高中数学零基础怎么80分-高中数学自己刷题不补课可以吗
高中数学奥林匹克竞赛试题
(9月7日上午9:00-11:00)
注意事项:本试卷共18题,满分150分
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分)
-1
1.定义在实数集R上的函数y=f(-x)的反函数是y=f(-x),则
(A)y=f(x)是奇函数 (B)y=f(x)是偶函数
(C)y=f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y=f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
2
2.二次函数y=ax+bx+c的图象如右图所示。记N=|a+b+c|+|2a-b|
,M=|a-b+c|
+|2a+b|,则
(A)M>N
y
(B)M=N
(C)M<N
(D)M、N的大小关系不能确定
3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异
1
-1
0
面的正方体的棱的条数是
(A) 4或5或6或7 (B)
4或6或7或8
(C) 6或7或8 (D) 4或5或6
4.ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则
(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形
(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形
(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形
(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形
2
5.ΔABC中,∠C=90°。
若sinA、sinB是一元二次方程x+px+q=0的两个根,则下列关
系中正确的是
(A)p=
?1?2q
且q>
?
1
(B)p=
1?2q
且q>
?
1
x
22
(C)p=-
1?2q
且q>
?
1
(D)p=-
1?2q
且0<q≤
1
2
2
6.已
知A(-7,0)、B(7,0)、C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A、B两
点,
此椭圆的另一个焦点的轨迹为
(A)双曲线 (B)椭圆
(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分
二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分)
7.
满足条件{1,2,3}? X ?{1,2,3,4,5,6}的集合X的个数为____。
22
a?x
8. 函数
f(x)?
为奇函数的充要条件是____。
|x?a|?a
9. 在如图所示的六块土地上,种上甲或乙两种蔬菜(可只种其中一种,也可
两种都种),要
求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜,则种蔬菜的方案数共有____种。
10. 定义在R上的函数y=f(x),它具有下述性质:
33
(i)对任何x∈R,都有f(x)=f(x),
(ii)对任何x
1
、x
2
∈R,x
1
≠x
2
,都有f(x
1
)≠f(x
2
),
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则f(0)+f(1)+f(-1)的值为____。
11. 已知复数z满
足
z?z?z?z?3
,且
arg(z?1)?
?
,则z=____
。
3
12. 已知动点P(x,y)满足二次方程10x-2xy-2y+1=0,则此二次
曲线的离心率为__
__。
三、解答题(本大题共6个小题,满分78分)
13.(本题满分12分)
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A
1
B<
br>1
C
1
D
1
中,E、F分别是棱AB与BC的中点。
(Ⅰ)求二面角B-FB
1
-E的大小;
D
1
(Ⅱ)求点D到平面B
1
EF的距离;
(Ⅲ)在棱DD
1
上能否找到一点M,使BM⊥平面EFB
1
?
B
1
若能,试确定点M的位置;若不能,请说明理由。
A
1
D
14.(本题满分13分)
2
关于x的一元二次方程2x―tx―2=0的两个根为α、β(α<β)。
A <
br>(Ⅰ)若x
1
、x
2
为区间[α,β]上的两个不同的点,求证:4x
x
2
)-4<0;
B
1
x
2
-t(x
1
+
E
C
1
C
F
?t
,f(x)在区间[α,β]
上的最大值和最小值分别为f
max
和f
min
,g(t)(Ⅱ)设
f(x)?
4x
2
x?1
=f
max
-f
min<
br>,求g(t)的最小值。
15.(本题满分13分)
已知a
1
=1,a
2
=3,a
n+2
=(n+3)a
n+1
-(n+2)a
n
,若当m≥
n时,a
m
的值都能被9整除,
求n的最小值。
16.(本题满分13分)
m n
一台计算机装置的示意图如图,其中
J
1
、J
2
表示数据入口,C是计算结
J
2
J
1
果的出口。计算过程是由J
1
、J
2
分别输入自然数m和n,经过计算后得自然
数K由C输出。若此装置满足以下三个性质:①J
1
、J
2
分别输入1,则输出
计算机装置
结果1;
②若
J
1
输入任何固定自然数不变,J
2
输入自然数增大1,则输出结果比
C
原来增大2;
K
③若J
2
输入1,J
1
输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍,试问:
第 2 页 共 6 页
(Ⅰ)若J
1
输入1,J
2
输入自然数n,则输出结果为多少?
(Ⅱ)若J
2
输入1,J
1
输入自然数m,则输出结果为多少? <
br>(Ⅲ)若J
1
输入自然数2002,J
2
输入自然数9,则输出结果为
多少?
17.(本题满分13分)
以A为圆心,以2cosθ(<
br>?
<θ<
?
)为半径的圆外有一点B,已知|AB|=2sinθ。
4
2
设过点B且与圆A外切于点T的圆的圆心为M。
(Ⅰ)当θ取某个值时,说明点M的轨迹P是什么曲线;
(Ⅱ)点M是轨迹P上的动点,点N
是圆A上的动点,把|MN|的最小值记为f(θ)(不
要求证明),求f(θ)的取值范围;
(Ⅲ)若将题设条件中的θ的范围改为(0<θ<
?
