高中数学小专题(精品)57

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57 放缩法证明数列不等式
一、基础知识：
在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题 目中，要根据不等
式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍 利用
放缩法证明不等式的技巧
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质： < br>（1）传递性：若
a?b,b?c
，则
a?c
（此性质为放缩法的基础 ，即若要证明
a?c
，但无
法直接证明，则可寻找一个中间量
b
，使 得
a?b
，从而将问题转化为只需证明
b?c
即可 ）
（2）若< br>a?b,c?d
，则
a?c?b?d
，此性质可推广到多项求和：
若
a
1
?f
?
1
?
,a
2
?f?
2
?
,L,a
n
?f
?
n
?
，则:
a
1
?a
2
?L?a
n
?f
?< br>1
?
?f
?
2
?
?L?f
?
n?

（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若
a?b?0,c?d?0
，则
ac?bd
，此性质也可推
广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数
注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同
2、放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
① 等差数列求和公式：
S
n
?
② 等比数列求和公式：
S
n< br>?
a
1
?a
n
?n
，
a
n
?kn?m
（关于
n
的一次函数或常值函数）
2
a
1?
q
n
?1
?
q?1
?
q?1
?，
a
n
?k?q
n
（关于
n
的指数类函数）
③ 错位相减：通项公式为“等差
?
等比”的形式
④ 裂项相消：通项公式 可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，
进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证 不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与
所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可
裂项相消的数列 进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：
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看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；
第二个方 法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公 式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视
为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“
S
n
?
常数”的形式，所构造 的等比数列的公比也要满足
，常数可
q?
?
0,1
?
，如 果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，
视为
a
1
的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，
1?q
12
再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数
=
2< br>，即可猜
3
1?
1
4
11
?
1
?< br>想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为
2?
??
。
24< br>?
4
?
注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是 否选择利用等比数
列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证 明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累
加”或“累乘”的形式，即
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
或
n< br>a
n?1
?f
?
n
?
（累乘时要求不等式两侧均为正
a
n
数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为
a
n
， 另一侧为求和的结果，进而完成证明
3、常见的放缩变形：
（1）
111
1
?
2
?
，其中
n?2,n?N
：可称
2
为“进可攻，退可守”，可依照
n
?
n?1
?
nn
?
n?1
?
n
所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于
1，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特
n
2
征的数列，例如：
1111
?
11
?
????
??
，这种放缩的尺度要小于
n
2
n
2
?1
?
n?1
??
n?1
?
2
?
n?1n?1
?
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（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
11411
?
11
?
????
??

n< br>2
n
2
?
1
4n
2
?1
?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1
?
4
（2）
1
?
n
2
，从而有：
n?n2
?
n?1?n?
?
2
n?n?1
?
1
?
n
2
n?n?1
?2
?
n?n?1

?
注：对于
1
1
?n?n?2,n?2,n?N
?
还可放缩为：
n
n
（3）分子分母同加常数：
bb?mbb?m
?< br>?
b?a?0,m?0
?
,?
?
a?b?0,m?0
?

aa?maa?m
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向 ，到了具体问题时不妨先构
造出形式再验证不等关系。
（4）
2
n
?
2
n
?1
?
2
2
n
2
n
2
n?1
?
n
?
n
?
n

n nn?1
?
2?1
??
2?1
??
2?1
??2?2
??
2?1
??
2?1
?

?
可推广为：
1
2
n?1
?1
?
1
?

n?2,n?N
??
n
2?1
k
n
?
k
n
?1
?
2
k
n
k
n
k
n?1
?
n
?
n
?
n

nn n?1
k?1k?1k?1k?kk?1k?1
????????????

?
二、典型例题：
1
k
n?1
?1
?
1
n?2,k?2,k,n?N
?
?

?
n
k?1< br>例1：已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为S
n
，若
4S
n
?
?
2n?1
?a
n?1
?1
，且
a
1
?1

（1 ）求证：数列
?
a
n
?
是等差数列，并求出
?
a< br>n
?
的通项公式
（2）设
b
n
?
1
a
n
S
n
，数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，求证：
T
n
?
3

2
解：（1）
4S
n
?
?
2n?1< br>?
a
n?1
?1


?4S
n?1
?
?
2n?3
?
a
n
?1
?
n? 2
?

