河北学考 高中数学公式-高中数学如何求函数的周期
2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
一、填空题(每小题8分,满分64分)
1、已知
sin
?
?co
s
?
,cos
?
?sin2
?
,则
sin
2
?
?cos
2
?
?
_______.
解:0或
.
已知两式平方相加,得
sin
2
?<
br>?0
或
cos
2
?
?
3
2
1
.
4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
2
?
?
0或
.
2
2、不等式
x
6
?(x?2)?(x?2)
3
?x
2
的解集为_________.
解:
(??,?1)?(2,??).
原不等式等价于
x
6
?x
2
?(x?2)
3
?(x?2).
设f(x)?x
3
?x
,则
f(x)
在R上单调增.
所
以,原不等式等价于
f(x
2
)?f(x?2)?x
2
?x?2?x
??1或x?2.
3、已知错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。表示不
超过x的最大整数),设
方程
1
?2012x?{x}
的两个不同实数解为<
br>x
1
,x
2
,则
2013
2
?(x
1
?x
2
)?
__________.
2013
解:
?2011
.
11
1
?x?.
?(0,1)
,所以
2012x
?(?1,1)??
由于
{x}?[0,1),
20122012
2013<
br>11
?x?0
时,原方程即
?2012x?1?x?2013
2
x
1
??2012
; 当
?
20122013
11
?2012x?x?2013
2
x
2
?1
.
当
0?x?
时,原方程即
20122013
4、在平面直角坐标系
中,设点
A(x,y)(x,y?N
*
)
,一只虫子从原点O出发,沿
x
轴
正方向或
y
轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达
终点A的不同路线
数目记为
f(x,y)
.
则
f(n,2)?
_______.
解:
1
(n?1)(n?2).
2
111
f(1
,2)?3??2?3,f(2,2)?6??3?4,f(3,2)?10??4?5.
222
1
(n?1)(n?2)
,可归纳证明.
2
猜测
f(n,2)?
5、将一只小球放入一个长方体容器内,且
与共点的三个面相接触.若小球上一点P到
这三个面的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径为__
_________.
解:3或11.
分别以三个面两两的交线为
x
轴、
y
轴、
z
轴,建立空间直角坐标系.
设点P坐标为
(4,5,5)
,小球圆心O坐标为
(r,r,r).
222
所以,
(r?4)?(r?5)?(r?5)?r?r?3或11.
6、将
2013
n?1
(n?N
*
)
型
分数的乘积的不同方法数是________.(其中表示成两个
2012
n
ab与
ba
是同一种表示方法)
解:24.
设
p,q
是正整数,满足
2013p?1q?12012?2013
???p?2012?.
201
2pqq?2012
2012?2013?2
2
?3?11?61?503
的
正因数的个数为
(1?2)?(1?1)
4
?48
.
注意到
(p,q)(p?q)
与
(q,p)
是相同的表示方法,故所求的方法数为
24
.
7、设E为正方形ABCD边AB的中点,分别在边AD、BC上任取两点
P、Q,则∠PEQ
为锐角的概率为__________.
解:
3?ln4
.
4
设正方形边长为1,
AP?x,BQ?y
.
?????????
???????????????????????????????
1
则
EP?EQ
?(EA?AP)?(EB?BQ)?EA?EB?AP?BQ?xy??0.
4
1
从而,
xy?
.
又
0?x?1,0?y?1
.
4
1
故所求概率为两直线
x
?1,y?1
及曲线
xy?
所围成图形的面积与边长为1的正方形
4
1
1
??
33ln4
2
的面积之比,即
?
?1?<
br>?
1
:1??.
?
44x44
?
4
?
8、已知实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
有实根,则使得
(a?b
)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?ra
2
成立的正实数
r
的最大值为____________.
2
9
.
8
2
不妨设
a?1
,方
程
x?bx?c?0
的两实根为
x
1
,x
2
. <
br>解:
r
max
?
由韦达定理,
b??x
1
?
x
2
,c?x
1
x
2
.
