数学精编解析几何答案
高中数学
解题中“主元思想”的应用
在数学解
题中常用到“主元思想”,所谓“主元思想”,即是指在
含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中,
选择其中一个字母作
为研究的主要对象,视为“主元”,而将其余各字母视作参数或常量,
来指
导解题的一种思想方法.这一思想方法运用的核心是确定“主
元”、选择“主元”,在多变量问题的解题
中一旦选对了“主元”,等
价于战斗中选择准了主攻方向.
下面利用两道例题的分析和解题研
究来简单介绍一下应该如何运
用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”:
[例1]设不等
式mx
2
—2x-m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成
立,求x的取值范围.
[分析1]可以将原不等式化为(x
2
-1)m﹤2x-1①,采用分离变
量
法,视
x
为主元,通过讨论x
2
-1的符号来求解.
[解答1](
1)当x
2
-1=O即x=±1时,①成立
?
2x-1﹥O,∴x=1; <
br>(2)当x
2
-1﹥0即x﹤-1或x﹥1时,由①式得m﹤
2x?1
,
2
x?1
?
x
2
?1?0
2x?1
1
?3
由题意知
2
﹥2,由此得不等式组
?
,解得1﹤x﹤;
?
2x?1
x?1
2
?2
?
2
?
x?1
(3)当x
2
—1﹤0即-1﹤x﹤1时,由①得m﹥
2x?1
,
2
x?1
?
x
2
?1?0
2x?1
7?1
由题意知
2
﹤-2,由此得不等式组
?
,解得﹤x﹤1;
?
2x?1
x?1
2
??2
?
2
?
x?1
综上可知:
7?13?1
﹤x﹤.
22
[分析2]视m为主元,将原不等式看成关于m的不等式,进而将
不等式的左边看成关于m的函
数,利用函数的性质解题.
[解答2]设f(m)=(x
2
-1)m+1-2x,
则︱m︱≤2时,恒有f(m)﹤0,
2
?
7?13?1
?
f(2)?2x?2x?1?0
∴
?
,解得.
?x?
2
22
?
?
f(?2)??2x?2x?3?0
[点评]上述两种解法都运用了
“主元思想”,但从解题过程来看,
视m为主元比视x为主元要简便得多.事实告诉我们,若能稍微改<
br>变一下思维习惯,在含有多个变量的问题中,合理运用“主元思想”,
优先考虑如何选择主元是十
分必要的.
[例2]设a、b、c、d是实数,且满足(a+b+c)
2
≥2(a<
br>2
+b
2
+c
2
)
+4d,求证:ab+bc+ac
≥3d.
[分析]原不等式为关于a、b、c的对称轮换式,若能证明ab≥d,
则同理可证
bc≥d,ac≥d,从而命题得证.三个变量在解题中具有等
同地位,谁可以作为主元?由于题设中的
不等式可变形为c
2
-2(a+b)
c+a
2
+b
2
-2ab+4d≤0,从变形的结构形式看,此时可以视c为主元,
构造函数f(x)=x
2
-2(a+b)x+a
2
+b
2
-2ab+4d,进而通过研究该函
数的性质来帮助寻找
ab
与
d
的不等关系.
[解答]如分析中所设,易知f(x)是开口向上的抛物线,
∵f(c)≤0,从而抛物线与x轴有交点,
∴△=4(a+b)
2
-4(
a
2
+b
2
-2ab+4d)≥0,即 ab≥d,
同理,若分别视a、b为主元,则可证得bc≥d,ac≥d,
∴ab+bc+ac≥3d,证毕.
[点评]对于含有
多个变量的等式或不等式,可以运用“主元思想”
来指导对式子的整理和变形,从多个变元中选择出一个
作为主元,可
以使我们的研究目标更加清晰,以便于在纷繁复杂的关系中理出头
绪.许多看似复
杂、困难的问题,运用这样的思想方法去求解,常常
可以收到“避虚就实、变繁成简,化难为易”的解题
效果.
最后给出两个问题留给读者作为练习:
(1)已知a、b、c∈R,a+b+c=0
,abc=1,求证a、b、c中至少
有一个大于.
(2)已知k=a+x=b+y=c+z
,a,b,c,x,y,z均为正数,求证:
ay+bz+cx
?
k
2
.
参考解答:
(1)由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中,得-ac(a
+c)
=1
?
ac
2
+a
2
c+1=0,将该式视
C为未知数(主元)的方程,则△=a
4
-4a
≥0,∵a
?
0,∴
a≥
故原命题成立.
(2)由条件可知x=k-a,y=k-b,z=k-c,k
?
0,a、b、c ∈(
0,
k),记f(a)=ay+bz+cx,则将x,y,z代入后得:f(a)=(k-b-c)a+bk+ck-bc(0
?
a
?
k),其中0
?
b,
c
?
k,
当b+c≥k时,f(a)
?
f(o)=bk+ck-b
c=k
2
-(k-b)(k-c)
?
k
2
当b+
c
?
k时,f(a)
?
f(k)=(k-b-c)k+bk+ck-bc=k
2
-bc
?
k
2
综上可知:f(a)
?
k
2
,即ay+bz+cx
?
k
2
.
3
3
3
3
4?
,若在该式视a为主元,则可得c≥
4?
,
2
2
3
2