?4a
n
?
?
2n?1
?
a
n?1
?
?
2n?3
?
a
n

?
n?2
?

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即
?
2n?1
?
a
n
?
?
2n?1
?
an?1
?
a
n?1
2n?1
?

a
n
2n?1
?
a
n
2n?1a
n?1
2n?3a5
?,?,
L
,
3
?

a
n?1
2n?3a
n?2
2n?5a
2
3
a
n
a
n?1
a2n?12n?35a2n?1
??
L
?
3
???
L
?
即
n
?
?
n?2
?
a
n?1
a
n?2
a
2
2n?32n?53a
2
3
?
?a
n
?
2n?1
a
2
， 由
4S
n
?
?
2n?1
?
a
n?1
?1
令
n?1
可得：
3
4S
1
?a
2
?1?a
2
?3

?a
n
?2n?1
?
n?2
?
，验证
a
1
?1
符合上式
?a
n
?2n?1

S
n
?n
2

（2） 由（1）得：
b
n
?
1
?
2n?1
?
n
2
?
1< br>
b
1
?1

n
?
2n?1
?
可知当
n?2
时，
b
n
?
1111
?
11
?
???
?
?
?

n
?2n?1
?
n
?
2n?2
?
2n
?
n ?1
?
2
?
n?1n
?
1
?
?
1
??
11
?
1
?
?
?
1
?Tn
?b
1
?b
2
?
L
?b
n
?b
1
?
?
?
1?
?
?
?
??
?
L
?
?
?
?
?

2< br>?
?
2
??
23
??
n?1n
?
?

?1?
不等式得证
?
例2：设数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?1 ,a
n?1
?3a
n
,n?N
，设
S
n
为 数列
?
b
n
?
的前
n
项和，已知
b
1
?0
，
1
?
1
?
3
1?
??
?

2
?
n
?
2
2b
n
?b
1
?S
1
?S
n
,n?N
?
< br>（1）求数列
?
a
n
?
,
?
b
n< br>?
的通项公式
（2）求证：对任意的
n?N
且
n?2
，有
?
1113
??
L
??

a
2< br>?b
2
a
3
?b
3
a
n
?b
n
2
解：（1）
Qa
n?1
?3a
n

?
?
a
n
?
为公比是
3
的等比数列 ?a
n
?a
1
?3
n?1
?3
n?1

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在
?
b
n
?
中，令
n?1< br>，
2b
1
?b
1
?S
1
?S
1?b
1
?1

?2b
n
?1?S
n

2b
n?1
?1?S
n?1

?2b
n
?2b
n?1
?b
n
?
n?2
?
?bn
?2b
n?1

?
?
b
n
?
是公比为
2
的等比数列 ?b
n
?b
1
?2
n?1
?2
n?1

（2）证明：
111
?
n?1
?

a
n
?b
n
3?2
n?1
3
n?2
111
??
L
?

a
2
?b
2
a
3
?b
3
a
n
?b
n
?
?
1
?n?1
?
1?
?
1?
??
?
n?1
3
??
3
??
1131
??
??
??
?1? ?
L
?
n?2
??
?
1?
??
?
?

1
332
?
?
?
3
?
??
2
1?
3
例3：已知正项数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
a
n
?
2
（1）求证：数列
S
n
是等差数列
1
?2S
n
,n?N
?

a
n
? ?
3
（2）记数列
b
n
?2S
n
,T
n< br>?
111
131
??L?
，证明：
1??T
n
??

b
1
b
2
b
n
2
n?1 n
解：（1）
a
n
?
11
?2S
n
?S< br>n
?S
n?1
??2S
n
?
n?2
?

a
n
S
n
?S
n?1
?
1
2 2
?S
n
?S
n
?S
n?1

?S
n?1
?1

S
n
?S
n?1
2
?
?
S
n
?
为等差数列
（2）思路：先利用 （1）可求出
S
n
的公式进而求出
b
n
?2nn
， 则
缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解：令
n?1
代 入
a
n
?
11
?
，考虑进行放
b
n
2nn
1
?2S
n
可得：
a
n
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a
1
?
1
?2a
1
?a
1
?1
即
S
1
?1

a
1
2
2
由
S
n
为等差数列可得：
S
n
?S
1
2
?< br>?
n?1
?
?n

??
?S
n
?n

?b
n
?2nn

?
11
?

b
n
2nn
考虑先证
T
n
?
31
?

