2007年湖南省高中数学竞赛试题及答案

2007年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项
是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的 偶函数，若
f(x)?g(x)?x
2
?9x?12
，则
f(x)? g(x)?

( )
A．
?x?9x?12

2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=
sinx?cosx
④
y?
其中在
(0,
A．①
3.方程
x
2
?x?1?x
?
x
2
2
B．
x?9x?12

2
C．
?x?9x?12
D．
x?9x?12

22
sinx

cosx
?
2
)
上为单调增函数的是 ( )
B．②
?1
C．①和③ D．②和④
?(x
2
?1 )
?
x
的解集为A(其中π为无理数，π=3.141?，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于 ( )
A．0 B．1
2
C．2
2
D．4
4.已知点P(x,y)满足
(x? 4cos
?
)?(y?4sin
?
)?4(
?
?R)
，则点P(x,y)所在区域的面积为
A．36π B．32π C．20π D．16π ( )
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要 求每个盒子里球的个数
不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.已知数列{
a
n
}为 等差数列，且S
5
=28，S
10
=36，则S
15
等于 ( )
A．80
7.已知曲线C：
y?
A．
(?2?1,2)

B．40 C．24 D．-48
?x
2
?2x
与直线
l:x?y?m?0< br>有两个交点，则m的取值范围是 ( )
B．
(?2,2?1)
C．
[0,2?1)
D．
(0,2?1)

8.过正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
的截面面积为S，S
max
和S
min
分别为S的最大值和最小 值，则
值为 ( )
A．
S
max
的
S
min
3

2
B．
6

2
C．
23

3
D．
26

3

9.设
x?0.82
0.5
,y?sin1,z?log
3
A．x7
，则x、y、z的大小关系为 ( )
C．z10.如果一元二次方程
x
2
?2(a?3)x?b
2
?9?0
中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方 程
有两个正根的概率P= ( )
A．
1

18
B．
1

9
C．
1

6
D．
13

18
二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）
x
2
y
2
??1
上异于长轴端点的任意一点，F
1
、F
2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆
169
|PF
1
| ?|PF
2
|?|OP|
2
?
___________.
12.已知△ABC中，
AB?a,AC?b
，试用
a
、
b
的向量运算式子表示△ABC的面积，即S
△ABC
=
____________________.
13.从3名男生和n名女生中，任选3人参 加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为
n=__________.
14.有10名乒 乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又
有1人负其余 4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题（本大题共5个 小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）
15.对于函数f(x ),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若
f(f(x))?x
，则称x为f( x)的“稳定点”，
函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
A?{ x|f(x)?x
}
34
，则
35
B?{x|f[f(x)]?x}
.
(1). 求证：A
?
B
2
(2).若
f(x)?ax? 1(a?R,x?R)
，且
A?B?
?
，求实数a的取值范围.
1 6.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？
组
上衣(件)
A
8
B
9
C
7
D
6

裤子(条)

10 12 11 7
17.设数列
{a
n
}
满足条件：
a
1
?1,a
2
?2
，且
a
n?2
?a
n?1
?a
n
(n?1,2,3,?
)
求证：对于任何正整数n，都有
n
a
n?1
?1?
1
n
a
n
< br>18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为< br>(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
(2).过点A作直线与(1)中的曲线交 于M、N两点，求
|BM|?|BN|
的最小值的集合.
7
.
25
19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内 的任一点，OP与三侧面所成的
角分别为α、β、
?
.
求证：
?< br>2
?
?
?
?
?
?
?3arcsin
3
3



参考答案
一、选择题： ADCBC CCCBA
二、填空题：
11. 25 12.
1
(|a|?|b|)
2
?(a?b)
2
13. 4 14. 1
2
三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A
?
B 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A
?
B.
解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即
ax?1?x
的实根.
2
由 A≠φ，知 a=0 或
?
a?0
?
1
即
a??