=,点B的位置改为圆内,其它条
4
件不变,点M的轨迹记为P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题(不要求解答)。
18.(本题满分14分)
44444
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,其
体对角线长为l,试证:(l-a)(l-b)(l
4444
-c)≥512abc。
湖南省2002年高中数学竞赛试题解答
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分)
-1-1
1. 解:由
y=f(-x)得f(y)=-x,故y=-f(x)是y=f(-x)的反函数,即-f(x)
=f(
-x)。所以y=f(x)是奇函数,选(A)。
-1-1
注:也可以先求得y=f(-x)
的反函数为y=-f(x),进而知y=f(x)是奇函数,故
y=f(x)是奇函数。
2.
解:如图,f(1)=a+b+c<0,f(-1)=a-b+c>0,a>0,f(0)=c<0,
?
b
>
2a
1。
从而b<0,2a+b<0,2a-b>0,a-c<0。
故M-N=|a-b+c|+|2
a+b|-|a+b+c|-|2a-b|=(a-b+c)+(a+b+c)-(2a
+b)-(2a
-b)=―2(a―c)<0,所以选(C)。
3.解:由图形可知应当选(B)。
4.
解:因为左边=sinAcosA+sinAcosB+sinBcosA+sinBcosB=
1(sin2A+sin2B)+
2
sin(A+B)=sin(A+B)cos(A-B)
+sin(A+B),右边=2sin(A+B)。
所以已知等式可变形为sin(A+B)[cos(A+B)-1]=0。
又因sin(A+B)>0,所以cos(A-B)=1,故A=B。
另一方面,A=B=30°,C=120°也符合已知条件。
所以ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形,选(A)。
5.
解:由根与系数的关系可知sinA+sinB=-p>0,sinAsinB=q>0,
即sinA+cosA=-p>0,sinAcosA=q>0。
2222
再由sinA+cosA=1可知p-2q=1,p-4q≥0且p<0,q>0。
所以p=-
1?2q
且0<q=sinAcosA=
1
sin2A≤
1
。选(D)。
22
6.
解:设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义知|AC|+|AF|=常数=|BC|+|BF|,
第
3 页 共 6 页
故|BF|-|AF|=|AC|-|BC|。又|AC|=15
,|BC|=13,|AB|=14,所以|FB|-|FA|=2<14
=|AB|。故点F的轨迹为
双曲线的部分,选(D)。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分)
3
7.不同的X共有2=8个。
8. a>0。
123
9.解:
可得总方案数为
C
0
7
?C
6
?C
5
?C
4
?21
。
10.解: f(0)+f(1)+f(-1)=0。
11.解: z=
2?3i
。
?
9
12.解:由10x-
2xy-2y+1=0可得
y?5?
2
,所以二次曲线为等轴双曲线,故离
x
?1
心率为
2
。
另解:由10x-2xy-2y+1=0有x+6x+y-
6y-2xy+9=x-4x+4+y-4y+4。
2222
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
,故e=
2
。 即
(x?2)?(y?
2)?|x?y?3|
,所以
|x?y?3|
2
22
三、解答题(本
大题共6个小题,满分78分)
13.解:(Ⅰ)作BH⊥B
1
F于H,连结EH。
则由EB⊥平面BB
1
F可知EH⊥B
1
F(三垂线定理),
BF?
BB
1
于是∠EHB是二面角B-FB
1
-E的平面角。在RtΔBB
1
F中,BH=
?
B
1
F
所以tg∠EHB=
E
B
?
5
。故二面角B-FB
1
-E的大小为
a?
1
a
2
?
5
a
,
5
a
2
?
1
a
2
4
D
1
B
1
C
1
BH2
arctg
5
。
2
A
1
M
(Ⅱ)容易证明ΔDEF≌ΔB
1<
br>EF,所以由
V
B
1
?DEF
?V
D?B
1
EF
可得点
D到平面B
1
EF的距离等于点B
1
到
平面DEF的距离,当然等于a。
(Ⅲ)设EF与BD交于点G,连结B
1
G。则由
EF⊥BD以及EF⊥B
1
B
知EF⊥对角面BB
1
D
1<
br>D,于是面B
1
EF⊥面BB
1
D
1
D。在面BB<
br>1
D
1
D内过B
作BK⊥B
1
G于K,延长后交D<
br>1
D所在的直线于点M,则BM⊥平面B
1
EF。
再在平面BB1
D
1
D内,由ΔB
1
BG∽ΔBDM知
H
D
E
G
K
B
C
F
B
1
B
BD
。又B
1
B
A
?<
br>BGDM
=a,BG=
2
,BD=
2
,所以DM=
a
。这说明点M在正方体的
4
2
棱D
1
D上,且正好为D1
D的中点。
2
14.解:(Ⅰ)因为x
1
、x
2<
br>∈[α,β],所以由抛物线y=2x―tx―2的开口向上可知f(x
1
)
<
0且f(x
2
)<0。
2222
即2x
1
―tx
1
―2<0,2x
2
―tx
2
―2<0。两式相加得2(x
1
+x
2
)-t(x
1
+x
2
)―4<0,故由<
br>第 4 页 共 6 页
平均值不等式可得4x
1
x
2
-t(x
1
+x
2
)-4<0。
22
t?t?16
t?t?16
。 (Ⅱ)依题意,
??