2
n
11
??
b
n
n?2n
n
? n?2
时
1
?
n?1?n
?
?
n?n?1n?n ?111
???
?
n?2
?

n
n?1n
n
?
n?1
?
T
n
?
1
?
1?
?
11
?
1
?
1131
?
1

?
?
1????
L
????1???
???
2
?
?
b
1
?
2
2
?
?
2 3
?
n
?
nn
?
n?1
13
??1

22
n?1
时，
T
1
?
?T
n
?
31
?

2
n
1

n?1
再 证
T
n
?1?
11
??
b
n
n?2nn
1
?
n?1?n
?
?
n?1?nn?1?n11
???
n
nn?1
n
?
n?1
?
1
?
?
11
?
1
?
1
?
1
?

?T
n
?
?
1????
L
???1?
???
?
?
2
?
?
23
?
n?1
?
n?1
?
?
n
综上所述：
1?
131< br>?T
n
??

2
n?1n
小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：
n?1?n?
111
???n?n?1

n?1?n2nn?n?1
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?
1
?
例4：已 知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?1
?2
?
1?
?
a
n
,n?N
?< br>
?
n
?
（1）求证：数列
?
2
?
a
n
?
是等比数列，并求出数列
?
a
n
?
的通项公式
2
?
n
??
（2）设
c
n
?
n
17
，求证：
c
1
?c
2
?L?cn
?

a
n
24
2
2
?
n? 1
?
a

?
1
?
解：（1）
a
n ?1
?2
?
1?
?
a
n
?2?
n
n
2
?
n
?
?
a
n?1
?
n?1
?
2
?2?
a
n
?
a
n
?
?

?
2
?
是公比为
2
的等比数列
n
2
?
n
?
?
a
n
?
a
1
?
n?1n
??2?2

??
22
n
?
1
?
?a
n
?n
2
?2
n
（2）思路：
c
n
?
n1
?
，无法直接求和，所以考虑 放缩成为可求和的通项公式（不等号：
a
n
n?2
n
?
）， 若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有
n
，
故分子分母通乘以
?
n?1
?
，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解：
c
n
?
n1n?1
??

a
n
n?2
n
n
?
n?1
?
2
n
而
2n?
?
n?1
?
11n?1

???
n ?1nnn
n?12n?2nn?12nn?12
??????
n?1n?111???
?
n?2
?

n
?
n?1
?< br>2
n
n
?
n?1
?
2
n
?
n?1
?
2
n?1
n?2
n
所以
c
n?
?
111111
?
c
1
?c
2
?< br>L
?c
n
?c
1
?c
2
?c
3?
?
????
L
??

n?1n
?
?
3?2
3
4?2
4
4?2
4
5?2
5?
n?2
?
?
n?1
?
2
?
1111 117117
???????

?
n?3
?

282424n?2
n
24n?2
n
24
1617
Qcn
?0

?c
1
?c
1
?c
2?c
1
?c
2
?c
3
??

2424

?
小炼有话说：（1）本题先确定放 缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进
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行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
（2）在求和过程中需要若干项不 动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本
题中
n?3
才会有放缩的情 况），对于较少项数要进行验证。
例：已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?na
n
?3n
?
n?1
?
,n?N
?
，且
a
3
?17

（1）求
a
1

（2）求数列
?
a
n?
的前
n
项和
S
n

（3）设数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
，且满足
b
n
?
?
n
2
，求证：
T
n?3n?2

3
S
n
解：（1）在
S
n
?na
n
?3n
?
n?1
?
,n?N
中，令n?2,n?3
可得：
?
a
1
?a
2
?2a
2
?6
?
a
2
?a
1
?6
?
??
?
a
1
?a
2
?a
3
?3a
3
?18
?
a
1
?a
2
?16?a
1
?5,a
2
?11

（2）
S
n
?na
n
?3n
?
n?1
?
①
S
n?1
?
?
n?1
?
a
n?1
?3?
n?1
??
n?2
?
②
①
?
②可得：
a
n
?na
n
?
?
n?1
?
a
n?1
?6
?
n?1
?
?< br>?
n?1
?
a
n
?
?
n?1
?a
n?1
?6
?
n?1
?