4
?
??1?4a?0
3422
22
B中元素是方程
a(ax?1)?1?x
即
ax?2ax?x?a?1?0
的实根
由A
?
B，知上方程左边含有一个因式
ax?x?1
，即方程可化为
2

(ax
2
?x?1) (a
2
x
2
?ax?a?1)?0

因此，要A=B，即要方程
ax?ax?a?1?0
①
要么没有实根，要么实根是方程
ax?x?1?0
② 的根.
若①没有实根，则
?
2
?a
2
?4a2
(1?a)?0
，由此解得
a?
22
2
22
3

4
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有
ax?ax?a
，代入①有 2ax+1=0.
1113
??1?0,
由此解得
a?
. ,再代入②得
2a4a2a4
13
故 a的取值范围是
[?,]

44
8976
16.解：A、B、C、D四个组每天生产 上衣与裤子的数量比分别是：
,,,
，且
1012117
6897
???
①
7101211
由此解得
x??
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣， 生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.
由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率 最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B
组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子 ;D组做7天上衣，C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即
y?9?
令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(
9?
6x
.
7
6x2
)=123+
x

77
max
因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.
因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣 ，4天裤子，这样做的套数最多，为
125套.
17.证明：令
a
0
?1
,则有
a
k?1
?a
k
?a
k?1
，且
1
?
n
a
k
a
于是
n?
?
?
?
k?1

k?1
a
k ?1
k?1
a
k?1
n
a
k
a
?
k?1
(k
?
1,2,
?
)

a
k?1
a
k?1
由算术-几何平均值不等式，可得
1?
n
a
a
1
a
2
a
a
a
? ???
n
+
n
0
?
1
???
n?1

a
2
a
3
a
n?1
a
2
a< br>3
a
n?1
注意到
a
0
?a
1
?1
，可知

1?
1
n
a
n?1
?
1
n
a
n
a
n?1
，即
n
a
n?1
?1?
1
n
a
n

18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为
定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
|CA|
2
?|CB|
2
?6
2< br>(|CA|?|CB|)
2
?2|CA||CB|?362a
2
?18
因为
cosC????1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|
又
|CA|?|CB|? (
2a
2
18187
2
)?a
2
，所以
cosC?1?
2
，由题意得
1?
2
?,a?25
.
225
aa
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
x
2
y
2
??1(y?0)
所以C点的轨迹方程为
2516
(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方 程为
0
1k
2
2
3
2
9k
2
? )x?kx?(?1)?0
y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得
(
2516 816
150k
2
225k
2
?400
,x
1x
2
?
显然有 △≥0， 所以
x
1
?x
2
??

22
16?25k16?25k
而由椭圆第二定义可得
339
| BM|?|BN|?(5?x
1
)(5?x
2
)?25?3(x
1< br>?x
2
)?x
1
x
2
5525
144

450k81k?144531k?144531
531
?25???25??2 5??
16
25
16?25k
2
16?25k
2
1 6?25k
2
k
2
?
25
222
k
2?
14416144
?
53125531
取最小值，显然. 只要考虑 的最小值，即考虑
1?
1616
k
2
?k
2
?2525
k
2
?
当k=0时，
|BM|?|BN|
取最 小值16.
0
当直线MN的倾斜角为90时，x
1
=x
2
=-3,得
|BM|?|BN|?(
34
2
)?16

5
x< br>2
y
2
??1(y?0)
，故
k?0
，这样的M、N 不存在，即
|BM|?|BN|
的最小值的集合为空但
2516
集.

19.证明：由 题意可得
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?1
，且α、β、
?
?(0,
所以
sin
?
?1?sin
??sin
?
?
222
?
2
)

1(cos2
?
?cos2
?
)?cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)

2
222
因为
cos(
?
?
?
)?co s(
?
?
?
)
，所以
sin
?
?cos (
?
?
?
)?sin[
当
?
?
?
?
当
?
?
?
?
?
2
?(
?
?
?
)]

?
2
时，
?
?
?< br>?
?
?
时，
?
?
?
2
.
?
2
?
2
?(
?
?
?
)
，同样有
?
?
?
?
?
?
?
2

故
?
?
?
?
?
?
?
2

另一方面，不妨设
?
?
?
?
?
，则
sin
?
?
33

,sin
?
?
33
令
sin
?
1
?
则
sin
2
33
,sin
?
1
?1?()
2
?sin
2
?
，
33
?
1
?sin
2
?
?sin
2
?
1
?1

sin
2
?
?cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos(
?
1
?
?
1
)cos(
?
1
?
?
1
)

因为
?
1
?
?
1
?
?
?
?
，所以
cos(
?
1
??
1
)?cos(
?
?
?
)

所以
cos(
?
?
?
)?cos(
?
1
??
1
)

所以
?
?
?
?
?
1
?
?
1

如果运用调整法，只要α、β、
?
不全相等，总可通过调整，使
?
1
?
?
1
?
?
1
增大.
所以，当α=β=
?
=
arcsin
33
时，α+β+
?
取最大值 3
arcsin
.
33
3

3
综上可知，
?
2
?
?
?
?
?
?
?3arcs in