?(a?b)<
br>2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?(1?b)
2<
br>?(b?c)
2
?(c?1)
2
?(1?x
1?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
?x1
x
2
)
2
?(x
1
x
2
?
1)
2
2
?2(x
1
2
?x
1
?1)(x
2
?x
2
?1)
13139
?2[(
x
1
?)
2
?]?[(x
2
?)
2
?]?
.
24248
从而,
r?
91
,当
x
1
?x
2
??
时等号成立.
82
二、解答题(第一道小题满分16分,后两道小题每题满分20分)
9、已知数列
{
a
n
}
的各项均为正数,
a
1
?1,a
2
?3
,且对任意
n?N*
,都有
2
?
,使得
an
?a
n?2
?
?
a
n?1
对任意
n
?N*
都成立?
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
.问:是否存在常数
2
n?1
,得
a
3
?7
.
解:在
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
中,令
8
若存在常数
?
使得
a
n
?an?2
?
?
a
n?1
,则
a
1
?a<
br>3
?
?
a
2
?
?
?.
3
22*
∵
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
,∴
a
n
?a
n?1
a
n?1
?2
(n?2,n?N)
.
2222
∴
a
n?1
?a
n
?a
n
a
n?2
?a
n?1
a
n?1<
br>?a
n?1
?a
n?1
a
n?1
?a
n?a
n
a
n?2
.
由于
a
n
?0<
br>,上式两边同除以
a
n
a
n?1
,得
所以,
a
n?1
?a
n?1
a
n
?a
n?2
?(
n?2).
a
n
a
n?1
a
n
?an?2
a
n?1
?a
n?1
a?a
3
8
????
1
?.
a
n?1
a
n
a2
3
8
即存在常数
?
?
,使得
a
n<
br>?a
n?2
?
?
a
n?1
对任意
n?N*<
br>都成立.
3
x
2
66
10
、已知两点<
br>C(?,0),D(,0)
,设
A
,
B
,
M
是椭圆
?y
2
?1
上三点,满足
4
22
?????
3
????
4
????
OM?OA?OB
,点
N<
br>为线段
AB
的中点,求
|NC|?|ND|
的值
.
55
2
x
1
2
x
2
22
解:设
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
?y
1
?1,?y
2
?1.
①
44
?????
3
????
4
???
?
3434
由
OM?OA?OB
,得
M(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
5555
55
34
(x
1
?x
2
)
2
x
2
2
34
2
② ∵
M
在椭圆
?
y?1
上,
55
??(y?y)?1.
12
4
455
综合①②得,
x
1
x
2
?y
1
y
2?0.
4
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)
,
22
又线段
AB
的中点为
N(
x
1
?x
2
2
)
2
y
1
?y
2
2
1
x
1
2
1
x2
1
xx
∴
22
2
?()?(?y
1
)?(?y
2
)?(
12
?y
1
y
2<
br>)
42444424
(
111
???.
442
p>
x
2
66
上式表明,点
N
在椭圆
?2y
2
?1
上,且该椭圆两焦点恰为
C(?,0),D(,0)
两
2
22
点
.
所以,由椭圆定义有
|NC|?|ND|?22.
11、已知<
br>m?n(m,n?N
*
)
,两个有限正整数集合
A,B
满足:
|A|?|B|?n,|A?B|?m
(这里用
|X|
表示集合
X<
br>的元素个数).平面向量集
{u
k
,k?A?B}
满足
??
u
?
i
?
i?A
2
.
?
m?n
k?A?B
j?B
证明:不妨设
A?{1,2,?,n},B
?{n?m?1,n?m?2,?,2n?m}.
令
a
1
?a2
???a
n?m
?a
n?1
?a
n?2
??
?a
2n?m
?1,
a
n?m?1
?a
n?m?
2
???a
n
?4.
?
u
?
j
?1
.
证明:
?
|u
k
|
2
?
由柯西不等式,
2n?m
i
注意到
从而,
?
a
i?1
?2(n?m)?4m?2(n?m).
2
.
m?n
k?A?B
?
?
2
2n?m
?
2
|u
k
|?
?
|u
i
|?
i?1