?
n?2
?

?a
n
?a
n?1
?6

?
?
a
n
?
是公差为6的等差数列
?a
n
?a
1
?6
?
n?1
?
?6n?1
< br>?S
n
?na
n
?3n
?
n?1
?
?n
?
6n?1
?
?3n
?
n?1
?
?3 n
2
?2n

（3）由（2）可得：
b
n
?
n1

?
2
3n?2n
3n?2
?b
n
?
1223
???3n?223n?23n?2?3n?1
2
?
3n?2?3n?1
?
?T
n
?b
1
?b
2
?
L
?b
n
?
2
?
3
?
?
5?2?
? ?
8?5?
??
3n?2?3n?1
?

?
?
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?
2
3
?
3n?2?2?
?
2
3n?2< br>
3
例6：已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
1a
n?1
,a
n
?
?
n ?2,n?N
?

n
4
?
?1
?
an?1
?2
?
1
n
?
（1）试判断数列
??
?
?1
?
?
是否为等比数列，并说明理由
?
a
n
?
（2）设
b
n
?a
n
sin?
2n?1
?
?
2
a
n?1
，数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，求证 ：对任意的
n?N,T
n
?
?
n
4

7
1
?
?1
?
a
n?1
?2
2
n< br>????1?
解：（1）
a
n
?

??
n< br>aaa
?
?1
?
a
n?1
?2
nn?1n? 1
?
?
1212
?
nnnn?1
?
?
?1
?
?2?
?
?1
?
????
?
?1
?
?
?
?2
?
?
?
?
?1
?< br>?
?

a
n
a
n?1
a
n
a
n?1
??
?
1
n
?
?
?
?
?
?1
?
?
为公比是
?2
的等比数列
?
a
n
?
（2）思路：首先由（1）可求出
?
a
n< br>?
的通项公式
?a
n
?
1
3?
?
? 2
?
n?1
?
?
?1
?
n
，对于
sin
?
2n?1
?
?
2
可发现
n
为奇数 时，
sin
?
2n?1
?
?
2
?
?
?1
?
?1
，
n
为偶数时，
sin
?
2 n?1
?
?
2
??1
，结合
?
a
n
?
通项公
式可将其写成
sin
?
2n?1
?
?< br>2
n?1
，从而求出
c
n
?
1
3?2
n?1
?1
，无法直接求和，所以考虑
对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进 而
c
n
?
1
3?2
n?1
?1
?
1
，求和后与所证不
n?1
3?2
等式右端常数比较后再进行调整（需前两项 不动）即可。
解：
1
1
?
?
?1
?
?3
，由（1）可得：
a
1
?
11
n1
?
n ?1n?1
?
?
?1
?
?
?
?
?
?1
?
?
?
?
?2
?
?3?
?
? 2
?

a
n
?
a
1
?
?an
?
1
3?
?
?2
?
n?1
?
?
?1
?
n

n?1
而
sin
?2n?1
?
?
2
?
?
?1
?
n?1< br>
?b
n
?a
n
?sin
?
2n?1< br>?
?
2
?
?1
?
?
n?1n
3?< br>?
?2
?
?
?
?1
?
?
1
3?2
n?1
?1

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?b
n?
1
3?2
n?1
?1
?
1

3?2
n?1
111

??
L
?
23n ?1
3?23?23?2
n?2
当
n?3
时，
T
n
?b
1
?b
2
?
L
?b
n
??
b
1
?b
2
?
?
1
?
?< br>1
?
?
1?
??
?
2
?
11
12
?
?
???
1
47
1?
2
因为
?
b
n?
为正项数列
?T
1
?T
2
?T
3
?L?T
n

?
?
?
?
?
1
?
1
?
1
?
47
?
4

476847
??n?N
?
,T
n
?
4

7
3na
n?1
3
n?2,n?N
?
?
，且
a
n
?
?
2a
n?1
?n?1
2例7：已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式
（2）证明 ：对于一切正整数
n
，均有
a
1
?a
2
?L?a< br>n
?2?n!