,
??
4
4
2
4?
t?t?16
?t
2?16t?16
4
所以
f(?)??
22
?
2
?8
2
2
t?16?t
?
t?t
2
?16
?
?1
t?t?16?2tt?16?16
??
4
??
。
f(?)?
2
8
t?16?t
,
由
t
2<
br>?16
≥|t|知f(β)>0>f(α)。
另一方面,设α≤x
1
<x
2
≤β,则
f(x
1
)?f(x
2
)?
[4?t(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
]
(x
1
?x
2
)
,
2
(x
1<
br>2
?1)(x
2
?1)
由(Ⅰ)的结论可知f(x
1
)<f(x
2
)。从而f(x)在区间[α,β]上是增函数。
所以g(t)=f<
br>max
-f
min
=f(β)-f(α)=
2
8?8
??t?16
≥4,等号在
22
t?16?tt?16?t
t=0时取到。
15. 解:因为a
1
=1,a
2
=3,a
n+2
=(n+3)a
n+1
-(n+2)a
n
,所以a
1
=1,
a
2
=3,a
3
=9,
a
4
=33,a
5
=153,a
6
=873,…。因为a
5
与a
6
都
能被9整除,所以由递推关系式a
n+2
=(n+
3)a
n+1
-(
n+2)a
n
可知a
5
后面的所有项都能被9整除。故n的最小值为5。 <
br>另解:由a
n+2
=(n+3)a
n+1
-(n+2)a
n<
br>可得a
n+2
-a
n+1
=(n+2)a
n+1
-(
n+2)a
n
=(n+2)(a
n
(n+1)(a
n
-a<
br>n-1
) =…=(n+2)· (n+1)·n·(n-1)
·…·4·3·2·(a
2+1
-a
n
)=(n+2)
-a
1
) =(n+2)!。
所以a
n
=a
1<
br>+(a
2
-a
1
)+(a
3
-a
2
)+(a
4
-a
3
)+…+(a
n
-a
n-1)=1!+2!+3!+…+n!(n
≥1)。
由于a
1
=1,a2
=3,a
3
=9,a
4
=33,a
5
=15
3,并且n≥6时n!能被9整除,所以n的最
小值为5。
16. 解:当J
1输入m,J
2
输入n时,记k=f(m,n)。则f(1,1)=1,f(m,n+1)=
f(m,
n)+2,f(m+1,1)=2f(m,1)。
(Ⅰ) 因为f(1,n+1)=
f(1,n)+2,所以f(1,1),f(1,2),f(1,3),…,f(1,n),…
组成一个
以f(1,1)为首项,2为公差的等差数列。因此,f(1,n)=f(1,1)+2(n-1)=2n
-1。
(Ⅱ) 因为f(m+1,1)=2f(m,1),所以f(1,1),f(2,1),f(
3,1),…,f(m,1),…
m-1m-1
组成一个以f(1,1)为首项,2为公比的等
比数列。因此,f(m,1)=f(1,1)·2=2。
(Ⅲ) 因为f(m,n+1)=f(m,n
)+2,所以f(m,1),f(m,2),f(m,3),…,f(m,n),…
m
组成一个
以f(m,1)为首项,2为公差的等差数列。因此,f(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2
-1
+2n-2。
2001
所以f(2002,9)=2+16。
17.
解:(Ⅰ)连MT、MA、MB,显然M、T、A三点共线,且|MA|-|MT|=|AT|=2cosθ。<
br>又|MT|=|MB|,所以|MA|-|MB|=2cosθ<2sinθ=|AB|。故点M的轨迹是
以A、B为焦点,
实轴长为2cosθ的双曲线靠近点B的那一支。
(Ⅱ)f(θ)=|MN
|
min
=|LK|=|LA|-|AK|=sinθ+cosθ-2cosθ=sinθ-c
osθ=
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2sin(??
?
)
。
4
由
?
<θ<
?
知0<f(θ)<1。
42(Ⅲ)设点M是轨迹P上的动点,点N是圆A上的动点,把|MN|的最大值记为g(θ),
求g(
θ)的取值范围。
22222222222222222
18. 证:左边=(l+a)(l
-a)(l+b)(l-b)(l+c)(l-c)=(a+b+c+a)(b
22222222222
22
+c)(a+b+c+b)(a+c)(a+b+c+c)(a+b)≥
4
4a
4
b
2
c
2
2b
2
c
2<
br>4
4
a
2
b
4
c
2
2a
2
c
2
4
4
a
2
b
2
c
4
2a
2
b
2
=512a
4
b
4
c
4
,其中等号在a=b=c时取
到。
第
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