2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷(全国Ⅲ卷)(含解析)

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2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（全国Ⅲ卷）（含解析）
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每 小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案 标号。回答选择
题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A?< br>?
1,2,3,5,7,11
?
，B?
?
x|3?x?15< br>?
，则
AB
中元素的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若
z(1?i)?1?i
，则
z?

A.
1?i
B.
1?i
C.
?i
D.
i

3．设一组样本数据
x
1
,x
2
,...,x
n
的方差为0.01，则数据
10x
1
,10x2
,...,10x
n
的方差为
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4. Log istic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺 炎累计确诊病例数
I
?
t
?
（
t
的单位：天）的L ogistic
模型：
I
?
t
?
?
K
1? e
?0.23
?
t?53
?
，其中
K
为最大确诊病 例数.当
It
?
?0.95K
时，标志
??
着已初步遏制疫 情，则
t
?
约为（In19
?
3）
A.60 B.63 C.66 D.69
5. 已知
sin
?
?sin(
?
?)?1
，则
sin(
?
?)?

36
?
?
32
12
A. B. C. D.
32
23
6.在平面内，
A, B
是两个定点，
C
是动点，若
AC?BC?1
，则点
C的轨迹为
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
7.设
O
为坐标原点，直线
x?2
与抛物线
C :y
2
?2px(p?0)
交于
D,E
两点，若
OD?OE
，则
C
的焦点坐标为
1

11
A．
(,0)
B．
(,0)
C．
(1,0)
D．
(2,0)

42
8.点
(0,?1)
到直线
y?k(x?1)
距离的最大值为
A．1 B．
2
C．
3
D．2
9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A.
6+42
B.
4+42

C.
6+23
D.
4+23

1 0.设
a?log
3
2
，
b?log
5
3
，
c?
2
，则
3
A．
a?c?b
B.
a?b?c
C.
b?c?a
D.
c?a?b

11. 在
?ABC
中，
cosC?< br>2
，
AC?4,BC?3
，则
tanB?

3
A.
5
B.2
5
C.4
5
D.8
5

12. 已知函数
f(x)?sinx?
1
，则
sinx
A.
f(x)
的最小值为2 B.
f(x)
的图像关于
y
轴对称
C.
f(x)
的图像关于直线
x?
?
对称 D.
f (x)
的图像关于直线
x?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?
x?y?0
?
13. 若x，y满足约束条件
?
2x?y?0
，则z=3x+2y的最大值为_____.
?
x?1
?
?
2
对称
x
2
y< br>2
14.设双曲线
C:
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的一条渐近线为
y?2x
,则
C
的离心 率
ab
为______.
e
x
e
15. 设函数
f
?
x
?
?
，若
f
?
?
1
?
?
，则a=____.
x?a
4
16. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积
为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
2

17.（12分） 设等比数列
?
a
n
?
满足
a
1
+a< br>2
=4
，
a
3
-a
1
=8

（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）记
s
n
为数列
?
log
3
a
n
?
的前n项和. 若
s
m
+s
m+1
=s
m+3
，求m.
18.（12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某 公园
锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1（优）
2（良）
3（轻度污染）
4（中度污染）
2
5
6
7
[0,200] （200,400
]
16
10
7
2
25
12
8
0
（400,600]
（1） 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
（3） 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空
气质量等级为 3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成
下面的
2?2
列联表，并根 据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到
该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好
空气质量不好
附：
19.（12分）
BB
1
上，如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，在
E
,
F
分别在棱
D D
1
，且
2DE?ED
1
，
BF?2FB
1
，证明：
人次
?
400


，
人次>400



（1）当
AB?BC
时，
EF?AC
;
（2）点
C
1
在平面
AEF
内.
3

20.（12分）
已知函数
f
?
x?
?x
3
?kx?k
2
.
（1）讨论
f
?
x
?
的单调性；
（2）若
f
?
x
?
有三个零点，求
k
的取值范围.
21.（12分）
x
2
y
2
15
,A,B
分别为
C
的左、右已知椭圆
C:?
2
?1(0?m?5)
的离心率为
4
25m
顶点.
（1）求
C
的方程：
（2）若点
P
在
C
上，点
Q
在直线
x?6
上，且
BP?BQ
，
BP?BQ
，求
?APQ
的
面积.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则
按所做的第一题计分。
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
2
?
?
x?2?t?t
(t为参数且t?1），C
与坐标轴交于
A，B
两点.
?
2
?
?
y?2?3t?t
（1）求
AB
：
（2）以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB
的极坐标
方程.
23. [选修4-5: 不等式选讲] （10分）
4

设
a,b,c?R,a?b?c?0,abc?1.

（1） 证明：
ab?bc?ca?0
；
（2） 用
max
?
a, b,c
?
表示a,b,c
中的最大值，证明：
max
?
a, b,c
?
?
3
4.































5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15