解：（1）
a
n
?
3na
n?1

2a< br>n?1
?n?1
?
1
2a
n?1
?n?1
n
2a
n?1
?n?1
n2n?1
??????

a
n
3na
n?1
a
n
3a
n?1
a
n
33a
n?1
n
21
即
b
n
??b< br>n?1

a
n
33
设
b
n
?< br>?b
n
?1?
11
为公比是的等比数列
b?1
?b?1
?
n?1
?
?
n
?
33
n?1
?
1
?
?b
n
?1?
?
b
1?1
?
??
?
3
?
n
而
b
1
?
12
?

a
1
3
nn?3
n
?
1
?

?b
n
?1?
??

?a
n
??< br>n
3
b3?1
??
n
3
1
3
23
n
?
2
?
L
?
n
?2
，由 于是连乘形式，所以考虑
（2）思路：所证不等式可化简为：
1
3?13?13?1< br>放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为
3?1
，所以结合不等号方向，将分子 向
?
n
?
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3
n
3
n
?23
n
?1
该形式转化：
n
??
?
n?2?
，再根据右边的值对左边放缩的程度进行
3?13
n
?3
3< br>?
3
n?1
?1
?
调整即可。
3
1
3
2
3
n
?
2
?
L
?
n
?2?n!

证明：所证不等式为：
n!?
1
3?13?13?1
3
1
3
2
3
n
??
L
?
n
?2

等价于证明：
1
3?13
2
?13?1< br>3
n
3
n
3
n
?23
n
?1
设
c
n
?
n

?c
n
?
n
?
n
?
?
n?2
?

n?1
3? 1
3?13?3
3
?
3?1
?
3
3
?13
4
?13
n
?1
?c
1
?c
2
?
L
?c
n
?c
1
?c
2
???
L
?

23n?1
3
?
3?1
?
3
?
3?1
?
3
?
3?1
?
393
n
?1393
n
243
?????2
?
n?3
?

???
n?2n?2
288?3288?3128
c
1
?< br>33927
?2,c
1
?c
2
????2

22816
即不等式得证
小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩 时可考虑通过分子分母相消达到化
简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。 （2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注
意不等 号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：
a?b?0,c?0?
bb?c
（分子小 与
?
aa?c
aa?c
（分子大于分母）
?
bb?cb
例8：已知函数
f
?
x
?
?ax??2lnx,f< br>?
1
?
?0

x
分母），
a?b?0,c? 0?
（1）若函数
f
?
x
?
在
x?1
处切 线斜率为
0
，
a
n?1
?f
?
'
??2
1
?
?n?1
，已知
a
1
?4
，< br>?
a
n
?n?1
?
求证：
a
n
?2 n?2

（2）在（1）的条件下，求证：
1112
??
L
??
< br>1?a
1
1?a
2
1?a
n
5
解：（1）< br>f
'
?
x
?
?a?
b2
?

2
xx
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?
?
a?b?0
?
a?1
?
f
?
1
?
?0
?
?< br>'
?
?
?
?

?
?
f
?< br>1
?
?0
?
a?b?2?0
?
b?1
?a< br>n?1
?1?
?
a
n
?n?1
?
?2
?
a
n
?n?1
?
?n
2
?1

整理后可得：
a
n?1
?
?
a
n
?n
?
?n
2
?1

2

?a
n?1
?a
n
?2na
n
?1

2
2
下面用数学归纳法证明：
a
n
?2n?2

当
n?1
时，
a
1
?4?2n?2
成立
假设
n?kk?N
?
成立，则
n?k?1
时
??
a
k?1
?a
k
?
a
k
?2k
?
?1

Qa
k
?2k?2

?a
k? 1
?
?
2k?2
?
?2?1?4k?5?2
?
k? 1
?
?2

?n?k?1
时，不等式成立
??n?N
?
,a
n
?2n?2

（2）
Qa
n?1
?a
n
?2na
n
?1?a
n
?
a
n
?2n
?
?1

2
由（1）可知
a
n
?2n?2

?a
n?1
?2a
n
?1

?a
n?1< br>?1?2
?
a
n
?1
?
?
1
an?1
?1
?
11
?

2a
n
?1< br>?
1111111
???
2
??
L
?
n?1
?

a
n
?12a
n?1
?12a
n?2
?12a
1
?1
n
1111
?
1
?
1
?
?
???
L
??
?
1??
L
?
??
?

1?a
1
1?a
2
1?a< br>n
1?a
1
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
1
?
n
?
?
1?
??
?
n
2
??
2
??
1
?
2 1
?
??
??
???
?
1?
??
?
?

1
1?a
1
5
?
?
?
2< br>?
?
?
5
1?
2



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2
例9：已知数列
?
a
n
?
的各项均为 正值，对
?n?N
，
a
n?1
?1?4a
n
?a
n
?1
?
,b
n
?log
2
?a
n
?1
?
，
?
且
a
1
?1

（1）求数列
a
n
,b
n
的通项公式
（2）当
k?7
且
k?N
时，证明对
?n?N
，都有
2
解：（1）
a
n?1
?1?4a
n
?
a
n
?1
?

222
?a
n?1
?4a
n
?4a
n
?1?a
n?1
?
?
2a
n?1
?
由
a
n
?0
可得：
2
??
11113
???L??
成立
b
n
b
n?1
b
n?2
b
nk?1
2
?a
n ?1
?2a
n
?1

?a
n?1
?1?2
?
a
n
?1
?

?
?
a
n
?1
?
为公比是
2
的等比数列
?a
n
?1?< br>?
a
1
?1
?
?2
n?1
?2
n< br>
?a
n
?2
n
?1

b
n
?n

11113
???
L
??左边含有两个变量，考虑通过
nn?1n?2nk?12
1113
消元简化所证不 等式。设
T
k
??
，则只需证明：
?
T
k
?
min
?
，易知
T
k
为
?
L
?
nn?1nk?12
11133
递增数列。所以只需证明
k?8
，即
??
L
??
，左边共
7n
项，结合
的特
n n?18n?122
11111n1
点可考虑将
7n
项分为3组：
? ?
L
???
L
???

nn?12n?12n2n2n2< br>1442443
（2）思路：所证不等式为：
n个n个
111111
? ?
L
???
L
??
2n
44
2n4n?1
1
4n
44244
4
14
?
4
1
2444 433
n2
2n个2n个
111111
??
L
???
L
??
，再求和即证不等式
4n
44
4n8n
43?1
1
8n
4
8
14
?
4
1
244442443
n2
4n个4n个
解：所证不等式
11113
? ??L??
由（1）可得：
b
n
b
n?1
b
n? 2
b
nk?1
2
111
?
3
11113
?
1
??
L
??
???
L
??
只需证：
?
?

?
nn?1n?2nk?12
nn?1n? 2nk?12
??
min
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设
T
k
?
111

??
L
?
nn?1nk?1

?T
k?1
?T
k
?
?
< br>?
?
1
?
?
11111
?
??
L< br>????
L
?
?
??

n(k?1)?1
?
?
nn?1nk?1
?
?
nn?1
111
??L
??0

nknk?1nk?n?1
?
?
T
k
?
为递增数列
Qk?8

?
?
T
k
?
min
? T
8
?
1111113

?
只需证
???
L
??
L
??

nn?18n?1nn?18n?12
1111
??
11
??
11< br>??
1
??
L
??
?
?
L
???< br>L
???
L
?
?????

nn?18n?1
?
n2n?1
??
2n4n?1
??
4n8n?1
?而
11111n1
??
L
???
L
???
< br>n
4
n1n
4
?2n
44244
2
14?
44244
2
43
1
13
n2n2
n个n个
111111
??
L
???
L
??
2n2n?14 n?14n4n2
1442443
2n个2n个
111111
??
L
???
L
??

4n
44
4n8n
43< br>?1
1
8n
4
8
14
?
4
1
244442443
n2
4n个4n个
1111113
???
L< br>?????

nn?18n?12222
b
1
?3,b
n?1
?b
1
b
2
Lb
n
?1

a
5
?6
，例10：数列
?
a
n
?
是公 差不为零的等差数列，数列
?
b
n
?
满足：
（1）当
n?2
时，求证：
b
n?1
?1
?b
n
b
n
?1
?
（2）当
a
3
?1
且a
3
?N
时，
a
3
,a
5
,a
k
1
,a
k
2
,L,a
k
n
,L
为等比数列
① 求
a
3

?
1111111
?
??
L
??4
?
??
L
?
② 当
a
3
取最小值时，求证：
?

?
??
b
1
b
2
b
3
b
n
a
k
n
?1
??
a
k
1
?1a
k
2
? 1
解：（1）由
b
n?1
?b
1
b
2
Lb
n
?1
可得：
b
n?1
?1?b
1
b2
Lb
n

?b
n
?1?b
1
b< br>2
Lb
n?1
?
n?2,n?N
?
?

两式相除可得：
b
n?1
?1
?b
n

b
n
?1
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（2）① 思路：本题的突破口在于
a
k
n
既在等差数列
?
a
n
?
中，又在 等比数列
a
3
,a
5
,a
k
1
,a
k
2
,L,a
k
n
,L
中，从而在两个不同风格的数列中
a
k
n
均能够用
a
3
进行表示，然后便
得 到
k
n
与
a
3
的关系式，抓住
k
n
,a
3
?N
的特点即可求出
a
3
的值
?
Q
?
a
n
?
为等差数列
?d?
a
5
?a
3
6?a
3

?
22
6?a
3

a
k
n
?a
3
?
?
k
n
?3
?
?d?a
3< br>?
?
k
n
?3
?
?
2
a
5
6
?

a
3
a
3
另一方面，
Q a
3
,a
5
,a
k
1
,a
k
2< br>,L,a
k
n
,L
为等比数列
?q?
?
6
?
?a
k
n
?a
3
?q
n?1
?a
3
?
??
?
a
3
?
?
6< br>?
a
3
?
??
?
a
3
?
n ?1
n?1

?a
3
?
?
k
n
?3
?
?
6?a
3

2
?
?
6
?
n?1
??
?
6
?
n?1
???
6
?
n?1
?
a
3
?
??
?1
?
2a
3
?
??
?1
??
??
?1
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a
3
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a
3< br>??
a
3
?
??????

?k
n
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6?a
3
6
6?a
3
?1
2a
3
?
?
6
?
n?1
?
?
? ?
?1
?
??
?
a
3
?
??
可视 为以
1
为首项，
6
为公比的等比数列前
n?1
项和
Q
??
6
a
3
?1
a
3
nn
? ?
6
?
6
?
?
?
6
?
?
6
?k
n
?3?2?1??
L
?
??
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L
?
??
?

a
3
a
??< br>?
a
3
?
?
?
a
3
?
?< br>???
3
?
n
?
6
?
6
?
?
?
?
Qk
n
?N

??n?N,2??
L
?
??
??N

Qa
3
?N
?

a
?
?
a3
?
?
?
3
?
?a
3
能够被6整除
Qa
3
?1
且
a
3
?a
5
?6< br>
?a
3
?2
或
a
3
?3
< br>经检验：
a
3
?2
或
a
3
?3
均符 合题意
② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，
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从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，
b
n?1
?1
?b< br>n
，
a
k
n
?2?3
n?1
，所以对于右< br>b
n
?1
侧，
1
11
显然无法直接找到求和方法。而 对于，虽然没有通项公式，但可
?
n?1
b
n
a
k
n
?12?3?1
对
b
n?1
?1111
?b
n< br>向可求和的方式进行变形，得到
??
?
n?2
?
，从而可想到 利
b
n
?1b
n
b
n
?1b
n?1
?1
111121
???L???
。对于右侧
b
1
b2
b
3
b
n
3b
1
b
2
L< br>b
n
用裂项相消的方式进行求和，得到
11111
只能考虑进行放缩， 针对
的特点可向等比
??
L
??
n?1
a
k
1
?1a
k
2
?1a
k
n
?1a
kn
?12?3?1
数列靠拢，结合不等号方向可得：
111
。所以
??
n?1n?1
a
k
n
?12?3?13
n
1 111
?
?
1
?
?
??
L
??
?
1?
??
?
。于是所证的不等式就变为只需证明
a
k
1
?1a
k
2
?1a
k
n
?16
??
?
3
?
?
?
2122121
???
n?1
，即证明
?
n?1
，考虑对进行放缩，抓住
b
1?3
3b
1
b
2
L
b
n
33b
1
b
2
L
b
n
3
b
1
b
2
Lb
n
这个特点，由已知可得
?
b
n
?
为递增数列，则
b
n
?3
，但右侧为
证明，所以要对
2< br>3
n?1
?
21
?
n
，无法直接放缩
33< br>112
?
4
，进而的放缩进行调整，计算出
b
1
,b
2
,b
3
可得
b
1
b
2
b
3
3
b
1
b
2
Lb
n
111212???
4
?
n?3
?
n?1
，但此时只能证明
n?4
时，不等式成立。对于
b
1
b
2
L
b
n
b
1
b
2
b
3
b
4
L
b
n
333
n?1,2,3
有限的项，逐次验证即可。
由（1）可得：
b
n?1
?1
?b
n

b
n
?1
11
?

b
n
?b
n
?1
?
b
n?1
?1
b
n
?
b
n
?1
?
?b
n?1
?1?
?111
??

b
n
?1b
n
b
n?1
?1
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?
111
??

n?2

b
n
b
n
?1b
n?1
?1
1111
???L?
b
1
b
2
b
3
b
n
?
?11
?
11
??
11
?
1
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???
???
?
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??
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L
?
??

b
1
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b
2
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3
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? ?
b
3
?1b
4
?1
?
b?1b?1
n? 1
?
n
?
?
111
??

b
1
b
2
?1b
n?1
?1
Qb
1
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?b
1
b
2
Lb
n
?1
< br>?b
n?1
?1?b
1
b
2
Lb
n

?
111111121
???L??????

b
1
b
2
b
3
b
n
b
1
b
1
b
1
b
2
L
b
n
3b
1
b2
L
b
n
n?1
当
a
3
?2
时，
a
k
n
?2?3

?
111
< br>??
a
k
n
?12?3
n?1
?13
n?1
n
1
?
?
1
?
?
1?
??
?
3
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1111
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9
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?
11
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???
L
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2
?
3
?
L
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?
?
1
a
k
1
?1a
k2
?1a
k
n
?1
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3
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331?
3
n
1
?
?
1
?
?

?
?
1?
??
?

6
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3
?
?
?
?
?
?
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?
111
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1
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1
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??
L
??4?
?
1?
n
?
?
?
?
a
k
?1a
k
?1a
k
n
?1
?
6
?
3
?
2
?
1
?
?
只需证明：
2
?
1
?
22
1???

??
3
?
3
n
?
33
n?1
2122
???
n?1
?
n?3
?
即可
3b
1
b
2
L
b
n
33
即证明：
12
?
n ?1

b
1
b
2
L
b
n
3由
b
1
?3,b
n?1
?b
1
b
2< br>Lb
n
?1
可知
?
b
n
?
为递增数 列
?b
n
?b
1
?3
?
n?2
?

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由
b
1
?3,b
n?1
?b
1
b
2
Lb
n
?1
可得：
b
2
? b
1
?1?4,b
3
?b
1
b
2
?1?1 3

3
4
81
?b
1
b
2
b< br>3
?3?4?13?156??

22
?
1211
?
4

Qn?3
时，
b
n
?3

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b
1
b
2
b
3
3b
n
3
111212
???
4
?
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?
n?1
b
1
b
2
L
b
n
b
1
b2
b
3
b
4
L
b
n
333
1 2
?
4
成立
b
1
b
2
b
33
?n?3
时，
当
n?3
时，可知
?
12?
n?1
得证
b
1
b
2
L
b
n
3
2122
??
n?1
?
n?3
?

?n?3
时，
?
3b
1
b
2
L
b
n
33
?
?
1111111
?
???
L< br>??4
?
??
L
?
成立
?
??
b
1
b
2
b
3
b
n
a
k
n
?1
??
a
k
1
?1a
k
2
?1
14
1114
?,4??

??

b1
17
b
1
3a
k
1
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当n?1
时，
?
11
?
1
?
117
?< br>1
4??4
?
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当
n?2
时，，
??
?
a
k
?1a
k
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b
1
b
2
12
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2
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1
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1111
?
???4
?
?

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1
b
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ak
1
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k
2
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11111 11
?
??
L
??4
?
??
L
?
综上所述：
?
恒成立
?
?
a
k
?1a
k
?1
?
b
1
b
2
b
3
b
n
a?1
k
n2
?
1
?

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